【文档说明】湖北省恩施州咸丰县春晖学校2020-2021学年高一下学期3月第一次月考数学试题 含答案.docx，共(21)页，793.740 KB，由小赞的店铺上传

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春晖学校高一数学月考试题（三）2021.3.10一、单选题1．在下列各组向量中，可以作为基底的是（）A．()10,0e=，()21,1=eB．()11,2e=−，()25,10e=−C．()13,5e=，()23,5e=−−D．()12,3e=−，

232,4e=−2．已知，，，则（）A．ABD，，三点共线B．ABC，，三点共线C．BCD，，三点共线D．ACD，，三点共线3．如图，摩天轮的半径为40米，摩天轮的轴O点距离地面的高度为45米，摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，摩天轮上点P的起始位置在最高点

处，下面的有关结论不正确的是（）A．经过3分钟，点P首次到达最低点B．第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高C．从第7分钟至第10分钟摩天轮上的点P距离地面的高度一直在降低D．摩天轮在旋转一周的过程中点P有2分钟距离地面不低于65米4．已知π1sin63

+=，则2πcos3+的值是（）A．223B．13C．13−D．223−5．对于任意两个向量a和b，下列命题正确的是（）A．若a，b满足ab，且a与b同向，则abB．abab−+C．ababD．abab

−−6．我国东汉末数学家赵夾在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若,,aBAbBEBC→→→→→===3EF→，则BF→=（）

A．1292525ab→→+B．16122525ab→→+C．4355ab→→+D．3455ab→→+7．已知向量(1,2)a=，(6,4)A，(4,3)B，b为向量AB→在向量a上的投影向量，则||b=（）A．455B．1C．5D．48．设,PQ为ABC

内的两点,且2155APABAC=+,2134AQABAC=+,则ABP的面积与ABQ的面积之比为（）A．45B．35C．54D．53二、多选题9．,,abc是任意的非零向量，则下列结论正确的是（）A．若//,//abbc，则//acB．abbc=rrrr，则ac=C．若//

ac，则存在唯一的实数k，使akc=rrD．一定存在实数，使λab=10．对于函数()sin23()fxxxR=+，下列结论正确的是（）A．最小正周期为B．函数图象的对称中心为,0,26kkZ−C．单调递增区间为7,,1212kkkZ++

D．()fx的图象可由函数sin2yx=的图象向左平移3个单位得到11．已知向量,ab是同一平面内的两个向量，则下列结论正确的是（）A．若存在实数，使得ba=，则a与b共线B．若a与b共线，则存在实数，使得ba=C．若a与b不共线，则对平面内的任一向量

c，均存在实数,，使得cab=+D．若对平面内的任一向量c，均存在实数,，使得cab=+，则a与b不共线12．下图是函数y=sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)=（）A．πsin(3x+

）B．πsin(2)3x−C．πcos(26x+）D．5πcos(2)6x−三、填空题13．已知向量()()1,2,2,abm==−，ab+与ab−垂直，则m=__________．14．已知1tan3=−，则

2sin2cos1cos2a−+＝________.15．已知2a=，3b=，a与b的夹角为45°，若向量ab+与ab+的夹角为锐角时，则的取值范围为______16．将函数()22sincos23cos3fxxxx=−+

的图象向左平移()0aa个单位长度，得到函数()ygx=的图象，若()6gxgx−=对任意x成立，则实数a的最小值为_____．此时，函数()gx在区间13,1212上的图象与直线2y=所围成

的封闭图形的面积为______.四、解答题17．已知向量a与b的夹角34=，且3a=，22b=．（1）求ab，ab+；（2）求a与ab+的夹角的余弦值．18．已知向量()()2cos,sin,3cos,2cosaxxbxx==，设函数()fxab=·．（1）求()fx的最小正周期及对称轴；

（2）当,34x−时，求函数()fx的值域．19．如图，在菱形ABCD中，1,22BEBCCFFD==.（1）若EFxAByAD=+，求32xy+的值；（2）若||6,60ABBAD==，求ACEF.20．（1）已知平面向量a、b，其中()5,2a=−，若32b

=r，且//ab，求向量b的坐标表示；（2）已知平面向量a、b满足2a=，1b=，a与b的夹角为23，且（a+b）⊥（2ab−），求的值.21．设G为ABC的重心，过G作直线l分别交线段,ABAC(不与端点重合)于QP,．若,APABAQAC==．（1）求11+的

值；（2）求ACAB,的取值范围．22．如图，在ABC中，1ABAC==，120BAC=.（Ⅰ）求ABBC×的值；（Ⅱ）设点P在以A为圆心，AB为半径的圆弧BC上运动，且APxAByAC→→→=+，其中,xyR.求xy的最大值.参考答

案1．D【分析】本题可根据向量平行的相关性质依次判断四个选项中的1e、2e是否共线，即可得出结果.【详解】选项A：因为01010−=，所以1e、2e共线，不能作为基底；选项B：因为()110250−−−=，所以1e、2e共线，不能作

为基底；选项C：因为()()35350−−−=，所以1e、2e共线，不能作为基底；选项D：因为()323204−−−，所以1e、2e不共线，可以作为基底，故选：D.【点睛】本题考查平面向量中基底的要求，即共线向量不能作为基底，考查向量平行的相关性质，考查计算能力，

是简单题.2．A【解析】试题分析：，所以A、B、D三点共线，答案选A.考点：平面向量的共线定理3．C【分析】求得(),Pxy中y关于时间t的表达式，由此对选项逐一分析，从而确定正确选项.【详解】设(),Pxy

，则24540cos40cos4563ytt=+=+（t为摩天轮匀速逆时针旋转的时间，单位为分钟）.对于A选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以经过3分钟，点P首次到达最低点，A选项正确.对于B

选项，当4t=时，440cos45253y=+=；当8t=时840cos45253y=+=.所以第4分钟和第8分钟点P距离地面一样高，B选项正确.对于C选项，由于摩天轮匀速逆时针旋转，每6分钟转一圈，所以第7分钟至第10分钟，相当于第1分钟至第4

分钟，根据A选项可知，经过3分钟，点P首次到达最低点，所以第1分钟至第3分钟，摩天轮高度降低，第3分钟至第4分钟，摩天轮高度上升.所以C选项错误.对于D选项，由40cos45653t+得1cos32t，其中06t，所以023t，故033t或5233t

，即01t或56t，故摩天轮在旋转一周的过程中点P有112+=分钟距离地面不低于65米.D选项正确.故选：C4．C【分析】将角23+表示为2362+=++，

然后利用诱导公式可得出结果.【详解】21coscossin62633+=++=−+=−故选：C.【点睛】在应用诱导公式求三角函数值时，除了要掌握应用诱导公式的原则：“负化正”、“大化小”、“小化锐”外，还需善于观察，寻找角的关系

，如5()()12122+−−=，7()()12122−+−=，75()()1212−++=，这样可以沟通已知角与待求值角之间的关系．5．B【分析】根据向量的定义判断A，向量减法的

三角形法则判断BD，向量数量积公式判断C.【详解】A.向量不能比较大小，所以A不正确；B.根据向量减法运算公式可知，当向量a与b不共线时，两边之和大于第三边，即abab−+，当a与b反向时，等号成立，不B正确；C.cosababab=，故C不正确；D.当

向量a与b不共线时，根据向量减法法则可知，两边之差小于第三边，即abab−−，故D不正确.故选：B6．B【分析】利用平面向量的加法法则和数乘向量求解.【详解】由题得33334444BCCFBCEABCBA

BCBFBFABEB→→→→→→→→→→→=+=+=++=+−+即3344BCBFBFBA→→→→=+−+，解得16122525BCFABB→→→=+，即16122525abBF→→→=+，故选：B【点睛】方

法点睛：向量的线性运算，一般主要考查平面向量的加法、减法法则、平行四边形法则和数乘向量，要根据已知条件灵活运算这些知识求解.7．A【分析】首先计算AB，再根据投影公式计算投影向量的模.【详解】()2,1AB=−−由投影公式可知()21124555ABab

a−+−===.故选：A【点睛】本题考查投影的计算，属于基础题型.8．A【分析】作//PMAB，//PNAC，根据平行四边形法则可知APAMAN=+，从而得到15AMAC=，进而得到15ABPABCSS=；同理可得1

4ABQABCSS=，进而求得结果.【详解】作//PMAC，交AC于M；//PNAB，交AB于N四边形ANPM为平行四边形APAMAN=+又2155APABAC=+15AMAC=，即15AMAC=15APBABCS

S=，即15ABPABCSS=，同理可得：14ABQABCSS=145154ABCAPBABQABCSSSS==本题正确选项：A【点睛】本题考查平面向量在几何中的应用，关键是能够利用向量加法的

平行四边形法则建立等量关系，进而根据线段的比例关系得到面积比.9．AC【分析】A.根据,,abc是任意的非零向量，由平行关系的传递性判断.B.将abbc=rrrr变形为()0bac−=，再根据,,ab

c是任意的非零向量判断.C.由平面向量共线定理判断.D.由共线向量定理判断.【详解】A.因为,,abc是任意的非零向量，且//,//abbc，由平行关系的传递性可得//ac，故正确.B.()0abbcbac=−=rrrrrrr，因为,,abc是任

意的非零向量，所以得到()bac⊥−，故错误.C.由平面向量共线定理知，若//ac，则存在唯一的实数k，使akc=rr，故正确.D.只有当//ab时，由共线向量定理知，才存在实数，使λab=，故错误.故选：AC【点睛】本题主要考查平面向量的

概念，共线定理，数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.10．AB【分析】利用正弦函数的性质判断各选项．【详解】22T==，A正确；23xk+=，26kx=−，∴对称中心是,0,26kkZ−，B正确

；222232kxk−++，51212kxk−+，增区间是5,,1212kkkZ−+，C错；函数sin2yx=的图象向左平移3个单位得到图象的解析式是2sin2sin233yxx=+=+，D错．故选：

AB．【点睛】关键点点睛：本题考查正弦（型）函数的性质．对函数()sin()(0,0)fxAxA=+，其性质可以利用正弦函数sinyx=的性质求解，把x+作为sinyx=中的x计算可得．如对称点、对称中心，单调区间等．11．ACD【分析】根据平面向量共线、平面向量的基本定理判断

出正确选项.【详解】根据平面向量共线的知识可知A选项正确.对于B选项，若a与b共线，可能0a=，当b为非零向量时，不存在实数，使得ba=，所以B选项错误.根据平面向量的基本定理可知C、D选项正确.故选：A

CD【点睛】本小题主要考查平面向量共线、平面向量的基本定理，属于基础题.12．BC【分析】首先利用周期确定的值，然后确定的值即可确定函数的解析式，最后利用诱导公式可得正确结果.【详解】由函数图像可知：22362T=−=，则222T===，所以不选A,当253

6212x+==时，1y=−()5322122kkZ+=+，解得：()223kk=+Z，即函数的解析式为：2sin22sin2cos2sin236263yxkxxx=++=++=+=−.而5cos2cos(2

)66xx+=−−故选：BC.【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)由ω＝

2T即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝π)，即可求出φ.(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求

，则可用诱导公式变换使其符合要求.13．【解析】向量()()1,2,2,abm==−，ab+与ab−垂直，故()()2222·0,abababab+−=−==，即2541mm=+=，故答案为1.14．56−【分析】利用二倍角公式将所求式子

中的二倍角展开，分子分母同时除以2cos可得关于tan的式子，代入求得结果.【详解】22212()1sin2cos2sincoscos2tan1531cos22cos226−−−−−====−+.故答案为：56−15．()11851185

,,11,66−−−+−+【分析】两个向量夹角是锐角的等价条件是两个向量的数量积大于零，且两个向量不能同向，从而求得的取值范围.【详解】ab+与ab+的夹角为锐角，即()()0abab++，且1，所以222(1)0aabb+++，22

2(1)23902+++，解得：11856−−或11856−+且1．故答案为：()11851185,,11,66−−−+−+【点睛】本题考查数量积的运算、

夹角运算，考查转化与化归思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意把向量共线的情况进行排除．16．32【分析】先将函数()fx化简为()2sin23fxx=−，由平移得到()ygx

=的解析式，()6gxgx−=对任意x成立，即函数()gx的对称轴为12x=，可求出a的最小值，然后用割补的方法，可得图形的面积.【详解】()22sincos23cos3fxxxx=−+()2sin2

32cos12sin23xxx=−−=−由()2sin23fxx=−图象向左平移()0aa个单位长度.则得到()2sin22sin2233yxaxa=+−=+−.所以()2sin2

23axxg+−=.由若()6gxgx−=对任意x成立，则函数()gx的对称轴为12x=.得2,632akkZ−+=+，所以23ka=+，kZ则a的最小值为3；此时()2sin23gxx=+，由对称性可知，如图.即7

12x=右边阴影部分2S的面积等于左边1S的面积.所求面积即为直线7,1212xx==以及2,2yy==−围成矩形面积，即为2.故答案为：.3，2【点睛】本题考查三角函数图像的平移变换和对称性，属于中档题.17．（1）6ab=−

，5ab+=；（2）55.【分析】（1）利用平面向量数量积的定义可计算得出ab的值，利用平面向量数量积的运算性质计算得出()2abab+=+的值；（2）计算出()aab+的值，利用平面向量夹角的余弦公式可求得a与ab+的夹角的余弦值．【详解】（1）由已知，得2co

s32262abab==−=−，()()()222222326225ababaabb+=+=++=+−+=；（2）设a与ab+的夹角为，则()2965cos535aabaabaabaab++−====++，因此，a与ab+的夹角的余弦值为55.18

．（1）T=，()122kxkZ=+；（2）0,23+.【分析】先把()fx化为“一角一名一次”结构，根据正弦型函数的图像和性质分别求周期，对称轴和值域.【详解】2()23cos2sincosfxabxxx==+2sin23

(2cos1)3sin23cos232sin(2)33xxxxx=+−+=++=++（1）函数()fx的最小正周期为22T==对称轴为2(),()32122kxkkZxkZ+=+=+（2）由得当5,,2,34336xnx−++−

，3sin(2),132x+−，2sin(2)3,2,2sin(2)30,2333xx+−+++函数()fx的值域为0,23+．【点睛】(1)三角函数问题通常需要把它化为“一角一名一次”的结构，借助于si

nyx=或cosyx=的性质解题；(2)求单调区间，最后的结论务必写成区间形式，不能写成集合或不等式；(3)求三角函数的值域要用函数的单调性.19．（1）1−；（2）9−.【分析】（1）利用平面向量基本定理，取ABADuuuruuur、为基底，利用向量加减法可解；（2）把所有的

向量用基底ABADuuuruuur、表示后，计算ACEF.【详解】解：（1）因为1,22BEBCCFFD==，所以12122323EFECCFBCDCADAB=+=−=−，所以21,32xy=−=，故213232132xy+=−+=−.（2）∵ACABAD=+，∴2212

121()23236ACEFABADADABADABABAD=+−=−−∵ABCD为菱形∴||=||6ADAB=∴2211||||cos66ACEFABABBAD=−−.11136369662=−−=−，即9ACEF=−.【点睛】

在几何图形中进行向量运算:(1)构造向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则；(2)树立“基底”意识，利用基向量进行线性运算.20．（1）()10,22b=−或()10,22b=−；（2）3=【分析】（1）设(),bxy=r，根据题

意可得出关于实数x、y的方程组，可求得这两个未知数的值，由此可得出平面向量b的坐标；（2）利用向量数量积为零表示向量垂直，化简并代入求值，可解得的值．【详解】（1）设(),bxy=r，由//abrr，可得520yx+=，由题意可得2252032yxxy+=+=，解得1022xy=

=−或1022xy=−=.因此，()10,22b=−或()10,22b=−；（2）()()2abab+⊥−，()()20abab+−=化简得()222210aabb+−−=，即()182121

02+−−−=，解得3=21．(1)113+=；(2)41,92.【解析】试题分析：（1）用ACAB,表示AG，再表示PGPQ,，利用三点共线，可求得结果；（2）由（1）中结论得用表示，再利用二次函数的值

域的求法，最终可得ACAB,的值的范围.试题解析：(１)连结AG并延长交BC于M,则M是BC的中点，设cACbAB==,，则)(21)(21cbACABAM+=+=，)(3132cbAMAG+==①又,APABbAQACc====，②bcuAPAQPQ−=−=

，cbbcbAPAGPG31)31()(31+−=−+=−=QGP,,三点共线，故存在实数t，使PQtPG=，11()33bctctb−+=−1313tt−=−=，消t得：13−=−，即11

3+=或者另一种解法由②式得1,bAP=1cAQ=，③将③代入①得1133AGAPAQ=+．QGP,,三点共线，故11133+=,即113+=．(２)()()1,0,10,1,1312

=−，即()11,2，2221111139313()24===−−+−−+其中231=时，312+−有最大值49，211或=时，312+−有最小值2，于是的取值范围是41,92

．考点：三点共线、二次函数.【思路点晴】本题考查学生对向量几何表示的认识．由题意可知若要建立、的等式关系，需从三点共线的角度进行解决，这是本题的难点，基底的选取应该是ACAB,．由第一问的、的等式关系，可用表示，或者用表示，代入中转化成二次函数求最值的问题．

本题难度中等.22．（Ⅰ）32-；（Ⅱ）1.【分析】(I）建立坐标系，求出向量坐标，代入数量积公式计算；(II）利用向量坐标运算，得到三角函数，根据三角函数求出最大值.【详解】（Ⅰ）()ABBCABACAB→→→→→=−213122ABACAB→→→=−=−−=−.（Ⅱ）建立如图所

示的平面直角坐标系，则(1,0)B，13(,)22C−.设(cos,sin)P，[0,]3，由APxAByAC→→→=+，得13(cos,sin)(1,0)(,)22xy=+−.所以3cos,sin22

yxy=−=.所以3cossin3x=+，23sin3y=，2232311sincossinsin2cos233333xy=+=+−2311(sin2cos2)3223=−+21sin(2)363

=−+，因为2[0,]3，72[,]666−−.所以，当262−=，即3=时，xy的最大值为1.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算，向量的坐标运算，正弦型函数的图象与性质，属于

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