【文档说明】2023年高考考前押题密卷数学试题（天津卷）数学（天津卷）（参考答案）.docx，共(11)页，468.488 KB，由管理员店铺上传

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2023年高考考前押题密卷数学·参考答案一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）123456789ABACCCADC二､填空题：（本题共6小

题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）10、一11、3612、413、10112514、2715、2，22−．三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）16．（14分）【详解】（1）在ABC中，由正弦

定理sinsinsinabcABC==可得：()22332acbac−=−，整理得222223acbac+−=，...............................2分由余弦定理，可得2cos3B=；............

...................4分（2）（i）由（1）可得5sin3B=，又由正弦定理sinsinabAB=，及已知53ab=，可得sin355sin535aBAb===，.........................

......6分由已知53ab=，可得ab，故有AB，A为锐角，可得25cos5A=，1tan2A=，...............................8分则π1tantan1π42tan()3π141ta

ntan142AAA+++===−−；...............................9分（ii）由（i）可得23cos212sin5AA=−=，4sin22sincos5AAA==,...............................11分43314

33sin2sin2coscos2sin666525210AAA++=+=+=................................14分17．（15分）【详解】（1）由111ABCABC-为正三棱柱可知，1BB⊥平面AB

C，又CD平面ABC，所以1BBCD⊥，...............................1分由底面是边长为2的正三角形，D为AB的中点，所以CDAB⊥；...............................2

分又1BBABB=，1,BBAB平面11ABBA，所以CD⊥平面11ABBA；...............................3分又1AD平面11ABBA，所以1CDAD⊥；...................

............4分（2）取线段11,ACAC的中点分别为,OE，连接1,OBOE，易知11,,OBOEOC两两垂直，以O为坐标原点，分别以11,,OCOEOB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系Oxyz−，如下图所示;由侧棱长为2，底面边长为2可得，()()

()()()111,0,0,1,2,0,1,2,0,0,2,3,0,0,3ACABB−−，...............................6分由D为AB的中点可得13,2,22D−

，所以()1332,2,0,,0,22ACDC==−uuuruuur，设平面1DAC的一个法向量为(),,nxyz=，则122033022nACxynDCxz=+==−=，令1x=，可

得2,3yz=−=；即()1,2,3n=−r；...............................8分易得()10,0,3OB=uuur即为平面1ACA的一个法向量，所以11132cos,263nOBnOBnOB===ruuurruuurruuur，........

.......................9分设二面角1DACA−−的平面角为，由图可知为锐角，所以12coscos,2nOB==ruuur，即π4=；即二面角1DACA−−的大小为π4...

.............................10分（3）由（2）可知()2,0,0CA=−uur，平面1DAC的一个法向量为()1,2,3n=−r，......................12分设直线CA与平面1ACD所成的角为，所以2

6sincos,626nCAnCAnCA−====ruurruurruur，...............................15分即直线CA与平面1ACD所成角的正弦值为66.18．（15分）【详解】（1）∵12nnaa+−=，∴数列na是公差为2d=等差数列，且8

64S=，∴18782642a+=，解得11a=，...............................1分∴()12121nann=+−=−；...............................2分设

等比数列nb的公比为q（0q），∵13b=，3218bb−=，23318qq−=，即260qq−−=，...............................3分解得2q=−（舍去）或3q=，∴1333nnnb−==......

.........................4分（2）由（1）得()()()21222121213nnnnnnnacaabnn+++−−==−+......................................5分()()()()12211121213

2213213nnnnnnnn−+=−−+−+=..........................................6分()()0112231111111112133333

535373213213nnnn=−+−+−++−−+()0111213213nn−+=()1122213nn−+=......

.........................................................8分（3）方法一：∵()12221,21,N1,2,Nnnnnnankkadnkkb+−=−+==，()()224621352

1nnnSdddddddd−=+++++++++()3121352112311111nnnnaaaaaaaabbbb−++++=+++++−+−++−()()1232462159131433333nnnn

=+++++−+−++−−nnPQ=+.........................................................................

............................10分12324623333nnnP=++++①23411246222333333nnnnnP+−=+++++②两式相减得，1234111

1211222222221223331113333333333313nnnnnnnnnnnnP++++−+=+++++−=−=−−=−−，1323323123223nnnnnP+++=−=−，......

........................................................12分当n为偶数时，()21159131nnnQa−=−+−++−()()()()159134743444422nnnn=−++−+++−−+−=++

+==，...............................13分当n为奇数时，()()144443443212nnQnnn−=+++−−=−−=−+21,21,N2,2,NnnnkkQnnkk−+

=−==，......................................14分121323121,21,N2332312,2,N23nnnnnnnnkkSPQnnnkk+++−−+=−=+=+−+=

.......................................15分方法二：()()22121211,,21,211,nknknknknaannkbbdankan+−++===−=−−为偶数为奇数()()()()112123

2,2,22333143,21143,21kkkkkkkknknkknkknk−++−====−−=−−−=−......................................10分()2462011211355

721233232333333223nnnnnnnnPdddd−+++=++++=−+−++−=−......................................12分当n为偶数

时，()21159131nnnQa−=−+−++−()()()()159134743444422nnnn=−++−+++−−+−=+++==，............................

......13分当n为奇数时，()()144443443212nnQnnn−=+++−−=−−=−+......................................14分21,21,N2,2,NnnnkkQnnkk−+=−==，1

21323121,21,N2332312,2,N23nnnnnnnnkkSPQnnnkk+++−−+=−=+=+−+=.......................................15分19．（15分）【详解】（1）解：当

点P为椭圆C短轴顶点时，PAB的面积取最大值，且最大值为112222ABbabab===，......................................2分由题意可得222322caabc

ab===−，解得213abc===，......................................4分所以，椭圆C的标准方程为2214xy+=..................................

.....5分（2）解：①设点()11,Pxy、()22,Qxy.若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于y轴对称，则12kk=−，不合乎题意.设直线PQ的方程为xtyn=+，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则2n，联立2244xtynxy=++=可得()

2224240tytnyn+++−=，()()()22222244441640tntntn=−+−=+−，可得224nt+，......................................6分由韦达定

理可得12224tnyyt+=−+，212244nyyt−=+，则()2121242ntyyyyn−=+，...............................7分所以，()()()()()()()()212121

121112221212122122422222422222nyynytynytyynykyxnnkxytynytyynyyynyn−++−+−+−−====−++++++++()()()()1211222222522223nyynynnnnyynyn++−

−−===+−+++，解得12n=−，......................................9分即直线PQ的方程为12xty=−，故直线PQ过定点1,02M−.......................................10分②由韦达定

理可得1224tyyt+=+，()1221541yyt=−+，所以，()21212121211·422SSAMBMyyyyyy−=−−=+−()22222222211541544154124444151415415ttttttttt

++=+===++++++++，......................................12分20t，则241515t+，因为函数()1fxxx=+在)15,+上单调递增，故22111615415151515415tt+++=+，所以，1

24154161515SS−=，当且仅当0=t时，等号成立，......................................15分因此，12SS−的最大值为154.20．（16分）【详解】（1）()22e12e22xfxxxx−=−+=，..................

....................1分当e02x，()0fx；当e2x，()0fx¢>，故()fx的减区间为e02,，()fx的增区间为e,2+...................

....................3分（2）（ⅰ）因为过(),ab有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3iixfxi=，故()()()iiifxbfxxa−=−，......................................4分故方程()()()fxbfxxa

−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21eeln022xaxbxxx−−−−+=，设()()21eeln22gxxaxbxxx=−−−−+，则()()22321e1e1e22gxxaxxxxxx=−+−+−−+

()()31exxax=−−−，......................................5分当0ex或xa时，()0gx；当exa时，()0gx，故()gx在()()0,e,,a+上为减函数，在()e,a上为增函数，因为()gx有3个不同的零点，故()e

0g且()0ga，故()21eeelne0e2e2eab−−−−+且()21eeln022aaabaaa−−−−+，整理得到：12eab+且()eln2bafaa+=，...................

...................6分此时()1e13e11lnln2e2e22e222aaabfaaaaa−−−+−+−+=−−，设()3eln22uaaa=−−，则()2e-202a

uaa=，......................................7分故()ua为()e,+上的减函数，故()3elne022eua−−=，故()1012eabfa−−.......................................

8分（ⅱ）当0ea时，同（ⅰ）中讨论可得：故()gx在()()0,,e,a+上为减函数，在(),ea上为增函数，不妨设123xxx，则1230exaxx，因为()gx有3个不同的零点，故()0ga且()e0g，故()21eeelne0e

2e2eab−−−−+且()21eeln022aaabaaa−−−−+，整理得到：1ln2e2eaaba++，......................................9分因为123xxx，故1230

exaxx，又()2ee1ln2aagxxbxx+=−+−+，设etx=，()0,1eam=，则方程2ee1ln02aaxbxx+−+−+=即为：2eln0e2eaatttb+−+++=即为()21ln02mmtttb−++++=，记123123

eee,,,tttxxx===则123,,ttt为()21ln02mmtttb−++++=有三个不同的根，设3131e1xtktxa==，1eam=，要证：22132e112ee6e6eaaxxa−−++−，即证13e2ee26e6eaatta−−++−，即证：13132166mm

ttm−−+−，即证：13131321066mmttttm−−+−+−+，即证：()()()2131313122236mmmttmmtt−−++−−+，...........

...........................11分而()21111ln02mmtttb−++++=且()23331ln02mmtttb−++++=，故()()()22131313lnln102mttttmtt−+−−+−=，故13

1313lnln222ttttmmtt−+−−=−−，......................................12分故即证：()()()21313131312lnln236mmmttmttmtt−−+−−−+，即证：()()()1213313ln1312072tttmm

mttt+−−++−即证：()()()213121ln0172mmmkkk−−+++−，记()()1ln,11kkkkk+=−，则()()2112ln1kkkkk=−−−，设()12lnukkkk=−−，则()2122210ukkkkk=+−−=，所以()()10u

ku=，()0k，故()k在()1,+上为增函数，故()1km，所以()()()()()()22131213121ln1ln172172mmmmmmkkmmkm−−+−−+++++−−，...............

.................13分记()()()()()211312ln,01721mmmmmmmm−−−+=++，则()()()()()()()2232322132049721330721721mmmmmmmmmmm−−−+−+=++，

所以()m在()0,1为增函数，故()()10m=，......................................15分故()()()()211312ln0721mmmmmm−−−+++即()()()213121ln0172mmmmmm−−+++−，故原不等式得证

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