【文档说明】2024届高考一轮复习数学习题（新教材新高考人教版）第一章　§1.2　常用逻辑用语 Word版含答案.docx，共(13)页，181.968 KB，由小赞的店铺上传

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§1.2常用逻辑用语考试要求1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定．知识梳理1．充分条件、必要

条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且q⇏pp是q的必要不充分条件p⇏q且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p⇏q且q⇏p2．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的

”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构对M中任意一个x，p(x

)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，綈p(x)∀x∈M，綈p(x)常用结论1．充分、必要条件与对应集合之间的关系设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B；(2)若p是

q的充分不必要条件，则AB；(3)若p是q的必要不充分条件，则BA；(4)若p是q的充要条件，则A＝B.2．含有一个量词命题的否定规律是“改变量词，否定结论”．3．命题p与p的否定的真假性相反．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)p是q的充分不必要条件等

价于q是p的必要不充分条件．(√)(2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题．(√)(3)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(√)(4)命题“∃x∈R，sin2x2＋cos2x2＝12”是真命题．(×)教材改编题1．命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是()

A．∃x∈R，ex－1≥xB．∀x∈R，ex－1≤xC．∃x∈R，ex－1<xD．∀x∈R，ex－1<x答案C解析由题意得命题“∀x∈R，ex－1≥x”的否定是“∃x∈R，ex－1<x”．2．(多选)下列命题中为真命题的是()A．∀x∈R，x2>0B．∀x∈

R，－1≤sinx≤1C．∃x∈R，2x<0D．∃x∈R，tanx＝2答案BD解析当x＝0时，x2＝0，所以A选项错误；当x∈R时，－1≤sinx≤1，所以B选项正确；因为2x>0，所以C选项错误；因为函数y＝tanx∈R，所以D选

项正确．3．若“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，则m的取值范围是________．答案(3，＋∞)解析因为“x>3”是“x>m”的必要不充分条件，所以(m，＋∞)是(3，＋∞)的真子集，由图可知m>3.题型一充分、

必要条件的判定例1(1)(2023·淮北模拟)“a>b>0”是“ab>1”的()A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件答案B解析由a>b>0，得ab>1，反之不成立，如a＝－2，b＝－1，满足ab>1，但是不满足a>b>0，故“a>b>0”是“ab>1”的充分

不必要条件．(2)(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q>0，乙：{Sn}是递增数列，则()A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲

既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案B解析当a1<0，q>1时，an＝a1qn－1<0，此时数列{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．当数列{Sn}单调递增时，有Sn＋1－Sn＝an＋1＝a1qn>0，若a1>0，则qn>0(n∈N*)，即q>0；若a1<0，则qn<0(

n∈N*)，不存在．所以甲是乙的必要条件．思维升华充分条件、必要条件的两种判定方法(1)定义法：根据p⇒q，q⇒p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用

于条件中涉及参数范围的推断问题．跟踪训练1(1)(2022·长春模拟)“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案A解析因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b

|，所以cos〈a，b〉＝1，因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝0，所以a与b共线，当a与b共线时，〈a，b〉＝0或〈a，b〉＝π，所以a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝|a||b|或a·b＝

|a||b|cos〈a，b〉＝－|a||b|，所以“a·b＝|a||b|”是“a与b共线”的充分不必要条件．(2)(多选)已知幂函数f(x)＝(4m－1)xm，则下列选项中，能使得f(a)>f(b)成立的一个充分不必要条件是()A．0<1a<1bB．a2>b

2C．lna>lnbD．2a>2b答案AC解析由题设知4m－1＝1，可得m＝12，故f(x)＝x，所以，要使f(a)>f(b)，则a>b，即a>b≥0.0<1a<1b⇔a>b>0，A符合题意；lna>lnb⇔a>b>0，C符合题意；B，D选

项中a，b均有可能为负数，B，D不符合题意．题型二充分、必要条件的应用例2在①A∪B＝B；②“x∈A”是“x∈B”的充分条件；③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件这三个条件中任选一个，补充到本题第(2)问的横线处，求解下列问题．问题

：已知集合A＝{x|a≤x≤a＋2}，B＝{x|(x＋1)(x－3)<0}．(1)当a＝2时，求A∩B；(2)若________，求实数a的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．解(1)由(x＋1)(x－3)<0，解得－1<x<3，所以B＝

{x|(x＋1)(x－3)<0}＝{x|－1<x<3}，当a＝2时，A＝{x|2≤x≤4}，所以A∩B＝{x|2≤x<3}．(2)若选①A∪B＝B，则A⊆B，所以a>－1，a＋2<3，解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选②“x∈A”是“x∈B”的充分条件，

则A⊆B，所以a>－1，a＋2<3，解得－1<a<1，即a∈(－1,1)；若选③“x∈∁RA”是“x∈∁RB”的必要条件，则A⊆B，所以a>－1，a＋2<3，解得－1<a<1，即a∈(－1,

1)．思维升华求参数问题的解题策略(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)要注意区间端点值的检验．跟踪训练2(2023·宜昌模拟)已知集合A＝{x|－2<

x≤3}，B＝{x|x2－2mx＋m2－1<0}．(1)若m＝2，求集合A∩B；(2)已知p：x∈A，q：x∈B，是否存在实数m，使p是q的必要不充分条件，若存在实数m，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．解(1)由m＝2及x2－2mx＋m2－1<0，得x2－

4x＋3<0，解得1<x<3，所以B＝{x|1<x<3}，又A＝{x|－2<x≤3}，所以A∩B＝{x|1<x<3}．(2)由x2－2mx＋m2－1<0，得[x－(m－1)][x－(m＋1)]<0，所以m－1<x<m＋1，所以B＝{x|m－1<x<m＋1}．由p是q的

必要不充分条件，得集合B是集合A的真子集，所以m－1≥－2，m＋1≤3⇒－1≤m≤2(两端等号不会同时取得)，所以m的取值范围为[－1,2]．题型三全称量词与存在量词命题点1含量词命题的否定例3(2022·漳州模拟)命题“∀a∈R，x2－ax＋1＝0有实数解”

的否定是()A．∀a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解B．∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解C．∀a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解D．∃a∈R，x2－ax＋1≠0有实数解答案B解析因为全称量词命题的否定是存在量词命题，所以“∀a∈R，

x2－ax＋1＝0有实数解”的否定是“∃a∈R，x2－ax＋1＝0无实数解”．命题点2含量词命题真假的判断例4(多选)(2023·沈阳模拟)下列命题中为真命题的是()A．∃x∈R，12x≤1B．对于∀x∈R，n∈N*且n>1，都有nxn＝xC．∀x∈R，ln(x－1)2≥0D

．∃x∈R，lnx≥x－1答案AD解析当x≥0时，0<12x≤1，故A项是真命题；当n为偶数，且x<0时，nxn＝－x，故B项是假命题；当x＝1时，ln(x－1)2无意义，故C项是假命题；当x＝1时，lnx≥x－1，故D项是真命题．命题点3含量词命题的应用例5若“∃x∈

－π3，π3，sinx<m”是假命题，则实数m的最大值为()A.12B．－12C.32D．－32答案D解析因为“∃x∈－π3，π3，sinx<m”是假命题，所以“∀x∈－π3，π3，m≤sinx”是

真命题，即m≤sinx对于∀x∈－π3，π3恒成立，所以m≤(sinx)min，因为y＝sinx在－π3，π3上单调递增，所以x＝－π3时，y＝sinx最小，其最小值为y＝sin－π3＝－sinπ3＝－32，所以m≤－32，所以实

数m的最大值为－32.思维升华含量词命题的解题策略(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参

数的范围；二是可利用等价命题求参数的范围．跟踪训练3(1)已知命题p：∃n∈N，n2≥2n＋5，则綈p为()A．∀n∈N，n2≥2n＋5B．∃n∈N，n2≤2n＋5C．∀n∈N，n2<2n＋5D．∃n∈N，n2＝2n＋5答案C解析由存在量词命题的否

定可知，綈p为∀n∈N，n2<2n＋5.所以C正确，A，B，D错误．(2)(多选)下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，－x2－1<0B．∀n∈Z，∃m∈Z，nm＝mC．所有圆的圆心到其切线的距离都等于半径D

．存在实数x，使得1x2－2x＋3＝34答案ABC解析∀x∈R，－x2≤0，所以－x2－1<0，故A项是真命题；当m＝0时，nm＝m恒成立，故B项是真命题；任何一个圆的圆心到切线的距离都等于半径，故C项是真命题；因为x2－2x＋3＝(x－

1)2＋2≥2，所以1x2－2x＋3≤12<34，故D项是假命题．(3)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则实数a的取值范围是________．答案(－∞，－1)∪(3，＋∞)解析命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”的否定是假命题，则命题“∃x∈R

，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，即Δ＝(a－1)2－4>0，解得a>3或a<－1，故实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课时精练1．(2023·上饶模拟)“x2>2021”是“x2>2022”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D

．既不充分也不必要条件答案B解析若x2>2022，因为2022>2021，故x2>2021，故“x2>2022”可以推出“x2>2021”，取x2＝2021.5，则满足x2>2021，但x2>2022不成立，所以“x2>2021”不能推出“x2>20

22”，所以“x2>2021”是“x2>2022”的必要不充分条件．2．已知命题p：∃x∈Q，使得x∉N，则綈p为()A．∀x∉Q，都有x∉NB．∃x∉Q，使得x∈NC．∀x∈Q，都有x∈ND．∃x∈Q，使得x∈N答案C解析因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以由p：∃x∈Q，使得

x∉N，得綈p：∀x∈Q，都有x∈N.3．已知命题：“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，则实数a的取值范围是()A．a<4B．a≤4C．a>4D．a≥4答案B解析“∀x∈R，方程x2＋4x＋a＝0有解”是真命题，故Δ

＝16－4a≥0，解得a≤4.4．(2023·武汉模拟)已知a，b是两条不重合的直线，α为一个平面，且a⊥α，则“b⊥α”是“a∥b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答

案C解析当b⊥α时，结合a⊥α，可得a∥b，充分性满足；当a∥b时，结合a⊥α，可得b⊥α，必要性满足．故“b⊥α”是“a∥b”的充要条件．5．命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是()A．a≥4B．a≥5C．a≤

4D．a≤5答案B解析因为命题“∀1≤x≤2，x2－a≤0”是真命题，所以∀1≤x≤2，a≥x2恒成立，所以a≥4，结合选项，命题是真命题的一个充分不必要条件是a≥5.6．(多选)下列命题是真命题的是()A．所有的素数都是奇数B．有一个实数x，使x2＋

2x＋3＝0C．“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件D．命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”答案CD解析2是一个素数，但2是偶数，所以A是假命题；对于方程x2＋2x＋3＝0，其中Δ＝22－4×3＝－8<0，所

以不存在实数，使得x2＋2x＋3＝0成立，所以B是假命题；由α＝β⇒sinα＝sinβ，但由sinα＝sinβ不能得到α＝β，故“α＝β”是“sinα＝sinβ”成立的充分不必要条件，所以C是真命题；根据全称量词命

题与存在量词命题的关系，可得命题“∃x∈R，x＋2≤0”的否定是“∀x∈R，x＋2>0”，所以D是真命题．7．(多选)若“∃x∈(0,2)，使得2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ可能的值是(

)A．1B．22C．3D．32答案AB解析由题意可知，命题“∀x∈(0,2)，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，所以λx≤2x2＋1，可得λ≤2x＋1x，当x∈(0,2)时，由基本不等式可得2x＋1x≥22x·1x＝22，当且仅当x＝22时，等

号成立，所以λ≤22.8.南北朝时期的伟大科学家祖暅在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．其含义是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两

个几何体的体积相等．如图，夹在两个平行平面之间的两个几何体的体积分别为V1，V2，被平行于这两个平面的任意平面截得的两个截面面积分别为S1，S2，则“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不

充分也不必要条件答案B解析命题：如果“S1，S2不总相等”，那么“V1，V2不相等”的等价命题是：如果“V1，V2相等”，那么“S1，S2总相等”．根据祖暅原理，当两个截面的面积S1，S2总相等时，这两个几何体的体积V1，V2相等，所以逆命题为

真，故是必要条件；当两个三棱台，一正一反的放在两个平面之间时，此时体积相等，但截得截面面积未必相等，故是不充分条件，所以“S1，S2不总相等”是“V1，V2不相等”的必要不充分条件．9．命题“∀x∈0，π4，sinx<cosx”的否定是

________．答案∃x∈0，π4，sinx≥cosx解析因为“sinx<cosx”的否定是“sinx≥cosx”，所以“∀x∈0，π4，sinx<cosx”的否定是“∃x∈0，π4，sinx≥

cosx”，10．使得“2x>4x”成立的一个充分条件是________．答案x<－1(答案不唯一)解析由于4x＝22x，故2x>22x等价于x>2x，解得x<0，使得“2x>4x”成立的一个充分条件只需为集合{x|x<0

}的子集即可．11．已知命题“∃x∈{x|－2<x<3}，使得等式2x－m＝0成立”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，－4]∪[6，＋∞)解析若原命题为真命题，则∃x∈{x|－2<x<3}，使得m＝2x成立，则－4<m<6；故若原命题为假命题，则实数m的取值范围为(

－∞，－4]∪[6，＋∞)．12．已知α：x<2m－1或x>－m，β：x<2或x≥4，若α是β的必要条件，则实数m的取值范围是________．答案13，＋∞解析设A＝{x|x<2m－1或x>－m}，B＝{

x|x<2或x≥4}，若α是β的必要条件，则B⊆A，当2m－1>－m，即m>13时，此时A＝R，B⊆A成立；当2m－1≤－m，即m≤13时，若B⊆A，此时2m－1≥2，－m<4，无解．综上，m>13.13．(多选)若“∀x∈M，|x

|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是()A．(－∞，－5)B．(－3，－1]C．(3，＋∞)D．[0,3]答案AB解析∵∃x∈M，x>3为假命题，∴∀x∈M，x≤3为真命题，可得M⊆(－∞，3]，又∀x∈M，|x|>x为

真命题，可得M⊆(－∞，0)，∴M⊆(－∞，0)．14．一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下：甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人是小偷”；丁说：“乙说的是事实”，经过调查核实，

四人中有两人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四人中只有一人是罪犯，由此可判断罪犯是________．答案乙解析四人供词中，乙、丁意见一致，或同真或同假．若同真，即丙偷的，而四人有两人说的是真话，则甲、丙说的是假话，甲说“罪

犯在乙、丙、丁三人之中”是假话，即乙、丙、丁没偷，相互矛盾；若同假，即不是丙偷的，则甲、丙说的是真话，甲说“罪犯在乙、丙、丁三人之中”，丙说“甲、乙两人中有一人是小偷”是真话，可知罪犯是乙．15．(2022·九江模拟)已知数

列{an}满足a1＝1，an＋1＝kan＋k，则“数列{an}为等差数列”是“k＝1”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件答案B解析当k＝1时，an＋1＝an＋1，则{an}为等差数列，必要性成

立；若{an}为等差数列，由a1＝1，a2＝2k，a3＝2k2＋k，有2k2＋k＋1＝4k，解得k＝1或12.当k＝12时，an＋1＝12an＋12，此时an＝1，充分性不成立．16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b

，c，则“a>b”是“A＋cosA>B＋cosB”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案C解析在△ABC中，若a>b，则根据大边对大角可得A>B.设f(x)

＝x＋cosx，x∈(0，π)，则f′(x)＝1－sinx，x∈(0，π)时，sinx∈(0,1]，∴f′(x)≥0，∴f(x)在(0，π)上单调递增，∴a>b⇔A>B⇔f(A)>f(B)⇔A＋cosA>B＋cosB.