【文档说明】吉林省通化市靖宇中学、东辽一中等校2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(24)页，1.886 MB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-55fe32cdb0f920a1b26cc6ee727f2104.html

以下为本文档部分文字说明：

2023—2024学年度第二学期高一盟校期末考试数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号，座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂

黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一

､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i2iz+=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知()2,1,3a=−是直线l的方向向量，(),2,1bm=−是平面的

法向量，若//l，则m=（）A.4−B.52−C.52D.43.在ABC中，角,,ABC对边分别是,,abc，若13,6,sin4abA===，则B=（）A.π6或5π6B.π3或2π3C.π6D.π34.已知向量,ab满足22ab==，且22

ab−=，则向量,ab夹角是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π65.某公司对员工工作绩效进行评估，得到一组数据1239,,,,xxxxL，后来复查数据时，又将39,xx重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A.平均数B.中位数

C.极差D.众数的的的6.在正四棱锥PABCD−中，25,22,PAABE==是棱PD中点，则点B到直线AE的距离是（）A.173B.302C.322D.21737.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，

每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一

个月的概率为（）A.45B.23C.35D.14158.在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面,2,120,ABCABACBACD===是棱BC上的动点，直线1AD与平面ABC所成角的最大值是45，点P在底面ABC内，且1

2AP=，则点P的轨迹长是（）A.π3B.2π3C.4π3D.2π二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.某商场评选金牌销售员，现将该商

场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则（）A.该商场有20名销售员B.该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C.该商场这个月有30%销售员的销售额超过7万元D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万

元10.已知复数z满足210zz−+=，则（）的的A.1z=B.13i22z=−C.12z+=D.23z−=11.在长方体1111ABCDABCD−中，132,7ABADAA===，点P在线段11AC上，则（）A.APBD⊥B.直线PB与平面ABCD所成角的正弦值的最小值是74C

.APBP+的最小值是272+D.三棱锥−PABC外接球的表面积的最小值是36π三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件,,ABC两两互斥，若()()()189,,51520PAPABPAC===，则

()PBC=__________.13.如图，在正四面体ABCD中，3,,ABEF=分别在棱,ADBC上，且2,3BFCFADAE==，若EFxAByACzAD=++，则xyz++=__________；EF=__________.14.已知O是ABC的外心，若AOBCCOAB=

，则内角B的最大值是__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，13,,SACD=为底面圆O上的点，//CDAB，210,ABCDE==是母线S

B的中点.（1）证明：//CE平面SAD.（2）求四棱锥SABCD−的体积.16.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且coscos4bCcB+=.（1）求a；（2）若1cos3A=，ABC的面积是522，求ABC的周长.17.某校举

办环保知识竞赛，初赛中每位参赛者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的

.（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；（2）求乙通过初赛的概率；（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.18.如图，在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面,ABCABC△是等边三角形，14ABAA==，,DE分别在线段11,ACAB上，且ADBE=.（

1）证明：1DEAA⊥.（2）求DE的长的最小值.（3）当DE的长取得最小值时，求二面角1ADEA−−的正弦值.19.A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点,PQ任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ施以视角运算”：若点M在线段PQ上

，记()sin,;sinAPPAMPQMAQMAQ=；若点M在线段PQ外，记()sin,;sinAPPAMPQMAQMAQ=−.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，点D在射线BC上.（1）

若AD是角A的平分线，且3bc=，由A点对BC施以视角运算，求(),;BCD的值；（2）若60,4,AaABAD==⊥，由A点对BC施以视角运算，(),;223BCD=−，求ABC的周长；（3）若120A=o，4=AD，由A点对BC施以视角运算，(),;cBCDb=，求4b

c+的最小值.2023—2024学年度第二学期高一盟校期末考试数学试卷本试卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号，座位号填写在答题卡上.2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干

净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册，选择性必修第一册第一章.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中

，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数1i2iz+=，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的除法运算化简，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为()21ii1i11i2i

2i22z++===−，所以z在复平面内对应的点为11,22−，位于第四象限.故选：D2.已知()2,1,3a=−是直线l的方向向量，(),2,1bm=−是平面的法向量，若//l，则m=（）A.4−B.

52−C.52D.4【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用0ab=列式计算即得.【详解】由//l，得0ab=，即2230m−−=，解得52m=.故选：C3.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若13,6,sin4abA===，则B=（）A.π6或5π6B.π

3或2π3C.π6D.π3【答案】A【解析】【分析】根据题意，由正弦定理代入计算，即可得到结果.【详解】由正弦定理可得sinsinabAB=，即16sin14sin32bABa===，且()0,πB，则B=π6或5π6.故选：A4.已知向量,ab满足22ab==，且22ab−=，则向

量,ab的夹角是（）A.π6B.π3C.2π3D.5π6【答案】B【解析】【分析】将22ab−=两边平方，结合数量积的运算律求出ab，再由夹角公式计算可得.【详解】因为22ab==，且22ab−=，所以22444aabb−+=，即22

24414ab−+=，解得1ab=，所以11cos,122ababab===，又,0,πab，所以π,3ab=.故选：B5.某公司对员工的工作绩效进行评估，得到一组数据1239,,,,xxxxL，后来复查数据时，又将39,x

x重复记录在数据中，则这组新的数据和原来的数据相比，一定不会改变的是（）A.平均数B.中位数C.极差D.众数【答案】C【解析】【分析】根据题意，由平均数，中位数，极差以及众数的定义，即可判断.【详解】平均数是所有数据之和再除以这组数据的个数，故平均数有

可能改变，中位数是按照顺序排列一组数据中居于中间位置的数，故中位数也可能改变，极差表示一组数据中最大值与最小值之差，将39,xx重复记录在数据中，最大值与最小值并未改变，所以极差一定不变，众数是一组数据中出现次数最多的数，有可能改变.故选：C6.在正四棱锥

PABCD−中，25,22,PAABE==是棱PD的中点，则点B到直线AE的距离是（）A.173B.302C.322D.2173【答案】D【解析】【分析】先根据几何图形特征求出,,ABAEBE,再应用余弦定理求解即可.【详解】在PAD中，225,22,cos25

PAPDADPDA====在ADE中，因为122,5,2ADABDEPD====由余弦定理得228522259,325AEAE=+−==.在BDE中，因为115,422DEPDPABD====,由余弦定理得22165

24513,1325BEBE=+−==.过B作BTAE⊥的在ABE中，由余弦定理得98131cos,232232EAB+−==因为22cossin1,EABEAB+=所以17217sin,33222BTBTEABBTA

B====.故选：D.7.“春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、

小满、芒种、夏至、小暑、大暑这6个节气中任选2个节气，则这2个节气不在同一个月的概率为（）A.45B.23C.35D.1415【答案】A【解析】【分析】运用列举法，求出样本空间的样本点数，再找出满足题

意的种数，最后运用古典概型公式求解即可.【详解】样本空间={（立夏，小满），（立夏，芒种），（立夏，夏至），（立夏，小暑），（立夏，大暑），（小满，芒种），（小满，夏至），（小满，小暑），（小满，大暑），（芒种，夏至），（芒种，小暑），（芒种，大暑），（夏至，小暑），（夏至，大暑），（小暑，

大暑）}，共有15个样本点.其中任取2个节气，这2个节气不在同一个月的样本点有12个.所以这2个节气不在同一个月的概率为124155=.故选：A．8.在三棱柱111ABCABC-中，1AA⊥平面,2,120,ABCA

BACBACD===是棱BC上的动点，直线1AD与平面ABC所成角的最大值是45，点P在底面ABC内，且12AP=，则点P的轨迹长是（）A.π3B.2π3C.4π3D.2π【答案】B【解析】【分析】连接AD，则1ADA为直线1AD

与平面ABC所成角，从而得到11tanAAADAAD=，所以当AD取最小值时1ADA取得最大值，求出AD的最小值，即可求出1AA，连接AP，由勾股定理求出AP，即可得到点P在以A为圆心，1为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为2π3B

AC=，即可求出轨迹长.【详解】连接AD，因为1AA⊥平面ABC，所以1ADA为直线1AD与平面ABC所成角，所以11tanAAADAAD=，又直线1AD与平面ABC所成角的最大值是45，所以()1maxtan1ADA=，当且仅当AD取最小值时1ADA取得最大值，因为

2,120ABACBAC===，所以当ADBC⊥时AD取最小值，此时2sin301AD==，所以11AA=，又点P在底面ABC内，且12AP=，连接AP，因为1AA⊥平面ABC，AP平面ABC，所以1AAAP⊥

，所以()222211211APAPAA=−=−=，所以点P在以A为圆心，1为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为3122π0BAC==，所以点P的轨迹长为2π2π133=.故选：B【点睛】关键点点睛：本题关键是由线面角求出1AA的长度，再由勾股定理求出1

AP=，即可确定P的轨迹.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分9.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进

行整理，得到如图所示的统计图，则（）A.该商场有20名销售员B.该啇场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元C.该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元【答案】

ACD【解析】【分析】根据统计图，统计即可求解AC，根据平均数的计算即可求解B，根据百分位数的计算即可求解D.【详解】由统计图可知该商场有124732120++++++=名销售员，则A正确.该商场这个月所有销售员销售额的平均数

为45264778392106.9520++++++=万元，则B错误.该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为630%20=，则C正确.因为2085%17=，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是898.52+=万元，则D正确.故选

：ACD10.已知复数z满足210zz−+=，则（）A.1z=B.13i22z=−C.12z+=D.23z−=【答案】AD【解析】【分析】根据题意，由条件可得13i22z=，然后由复数的模长公式代入计算，逐一判

断，即可得到结果.【详解】因为210zz−+=，则21324z−=−，所以13i22z=，则2213122z=+=，故A正确；当13i22z=+时，13i22z=−，当13i22z=−时，13i22z=

+，故B错误；因为331i22z+=，则22331322z+=+=，故C错误；因为332i22z−=−，则22332322z−=−+=，故D正确；故选：AD11.在长方体1111ABCDABCD

−中，132,7ABADAA===，点P在线段11AC上，则（）A.APBD⊥B.直线PB与平面ABCD所成角的正弦值的最小值是74C.APBP+的最小值是272+D.三棱锥−PABC外接球的表面积的最小值是36π【答案】AD【解析】【分析】根据线面垂直证明线线垂直；利用线面角的

定义计算夹角的正弦值；利用空间向量法结合两点之间距离公式、基本不等式和二次函数最值，求得结果；根据题意解析三棱锥外接球的半径，再结合球的表面积求答案；【详解】对于A，在长方体1111ABCDABCD−中，111,,//AABDACBDACAC⊥⊥，可得11,ACBD⊥又111,AAAC是平面11

AAC内两条相交直线，所以BD⊥平面11AAC,又因为AP平面11AAC，所以APBD⊥，A正确；对于B，在长方体1111ABCDABCD−中，点P到平面ABCD的距离等于1AA，点P在线段11AC上，222211

1(7)(32)5ABBCAAAB==+=+=，2222111111(32)(32)6ACADAB=+=+=,在等腰三角形11ABC中，45PB，可知直线PB与平面ABCD所成角的正弦值为177,54PBAA,B错误；对于C，如图建立空间直角坐标系，()

()()0,0,0,32,0,0,32,32,0DAB,设1(06)PCaa=，所以22(,32,7)22aaP−，22222222(32)(32)7(32)()72222aaaaAPBP+=−+−++−+−+2222212436251243625229342aaaaaaaaa

a−++−+=−++−+=−+，令2934(06)yaaa=−+，根据二次函数的性质可得当92a=时，函数有最小值554,所以APBP+的最小值是55，C错误；对于D，三棱锥−PABC中，ABC的外

接圆半径为3，所以三棱锥−PABC外接球的半径最小为3，即球的表面积的最小值是36π，D正确；故选：AD.【点睛】方法点睛：于不等式而言22221243625124362522aaaaaaaa−++−+−++−+，这里本

质上是利用了不等式()2,0,02uvuvuv++，而()()2222,0,02uvuvuvuvuvuvuvuv++++++，也就是说()2,0,02uvuvuv++可以看作是由基本不等式变形而来的一个重要不等式.三､填空题

：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知事件,,ABC两两互斥，若()()()189,,51520PAPABPAC===，则()PBC=__________.【答案】712【解析】【分析】根据互斥事件的概率加

法公式即可求解.【详解】因为事件,,ABC两两互斥，所以8()()()15PABPAPB=+=，又因为1()5PA=，所以811()1553PB=−=，同理可得1()4PC=，所以117()()()3412PBCPBPC=+=+=.

故答案为：712.13.如图，在正四面体ABCD中，3,,ABEF=分别在棱,ADBC上，且2,3BFCFADAE==，若EFxAByACzAD=++，则xyz++=__________；EF=__________.【答案】①.23②.5【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则及基本定理求出x、

y、z，再根据2112333ADABEFAC=−++及数量积的运算律计算可得.【详解】依题意13AEAD=，23BFBC=uuuruuur，因为1233EFEAABBFADABBC=++=−++()1233ADABACAB=−++−112333ADABAC=−

++，又EFxAByACzAD=++，所以132313xyz===−，所以12123333xyz++=++−=；则2112333ADABEFAC=−++222114244999999ADABACADABADACACAB=+

+−−+2221142141413333333335999929292=++−−+=.故答案为：23；514.已知O是ABC的外心，若AOBCCOAB=，则内角B的最大值是__________.【答案】π3##60【解析】【分析】取

,ABAC的中点,DE，连接,ODOE，因为O是ABC的外心，所以,ODABOEAC⊥⊥，根据平面向量加法的三角形法则和平面向量数量积的定义将AOBC和COAB转化为边得到边之间的关系，再利用余弦定理结合重要不等式即可求解.【详解】取,ABAC的中点,D

E，连接,ODOE，如图：因为O是ABC的外心，所以,ODABOEAC⊥⊥，设ABC中,,ABC对应边分别为,,abc，则()()()AOBCAOACABAOACAOABAEEOACADDOAB=−=−=+−+221122AEADCbAABc

=−=−，同理可得221122COABab=−，因为AOBCCOAB=，所以2222222111122222bcabbac−=−=+，根据余弦定理得：22222222211212cos22442acacacbacacBacacacac++-+-

+===壮?，当且仅当ac=时等号成立，因为函数cosyx=在()0,π为减函数，且()0,πB，所以内角B的最大值是π3.故答案为：π3.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.如图，在圆锥SO中，AB是底面圆O的直径，13,,SACD=为底面圆O上的

点，//CDAB，210,ABCDE==是母线SB的中点.（1）证明：//CE平面SAD（2）求四棱锥SABCD−的体积.【答案】（1）证明见解析（2）753【解析】【分析】（1）取SA的中点F，连接EF，DF，即

可证明四边形DCEF为平行四边形，从而得到//CEDF，即可得证；（2）首先求出圆锥的高SO，再连接OD、OC求出AOD△、ODC、OBC△的面积，最后由锥体的体积公式计算可得.【小问1详解】取SA的中点F，连接EF，DF，因为E是母线SB

的中点，所以//EFAB且12EFAB=，又//CDAB，210ABCD==，所以//EFCD且EFCD=，所以四边形DCEF为平行四边形，所以//CEDF，又CE平面SAD，DF平面SAD，所以//CE平面S

AD.小问2详解】因为圆锥的母线为13SA=，底面半径5OA=，所以圆锥的高222213512SOSAAO=−=−=，.【又//CDAB，210ABCD==，连接OD、OC，所以AOD△、ODC、OBC△均为边长为5的等边三角形，所以1325355224AODCODBOCSSS===

=，所以7534ABCDAODCODBOCSSSS=++=，又SO⊥平面ABCD，所以1175312753334ABBCDSACDVSSO−===.16.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，且coscos4bCcB+=.（1）求a；（2）若1cos3A=，AB

C的面积是522，求ABC的周长.【答案】（1）4（2）10【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式及诱导公式计算可得；（2）首先求出sinA，由面积公式求出bc，由余弦定理求出22bc+，即可求出bc+，从而得解.【小问1详解】由正弦定

理2sinsinsinabcRABC===（R为外接圆半径），则2sinbRB=，2sincRC=，2sinaRA=，因为coscos4bCcB+=，所以()2sincossincos4RBCCB+=，所以()2sin4RBC+=，即2sin4RA=，的所

以4a=.【小问2详解】因为1cos3A=，()0,πA，所以22122sin1cos133AA=−=−=，又112252sin2232ABCSbcAbc===，所以152bc=，由余弦定理2222cosabcbcA=+−，即2215116223

bc=+−，解得2221bc+=，所以()22215221262bcbcbcbc+=+=++=+=，所以ABC的周长4610ABCCabc=++=+=.17.某校举办环保知识竞赛，初赛中每位参赛

者有三次答题机会，每次回答一道题，若答对，则通过初赛，否则直到三次机会用完.已知甲､乙､丙都参加了这次环保知识竞赛，且他们每次答对题目的概率都是12，假设甲､乙､丙每次答题是相互独立的，且甲､乙､丙的答题结果也是相互独立的

.（1）求甲第二次答题通过初赛的概率；（2）求乙通过初赛的概率；（3）求甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛的概率.【答案】（1）14（2）78（3）147512【解析】【分析】（1）根据相互独立事件的概率公式计算可得；（2）根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得；（3）根据相互独立事

件及互斥事件的概率公式计算可得.【小问1详解】记甲第二次答题通过初赛为事件A，则()1111224PA=−=；【小问2详解】记乙通过初赛为事件B，则()111711112228PB=−−

−−=；【小问3详解】依题意甲、乙、丙每人通过初赛的概率均为78，记甲、乙、丙三人中恰有两人通过初赛为事件C，则()777777777147111888888888512PC=−+−+−=.18.如图，在三棱柱111ABCA

BC-中，1AA⊥平面,ABCABC△是等边三角形，14ABAA==，,DE分别在线段11,ACAB上，且ADBE=.（1）证明：1DEAA⊥.（2）求DE的长的最小值.（3）当DE的长取得最小值时，求二面角1ADEA−−的正弦值.【答案

】（1）证明见解析（2）2（3）437【解析】【分析】（1）利用空间向量法证明线线垂直；（2）利用两点之间距离和二次函数最值解出答案；（3）利用空间向量法计算面面夹角的正弦值；【小问1详解】取,OF分别为线段11,ACAC的中点，连接1,OBOF，在三棱柱111ABCABC-中

，1AA⊥平面,ABCABC△是等边三角形，所以1111,OBACOFAA⊥，又1111111,,AAOBAAACOFAC⊥⊥⊥且11,OFAC是平面11AACC内两条相交直线所以1OB⊥平面11,AACCOF平面111AACCOBOF⊥，可知111,,ACOBOF两

两互相垂直，则以为O原点，以11,,OAOBOF的方向分别为,,xyz轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．14ABAA==，设(042)ADBEaa==.可得122262(2,0,4),(2,0,0),(2,0,4),(,23,4)

22442AADaaEaaa−−−−1326(0,0,4),(2,23,0)44AADEaa=−=−−因为13260(2)0(23)40044AADEaa=−+−−=，所以1DEAA⊥【小问2详解】由（1）可知2223263(2)(23)0621644

2DEaaaa=−+−+=−+令236216(042)2yaaa=−+，根据二次函数的最小值可知，当22a=时，y取最小值为23(22)62221642y=−+=，所以DE的长的最小值为2.【小问3详解】当DE的

长取得最小值时，即22a=，则11(2,0,4),(2,0,0),(0,0,2),(1,3,2),(2,0,2),(2,0,2),(1,3,0)AADEADADDE=−−=−=，设平面ADE的法向量为(,,)mxyz=，则22030mADxzmDExy=−−==+=，令1x

=，则3(1,,1)3m=−−设平面1ADE的法向量为111(,,)nxyz=，则1111122030mADxzmDExy=−+==+=，令1x=，则3(1,,1)3m=−设二面角1ADEA−−的平面角为，所以111,13coscos,711

111133mnmnmn+−====++++，所以22143sin1cos1()77=−=−=二面角1ADEA−−的正弦值437.19.A是直线PQ外一点，点M在直线PQ上（点M与点,PQ任一点均不重合），我们称如下操作为“由A点对PQ

施以视角运算”：若点M在线段PQ上，记()sin,;sinAPPAMPQMAQMAQ=；若点M在线段PQ外，记()sin,;sinAPPAMPQMAQMAQ=−.在ABC中，角,,ABC的对边分别是

,,abc，点D在射线BC上.（1）若AD是角A的平分线，且3bc=，由A点对BC施以视角运算，求(),;BCD的值；（2）若60,4,AaABAD==⊥，由A点对BC施以视角运算，(),;223BCD=−，求ABC

的周长；（3）若120A=o，4=AD，由A点对BC施以视角运算，(),;cBCDb=，求4bc+的最小值.【答案】（1）13（2）42226++（3）36【解析】【分析】（1）依题意可得BADDAC=，从而得到()sin,;sinABBADcB

CDACDACb==，即可得解；（2）根据所给定义及条件得到312bc+=，再由余弦定理求出c，即可求出b，从而求出三角形的周长；（3）依题意可得BADDAC=，由等面积法得到()4bcbc=+，从而

得到441bc+=，再由乘“1”法及基本不等式计算可得.【小问1详解】因为AD是角A的平分线，所以BADDAC=且D在线段BC上，所以()sin,;sinABBADcBCDACDACb==，又3bc=，所以()1,;3cBCDb==；小问2详解】因为点D在射线BC上，60BAC=

，且ABAD⊥，所以D在线段BC外，且30DAC=，所以()sinsin902,;223sinsin30ABBADccBCDACDACbb=−=−=−=−，所以312bc+=，在ABC中，由余弦定理可得222

2cosabcbcA=+−，即222242331316422cccc+++−==，解得463c=（负值已舍去），所以62263b+=，【所以ABC的周长为42226ABCCabc=++=++.【小问3详解】因为(),;0cBCDb=，所以sinsinABBADcACDACb=，则BADD

AC=，因为120A=，所以60BADDAC==，又ABCABDADCSSS=+，所以111sin120sin60sin60222bcbADcAD=+，又4=AD，所以()4bcb

c=+，所以441bc+=，所以()44164164442022036cbcbbcbcbcbcbc+=++=+++=，当且仅当164cbbc=，即12b=，6c=时等号成立，所以4bc+的最小值

为36.【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是推导出()4bcbc=+，即441bc+=.