【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）综合测试卷：必修一全册（提高篇） Word版含解析.docx，共(17)页，112.449 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-5a71625a44680e8a2108c1632489e476.html

以下为本文档部分文字说明：

全册综合测试卷（提高篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）已知全集𝑈=R，集合𝐴={𝑥|𝑥>1}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥<2}，则如图中阴影部分表示的集合为（）

A．{𝑥|𝑥≥−2}B．{𝑥|𝑥<−2}C．{𝑥|1<𝑥<2}D．{𝑥|𝑥≤1}【解题思路】用集合表示出韦恩图中的阴影部分，再利用并集、补集运算求解作答.【解答过程】由韦恩图知，图中阴影部分的集

合表示为∁𝑈(𝐴∪𝐵)，因集合𝐴={𝑥|𝑥>1}，𝐵={𝑥|−2≤𝑥<2}，则𝐴∪𝐵={𝑥|𝑥≥−2}，又全集𝑈=R，所以∁𝑈(𝐴∪𝐵)={𝑥|𝑥<−2}.故选：B.2．（5分）（2

022·辽宁·高一期中）已知𝑝:|1−2𝑥|≤5，𝑞:𝑥2−4𝑥+4−9𝑚2≤0(𝑚>0)若𝑞是𝑝的充分不必要条件，则实数𝑚的取值范围是（）A．(0,13)B．(0,13]C．(13

,43)D．[13,43]【解题思路】解不等式，求出俩命题的解，然后根据充分不必要条件，得出不等关系，从而求出实数𝑚的范围.【解答过程】解：由题意在𝑝:|1−2𝑥|≤5中，解得：−2≤𝑥≤3，在𝑞:𝑥2−4𝑥+4−9𝑚2≤0(𝑚>0)中，

解得：−3𝑚+2≤𝑥≤3𝑚+2，∵𝑞是𝑝的充分不必要条件∴{−3𝑚+2≥−23𝑚+2≤3𝑚>0，等号不同时成立，∴0<𝑚≤13.故选：B.3．（5分）（2022·山东·高一期中）已知𝑥>0，𝑦>0，且𝑥+𝑦+𝑥𝑦=3，若不等式𝑥

+𝑦≥𝑚2−𝑚恒成立，则实数m的取值范围为（）A．−2≤𝑚≤1B．−1≤𝑚≤2C．𝑚≤−2或𝑚≥1D．𝑚≤−1或𝑚≥2【解题思路】首先根据基本不等式得到(𝑥+𝑦)min=2，结合题意得到𝑚2−𝑚≤(𝑥+

𝑦)min，即𝑚2−𝑚≤2，再解不等式即可.【解答过程】𝑥𝑦=3−(𝑥+𝑦)≤(𝑥+𝑦)24，当且仅当𝑥=𝑦=1时等号成立，解得𝑥+𝑦≥2，即(𝑥+𝑦)min=2.因为不等式𝑥+𝑦≥𝑚2−𝑚恒成立，所以𝑚2−𝑚≤(𝑥+𝑦)min，即�

�2−𝑚≤2，解得−1≤𝑚≤2.故选：B.4．（5分）（2022·黑龙江·高一期中）如果函数𝑓(𝑥)的定义域为[𝑎,𝑏]，且值域为[𝑓(𝑎),𝑓(𝑏)]，则称𝑓(𝑥)为“Ω函数．已知函数𝑓(

𝑥)={5𝑥,0≤𝑥≤2𝑥2−4𝑥+𝑚,2<𝑥≤4是“Ω函数，则m的取值范围是（）A．[4,10]B．[4,14]C．[10,14]D．[14,+∞)【解题思路】由题意可得𝑓(𝑥)的值域为[0,𝑚]

，又因为当0≤𝑥≤2时，𝑓(𝑥)的值域为[0,10]，当2<𝑥≤4时，𝑓(𝑥)的值域为[𝑚−4,𝑚]，所以有{0≤𝑚−4≤10𝑚≥10，求解即可.【解答过程】解：由题意可知𝑓(𝑥)的定义域为[0,4]，又因为𝑓(𝑥)是

“Ω函数，所以𝑓(𝑥)的值域为[𝑓(0),𝑓(4)]，又因为𝑓(0)=0,𝑓(4)=𝑚,所以𝑓(𝑥)的值域为[0,𝑚]，又因为当0≤𝑥≤2时，𝑓(𝑥)=5𝑥，单调递增，此时值域为[0,

10]，当2<𝑥≤4时，𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑥+𝑚，开口向上，对称轴为𝑥=2，此时函数单调递增，值域为[𝑚−4,𝑚]，所以{0≤𝑚−4≤10𝑚≥10，解得10≤𝑚≤14，所以m的取值范围为[10,14].故选

：C.5．（5分）（2021·山西·高一阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)={ln(−𝑥),𝑥<0e−𝑥,𝑥≥0，若关于𝑥的方程𝑚−𝑓(𝑥)=0有两个不同的解，则实数𝑚的取值范围为（）A．(0,+∞)B．(−∞,0]∪[1,+∞)C

．(−∞,0]D．(0,1]【解题思路】将问题转化为𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚有两个不同的交点，采用数形结合的方式可求得结果.【解答过程】𝑚−𝑓(𝑥)=0有两个不同解等价于𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚有两个不同的交点，作出𝑓(𝑥)图象如下图所示，由图象可知：当𝑚∈(0,1]

时，𝑓(𝑥)与𝑦=𝑚有两个不同的交点，∴实数𝑚的取值范围为(0,1].故选：D.6．（5分）（2022·江苏南通·高一期中）已知定义在[−3,3]的函数𝑦=𝑓(𝑥+1)−2是奇函数，且对任意两个不相等的实数𝑥1,𝑥2∈[1,4]，都有𝑥1𝑓(

𝑥1)+𝑥2𝑓(𝑥2)<𝑥1𝑓(𝑥2)+𝑥2𝑓(𝑥1).则满足𝑓(2𝑥)+𝑓(1−𝑥)≤4的𝑥的取值范围是（）A．[1,32]B．[1,2]C．[−32,1]D．[−1,1]【解题思路】根据函数为奇函数得到𝑓(𝑥+1)+𝑓(−𝑥+1)=4，确定函数的定义

域和单调性，将不等式转化为𝑓(2𝑥)≤𝑓(𝑥+1)，根据函数的单调性结合定义域得到答案.【解答过程】𝑥∈[−3,3]时，𝑥+1∈[−2,4]，𝑦=𝑓(𝑥+1)−2是奇函数，故𝑓(𝑥+1)−2=−𝑓(−𝑥+1)+

2，𝑓(𝑥+1)+𝑓(−𝑥+1)=4函数关于点(1,2)中心对称，取𝑥=0得到𝑓(1)−2=0得到𝑓(1)=2.𝑥1𝑓(𝑥1)+𝑥2𝑓(𝑥2)<𝑥1𝑓(𝑥2)+𝑥2𝑓(𝑥1)，故(𝑥1−𝑥2

)(𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2))<0，故函数在[1,4]上单调递减，根据中心对称知函数在[−2,4]上单调递减.𝑓(2𝑥)+𝑓(1−𝑥)≤4，即𝑓(2𝑥)+𝑓(1−𝑥)≤𝑓(𝑥+1)+�

�(−𝑥+1)，故𝑓(2𝑥)≤𝑓(𝑥+1)，故2𝑥≥𝑥+1，解得𝑥≥1；考虑定义域：{−2≤2𝑥≤4−2≤1−𝑥≤4，解得−1≤𝑥≤2.综上所述：1≤𝑥≤2，故选：B.7．（5分）（2022·四川省模拟预测（理））函数𝑓(𝑥)=𝐴sin

(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<π2)的部分图象如图所示，若将𝑓(𝑥)图象上的所有点向右平移π12个单位得到函数𝑔(𝑥)的图象，则关于函数𝑔(𝑥)有下列四个说法，其中正确

的是（）A．函数𝑔(𝑥)的最小正周期为2πB．函数𝑔(𝑥)的一条对称轴为直线𝑥=-π12C．函数𝑔(𝑥)的一个对称中心坐标为(π6,1)D．𝑔(𝑥)再向左平移π6个单位得到的函数为偶函数【解题思路】根据图象求得𝑓(𝑥)的解析式，根据三角函数图象变换求得𝑔(

𝑥)，根据𝑔(𝑥)的最小正周期、对称轴、对称中心、图象变换等知识确定正确答案.【解答过程】对于𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<π2)，由图可知𝐴=1，𝑇4=7π12-π3=π4,�

�=π=2π𝜔,𝜔=2，𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+𝜑)，𝑓(π3)=sin(2π3+𝜑)=0，由于-π2<𝜑<π2,π6<𝜑+2π3<7π6，所以𝜑+2π3=π,𝜑=π3，所以𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3).𝑓(𝑥)=sin(2𝑥+π3)图象上的所有点向右

平移π12个单位得到函数𝑔(𝑥)=sin[2(𝑥-π12)+π3]=sin(2𝑥+π6)，𝑔(𝑥)的最小正周期为2π2=π，A选项错误.𝑔(-π12)=sin(-π6+π6)=0≠±1，B选项错误.点(π6,1)的纵坐标是1，所以(π6,1)不是𝑔(𝑥)的对称中心，C选

项错误.𝑔(𝑥)再向左平移π6个单位得到𝑦=sin[2(𝑥+π6)+π6]=sin(2𝑥+π2)=cos2𝑥，所得函数为偶函数，所以D选项正确.故选：D.8．（5分）（2022·陕西·高三期中（理））已知𝑓(𝑥)=2sin2(𝜔𝑥+π3)−1(𝜔

>0)，给出下列结论：①若𝑓(𝑥1)=1，𝑓(𝑥2)=−1，且|𝑥1−𝑥2|min=π，则𝜔=1；②存在𝜔∈(0,2)，使得𝑓(𝑥)的图像向左平移π6个单位长度后得到的图像关于𝑦轴对称；③若𝑓(𝑥

)在[0,2π]上恰有7个零点，则𝜔的取值范围为[4124,4724]；④若𝑓(𝑥)在[−π6,π4]上单调递增，则𝜔的取值范围为(0,23]．其中，所有错误结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．②④【解

题思路】根据已知函数解析式变形，求得函数的最小正周期为π𝜔，由已知条件可得函数的最小正周期，求得𝜔值判断①；求出变换后的函数解析式，由对称性求得𝜔值判断②；求出函数的零点，再由已知列关于𝜔的不等式，求出𝜔范围判断③；求出函数的增区间，

由题意列关于𝜔的不等式组，求得𝜔范围判断④．【解答过程】解：∵𝑓(𝑥)=2sin2(𝜔𝑥+π3)−1=−cos(2𝜔𝑥+2π3)=sin(2𝜔𝑥+π6)，∴𝑓(𝑥)的最小正周期为2π2𝜔=π𝜔．对于①：因

为𝑓(𝑥1)=1,𝑓(𝑥2)=−1，且|𝑥1−𝑥2|min=π，所以𝑓(𝑥)的最小正周期为T=2π，∴π𝜔=2π⇒𝜔=12．故①错误；对于②：图像变换后所得函数为𝑦=sin(2𝜔𝑥+𝜔π3+π6)，若其图像关于y轴对称，则𝜔

π3+π6=π2+𝑘π，k∈Z，解得ω=1+3k，k∈Z，当k=0时，𝜔=1∈(0,2)．故②正确；对于③：设𝑡=2𝜔𝑥+π6，当𝑥∈[0,2π]时，𝑡=2𝜔𝑥+π6∈[π6,4𝜔π+π6]．𝑓(𝑥)在[0,2𝜋]上有7个零点，即𝑦=sin𝑡在𝑡∈[π6,4𝜔

π+π6]上有7个零点．则7π≤4𝜔π+π6<8π，解得4124≤𝜔<4724．故③错误；对于④：由−π2+2𝑘π⩽2𝜔𝑥+π6⩽π2+2𝑘π,𝑘∈Z，得−π3𝜔+𝑘π𝜔⩽𝑥⩽π6𝜔+𝑘π𝜔,𝑘∈Z，

取k=0，可得−π3𝜔⩽𝑥⩽π6𝜔，若f(x)在[−π6,π4]上单调递增，则{−π3𝜔⩽−π6π6𝜔⩾π4，解得0<𝜔⩽23．故④正确．故选：B．二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2022·安徽省高一阶段练习）下面命题正确的是（）A．若𝑥,𝑦∈R且𝑥+

𝑦>2，则𝑥,𝑦至少有一个大于1B．命题“若𝑥<1，则𝑥2<1”的否定是“存在𝑥<1，则𝑥2≥1”.C．设𝑥,𝑦∈R，则“𝑥≥2且𝑦≥2”是“𝑥2+𝑦2≥4”的必要而不充分条件D．设𝑎,𝑏∈R，则“𝑎≠0”是“𝑎�

�≠0”的必要不充分条件【解题思路】根据命题的否定和充分条件必要条件判断即可.【解答过程】A选项：该命题的否定为若𝑥,𝑦∈R且𝑥+𝑦>2，则𝑥,𝑦都不大于1，即𝑥<1，𝑦<1，则𝑥+𝑦<2，所以该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故A正确；B选项：命题“若𝑥<1，则𝑥2<

1”的否定为“存在𝑥<1，则𝑥2≥1”，故B正确；C选项：𝑥≥2则𝑥2≥4，𝑦≥2则𝑦2≥4，𝑥2+𝑦2≥8，则𝑥2+𝑦2≥4成立，满足充分性，故C错；D选项：当𝑎≠0时，𝑎𝑏不一定不等于零，当𝑎𝑏≠0时，𝑎

一定不等于零，所以“𝑎≠0”时“𝑎𝑏≠0”的必要不充分条件，故D正确.故选：ABD.10．（5分）（2022·江苏·高三阶段练习）下列说法正确的有（）A．若𝑥<12，则2𝑥+12𝑥−1的最大值是−1；B．若𝑥>−2，则𝑥+6√𝑥+2≥4；C．若𝑥>0，�

�>0，𝑥+2𝑦+2𝑥𝑦=8，则𝑥+2𝑦的最大值是2；D．若𝑥<1，则𝑥2−𝑥+9𝑥−1有最大值−5.【解题思路】利用基本不等式求和的最小值，逐项求解，结合取相反数、分离常数项以及建立不等式，可得答案.【解答过程】对于A，由𝑥<12，则2𝑥−1<0，即

2𝑥+12𝑥−1=2𝑥−1+12𝑥−1+1=−(1−2𝑥+11−2𝑥)+1≤−2+1=−1，当且仅当1−2𝑥=11−2𝑥，即𝑥=0时，等号成立，故A正确；对于B，由𝑥>−2，则𝑥+2>0，即𝑥+6

√𝑥+2=√(𝑥+6)2𝑥+2=√(𝑥+2)2+8(𝑥+2)+16𝑥+2=√𝑥+2+16𝑥+2+8≥√8+8=4，当且仅当𝑥+2=16𝑥+2，即𝑥=2时，等号成立，故B正确；对于C，由2𝑥𝑦≤(𝑥+2𝑦2)2，当且仅当𝑥=2𝑦时等号成立，且2𝑥𝑦=−𝑥−

2𝑦+8，则−𝑥−2𝑦+8≤(𝑥+2𝑦2)2，整理可得(𝑥+2𝑦)2+4(𝑥+2𝑦)−32≥0，[(𝑥+2𝑦)+8]⋅[(𝑥+2𝑦)−4]≥0，由𝑥>0,𝑦>0，解得𝑥+2𝑦≥4，故C错误；对于D，由𝑥<1，则

𝑥−1<0，即𝑥2−𝑥+9𝑥−1=(𝑥−1)2+(𝑥−1)+9𝑥−1=(𝑥−1)+9𝑥−1+1=−(1−𝑥+91−𝑥)+1≤−6+1=−5，当且仅当1−𝑥=91−𝑥，即𝑥=−2时，等号成立，故D正确.故选：ABD.11．（5分）（2022·辽宁·

高一期中）已知函数𝑓(𝑥)=2022𝑥−2022−𝑥+1，下列说法正确的是（）A．函数𝑓(𝑥)是奇函数B．关于𝑥的不等式𝑓(2𝑥−1)+𝑓(2𝑥)>2的解集为(14,+∞)C．函数𝑓(𝑥)在R上是增函数D．函

数𝑓(𝑥)的图象的对称中心是(0,1)【解题思路】A选项：根据奇偶性的定义判断即可；C选项：根据已知函数的单调性即可得到𝑓(𝑥)得单调性；D选项：根据𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=2，即可得到(0,1)是𝑓(𝑥)的对称中心；B选项：利用对称性和单调性解不等式即可.【解答过程】A选

项：𝑓(𝑥)的定义域为R，关于原点对称，𝑓(−𝑥)=2022−𝑥−2022𝑥+1≠𝑓(𝑥)，同时𝑓(−𝑥)≠−𝑓(𝑥)，所以𝑓(𝑥)不是奇函数也不是偶函数，故A错；C选项：因为函数𝑦=2022𝑥，𝑦=−2022−𝑥在R

上单调递增，所以𝑓(𝑥)在R上单调递增，故C正确；D选项：𝑓(𝑥)+𝑓(−𝑥)=2，所以(0,1)是𝑓(𝑥)的对称中心，故D正确；B选项：原不等式可整理为𝑓(2𝑥−1)+𝑓(2𝑥)>𝑓(−2𝑥)+

𝑓(2𝑥)，即𝑓(2𝑥−1)>𝑓(−2𝑥)，则2𝑥−1>−2𝑥，解得𝑥>14，故B正确.故选：BCD.12．（5分）（2022·广东·高三期中）已知函数𝑓(𝑥)=𝐴sin(𝜔𝑥+𝜑)(𝐴>0,𝜔>0,|𝜑|<π

2)的部分图象如图（1）所示，函数𝑔(𝑥)=𝐴1cos(𝜔1𝑥+𝛼)(𝐴1>0,𝜔1>0,|𝛼|<π)的部分图象如图（2）所示，下列说法正确的是（）A．函数𝑦=𝑓(𝑥)的周期为𝜋2B．函数𝑦=𝑓(�

�)的图象关于直线𝑥=19𝜋12对称C．函数𝑦=𝑓(𝑥)−1在区间[0,2𝜋]上有4个零点D．将函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像向左平移2𝜋3可使其图像与𝑦=𝑔(𝑥)图像重合【解题思路】根据图象可求两个函数的解析式，再逐项计算后可得正确的选项.【解答过程】

由图象（1）可得𝐴=2，14×2π𝜔=π3−π12，故𝜔=2，故𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+𝜑)，而𝑓(π12)=2sin(π6+𝜑)=2，故𝜑=2𝑘π+π3,𝑘∈Z，而|𝜑|<π2，故𝜑=π3，故𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+π3)，由图（2）

可得𝐴1=2，34×2π𝜔1=5π12+π3，故𝜔1=2，故𝑔(𝑥)=2cos(2𝑥+𝛼)，而𝑓(5π12)=2cos(5π6+𝛼)=2，故𝛼=2𝑘π−5π6,𝑘∈Z，而|𝛼|<π，故𝛼=−5π6，故𝑔(𝑥)=2

cos(2𝑥−5π6)，对于A，𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+π3)的最小正周期为𝑇=π，故A错误；对于B，𝑓(19π12)=2sin(19π6+π3)=2sin7π2=−2，故函数𝑦=𝑓(𝑥)的图象关于直线𝑥=19𝜋12

对称，故B正确；对于C，𝑓(𝑥)−1=0即为sin(2𝑥+π3)=12，故2𝑥+π3=2𝑘π+π6或2𝑥+π3=2𝑘π+5π6，𝑘∈Z，故𝑥=𝑘π−π12或𝑥=𝑘π+π4，𝑘∈Z

.令0≤𝑘π−π12≤2π，故𝑥=11π12,23π12；令0≤𝑘π+π4≤2π，故𝑥=π4,5π4；故𝑓(𝑥)−1=0在区间[0,2𝜋]上有4个零点，故C正确.对于D，函数𝑦=𝑓(𝑥)的图像向左平移2𝜋3，其

图象对应的解析式为：𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥+4π3+π3)=2sin(2𝑥+5π3)=2cos(2𝑥+5π3−π2)=2cos(2𝑥+7π6)=2cos(2𝑥+7π6−2π)=2cos(2𝑥−5π6).故D正确，故选：BCD.三．填空题（共4小

题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2022·新疆·高一期中）已知集合𝐴={𝑎,𝑎𝑏,−3𝑎+𝑏}，𝐵={𝑏,𝑏2𝑎,−1}，若1∈𝐴∩𝐵，2∈(∁𝑅𝐴)∩𝐵，则𝑎+𝑏=3.【解题思路】根据题意可得1，2∈𝐵，1∈𝐴，然后

分𝑏=1与{𝑏2𝑎=1𝑏=2讨论，即可得到结果.【解答过程】由题意得1，2∈𝐵，1∈𝐴，当𝑏=1时，则𝐴={𝑎,𝑎,−3𝑎+1}不满足元素互异性，当{𝑏2𝑎=1𝑏=2即{𝑎=1𝑏=2时，𝐴={1,12,−1

}，𝐵={2,1,−1}，满足要求.所以𝑎+𝑏=3.故答案为:3.14．（5分）（2022·山东聊城·高一期中）若关于𝑥的不等式𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0的解集中恰有3个正整数，则实数𝑚的取值范围为−3≤𝑚<−2或4<𝑚≤5．【解题思

路】先按实数𝑚分类讨论求得不等式𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0的解集，再利用题给条件列出实数𝑚的不等式，进而求得实数𝑚的取值范围【解答过程】由𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0，可得(𝑥−𝑚)(𝑥−1)<0①当𝑚<1时，

不等式𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0的解集为(𝑚,1)若(𝑚,1)中恰有3个正整数，则−3≤𝑚<−2；②当𝑚=1时，不等式𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0的解集为∅，不符合题意；③当𝑚>1时

，不等式𝑥2−(𝑚+1)𝑥+𝑚<0的解集为(1,𝑚)若(1,𝑚)中恰有3个正整数，则4<𝑚≤5综上，实数𝑚的取值范围为−3≤𝑚<−2或4<𝑚≤5故答案为：−3≤𝑚<−2或4<𝑚≤5.15．（5分）（2022·江苏·高二开学考试）对于定义在区间D上的函数f（x），

若满足对∀x1，x2∈D，且x1≠x2时都有(𝑥1−𝑥2)[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)]≥0，则称函数f（x）为区间D上的“非减函数”，若𝑓(𝑥)为区间[0，2]上的“非减函数”且f（2）＝2，f（x）+f（

2﹣x）＝2，又当𝑥∈[32,2],𝑓(𝑥)≤2(𝑥−1)恒成立，则𝑓(114)+𝑓(916)+𝑓(2518)+𝑓(2714)=4.【解题思路】利用赋值法，结合“非减函数”的定义求得正确答案.【解答过程】114+2714=2，所以𝑓(

114)+𝑓(2714)=𝑓(114)+𝑓(2−114)=2，𝑓(𝑥)+𝑓(2−𝑥)=2，令𝑥=1，得𝑓(1)+𝑓(1)=2,𝑓(1)=1，令𝑥=2，得𝑓(2)+𝑓(0)=2,𝑓(0)=0，令𝑥=12，得𝑓(

12)+𝑓(32)=2当𝑥∈[32,2],𝑓(𝑥)≤2(𝑥−1)恒成立，𝑓(32)≤2(32−1)=1，由于𝑓(𝑥)是区间[0,2]上的“非减函数”，所以𝑓(32)≥𝑓(1)=1，所以1≤𝑓(

32)≤1,𝑓(32)=1.由于任意𝑥∈[1,32],𝑓(1)≤𝑓(𝑥)≤𝑓(32)，所以𝑓(𝑥)=1，而当𝑥∈[12,1]，2−𝑥∈[1,32]，由𝑓(𝑥)+𝑓(2−𝑥)=2，故𝑥∈[12,1]时，𝑓(𝑥)=1.916∈[

12,1],2518∈[1,32]，所以𝑓(916)=1,𝑓(2518)=1，所以𝑓(114)+𝑓(916)+𝑓(2518)+𝑓(2714)=4.故答案为：4.16．（5分）（2022·西藏拉萨·

高一期末）已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥-√3cos2𝑥-3，则下列结论中正确的是①③．①函数𝑓(𝑥)的最小正周期为𝜋②𝑥=𝜋3时，𝑓(𝑥)取得最大值③𝑓(𝑥)在[0,𝜋3]上单调递增④𝑓(𝑥)的对称中心坐标是(𝑘𝜋2+𝜋6,

0)(𝑘∈Z)【解题思路】利用二倍角和辅助角公式化简可得𝑓(𝑥)=2sin(2𝑥-𝜋3)-3，根据正弦型函数最小正周期、最值点、单调性和对称中心的求法依次判断各个选项即可.【解答过程】𝑓(𝑥)=sin2𝑥

-√3cos2𝑥-3=2sin(2𝑥-𝜋3)-3；对于①，𝑓(𝑥)的最小正周期𝑇=2𝜋2=𝜋，①正确；对于②，当𝑥=𝜋3时，2𝑥-𝜋3=𝜋3，此时𝑓(𝑥)不取最大值，②错误；对于③，当𝑥∈[0,𝜋3]时，2𝑥-

𝜋3∈[-𝜋3,𝜋3]，此时𝑓(𝑥)单调递增，③正确；对于④，令2𝑥-𝜋3=𝑘𝜋(𝑘∈Z)，解得：𝑥=𝜋6+𝑘𝜋(𝑘∈Z)，此时𝑓(𝑥)=-3，∴𝑓(𝑥)的对称中心为(𝑘𝜋2+𝜋

6,-3)(𝑘∈Z)，④错误.故答案为：①③.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2022·四川·高一期中）已知集合𝐴={𝑥|−3≤𝑥<4}，𝐵={𝑥|2𝑚−1≤𝑥≤𝑚+1}．(1)当𝑚=1时，求出𝐴∩𝐶𝑅𝐵；(2)

若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数𝑚的取值范围.【解题思路】（1）当𝑚=1时，得𝐵={𝑥|1≤𝑥≤2}，由补集和交集运算即可求解𝐴∩𝐶𝑅𝐵；（2）由题可知𝐵⊊𝐴，分集合𝐵=∅和𝐵≠∅两种情况分类讨论，即可求解𝑚的取值范围.【解答过程】（

1）当𝑚=1时，𝐵={𝑥|1≤𝑥≤2}，所以∁R⬚𝐵={𝑥|𝑥<1或𝑥>2}，所以𝐴∩(∁R⬚𝐵)={𝑥|−3≤𝑥<1或2<𝑥<4}；（2）因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，于是得𝐵⊊𝐴，①当𝐵=

∅时，𝑚+1<2𝑚−1,∴𝑚>2；②当𝐵≠∅时，由𝐵⊊𝐴得{𝑚+1≥2𝑚−12𝑚−1≥−3𝑚+1<4，∴−1≤𝑚≤2，综上所述，𝑚≥−1.18．（12分）（2021·山西·高一阶段练习）已知𝑎,𝑏

∈(0,+∞)，函数𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2−𝑥+𝑏满足𝑓(1)=0(1)求𝑎+4𝑎+1𝑏的最小值；(2)解关于𝑓(𝑥)>0的𝑥的取值范围.【解题思路】（1）转化条件为𝑎+𝑏=1，进而可得𝑎+4𝑎+1𝑏=6+4𝑏𝑎+𝑎𝑏，结合基本不等式即可得解；（

2）转化条件为(𝑥−1)[𝑎𝑥−(1−𝑎)]>0，按照𝑎=12、12<𝑎<1、0<𝑎<12分类，由一元二次不等式的解法即可得解.【解答过程】（1）由已知，得𝑎+𝑏=1，所以𝑎+4𝑎+1𝑏=1+4𝑎+1𝑏=1+(4𝑎+1𝑏)(𝑎+𝑏)=1+4+1

+4𝑏𝑎+𝑎𝑏≥6+4=10.当且仅当{𝑎+𝑏=14𝑏𝑎=𝑎𝑏即{𝑎=23𝑏=13，等号成立，∴𝑎+4𝑎+1𝑏的最小值为10.（2）由题意，𝑎+𝑏=1∵𝑓(𝑥)>0，∴𝑎𝑥2−𝑥+𝑏>0，∴𝑎𝑥2−𝑥+1−𝑎>0，∴(𝑥−1)[𝑎�

�−(1−𝑎)]>0，方程(𝑥−1)[𝑎𝑥−(1−𝑎)]=0的两根为𝑥1=1,𝑥2=1−𝑎𝑎，当1=1−𝑎𝑎时，即𝑎=12，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,+∞)；当1>1−𝑎𝑎时，即12<𝑎<

1，不等式的解集为(−∞,1−𝑎𝑎)∪(1,+∞)；当1<1−𝑎𝑎时，即0<𝑎<12，不等式的解集为(−∞,1)∪(1−𝑎𝑎,+∞).综上可知：𝑎=12时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1,

+∞)；12<𝑎<1时，不等式的解集为(−∞,1−𝑎𝑎)∪(1,+∞)；0<𝑎<12时，不等式的解集为(−∞,1)∪(1−𝑎𝑎,+∞).19．（12分）（2022·广东·高一期中）已知函数𝑓(𝑥)=e𝑥+𝑎e𝑥+1为定义在R上

的奇函数.(1)求𝑎的值；(2)根据单调性的定义证明函数𝑓(𝑥)在R上单调递增；(3)若𝑓(2𝑚𝑡2−1)+𝑓(−𝑚𝑡)<0对任意实数𝑡恒成立，求实数𝑚的取值范围.【解题思路】（1）由𝑓(𝑥)是定义在R上的奇函数，利用𝑓(0)=0，求得𝑎；（2）

利用作差法证明即可；（3）由（2）知，函数𝑓(𝑥)为R上单调递增的奇函数，故𝑓(2𝑚𝑡2−1)+𝑓(−𝑚𝑡)<0等价于2𝑚𝑡2−𝑚𝑡+1<0对任意实数𝑡恒成立，分类讨论𝑚=0和𝑚≠0两种情况，从而求出𝑚的取值范围.【解答过程】（1）解：因为函数𝑓(𝑥)=e�

�+𝑎e𝑥+1为定义在R上的奇函数，所以𝑓(0)=0，得𝑎=−1，经检验符合题意，所以𝑎=−1；（2）证明：根据（1）知𝑓(𝑥)=e𝑥−1e𝑥+1=1−2e𝑥+1，∀𝑥1，𝑥2∈R且𝑥1<𝑥2，则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=2(e𝑥1−e𝑥2)(e�

�2+1)(e𝑥1+1)，因为𝑥1<𝑥2，所以e𝑥1−e𝑥2<0，e𝑥1+1>0，e𝑥2+1>0，所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，即𝑓(𝑥1)<𝑓(𝑥2)，所以函数𝑓(𝑥)在R上单调递增；（3）解：由（2）知，函数𝑓(𝑥)为R上单调递增的奇

函数，𝑓(2𝑚𝑡2−1)+𝑓(−𝑚𝑡)<0，即𝑓(−𝑚𝑡)<−𝑓(2𝑚𝑡2−1)，即𝑓(−𝑚𝑡)<𝑓(−2𝑚𝑡2+1)，则−𝑚𝑡<−2𝑚𝑡2+1，所以2𝑚�

�2−𝑚𝑡−1<0对任意实数𝑡恒成立，当𝑚=0时，2𝑚𝑡2−𝑚𝑡−1=−1<0，显然成立；当𝑚≠0时，{𝑚<0Δ=𝑚2+8𝑚<0，解得−8<𝑚<0，综上可知，实数𝑚的取值范围是(−8,0].20．（12分）（202

2·北京·高三阶段练习）已知函数𝑓(𝑥)=2sin𝑥cos𝑥−2cos2𝑥+1.(1)求𝑓(𝑥)的最小正周期；(2)求𝑓(𝑥)的单调递增区间；(3)若函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝑎

]上有且只有一个零点，求实数𝑎的取值范围.【解题思路】（1）由二倍角公式、两角差的正弦公式化简函数式，然后结合正弦函数周期可得；（2）利用正弦函数的增区间求解；（3）求出𝑓(𝑥)=0的解后可得𝑎的范围．【解答过程】（1）𝑓(𝑥)=sin2𝑥−cos2𝑥=√2sin(2𝑥−𝜋4

)，最小正周期为𝑇=2𝜋2=𝜋；（2）2𝑘𝜋−𝜋2≤2𝑥−𝜋4≤2𝑘𝜋+𝜋2，𝑘𝜋−𝜋8≤𝑥≤𝑘𝜋+3𝜋8，所以增区间是[𝑘𝜋−𝜋8,𝑘𝜋+3𝜋8],𝑘∈Z；（3）𝑓(𝑥)=√2sin(2𝑥−𝜋4)=0，2�

�−𝜋4=𝑘𝜋，𝑥=𝑘𝜋2+𝜋8，𝑘∈Z，因为函数𝑓(𝑥)在区间[0,𝑎]上有且只有一个零点，所以𝜋8≤𝑎<5𝜋8，所以实数𝑎的取值范围为[𝜋8,5𝜋8).21．（12分）（2022·江苏·高一期中）对于定义域为�

�的函数𝑦=𝑓(𝑥)，如果存在区间[𝑚,𝑛]⊆𝐷.同时满足：①𝑓(𝑥)在[𝑚,𝑛]内是单调函数；②当定义域是[𝑚,𝑛]时，𝑓(𝑥)的值域也是[𝑚,𝑛]，则称[𝑚,𝑛]是

该函数的“优美区间”.(1)求证：[0，2]是函数𝑓(𝑥)=12𝑥2的一个“优美区间”；(2)函数𝑔(𝑥)=4+6𝑥是否存在“优美区间”？若存在，求出它的“优美区间”，若不存在，请说明理由.(3)已知函数ℎ(𝑥)=(𝑎2+𝑎)𝑥−1𝑎2𝑥(𝑎∈R,𝑎

≠0)有“优美区间”[𝑚,𝑛]，当𝑎变化时，求出𝑛−𝑚的最大值.【解题思路】（1）通过𝑓(𝑥)=12𝑥2在区间[0，2]上单调递增，利用新定义判断即可.（2）利用新定义[𝑚，𝑛]是已知函数的“优美区间”，推出

{4+6𝑚=𝑛4+6𝑛=𝑚，转化求解即可.（3）设[𝑚，𝑛]是已知函数定义域的子集，通过[𝑚，𝑛]是已知函数的“优美区间”，则ℎ(𝑚)=𝑚，ℎ(𝑛)=𝑛，说明𝑚､𝑛是方程𝑎2𝑥2−(𝑎2+𝑎)𝑥+1=

0的两个同号且不等的实数根，结合根与系数的关系即可求解𝑛−𝑚的最大值.【解答过程】（1）函数𝑓(𝑥)=12𝑥2在[0，2]上单调递增，所以𝑓(𝑥)min=𝑓(0)=0，𝑓(𝑥)max=𝑓（2）=2，即𝑓(𝑥)∈[

0，2]，由题“优美区间”的定义可知，[0，2]是函数𝑓(𝑥)=12𝑥2的一个“优美区间”.（2）假设[𝑚，𝑛]是函数𝑔(𝑥)=4+6𝑥的一个“优美区间”，𝑔(𝑥)=4+6𝑥的定义

域为{𝑥|𝑥≠0}，所以[𝑚，𝑛]⊆(−∞,0)或[𝑚，𝑛]⊆(0,+∞)，又𝑔(𝑥)=4+6𝑥在[𝑚，𝑛]上单调递减，所以{4+6𝑚=𝑛4+6𝑛=𝑚，又4𝑚+6=𝑚𝑛=6+4𝑛，即𝑚=𝑛，不符，所以𝑔(𝑥)=4+6𝑥不存在“优美区间”.（3）ℎ(

𝑥)定义域为{𝑥|𝑥≠0}，假设[𝑚，𝑛]⊆(−∞,0)或[𝑚，𝑛]⊆(0,+∞)，ℎ(𝑥)=(𝑎2+𝑎)𝑥−1𝑎2𝑥=𝑎+1𝑎−1𝑎2𝑥在[𝑚，𝑛]上单调递增，又[𝑚，𝑛]是函数ℎ(𝑥)的“优美区间”，所以ℎ(𝑚)=

𝑚，ℎ(𝑛)=𝑛，所以𝑚，𝑛是方程(𝑎2+𝑎)𝑥−1𝑎2𝑥=𝑥，即𝑎2𝑥2−(𝑎2+𝑎)𝑥+1=0的两个同号且不等的实数根.所以Δ=(𝑎2+𝑎)2−4𝑎2>0，解得�

�>3或𝑎<−1，又{𝑚+𝑛=𝑎+1𝑎𝑚𝑛=1𝑎2，所以𝑛−𝑚=√(𝑚+𝑛)2−4𝑚𝑛=√(𝑎+1𝑎)2−4𝑎2=√−3(1𝑎−13)2+43，所以当𝑎=3时，𝑛−𝑚取得最大值为2√33.22．（1

2分）（2022·辽宁·高一阶段练习）如图，某公园摩天轮的半径为40𝑚，点𝑂距地面的高度为50𝑚，摩天轮做逆时针匀速转动，每3分钟转一圈，摩天轮上的点𝑃的起始位置在最低点处．(1)已知在时刻𝑡（分钟）时点𝑃距离地面的高度𝑓(�

�)=𝐴sin(𝜔𝑡+𝜑)+ℎ，(𝜔>0,|𝜑|≤𝜋2)，求2018分钟时刻点𝑃距离地面的高度；(2)当离地面50+20√3𝑚以上时，可以看到公园的全貌，求转一圈中有多少时间可以看到公园全貌？【解题思

路】（1）首先确定𝐴,ℎ,𝑇，由此可求得𝜔，结合𝑓(0)=10可求得𝜑，从而得到𝑓(𝑡)；代入𝑡=2018即可求得结果；（2）令𝑓(𝑡)>50+20√3即可求得𝑡的范围，由此可得结果.【解答过程】（1）由题意知：𝐴=40，ℎ=50，𝑇=3，∴𝜔=2𝜋𝑇=2𝜋

3；又𝑓(0)=40sin𝜑+50=10，即sin𝜑=−1，又|𝜑|≤𝜋2，∴𝜑=−𝜋2；∴𝑓(𝑡)=40sin(2𝜋3𝑡−𝜋2)+50(𝑡≥0)；∴𝑓(2018)=40sin(2𝜋3×2018−𝜋2)+50

=40sin5𝜋6+50=70，即2018分钟时点𝑃所在位置的高度为70𝑚.（2）由（Ⅰ）知：𝑓(𝑡)=40sin(2𝜋3𝑡−𝜋2)+50=50−40cos2𝜋3𝑡(𝑡≥0)；令𝑓(𝑡)>50+20√3，∴−4

0cos2𝜋3𝑡>20√3，即cos2𝜋3𝑡<−√32，解得：2𝑘𝜋+5𝜋6<2𝜋3𝑡<2𝑘𝜋+7𝜋6(𝑘∈𝑁)，即3𝑘+54<𝑡<3𝑘+74(𝑘∈𝑁)；∵(3𝑘+74)−(3�

�+54)=12，∴转一圈中有0.5分钟时间可以看到公园全貌．