【文档说明】2023年高考考前押题密卷数学试题（天津卷）数学（天津卷）（参考答案）.docx，共(11)页，468.488 KB，由管理员店铺上传

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2023年高考考前押题密卷数学·参考答案一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）123456789ABACCCADC二､填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，

全部答对的给5分。）10、一11、3612、413、10112514、2715、2，22−．三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤。）16．（14分）【详解】（1）在ABC中

，由正弦定理sinsinsinabcABC==可得：()22332acbac−=−，整理得222223acbac+−=，...............................2分由余弦定理，可得2cos3B=；.....................

..........4分（2）（i）由（1）可得5sin3B=，又由正弦定理sinsinabAB=，及已知53ab=，可得sin355sin535aBAb===，...............................6分由已知53ab=，可得ab，故有AB，A为锐角，可得25co

s5A=，1tan2A=，...............................8分则π1tantan1π42tan()3π141tantan142AAA+++===−−；...............................9分（ii）由（i）可得2

3cos212sin5AA=−=，4sin22sincos5AAA==,...............................11分4331433sin2sin2coscos2sin666525210AAA++=+=+=.....

...........................14分17．（15分）【详解】（1）由111ABCABC-为正三棱柱可知，1BB⊥平面ABC，又CD平面ABC，所以1BBCD⊥，...............................1分由底面是边长为2的正

三角形，D为AB的中点，所以CDAB⊥；...............................2分又1BBABB=，1,BBAB平面11ABBA，所以CD⊥平面11ABBA；...............................3分又1AD平面11ABBA，所以1C

DAD⊥；...............................4分（2）取线段11,ACAC的中点分别为,OE，连接1,OBOE，易知11,,OBOEOC两两垂直，以O为坐标原点，分别以11,,OCOEOB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系O

xyz−，如下图所示;由侧棱长为2，底面边长为2可得，()()()()()111,0,0,1,2,0,1,2,0,0,2,3,0,0,3ACABB−−，...............................6分由D为AB的中点可得13,2,22

D−，所以()1332,2,0,,0,22ACDC==−uuuruuur，设平面1DAC的一个法向量为(),,nxyz=，则122033022nACxynDCxz=+==−=，令1x=，可得2,3yz=−=；即()1,2,3n=−r；......

.........................8分易得()10,0,3OB=uuur即为平面1ACA的一个法向量，所以11132cos,263nOBnOBnOB===ruuurruuurruuur，...............................9分设二面角1DACA−−的平

面角为，由图可知为锐角，所以12coscos,2nOB==ruuur，即π4=；即二面角1DACA−−的大小为π4................................10分（3）由（2）可知()2,0,0CA=−uur，平面1DAC的一个法

向量为()1,2,3n=−r，......................12分设直线CA与平面1ACD所成的角为，所以26sincos,626nCAnCAnCA−====ruurruurruur，...............................15分即直线CA与平面1AC

D所成角的正弦值为66.18．（15分）【详解】（1）∵12nnaa+−=，∴数列na是公差为2d=等差数列，且864S=，∴18782642a+=，解得11a=，...............................1分∴()12121nann=+−=−；...

............................2分设等比数列nb的公比为q（0q），∵13b=，3218bb−=，23318qq−=，即260qq−−=，...............................3分解得2q=−（舍

去）或3q=，∴1333nnnb−==...............................4分（2）由（1）得()()()21222121213nnnnnnnacaabnn+++−−==−+......................................5

分()()()()122111212132213213nnnnnnnn−+=−−+−+=..........................................6分()()0112231111

111112133333535373213213nnnn=−+−+−++−−+()0111213213nn−

+=()1122213nn−+=...............................................................8分（3）方法一：∵()12221,21,N1,2,Nnnnnnankkadnkkb+−=−

+==，()()2246213521nnnSdddddddd−=+++++++++()3121352112311111nnnnaaaaaaaabbbb−++++=+++++−+−++−()(

)1232462159131433333nnnn=+++++−+−++−−nnPQ=+..................................................

...................................................10分12324623333nnnP=++++①23411246222333333nnnnnP+−=+++

++②两式相减得，12341111211222222221223331113333333333313nnnnnnnnnnnnP++++−+=+++++−=−=−−=−−，1323323123223nnnnnP+++=−=−，........

......................................................12分当n为偶数时，()21159131nnnQa−=−+−++−()()()()159134743444422nnnn=−++−+++−−+−=+++==

，...............................13分当n为奇数时，()()144443443212nnQnnn−=+++−−=−−=−+21,21,N2,2,NnnnkkQnnkk−+=−==，.....

.................................14分121323121,21,N2332312,2,N23nnnnnnnnkkSPQnnnkk+++−−+=−=+=+−+=..........................

.............15分方法二：()()22121211,,21,211,nknknknknaannkbbdankan+−++===−=−−为偶数为奇数()()()()1121232,2,22333143,211

43,21kkkkkkkknknkknkknk−++−====−−=−−−=−......................................10分()2462011211355721233232333333223nnnnnn

nnPdddd−+++=++++=−+−++−=−......................................12分当n为偶数时，()2115

9131nnnQa−=−+−++−()()()()159134743444422nnnn=−++−+++−−+−=+++==，..................................13分当n为奇数时，()()144443443212

nnQnnn−=+++−−=−−=−+......................................14分21,21,N2,2,NnnnkkQnnkk−+=−==，121323121,21,N2332312,2,N23nnnnnnnnkkSPQnnnkk

+++−−+=−=+=+−+=.......................................15分19．（15分）【详解】（1）解：当点P为椭圆C短轴顶点时，PAB的面积取最

大值，且最大值为112222ABbabab===，......................................2分由题意可得222322caabcab===−，解得213abc===，.......................

...............4分所以，椭圆C的标准方程为2214xy+=.......................................5分（2）解：①设点()11,Pxy、()22,Qxy.若直线PQ的斜率为零，则点P、Q关于

y轴对称，则12kk=−，不合乎题意.设直线PQ的方程为xtyn=+，由于直线PQ不过椭圆C的左、右焦点，则2n，联立2244xtynxy=++=可得()2224240tytnyn+++−=，()()()22222244441640tntntn=−+−=+−，可

得224nt+，......................................6分由韦达定理可得12224tnyyt+=−+，212244nyyt−=+，则()2121242ntyyyyn−=+，.............

..................7分所以，()()()()()()()()212121121112221212122122422222422222nyynytynytyynykyxnnkxytynytyynyyynyn−+

+−+−+−−====−++++++++()()()()1211222222522223nyynynnnnyynyn++−−−===+−+++，解得12n=−，......................................9分即直线PQ的方程为1

2xty=−，故直线PQ过定点1,02M−.......................................10分②由韦达定理可得1224tyyt+=+，()1221541yyt=−+，所以，()21212121211·42

2SSAMBMyyyyyy−=−−=+−()22222222211541544154124444151415415ttttttttt++=+===++++++++，......................................12分20t，则241515t+，因为函

数()1fxxx=+在)15,+上单调递增，故22111615415151515415tt+++=+，所以，124154161515SS−=，当且仅当0=t时，等号成立，......................................15分因此，12SS−的最大值为154

.20．（16分）【详解】（1）()22e12e22xfxxxx−=−+=，......................................1分当e02x，()0fx；当e2x，()0fx¢>，故()fx的减区间为e02,，()fx的增区间为e,2+

.......................................3分（2）（ⅰ）因为过(),ab有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3iixfxi=，故()()()iiifxbfxxa−=−，.................................

.....4分故方程()()()fxbfxxa−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21eeln022xaxbxxx−−−−+=，设()()21eeln22gxxaxbxxx=−−

−−+，则()()22321e1e1e22gxxaxxxxxx=−+−+−−+()()31exxax=−−−，......................................5分当0ex或xa时，()0gx；当exa时，()0gx

，故()gx在()()0,e,,a+上为减函数，在()e,a上为增函数，因为()gx有3个不同的零点，故()e0g且()0ga，故()21eeelne0e2e2eab−−−−+且()21eeln022aaabaaa−−−−+，整理得到：12eab

+且()eln2bafaa+=，......................................6分此时()1e13e11lnln2e2e22e222aaabfaaaaa−−−+−+−+=−−，设()3eln22

uaaa=−−，则()2e-202auaa=，......................................7分故()ua为()e,+上的减函数，故()3elne022eua−−=，故()1012eabfa−−..

.....................................8分（ⅱ）当0ea时，同（ⅰ）中讨论可得：故()gx在()()0,,e,a+上为减函数，在(),ea上为增函数，不妨设123xxx，则1230exaxx，因为()gx

有3个不同的零点，故()0ga且()e0g，故()21eeelne0e2e2eab−−−−+且()21eeln022aaabaaa−−−−+，整理得到：1ln2e2eaaba+

+，......................................9分因为123xxx，故1230exaxx，又()2ee1ln2aagxxbxx+=−+−+，设etx=，()0,1eam=，则方

程2ee1ln02aaxbxx+−+−+=即为：2eln0e2eaatttb+−+++=即为()21ln02mmtttb−++++=，记123123eee,,,tttxxx===则123,,ttt为()21ln02mmtttb−++++=有三个不同的根，设

3131e1xtktxa==，1eam=，要证：22132e112ee6e6eaaxxa−−++−，即证13e2ee26e6eaatta−−++−，即证：13132166mmttm−−+

−，即证：13131321066mmttttm−−+−+−+，即证：()()()2131313122236mmmttmmtt−−++−−+，..................

....................11分而()21111ln02mmtttb−++++=且()23331ln02mmtttb−++++=，故()()()22131313lnln102mttttmtt−+−−+−=，故131313lnln222ttttmmtt−+−−=

−−，......................................12分故即证：()()()21313131312lnln236mmmttmttmtt−−+−−−+，即证：()()()1213313ln1312072tttmmmttt+−−++−即证：()(

)()213121ln0172mmmkkk−−+++−，记()()1ln,11kkkkk+=−，则()()2112ln1kkkkk=−−−，设()12lnukkkk=−−，则()2122210ukkkkk=+−−=

，所以()()10uku=，()0k，故()k在()1,+上为增函数，故()1km，所以()()()()()()22131213121ln1ln172172mmmmmmk

kmmkm−−+−−+++++−−，................................13分记()()()()()211312ln,01721mmmmmmmm−−−+=++，则()()()()()()()223232

2132049721330721721mmmmmmmmmmm−−−+−+=++，所以()m在()0,1为增函数，故()()10m=，.....................................

.15分故()()()()211312ln0721mmmmmm−−−+++即()()()213121ln0172mmmmmm−−+++−，故原不等式得证：......................................16分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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