【文档说明】2024届高考一轮复习数学习题（新教材新高考人教版）第一章　必刷小题1　集合、常用逻辑用语、不等式 Word版含答案.docx，共(7)页，40.928 KB，由小赞的店铺上传

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必刷小题1集合、常用逻辑用语、不等式一、单项选择题1．(2023·咸阳模拟)已知集合A＝{－1,0,1,2,3}，B＝{x|2x2－5x－3<0}，那么集合A∩B等于()A．{－1,0,1,2}B．{0,1,2,3}C．{

0,1,2}D．{－1,0,1,2,3}答案C解析因为B＝{x|2x2－5x－3<0}＝{x|(2x＋1)(x－3)<0}＝x－12<x<3，故A∩B＝{0,1,2}．2．设集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}，则集合A的子集个数为()A．16B．32

C．15D．31答案B解析因为集合A＝{x∈Z|(x－1)(x－5)≤0}＝{1,2,3,4,5}，所以集合A的子集个数为25＝32.3．(2022·百师联盟联考)命题“∀x>0，cosx>－12x2＋1”的

否定是()A．∀x>0，cosx≤－12x2＋1B．∀x≤0，cosx>－12x2＋1C．∃x>0，cosx≤－12x2＋1D．∃x≤0，cosx≤－12x2＋1答案C4．(2023·长沙模拟)已知p：1x>1；q：x>m，

若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是()A．[0，＋∞)B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(－∞，1]答案C解析由1x>1，可得x(x－1)<0，解得0<x<1，记A＝{x|0<x<1}，B＝{x|x>m}，若p是q的充分条件，则A是B的子集

，所以m≤0，所以实数m的取值范围是(－∞，0]．5．关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x－1<x<13，则ab的值为()A．3B．2C．1D．6答案D解析因为关于x的一元二次不等式ax2＋bx＋1>0的解集为x－1<x<13，则a<0，

－1，13是方程ax2＋bx＋1＝0的根．由根与系数的关系，得－ba＝－1＋13，1a＝－1×13，解得a＝－3，b＝－2，故ab＝6.6．(2023·衡水质检)已知实数x，y，z满足x>y，z>0，则下列不等式恒成立的是()A.zx－zy>0B.zx－

zy<0C．x2z－y2z>0D．xz>yz答案D解析令x＝2，y＝1，z＝1，则zx－zy＝－12，即zx－zy<0，所以A选项错误；令x＝1，y＝－1，z＝1，则zx－zy＝2，即zx－zy>0，所以B

选项错误；令x＝－1，y＝－2，z＝1，则x2z－y2z＝－3<0，所以C选项错误；因为xz－yz＝(x－y)z，由x>y，z>0得xz－yz>0，即xz>yz，所以D选项正确．7．给定集合S＝{1,2,3,4,5,6

,7,8}，对于x∈S，如果x＋1∉S，x－1∉S，那么x是S的一个“好元素”，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有()A．5个B．6个C．9个D．12个答案B解析若由S的3个元素构成的集合中不含“好元素”，则这3个元素一定是连续的3个整数，故不含“好元素”的集合有{

1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．8．当a>0且a≠1时，若∀x∈R，a2x＋a－2x＋t(ax＋a－x)>0成立，则t的取值范围是()A．(1，＋∞)

B．(－∞，1)C．(－1，＋∞)D．(－∞，－1)答案C解析令m＝ax＋a－x，则当a>0且a≠1时，m＝ax＋a－x≥2ax·a－x＝2，当且仅当x＝0时，等号成立，且m2＝(ax＋a－x)2＝a2x＋a－2x＋2，则a2x＋a－2x＝m2－2，原不等式可化为m2＋tm－2>0对任意m∈[

2，＋∞)恒成立．所以t>2m－m恒成立，又y＝2m－m在[2，＋∞)上单调递减，所以t>22－2＝－1.二、多项选择题9．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2－2x<0}，B＝{x|2x>1}，则()A．A∩(∁UB)＝∅B．

A∪B＝AC．A⊆BD．B⊆A答案AC解析∵A＝{x|x2－2x<0}＝(0,2)，B＝{x|2x>1}＝(0，＋∞)，∴A∩(∁UB)＝∅，A∪B＝B，A⊆B，故AC正确，BD错误．10．以下命题中是真命题的是()A．∃x∈

R，使ex<x＋1成立B．∀θ∈R，函数f(x)＝sin(2x＋θ)都不是偶函数C．“a，b∈R，a>b”是“a|a|>b|b|”的充要条件D．“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件答案CD解析设f(x)＝ex－x－1，所以f′(x)＝ex－1，当x＝0时，函数f′(x)＝

0，当x<0时，f′(x)<0，当x>0时，f′(x)>0，故在x＝0时函数f(x)取得最小值，f(0)＝0，所以f(x)＝ex－x－1≥f(x)min＝f(0)＝0，即∀x∈R，ex≥x＋1，故A错误；当x＝π2时f(x)＝sin2x＋π2＝cos2

x，故函数f(x)为偶函数，故B错误；当a>b>0时，等价于a2－b2＝(a＋b)(a－b)>0，当0>a>b时，等价于－a2＋b2＝－(a＋b)(a－b)>0，当a>0>b时，等价于a2＋b2>0，反之同样成立，故C正确；“

x∈A∩B”⇒“x∈A”，“x∈A”⇏“x∈A∩B”，则“x∈A”是“x∈A∩B”的必要不充分条件，故D正确．11．(2022·莆田质检)已知直线l：ax＋by＋1＝0(a>0，b>0)与圆C：x2＋y2＝1相切，则下列说法正确的是()A．ab≥12B．ab≤1

2C.1a2＋1b2≥4D.a＋b22≤12答案BCD解析因为直线l：ax＋by＋1＝0与圆C：x2＋y2＝1相切，所以圆心C(0,0)到直线l的距离等于1，即1a2＋b2＝1，即a2＋b2＝1，且a>0，b>0，因为a2＋b2≥2

ab且a2＋b2＝1，所以ab≤a2＋b22＝12，即A错误，B正确；因为a2＋b2＝1，所以1a2＋1b2＝a2＋b2a2＋a2＋b2b2＝2＋b2a2＋a2b2≥2＋2b2a2·a2b2＝4当且仅当b2a2＝a2b2，即a＝b时取等号，即C正确；因为

a2＋b2≥2ab且a2＋b2＝1，所以a＋b22＝a2＋b2＋2ab4≤2(a2＋b2)4＝12(当且仅当a＝b时取等号)，即D正确．12．已知3a＝2,5b＝3，则下列结论正确的是()A．a<bB．a＋1a<b＋1bC．a＋b<2abD．a＋ab<b＋ba

答案AD解析因为3a＝2,5b＝3，则a＝log32，b＝log53.对于A，∵23<32，则2<233，从而0＝log31<a＝log32<233log3＝23，因为33>52，则3>235，则23＝235log5<b＝log53<log55＝1，即0<a<

23<b<1，A正确；对于B，a＋1a－b＋1b＝(a－b)＋1a－1b＝(a－b)(ab－1)ab，因为0<a<23<b<1，则a－b<0,0<ab<1，所以，a＋1a>b＋1b，B错误；对于C，因为2ab＝

2log32·log53＝2log52＝log54，所以，a＋b－2ab＝log32＋log53－log54＝log32－log543>log33－log55＝0，所以，a＋b>2ab，C错误；对于D，构造函数f(x)＝lnxx，其中0<x<e，则f′(

x)＝1－lnxx2.当0<x<e时，f′(x)>0，则函数f(x)在(0，e)上单调递增，因为0<a<b<1，则f(a)<f(b)，即lnaa<lnbb，可得ab<ba，所以，a＋ab<b＋ba，D正确．三、填空题13．已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，若

集合B＝{x|x≤a}满足A⊆B，则实数a的取值范围为________．答案[2，＋∞)解析∵A＝{x|－2≤x≤2}≠∅，A⊆B，∴A与B的关系如图，∴a≥2.14．设p：实数x满足(x－3a)(x－a)<0，q：实数x满足x＋

3x＋2≤0.当a<0时，若p是q的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案[－2，－1)解析由x＋3x＋2≤0，得(x＋3)(x＋2)≤0，x＋2≠0，解得－3≤x<－2，即q：B＝{x|－3

≤x<－2}，因为a<0，由(x－3a)(x－a)<0，得3a<x<a，即p：A＝{x|3a<x<a}，若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A，所以3a<－3，a≥－2，即－2≤a<－1.15．下

列命题中，真命题的序号是________．①∃x∈R，sinx＋cosx＝3；②若p：xx－1<0，则綈p：xx－1≥0；③lgx>lgy是x>y的充要条件；④△ABC中，边a>b是sinA>sinB的充要条件；⑤“a＝2

”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件．答案④解析对①，∵sinx＋cosx＝2sinx＋π4≤2，3>2，故①为假命题；对②，命题p：xx－1<0，解得0<x<1，所以綈p：{x|x≤0或x≥1}，而xx－1≥0的解集为{x|x≤0或x>1}，故②为

假命题；对③，当x＝1，y＝0时，满足x>y，但lgx>lgy不成立，故③为假命题；对④，根据正弦定理asinA＝bsinB可得，边a>b是sinA>sinB的充要条件，故为真命题；对⑤，满足函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数的a的取值范围为a≤2，故

“a＝2”是“函数f(x)＝|x－a|在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件，故⑤为假命题．16．一般地，把b－a称为区间(a，b)的“长度”．已知关于x的不等式x2－kx＋2k<0有实数解，且解集区间长度不超过3个单位，则实数k的取值范

围为________．答案[－1,0)∪(8,9]解析不等式x2－kx＋2k<0有实数解等价于x2－kx＋2k＝0有两个不相等的实数根，则Δ＝(－k)2－8k>0，解得k<0或k>8，设x2－kx＋2k＝

0的两根分别为x1，x2，不妨令x1<x2，则x1＋x2＝k，x1x2＝2k，由题意得x2－x1＝(x2＋x1)2－4x1x2＝k2－8k≤3，解得－1≤k≤9，结合k<0或k>8，所以实数k的取值范围为[－1,0)∪(8,9]．