【文档说明】安徽省芜湖市繁昌皖江中学2021-2022学年高二下学期期末数学试题 含解析.docx，共(19)页，700.799 KB，由小赞的店铺上传

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皖江中学2021~2022学年第二学期高二期末检测数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2．考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色黑水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸上作答无效．．．．．．．．.3．本卷命题范围：选择性必修

第二册第五章，选择性必修第三册.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.函数()2lnfxxax=−（0a）的减区间为()0,1，则实数a的值为（）A.2B.12C.1D.4【答

案】A【解析】【分析】利用导数的性质进行求解即可.【详解】显然该函数的定义域为全体正实数集，即0x，()22'2ln()2axafxxaxfxxxx−=−=−=，因0a，所以由'()0fx可得：02ax，因为函数(

)2lnfxxax=−（0a）的减区间为()0,1，所以122aa==，故选：A2.将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，则不同的发送方法共有（）A.45种B.54种C.45A种D.45C种【答案】B

【解析】【分析】按照分步乘法计数原理计算可得；【详解】解：依题意，将5封不同的电子邮件发送到4个电子信箱中，共有5444444=种发送方为法；故选：B3.已知()()2ln1fxxxfx=−，则

()ef=（）A.eB.0C.e−D.1−【答案】A【解析】【分析】先求导，再令1x=,得到()11f=，进而得到()fx求解.【详解】()()2ln21fxxf+−=，令1x=,得()()12ln121ff

=+−，解得()11f=，所以()2lnfxxxx=−，()e2elneeef=−=.故选：A4.随机变量X的分布列如下表，其中a，b，c成等差数列，且3ac=，X123Pabc则()EX=（）A.53B.43C.2D.116【答案】A【解析】【分析】根据分布列的性质及a，b，c成等差数列

,3ac=列方程组求出,,abc,再求数学期望即可.【详解】由231bacacabc=+=++=，得121316abc===，则()12152323=++=EX．故选:A.5.由0，1，2，3，4，5，6，7组成没有

重复数字的四位数中，偶数的个数是（）A.480B.560C.750D.630【答案】C【解析】【分析】分个位为0、2、4、6四种情况，分别求出没有重复数字的四位偶数的个数，最后相加即可.【详解】1、当个位为0，没有重复数字的四位偶数的

个数为37210A=；2、当个位为2，没有重复数字的四位偶数的个数为1266180CA=；3、当个位为4，没有重复数字的四位偶数的个数为1266180CA=；4、当个位为6，没有重复数字的四位偶数的个数为1266180CA=∴共有210180180180

750+++=个没有重复数字的四位偶数.故选：C6.已知函数()sin2cosfxaxxx=++在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.()2,+B.(,1−C.)3,+D.33,16−+【

答案】C【解析】【分析】因为函数()fx在R上单调递增，则()0fx对xR恒成立，分离参数通过求解函数最值即可得出结果．【详解】由()2cos2sinfxaxx=+−，若函数()fx在R上单调递增，则2cos2sin0axx+−≥对

xR恒成立．有()2212sinsin0axx+−−≥，可得24sinsin2axx+−≥，又由2214sinsin22sin4xxx+−=+33316−≤，可得3a．故选：C7.某工厂节能降耗技术改造后，在生产某产品过程中记录的产量x（吨）与相

应的生产能耗y（吨）的几组对应数据如下表，现发现表中有个数据看不清，已知回归直线方程为6.36.8yx=+，则看不清的数据★的值为（）x23456y1925★4044A.32B.34C.36D.38【答案】A【解析】【分析

】设看不清的数据★的值为a，求出样本中心点的坐标，代入回归直线方程可求得结果.【详解】设看不清的数据★的值为a，则2345645x++++==，1925404412855aay+++++==，将样本中心点的坐标代入回归直线方程可得1286.346.85a+

+=，解得32a=.故选：A.8.已知1021001210(1)−=++++xaaxaxax,则()01210+++=aaaa（）A.10−B.10C.1D.1−【答案】D【解析】【分析】赋值法分别求0a和

1210aaa+++即可.【详解】令0x=可得01a=,令1x=可得012100aaaa++++=即121001aaaa+++=−=−,所以()012101aaaa+++=−.故选:D.9.英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯

统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献.根据贝叶斯统计理论，事件A，B，A（A的对立事件）存在如下关系：()()()()()PBPBAPAPBAPA=+∣∣.若某地区一种疾病的患病率是0.01，现有一种试剂可以检验被检者

是否患病.已知该试剂的准确率为99%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有99%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为10%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有10%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，用该试剂来检验，结果呈现阳性的概率为（）A.0.

01B.0.0099C.0.1089D.0.1【答案】C【解析】【分析】利用条件概率的概率公式求解即可.【详解】设用该试剂检测呈现阳性为事件B，被检测者患病为事件A，未患病为事件A，则()0.99PBA=，()0.01PA=，()0.1PBA

=，()0.99PA=，故所求概率()0.990.010.10.990.1089PB=+=，故选：C.10.有一个盒子里有1个红球，现将n（*nN）个黑球放入盒子后，再从盒子里随机取一球，记取到的红球个数为个，则随着n（*nN）的增加，下列说法正确的是（）A

.()E减小，()D增加B.()E增加，()D减小C.()E增加，()D增加D.()E减小，()D减小【答案】D【解析】【分析】由题易知，取到红球个数服从两点分布(1,)Bp，根据两点分布的均值和方差的公式可得所以()11En=+，

()()2111111nDnnn=−=+++，易得()E随着n的增大而减小，对于()D，利用导数研究其单调性即可得出结论.【详解】取到红球个数服从两点分布(1,)Bp，其中11pn=+，所以()11En=+，显然()

E随着n的增大而减小.()()2111111nDnnn=−=+++，记()()()()22221111()11111xxfxxxxxx+==−=−+++++，()()()()23312111

1xfxxxx−++=++=−+，当1x时，()0fx，故()fx在)1,+上单调递减，则当*nN时，()D随着n的增大而减小.故选：D.11.已知函数()32362fxaxx=−+有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（）A.()1,1−B.()(),22

,−−+C.33,,22−−+D.44,,33−−+【答案】D【解析】【分析】易知0不是()fx的零点，通过分离参数再结合换元将问题转化为函数()()330gxxxx=−+的而图象与直线32ya=有且仅有一个交点，数形结合

即可求解【详解】由()020f=，可得0不是函数()fx的零点则()0fx=可化为23623xax−=，即2333132axxx−==31x−，令1tx=，有3332att=−，由函数1yx=单调，可得方程3332att=−有且仅有一个根，等价于函数()()330gxxxx=−

+与直线32ya=有且仅有一个交点，又()()()233311gxxxx=−+=−+−，可得函数()gx的减区间为(),1−−，()1,+，增区间为()1,1−，()gx在1x=处取得极大值，在=1x−处取得极小值，由()12

g=，()12g−=−，可得322a或322a−，所以43a或43a−.故选：D12.已知函数()223,0e,0xxxfxx=，若()()()1212fxfxxx=，则12xx+的最大值为（）A.12−B.2ln33−Cln32−D.1ln312−【

答案】D【解析】【分析】分析函数()fx的单调性，设120xx，可得出21223e3xxxx+=−，构造函数()()3e03xgxxx=−，利用导数求出函数()gx的最大值，即可得解.【详解】因为

()223,0e,0xxxfxx=，则函数()fx在(,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，不妨设120xx，有22213exx=，可得213e3xx=−，有21223e3xxxx+=−，令()3e(0)3=−xgxxx，有()31e3xgx=−，令(

)0gx，可得10ln32x，.令()0gx，可得1ln32x，可得函数()gx的增区间为10,ln32，减区间为1ln3,2+，可得max1131()ln3ln33ln312232==−=−gxg，故12xx+的最大值为1ln312−.故选

：D二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.5，乙闹钟准时响的概率为0.6，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是______．【答案】

0.8##45【解析】【分析】利用对立事件，即可求解.【详解】两个闹钟至少有一个准时响的对立事件是两个闹钟都没响，所以两个闹钟至少有一个准时响的概率p=10.50.410.20.8−=−=．故答案为：0.814.点P是曲线()223l

nfxxxx=+−上任意一点，则点P到直线4yx=−的最短距离为___________.【答案】32【解析】【分析】求出函数的导数，求出曲线和4yx=−平行的的切线的切点坐标，利用点到直线的距离公式，即可求得答案.【详解】由()

2322322,0xxfxxxxx+−=+−=，令22231xxx+−=，解得1x=或32x=−（舍去），又由()13f=，可得斜率为1且与曲线()yfx=相切的直线的切点为()1,3，则点P到直线4yx=−的最短距离为1

34322−−=,故答案为：3215.已知函数()()lnfxx=−与函数()()ee1xgxxa=−−−的图象上存在关于y轴对称的点，则实数a的取值范围为___________.【答案】)1,+【解析】【分析】求出函数()fx关于y轴对称的函数为lnyx=，方程()ee1lnxx

ax−−−=有解，方程可化为()ee1lnxaxx=−−−，构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性求解函数的最值，转化求解a的范围即可．【详解】解：()fx关于y轴对称的函数为lnyx=，若函数()fx与函数()gx的图象上存在关于y轴对称的

点，只需要方程()ee1lnxxax−−−=有解，方程可化为()ee1lnxaxx=−−−，令()()ee1lnxhxxx=−−−，有()1ee1xhxx=−+−，由函数()yhx=单调递增，且()10h=，可得函数()hx的减区间为()0,1，增区间为()1,+，可

得()min1hx=，当0x→时，e1x→，()e10x−−→，lnx−→+，可得函数()hx的值域为)1,+，故实数a的取值范围为)1,+.故答案为：)1,+16.一批小麦种子的发芽率是0.7，每穴只要有一粒发芽，就不需补种，否则需要补

种．则每穴至少种______粒，才能保证每穴不需补种的概率大于97%．（lg3≈0.48）【答案】3【解析】【分析】利用n次独立重复实验恰有k次发生的概率，列不等式即可求得每穴至少种的种子数n【详解】记事件A为“种一粒种子，发芽

”，则()0.7,()0.3PAPA==设每穴种n粒，则相当于做了n次独立重复实验，记事件B为“每穴至少有一粒发芽”，则00()C0.7(10.7)0.3nnnPB=−=，()1()10.3nPBPB=−=−若

保证每穴不需补种的概率大于97%，则10.30.97n−即0.30.03n，两边取常用对数得，lg0.3lg0.03n，即()lg31lg32n−−又lg3≈048，则lg322.92lg31n−−，.又n为整数，则每穴至少种3粒，才能保证每穴不需补种的概率大

于97%．故答案为：3三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．17.已知21nxx−的展开式中，第4项为10x−．（1）求正整数n的值；（2）求21nxx−的展

开式中4x的系数．【答案】（1）5（2）10【解析】【分析】（1）由二项式定理求得第4项，由已知第4项的系数与指数列方程组可得；（2）写出展开式通项公式，确定4x所在项数，从而得结论．【小问1详解】21

nxx−的展开式中，第4项为()33323291nnnnCxCxx−−−=−，可得310291nCn−=−−=，解得5n=，故正整数n的值为5．【小问2详解】21nxx−的展开

式中第1r+项为()()5210315511rrrrrrrTCxCxx−−+=−=−，其中0r=，1，2，3，4，5，令1034r−=，可求得2r=，故21nxx−展开式中的4x的系数

为()425110C−=．18.已知函数()3fxxx=−.（1）若点P在曲线()yfx=上移动，设曲线()yfx=在动点P处的切线的倾斜角为，求的取值范围；（2）求曲线()fx经过点()1,0P的切线方程.【答案】（1）30,,24（2）22yx=−或114

4yx=−+【解析】【分析】（1）首先根据题意得到()1fx−，从而得到tan1−，再解不等式即可.（2）利用导数的几何意义求解即可.【小问1详解】由()231fxx=−，有()1fx−，由)0,且tan1−，可得02或34≤

，故的取值范围为30,,24；【小问2详解】（2）设切点为()3,Qmmm−，231km=−，可得过点Q的切线方程为()()()3231ymmmxm−−=−−，代入点()1,0P的坐标有()()()32311mmmm−−=−−，整理为()()()221311

mmmm−−=−−，有()()()()2113110mmmmm−+−+−−=，因式分解为()()22110mmm−−−=，即()()22110mm+−=，解得1m=或12m=−.①当1m=时，所求切线方程为22yx=−②当12m=−时，所求切线方程为1144yx=−+，故曲线()

fx经过点()1,0P的切线方程为22yx=−或1144yx=−+.19.已知函数()()3220fxaxaxba=−+在区间1,2−上的最小值为-2，最大值为1.（1）求实数a，b的值；（2）若函数()()gxfxm=−有且仅有三个零点，求实数m的取值范围.【答案】

（1）11ab==或12ab=−=−；（2）当1ab==时，5,127−；当1a=−，2b=−时，222,27−−.【解析】【分析】（1）求出()fx，对a的取值进行分类讨论，分别利用导数研究函数的单调性，由最值列出方程组，求解即可；（

2）利用（1）中的结论，讨论两种情况，得到函数()fx的最值与极值情况，然后由零点的定义求解即可．【详解】（1）由()()23434fxaxaxaxx=−=−①当0a时，令()0fx¢>，可得43x或0x，此时函数()fx的增区间为(),0−，4,3+，减区间为

40,3由()0fb=，()123faabba−=−−+=−，4643232327927faabba=−+=−，()288faabb=−+=有1,32bba=−=−可得11ab==②当a<0时，令()0

fx¢>，可得403x，此时函数()fx的减区间为(),0−，4,3+，增区间为40,3由()0fb=，()123faabba−=−−+=−，4643232327927faab

ba=−+=−，()288faabb=−+=有2,31bba=−−=可得12ab=−=−由上知11ab==或12ab=−=−.（2）当1ab==时，()01f=，4325132727f=−=−若函数()gx有且仅有三个零点，实数

m的取值范围为5,127−当1a=−，2b=−时，()02f=−，43222232727f=−+=−若函数()gx有且仅有三个零点，实数m的取值范围为222,27−−.20.甲乙两队进行篮球比赛，约定赛制如下：谁先赢四场则最终获胜，已知每场比赛甲赢

的概率为12，输的概率为12．（1）求甲最终获胜的概率；（2）记最终比赛场次为X，求随机变量X的分布列及数学期望．【答案】（1）12（2）分布列见解析，9316【解析】【分析】（1）设甲最终获胜的概率为P，分四局比赛获胜、五局比赛获胜、六局比赛获胜、七局比赛获胜这几种情况讨论，根据相

互独立事件的概率公式及互斥事件的概率公式计算可得．（2）依题意X的所有可能取值为4，5，6，7，求出所对应的概率，即可得到分布列与数学期望．【小问1详解】解：设甲最终获胜的概率为P．∵甲四局比赛获得胜利的概率为411216=；甲五局比赛获得胜

利的概率为434111C228=；甲六局比赛获得胜利的概率为4235115C2232=；甲七局比赛获得胜利的概率为4336115C2232=．∴1155116832322

P=+++=．∴甲最终获胜的概率为12．【小问2详解】解：X的所有可能取值为4，5，6，7．44111(4)228PX==+=；44334411111(5)CC22224PX==+=；4242335511115(6)CC222216PX

==+=；4343336611115(7)CC222216PX==+=．随机变量X的分布列为：X45

67P1814516516∴115593()456784161616EX=+++=．∴X的数学期望为931621.某初中为了了解学生对消防安全知识的掌握情况，开展了网上消防安全知识考试．对参加考试的男生、女生各随

机抽查40人，根据考试成绩，得到如下列联表：男生女生合计考试成绩合格302050考试成绩不合格102030合计404080（1）根据上面的列联表，依据小概率值0.05=的2独立性检验，能否认为考试成绩是否合格与性别

有关；（2）在考试成绩不合格的30人中按性别利用按比例分配的分层抽样的方法随机抽取6人，再从这6人中随机抽取3人，记这3人中男生的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：()()()()22()nadbcabcdacbd−=++++，其中nabcd=+++．0.10.050.010.0050.

001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）认为考试成绩是否合格与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.05；（2）分布列见解析，1【解析】【分析】（1）直接计算2，再和3.

841比较即可；（2）先由分层抽样计算出男女生人数，再分别计算X为0，1，2的概率，列出分布列计算期望即可.【小问1详解】零假设为0H：分类变量X与Y相互独立，即考试成绩是否合格与性别无关，根据表中数据计算可得

220.0580(30201020)165.333.841404030503−===x，根据小概率值0.05=的2独立性检验，我们推断0H不成立，即认为考试成绩是否合格与性别有关，此推断犯错的概率不大于0.05；小问2详解】这6人中

男生有2人，女生有4人，可得X的可能取值为0，1，2，有()3436C10C5PX===，()214236CC31C5PX===，()124236CC12C5PX===.故随机变量X的分布列为X012P153515

有131()0121555EX=++=．22.已知函数()exfxax=−，其中aR.（1）讨论函数()fx的单调性；【（2）令()()23agxfxaxax=++−，若函数()gx在区间()0,

+上有且仅有两个零点，求实数a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）e,2+【解析】【分析】（1）由()exfxa=−，分0a，0a，讨论求解；（2）由()2e3=+−xagxax，求导()32e=−xagxx，由（1）知0a，由零点

存在定理得到存在()0,m+，使得32e0−=mam，可得32maem=，再由函数()gx有且仅有两个零点，由()0gm得到m的范围，再由32e=mam求解.【小问1详解】解：由()exfxa=−

，①当0a时，()0fx¢>，函数()fx单调递增，增区间为(),−+，没有减区间，②当0a时，令()0fx¢>，得lnxa，此时函数()fx的增区间为()ln,a+，减区间为(),lna−；综上：当0a时，函数()fx的增区间为(),−+，没有减

区间，当0a时，函数()fx的增区间为()ln,a+，减区间为(),lna−；【小问2详解】由()2e3=+−xagxax，有()32e=−xagxx，当0a时，由0x，可得()0gx，

此时函数()gx在区间()0,+上单词递增，最多只有一个零点，不合题意，故必有0a；①当01x且320eax时，0eex，32eax，此时有()32e0−agxx；②当1x且()ln2xa时，3101x，e2xa，此时有()e20−x

gxa.由上知存在()0,m+，使得32e0−=mam，可得32maem=，得函数()gx的减区间为()0,m，增区间为(),m+，若函数()gx有且仅有两个零点，必有()232233=+−=+−maaagmeaammm，()()()32332313320+−−

++==ammammmmm，得1m，又由32e=mam，有2ae，得2ea.又当()ln3xa时，有e3xa，可得()e30−xgxa；当303x时，有213x，可得()23330agxaaax−−=，由上知，若函

数()gx区间()0,+上有且仅有两个零点，则实数a的取值范围为e,2+.【点睛】方法点睛：函数零点或函数图象交点问题的求解，一般利用导数研究函数的单调性、极值等性质，并借助函数图象，根据零点或图象的交点情况，建立含参数的方程(或

不等式)组求解，实现形与数的和谐统一．在获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com