【文档说明】河南省驻马店市2019-2020学年高二下学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(25)页，2.318 MB，由小赞的店铺上传

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-1-驻马店市2019~2020学年度第二学期期终考试高二（理科）数学试题本试题卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试题卷上答题无效.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写（涂）在答题卡上.考生要认真核对

答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，在试

题上作答，答案无效.3.考试结束，监考教师将答题卡收回.第I卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，将正确答案的代号涂在答题卡上.1.设23zi=−+，则在复平面内z

对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为23zi=−+

，所以23zi=−−，在复平面内表示的点的坐标为()2,3−−位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.2.若双曲线()222210,0xyabab−=的离心率为2，则其渐近线方程为（）A.2yx=B.3yx=

C.2yx=D.3yx=【答案】B【解析】-2-【分析】由离心率是2得2ca=，代入222cab=+得223ab=，求出ba的值，再求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：由题意得，2ca=，则即3ba=，所以双曲线22221xyab−=的渐近线方程为3byxxa==，即30xy

=，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．3.在下列结论中，正确的是（）A.“2x”是“2560xx−+”的必要不充分条件B.若pq为真命题，则p，q均为真

命题C.命题“若2320xx−+=，则1x=”的否命题为“若2320xx−+=，则1x”D.已知命题():0,px+，都有210xx+−，则()0:0,px+，使20010xx+−【答案】D【解析】【分析】对于A，解不等式2560xx−+

，可知A不正确；对于B，命题p与命题q一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“pq”是真命题，所以B不正确；对于C，只否定了结论，没有否定条件，故C不正确；对于D，根据命题的否定的概念，可知D正确.【详解】对于A，2x时，则2560xx−+成立，但是当2560xx−+时，2x或3x.所

以“2x”是“2560xx−+”的充分不必要条件，故A错误；对于B，若pq为真命题，则p，q至少一个为真命题，故B错误；对于C，“若2320xx−+=，则1x=”的否命题为“若2320xx−+，则1x”故C错误；-3-对于D，():0,px+，都有210

xx+−，则()0:0,px+，使20010xx+−，故D正确.故选：D．【点睛】本题考查了命题真假的判断，充分、必要条件，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础

题．4.用数学归纳法证明：()()()()()*1221321nnnnnnn+++=−N时，从“nk=到1nk=+”等式左边的变化结果是（）A.增乘一个因式()21k+B.增乘两个因式()21k+和()22k+C

.增乘一个因式()221k+D.增乘()21k+同时除以()1k+【答案】C【解析】【分析】根据题意得出当nk=和1nk=+时等式的左边，比较之后可得出结论.【详解】当nk=时，则有()()()()1221321kkkkkk+++=−；当1nk=

+时，则有()()()()1232221321kkkkk++++=+.()()()12132121213212kkkkk+++−=，故从“nk=到1nk=+”等式左边的变化结果是：增乘一个因式()221k+.故选：C.【点睛】本

题考查数学归纳法，考查从“nk=到1nk=+”等式的变化，一般要将等式写出来，考查计算能力，属于基础题.5.若两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为()11,0,1=-，()22,0,2=−，则1l和2l的

位置关系是（）A.平行B.相交C.垂直D.不确定【答案】A【解析】【分析】-4-由212v=−，可知两直线的位置关系是平行的【详解】解：因为两条不重合直线1l和2l的方向向量分别为()11,0,1=-，()22,0,2=−，所以212v=−，即2与1v

共线，所以两条不重合直线1l和2l的位置关系是平行，故选：A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.6.在对具有线性相关的两个变量x和y进行统计分析时，得到如下数据：x4m81012y12356由表

中数据求得y关于x的回归方程为0.651.8yx=−，则()4,1，()m,2，()8,3这三个样本点中落在回归直线下方的有()个A.1B.2C.3D.0【答案】B【解析】因为()()114810123455xmm=++++=+，()11

71235655y=++++=所以将其代入0.65.8ˆ1yx=−可得6m=，故当4x=时，2.61.80.81y=−=，在直线上方；当8x=时，5.21.83.43y=−=，在直线下方；当6m=时，3.91.82.12y=−=，在直线下方，应选答案B．7

.设函数()()nfxxa=+其中206cosnxdx=，()()030ff=−，则()fx的展开式中2x的系数为（）A.-60B.60C.-240D.240【答案】D【解析】【分析】-5-根据定积分和求导运算

求得,na，再运用二项式的展开式可求得选项.【详解】因为22006cos6sin6nxdxx===，6()()fxxa=+，5()6()fxxa=+，65(0)663(0)fafaa===−，2a=−，6()(2)fxx=−，616

(2)rrrrTCx−+=−，令624rr−==，，所以()fx的展开式中2x的系数为446(2)240C−=，故选：D.【点睛】本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算(首要找到被积函数的原

函数)，函数求导数及二项式定理中求指定项的系数，属于中档题.8.在△ABC中，若sin:sin:sin2:7:3ABC=，则△ABC的最大内角与最小内角的和为（）A.712B.56C.34D.23【答

案】D【解析】【分析】由正弦定理可得a，b，c三边的关系，由大边对大角可得A最小，C最大；由余弦定理可得B的值，进而由三角形内角和为可得AC+的值．【详解】解：因为sin:sin:sin2:7:3ABC=，由正弦定理可得::2

:7:3abc=，设2ak=，7bk=，3ck=，0k三角形中由大边对大角可得C角最大，A角最小，由余弦定理可得2222224971cos22232acbkkkBackk+−+−===，因为(0,)B，所以3B=，所以23ACB+=−=，故选：D．【点睛】本题

考查三角形的正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．9.已知正实数x，y满足22xyxy+=.则xy+的最小值为（）A.4B.2C.3D.32+2【答案】D-6-【解析】【分析】先把22xyxy+=变形为1112xy+=，则11()()2xyxyxy+=++展开后，再利用基

本不等可求出其最小值.【详解】解：由22xyxy+=，得1112xy+=，因为x，y为正实数，所以11133()()122222222xyxyxyxyxyyxyx+=++=++++=+，当且仅当2yxxy=，即222

1,22xy++==时取等号，所以xy+的最小值为32+2，故选：D【点睛】此题考查了利用基本不等式最值，注意利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”，属于基础题.10.2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划

），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）A.1114B.1315C.34D.56【答案】A【解析】【分析】事件“至少答对3个”可能分类为“恰好答对3个”和“4个全

对”，求出方法数后可得概率．【详解】从8个试题中任选4个有4870C=种选法，“至少答对3个”的方法数有31462655CCC+=，所以所求概率为55117014P==．-7-故选：A．【点睛】本题考查古典概

型，解题关键是确定分类还是分步求出基本事件的个数．11.已知椭圆22:12516xyC+=的左、右焦点分别为1F、2F，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在△12PFF所围区域之外，且始终满足10MPMF=，20NPNF=，则MN的最大值为（）A

.8B.7C.10D.9【答案】A【解析】【分析】设1PF，2PF的中点分别为C，D，则M，N在分别以C，D为圆心的圆上，直线CD与两圆的交点(△12PFF所围区域之外）分别为M，N时，||MN的最大，可得||MN的最大值

为122PFPFCDac++=+即可．【详解】解：设1PF，2PF的中点分别为C，D，10MPMF=，20NPNF=，则M，N在分别以C，D为圆心的圆上，∴直线CD与两圆的交点(△12PFF所围区域之外）分别为M，N时，||MN最大，又椭圆22:12516xyC+=，所以225,4,3abc

ab===−=，∴||MN的最大值为125382PFPFCDac++=+=+=，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的定义与性质，以及两个圆上的点的距离的最值，考查了转化思想，属于中档题．-8-12.已知函数()1xfxex=−−，数列na的前n项

和为nS，且满足112a=，()1nnafa+=，则下列有关数列na的叙述正确的是（）A.214aB.67aaC.10026SD.52143aaa−【答案】C【解析】【分析】利用递推公式可

判断A选项的正误；推导出数列na的单调性可判断B选项的正误；推导出12301.71.50.22nnaaae−=−−=，可得出1002199Saa+，可判断C选项的正误；推导出211243340.7aaaa−=−以及520.20

.7aa，可判断D选项的正误.【详解】()1xfxex=−−Q，()1221331224afaee==−=−，A选项错误；()1xfxex=−−Q，()1xfxe=−，当0x时，()0fx

，此时，函数()yfx=单调递增；令()1xfxexx=−−=，可得210xex−−=，令()21xgxex=−−，定义域为R，()2xgxe=−，令()0gx=，可得ln2x=.当ln2x时，()0gx

，此时，函数()ygx=单调递减；当ln2x时，()0gx，此时，函数()ygx=单调递增.()00g=，()130ge=−，()2250ge=−，则()()120gg，由零点存在定理可知，

存在唯一的()01,2x，使得()000210xgxex=−−=.所以，当00xx时，()0gx，即()fxx且()()00fxf=，则()0fxx；当0xx时，()0gx，即()fxx.10102ax=，则()211102a

faa==，()3220afaa=，，-9-以此类推，11102nnaaa−=，所以，数列na是单调递减数列，B选项错误；12301.71.50.22nnaaae−=−−=，1002199990.20.520.326Saa++=，C选项正确；2112

433430.540.20.7aaaa−=−−=，而520.20.7aa，52143aaa−，D选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、填空题（本大题共4小

题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卡相应的位置上）13.已知函数()22ln1fxxx=−+，则()fx的单调减区间为__________.【答案】10,2【解析】【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就

是所求的单调减区间【详解】解：函数的定义域为()0,+，由()22ln1fxxx=−+，得()'14fxxx=−，令()'0fx，则2410x−，解得1122x−，又因为0x，所以102x

，所以()fx的单调减区间为10,2，故答案为：10,2【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.14.平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在RtABC△中，-10-90ACB=，则222A

CBCAB+=”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥PABC−中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，记PAB△，PAC，PBC，ABC的面积分别是1S，2S，3S，4S，则1S，2S，3S，4S关系为__________.【答案】22224123SSSS=++【解析】【分析】如

图，过P作PDAB⊥于D，连接CD，则由已知可得,,CPBPCPAPAPBP⊥⊥⊥,CDAB⊥，则2222222411=()()44SABCDAPBPCPDP=++化简可得结论.【详解】解：如图，过P作PDAB⊥于D，连接CD，因为平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，所以,,CP

BPCPAPAPBP⊥⊥⊥,所以⊥CP平面ABP，所以CPAB⊥，所以AB⊥平面CPD，所以CDAB⊥，所以2222222411=()()44SABCDAPBPCPDP=++-11-222222221()4APCPAPDPBPCPBPDP=+++222222221111444

4APCPAPDPBPCPBPDP=+++2222222111()444APCPAPBPDPBPCP=+++222222111444APCPABDPBPCP=++222123SSS=++,所以22224123SSSS

=++，故答案为：22224123SSSS=++，【点睛】此题考查了类比推理，体现了数形结合的思想，利用了三角形的面积公式，属于基础题.15.某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H

0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；

③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.【答案】①【解析】因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故①正确；②显然错误；因为我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关

系的，故③④错误．16.在正方体1111ABCDABCD−中，E，F分别为线段11AB，AB的中点，O为四棱锥11ECDDC−的外接球的球心，点M，N分别是直线1DD，EF上的动点，记直线OC与MN所

成的角为，则当最小时，tan=__________.【答案】112142-12-【解析】【分析】如图，设,PQ分别为棱CD和11CD的中点，则四棱锥11ECDDC−的外接球即为三棱柱11DFCDEC−的外接球

，所以外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连线的中点，MN是平面1DDEF内的一条动直线，所以最小是直线OC与平面1DDEF所成角，即问题转化为求直线OC与平面1DDEF所成角的正切值，通过建立空间直角坐

标系算出直线OC与平面1DDEF所成角的正切值即可.【详解】如图，设,PQ分别为棱CD和11CD的中点，则四棱锥11ECDDC−的外接球即为三棱柱11DFCDEC−的外接球，因为三棱柱11DFCDEC−为直三棱柱，所以其外接球球心O为上、下底面三角形外心G和H连线的中点，由题意，M

N是平面1DDEF内的一条动直线，所以最小是直线OC与平面1DDEF所成角，即问题转化为求直线OC与平面1DDEF所成角的正切值，不妨设正方体的棱长为2，2EQ=，15ED=,因为11ECD△为等腰三角形，所以11ECD△外接圆的直径

为1115522sin25EDGEECD===,则54GE=，从而53244GQPH=−==，如图，以D为原点，以1,,DADCDD的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系Dxyz−，则()0,0,0D，()10,0,2D，()0,2,0C，()

2,1,0F，3,1,14O，()10,0,2DD=，()2,1,0DF=，-13-设平面1DDEF的一个法向量为(),,nxyz=，则12020nDDznDFxy===+=，令1x=，则()1,2,0n=−，因为3,1,14OC=−−，

所以111121sincos,42541nOC===故答案为：112142【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，考查了直观想象与数学运算的核心素养，考查了转化与化归的数学思想，属于中档题.三、解答题：本大题共6个小题，满分70分.解答时要求写出必要的

文字说明、证明过程或推演步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22~23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.已知na是单调递减的等比数列，214a=，且1231,,16aaa+成等差数列．（1）求数列na的通项公式；（2）设2212212logl

ognnnbaa−+=，求数列nb的前50项和50T．【答案】（1）12nna=；（2）50100101T=．【解析】-14-【分析】（1）设等比数列的公比为q，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公

式；（2）求得()()22121nbnn=−+112121nn=−−+，再由数列的裂项相消求和．【详解】解：（1）设na是公比为q的等比数列，因为214a=，且1231,,16aaa+成等差数列，故可得114aq=，又因为13

21216aaa+=+，所以21111216aaqaq+=+，解得112aq==或者118a=，2q=，又因为na是单调递减的等比数列，所以112aq==，则1112nnnaaq−==；（2）2121221

2212222loglog11loglog22nnnnnbaa−+−+==，()()21121212121nnnn==−−+−+，11111121133521212121nnTnnnn=−+−++−=−=−++

+，50100101T=．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．18.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，ABF为等

边三角形，且平面ABF⊥平面ADEF，2BCAB=.-15-（1）证明：平面ABF⊥平面ABCD；（2）若AECE⊥，求二面角ECDA−−的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）105.【解析】【分析】（1）取AF的中点G，连接B

G，利用面面垂直的性质定理推导出BG⊥平面ADEF，可得出ADBG⊥，由已知条件得出ADAB⊥，进而利用线面垂直的判定定理可得出AD⊥平面ABF，再利用面面垂直的判定定理可证得平面ABF⊥平面ABCD；（2）取AB中点O，推

导出FO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，OB为x轴、AB垂直平分线为y轴，OF为z轴建立空间直角坐标系，设1OB=，推导出//EFBC，设FEBC=可得出(),0,223E，由0AECE=求出的值，可求得点E的坐标，然后利用空间向量法可求得二面角ECDA−−的余弦值.【详解】（1）取AF

的中点G，连接BG，ABF为等边三角形，且G为AF的中点，于是BGAF⊥，又平面ABF⊥平面ADEF，且平面ABF平面ADEFAF=，BG平面ABF，所以BG⊥平面ADEF，又因为AD平面ADEF，则BGAD⊥，又四边形ABCD为矩形，则ABAD⊥

，BGABB=，所以AD⊥平面ABF，ADQ平面ABCD，平面ABF⊥平面ABCD；（2）取AB中点O，则FOAB⊥，平面ABF⊥平面ABCD，平面ABF平面ABCDAB=，FO平面ABF，-16-于是FO⊥平

面ABCD，以点O为坐标原点，OB为x轴、AB垂直平分线为y轴，OF为z轴建立空间直角坐标系.设1OB=，则()1,0,0A−，()1,0,0B，()1,22,0C，()1,22,0D−，()0,0,3F因为//BCAD，BC平面ADEF，AD平面ADEF，所

以//BC平面ADEF，又平面BEFC平面ADEFEF=，BC平面BCEF，则//EFBC，所以设()0,22,0FEBC==，所以点(),0,223E.那么()()1,221,3CE=−−，()1,22,3AE=，由于CEAE⊥，所以()

01813CEAE==−+−+，解得12=，于是()0,2,3E，()1,2,3CE=−−，()2,0,0CD=−设平面ECD的法向量为()1,,nxyz=，由1100nCEnCD==，得111

123020xyzx−−+=−=，取13y=，得()10,3,2n=，又平面ABCD的一个法向量为()20,0,1n=uur，记二面角ECDA−−为，所以1212210cos551nnnn===，又因为是

锐角，所以二面角ECDA−−的余弦值为105.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19.在直角坐标系xOy中，已知点3()3,A-，()3,3B，直线AM，BM交于点M，且直线

AM与-17-直线BM的斜率满足：2AMBMkk−=−．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于3−，证明：直线l过定点．【答案】（1）23(3)xyx=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）设(,)

Mxy，结合A，B坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设2(,)3mPm，2(,)3nQn，m，3n−，通过3APAQkk=−，得到3()36mnmn=+−，求出直线l的方程：123)3(mnyx+−=−，说明直线l恒过定点．【详解】解：（1）设(,)Mxy，又(

3,3)−A，(3,3)B，则2331862339AMBMyyykkxxx−−−−=−==−+−−，可得23xy=，因为3x，所以M的轨迹C的方程为23(3)xyx=；（2）证明，设2(,)3mPm，2(,)3nQn，,3mn−，

又()3,3A−，可得223333333333APAQmnmnkkmn−−−−==++，又因为3APAQkk=−，即有()336mnmn−+=−，即()336mnmn=+−由直线l的斜率为22333PQmnmnkmn−+==−可得直线l的方程为()233mm

nyxm+−=−，-18-化为33mnmnyx+=−，又因为()336mnmn=+−，可得123)3(mnyx+−=−，可得直线l恒过定点()3,12．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．20.已知函数()()2

ln2fxmxxm=−R．（1）若2m=，求()yfx=在1x=处的切线方程；（2）若对)1,x+，不等式()2fx−恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）20xy+=；（2）(,4−.【解析】【

分析】（1）求出()1f和()1f的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由题意得出()12f=-，对实数m的取值进行分类讨论，利用导数分析函数()yfx=在区间)1,+上的单调性，验证()()1fxf是否恒成立，由此可得出实数m的取值范围.【详解

】（1）当2m=时，()22ln2fxxx=−，则()2'4fxxx=−，()12f=−，()12f=−.所以，曲线()yfx=在1x=处的切线方程为()221yx+=−−，即20xy+=；（2）()2ln2fxmxx=−，则()244mmxfxxxx−=−=，且()12f=-.由题

意可知，对)1,x+，不等式()()1fxf恒成立.①当4m时，对)1,x+，()0fx，此时，函数()yfx=在区间)1,+上单调递减，则()()1fxf恒成立；②当4m时，令()0fx=，得12mx=.-1

9-当12mx时，()0fx，此时函数()yfx=单调递增；当2mx时，()0fx，此时函数()yfx=单调递减.所以，()122mff=−，不合乎题意.综上所述，实数m的取值范围是(,4−.【点睛

】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.21.甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：g）均服从正态分布()2,N，在出厂检测处，直接将质量在()3,3−+之外的零

件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为xg，则“质量误差”0xxg−.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分

别是)0,0.3，)0.3,0.6、0.6,1.0（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本

数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：质量误差)0,0.1)0.1,0.2)0.2,0.3)0.3,0.4)0.4,0.5)0.5,0.60.6,0.7甲厂频数10303051051

0乙厂频数25302551050（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X（元），求X的分布列及数学期望-20-()EX；（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量()2,ZN.则()330.9

974PZ−+=；100.99740.9743，40.80.4096=，50.80.32768=.【答案】（1）0.0257（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）0.73728【解析】【分析】（1）求得没

有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用()7565536nn+−构造不等式可确定n可能的取值，利用二项分布概率公式可求

得结果.【详解】（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在()3,3−+之内的概率为0.9974，则这10件质量全都在()3,3−+之内（即没有废品）的概率为100.99740.9743；则这10件零件中至少有1件是废品的概

率为10.97430.0257−=.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为0.7,0.2,0.1；则

的可能取值为150,140,130,125,115,110元，有：()1500.70.70.49PX===；()1400.70.220.28PX===；()1300.20.20.04PX===；()125

0.70.120.14PX===；()1150.20.120.04PX===；()1000.10.10.01PX===，得到X的分布列如下：X150140130125115100-21-P0.490.280.040.140.040.01则数学期望为：()1500.491400

.281300.041250.141150.041000.01EX=+++++141=（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有n件“优等”品，则有5n−件“一级”品，由已知有()7565536

0nn+−，解得：3.5n，则n取4或5.故所求的概率为：44550.80.20.80.40960.327680.73728PC=+=+=.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解

、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4-4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy中，

直线1C的参数方程为23cossinxtyt=−+=（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22413sin=+，在平面直角坐

标系xOy中，将曲线2C上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线3C．（1）求曲线2C、3C的直角坐标方程；（2）直线1C与曲线3C相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为()23,，若2EFPEPF=+，求直线1C的普通方程．【

答案】（1）222:14xCy+=；()223:24Cxy+−=；（2）3230xy−+=．【解析】-22-【分析】（1）曲线2C的极坐标方程转化为222+3sin4=，由此能求出曲线C的直角坐标方程．再根据圆锥曲

线的变换规则求出3C的直角坐标方程；（2）首先求出P的直角坐标，再将直线的参数方程代入3C的直角坐标方程，消元列出韦达定理，根据直线的参数方程的参数的几何意义及2EFPEPF=+求出3=，即可得到直线的直角坐标方程；【详解】解：（1）由22413sin=+得222+3si

n4=，又222xy=+，∴22234xyy++=，∴222:14xCy+=．设(),Pxy是曲线2C上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为(),Qxy，则22xx

yy==+，又2214xy+=，∴222142xy−+=，()223:24Cxy+−=；（2）因为点P的极坐标为()23,，所以23cos23x==−，23sin0y==所以点P的直角坐标为()23,0−，将23cossinxtyt=−+=代入()22

3:24Cxy+−=得()243cos4sin120tt−++=，因为相交于不同两点()2243cos4sin488sin4803=+−=+−，∴23sin34+．-

23-∵)0,，∴0,3．设方程的两个实数根为1t，2t，则1243cos4sin0tt+=+，12120tt=．由参数t的几何意义知12128sin3PEPFtttt+=+=+=+

，()22121212444sin33EFtttttt=−=+−=+−，∴2EFPEPF=+，∴284sin38sin33+−=+，∴sin13+=，又0,3，∴3=，

所以直线1C的斜率63tan3πk==，又直线1C过点()23,0P−，所以直线1C的普通方程为3230xy−+=．【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的

互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．【选修4-5：不等式选讲】23.已知函数()121fxmxx=−−−+．（1）当5m=时，求不等式()1fx的解集；（2）若两函数222=++yxx与()yfx=的图象恒有公共点，求实数m

的取值范围．【答案】（1）5,13−；（2）3m．【解析】-24-【分析】（1）将不等式等价于三个不等式组，解不等式即可得答案；（2）求出函数()fx在1x=−处取得最大值2m−，只需21m−，即可得答案；【详解】（1）当5m=时，

()36,12,1143,1xxfxxxxx+−=−+−−，1361xx−+或1121xx−−+或1431xx−解得：5,13x−；不等式()1fx的解集5,13x−；（2）由函数()222211yxxx

=++=++知，该函数在1x=−处取得最小值1，因为()31,13,1131,1xmxfxxmxxmx++−=−−+−−+−，∴()fx在(),1−−上递增，在1,1−上递减，在()1,+上递减，故()fx

在1x=−处取得最大值2m−，所以要使二次函数222=++yxx与函数()yfx=的图象恒有公共点，只需21m−，即3m．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式恒成立问题求参数取值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力.-25-