【文档说明】湖北省武汉市部分学校2024-2025学年高三上学期九月调研考试数学试卷 Word版含解析.docx，共(20)页，1.448 MB，由小赞的店铺上传

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2024~2025学年度武汉市部分学校高三年级九月调研考试数学试卷武汉市教育科学研究院命制2024.9.4本试题卷共4页，19题，全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考

证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区城均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上

对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足22izz+=−，

则z=（）．A.1i−−B.1i−+C.1i−D.1i+【答案】D【解析】【分析】先化简再根据复数的乘除法计算可得.【详解】因为22izz+=−，所以212iz+=−,所以21iz=−，221i1i1i1iz−===+−−.故选：D.2.已知集合2230Axxx=−−，(

)2lg1Byyx==+，则AB=（）A.()1,3−B.(1,0−C.)0,3D.(),3−【答案】C【解析】【分析】分别求出集合A和B，然后，利用交集的运算可得答案.【详解】(1)(3)0(1,3)Axxx=+−=−，())2lg10,Byyx==+=+，

)0,3AB=.故选：C3.7212xx−展开式中含21x项的系数为（）A.420B.420−C.560D.560−【答案】D【解析】【分析】由二项展开式的通项公式解出r的值，进而可得2x−项的系数.【详解】由题意知，7212xx−的二项展开式的通项公式为()()77731

7721C212CrrrrrrrrTxxx−−−+=−=−，令732r−=−，得3r=，故含21x项的系数为()343712C1635560−=−=−.故选：D.4.设等差数列na的前n项和为nS，若10331035,7SSa

a−=+=，则na的公差为（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的基本量的计算即可求解.【详解】由103103456789103535SSSSaaaaaaa−=−=++++++=，故7735a=，则75a=，由3107aa+=得677aa+=，故62a=，故公

差为763aa−=，故选：C5.某圆锥母线长为1，其侧面积与轴截面面积的比值为2π，则该圆锥体积为（）A3π8B.π8C.3π8D.3π24【答案】B【解析】【分析】设出圆锥底面圆半径，利用圆锥侧面积公式及

三角形面积公式列式计算即得.【详解】设圆锥底面圆半径为r，圆锥高为h，依题意，π2122rrh=，解得12h=，所以13142r=−=.该圆锥体积为1313428=故选：B6.已知0a且1a，若函数,()log()1,xaaaxafx

xaxa−=++的值域为R，则a的取值范围是（）A.10,2B.1,12C.(1,2D.)2,+【答案】A【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的单调性，对a进行分类讨论，可得答案.【详解】,()log()1,xaaaxafxxaxa−=

++的值域为R，0a且1a，当1a时，则xa，()xafxa−=为增函数，()()1ffxa=，而xa时，()log()1afxxa=++为增函数，此时，()()log21log222aafxfaa=+=+，不符题意；当01a时，则xa，()xafxa

−=为减函数，()()1fxfa=，.而xa时，()log()1afxxa=++为减函数，此时，()()log21log22aafxfaa=+=+，因为()fx的值域为R，当且仅当log221a+时，满足题意，此时，log21a−，则ln21lna−，整理得，ln2lna−，

解得12a；综上，102a时满足题意.故选：A7.已知函数()()()tantan12tanxfxx−+=−+是ππ,20242024−上的奇函数，则tan=（）A.2B.-2C.12D.12

−【答案】B【解析】【分析】利用正切的和角公式化简得()2tan1tan()12tan(tan2)tanxfxx−+=−−+，结合题意得分母为偶函数，则tan20+=，继而即可求解.【详解】()()()tantantantantan1tantantantan12tan121

tantanxxxfxxxx+−−+−==+−+−−()()()tan1tantantantan1tantan2tantanxxxx−−+=−−+()2tan1tan12tan(tan2)tanx

x−+=−−+，()fx是ππ,20242024−上的奇函数，又()2tan1tanyx=−+为奇函数，则分母上的函数需为偶函数，tan20+=，tan2=−.故选：B.8.设

椭圆()2222:10xyEabab+=的左右焦点为12,FF，右顶点为A，已知点P在椭圆E上，若12290,45FPFPAF==，则椭圆E的离心率为（）A.57B.63C.22−D.31−【答案】D【解析】【分析】根据题意，利用椭圆的定义，

求得12FPF的面积为2Sb=，结合21122cyb=，求得21byc=，进而得到22(,)bbPacc−，代入椭圆的方程，得到2220abac+−=，转化为2220ee+−=，即可求解.【详解】

由椭圆𝐸:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)，可得12(,0),(,0),(,0)FcFcAa−，不妨设点11(,)Pxy在第一象限，由椭圆的定义知122PFPFa+=，因为1290FPF=，可

得2221212PFPFFF+=，即221212()24PFPFPFPFc+−=，可得2212424aPFPFc−=，所以222122()2PFPFacb=−=，所以12FPF的面积为21212SPFPFb==，可得21122cyb=，解得21

byc=，又因为PPaxy−=，可得2Pbxac=−，即22(,)bbPacc−，将点P代入椭圆的方程，可得222222()()1bbaccab−+=，整理得2220abac+−=，因为222bac=−，可得22220caca+−=，即2220ee+

−=，解得31e=−和31e=−−（舍去），即椭圆C的离心率为31−.故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.9.某科技公司统计了一款App最近5个月的下载量如表所示，若y与x线性

相关，且线性回归方程为0.6ˆˆyxa=−+，则（）月份编号x12345下载量y（万次）54.543.52.5A.y与x负相关B.ˆ5.6a=C.预测第6个月的下载量是2.1万次D.残差绝对值的最大值为0.2【答案】ACD【解析】【分析】

对于A：根据回归方程分析判断；对于B：根据线性回归方程必过样本中心点，运算求解；对于C：根据回归方程进而预测；对于D：根据题意结合残差的定义分析判断.【详解】对于A：因为0.60−，所以变量y与x负相关，故A正确；对于B：1(1234535x=++++=），1(54.543.52

.53.95y=++++=），0.6ˆˆ=−+yxa，则0.633.9ˆa−+=，解得ˆ5.7a=，故B错误；对于C：当6x=时，ˆ0.665.72.1y=−+=，故可以预测第6个月的下载量约为2.1万次，故C正确；对于D：当1x=时，1ˆ0.615.75.1y=−+=，11.ˆ01yy

−=，当2x=时，2ˆ0.625.74.5y=−+=，220ˆyy−=，当3x=时，3ˆ0.635.73.9y=−+=，33.ˆ01yy−=，当4x=时，4ˆ0.645.73.3y=−+=，44.ˆ02yy−=，当5

x=时，5ˆ0.655.72.7y=−+=，55.ˆ02yy−=，故残差绝对值的最大值为0.2，故D正确.故选：ACD.10.已知函数()()()sin0,0,02πfxAxA=+的部分图象如图所示，则（

）A.5π6=B.2=C.()fx的图象关于直线5π3x=对称D.()fx在π5π,46上的值域为2,1−【答案】BC【解析】【分析】根据图象求出函数的解析式，结合三角函数的性质，逐次判断各选项

即可得到结论．【详解】由函数()()sinfxAx=+的部分图象可知：2A=，又因为()()02sin01f=+=，即()1sin0,2π2=，，结合函数的单调性可得π6=,故A错误；5π5ππ2sin012126f=+=即5ππ5ππs

in0ωπ126126+=+=，，所以2=,故B正确；所以π()2sin26fxx=+．对于选项C：当5π3x=时，可得5π20ππ7π2sin2sin23662f=+==−，所以()fx的图象关于

直线5π3x=对称，故C正确；对于选项D：当π5π,46x时，π2π11π2,636x+，所以π3sin21,62x+−，即()π2sin22,36fxx=+−，故

D错误；故选：BC．11.定义在()0,+上的函数()fx满足()()1fxfxx+=−，当01x时，()fxxx=−，则（）A当23x时，()222fxxx=−−+B.当n为正整数时，()22nnfn−=C.对任意正实数()

,tfx在区间(),1tt+内恰有一个极大值点D.若()fx在区间()0,k内有3个极大值点，则k的取值范围是73193,3664【答案】BD【解析】【分析】对于A：根据题意求04x的解析式，即可判断；对于B：利用累加

法分析判断；对于CD：分析可知当1,2,3,41,nxnn−时，()1nfxxnnxc=−+−+，求得，利用导数求极值点，举反例说明C，根据极值点即可判断D.【详解】对于选项A：因为函数()fx满足()()1fxfxx+=−，当01x时，()

fxxx=−，当12x时，()()()11122fxfxxxx=−−−=−−+；当23x时，()()()11235fxfxxxx=−−−=−−+，当34x时，()()()11349fxfxxxx=−−−=−−+，故A错误；对于选项B：因为()()()*11,

fnfnnn=−−−N，且()10f=，则()()()11fnfnn−−=−−，()()()122fnfnn−−−=−−，，()()211ff−=−，可得()()()()()111212nnfnfnn−−=−−−−−−=−，所以()22nnfn

−=，故B正确；对于选项CD：由选项A可得：当1,2,3,41,nxnn−时，()12341,0,2,5,9nfxxnnxccccc=−+−+====，则()121fxnxn=−−+，.令()0fx

，解得21114nxnn−−+；令()0fx，解得2114nxnn−+；可知()fx在211,14nnn−−+内单调递增，在211,4nnn−+内单调递减，则()fx在(1,nn−内有且仅有

一个极大值点2114nxnn=−+，即123411773193,,,4163664xxxx====，例如当15t=，则1216,,55xx，不合题意，故C错误；若()fx在区间()0,k内有3个极大值点，则731933664k，所以k的取

值范围是73193,3664，故D正确；故选：BD.【点睛】关键点点睛：对于CD：根据选项只需研究04x内的极值点，得到其解析式的通式，进而求得判断其极值点.三、填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分.12.已知平面向量()()()5,1,1,1,1,abck==−=，若()abc−⊥，则k=______．【答案】2−【解析】【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】()4,2ab−=，因为()abc−⊥，所以()0abc−=，即420k

+=，解得2k=−.故答案为：2−.13.若双曲线2211xymm+=+的离心率为3，则m=______．【答案】89−【解析】【分析】根据双曲线的离心率列方程，解方程求得m的值.【详解】由题意10mm+，焦点在y轴上，2228119,19bmemam−=+

=+==−+；故答案为：89−14.两个有共同底面的正三棱锥PABC−与QABC−，它们的各顶点均在半径为1的球面上，若二面角PABQ−−的大小为120，则ABCV的边长为______．【答案】43【解析】【分析】分析可知PQ为外接球的直径，做辅助线，可知120PEQ=，设,

EGaOGb==，可得2241ab=−，结合两角和公式列式求解即可.【详解】由题意可知：外接球的球心OPQ，且PQ⊥平面ABC，即PQ为外接球的直径，2PQ=，设PQ平面ABCG=，可知G为等边ABCV

的中心，取AB的中点E，连接,PEQE，则,PEABQEAB⊥⊥，可知二面角PABQ−−的平面角为120PEQ=，设,,,EGaOGbPECQEC====，则2,120CGa=+=o，1,1PG

bQGb=+=−，因为222CGOCOG=−，即2241ab=−，又因为11tan,tanPGbQGbEGaEGa+−====，且()tantantan1tantan++=−，则2211222311114311bbaaaabbbaaaa+−+−====−+−−−−−，

解得233a=，所以ABCV的边长为4233a=.故答案为：43.【点睛】易错点睛：本题只说明两个正三棱锥共底面，没有说明两个正三棱锥全等，不可以利用对称性解题.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图，在四棱锥PABCD−中，//,,

2,1,ADBCABADABADBCPD⊥===⊥平面PAB．（1）求PC的长；（2）若1PD=，求直线PA与平面PCD所成角的正弦值【答案】（1）5（2）41919【解析】【分析】（1）首先根据平行和垂直

的性质得OCPD⊥，OCAD⊥，再利用线面垂直的判定与性质得OCPO⊥，PDAP⊥，最后利用勾股定理求出线段长；（2）建立合适的空间直角坐标系，求出平面PCD的一个法向量，最后再利用线面角的空间向量法即可得到答案.【小问1详解】取AD中点O，连PO，CO，由,//BCAOBCAO=，所以

四边形ABCO为平行四边形，故OC//AB.由PD⊥平面PAB，AB平面PAB，有PDAB⊥，所以OCPD⊥.又ABAD⊥，所以OCAD⊥，又ADPDD=I，,ADPD平面PAD，所以OC⊥平面PAD.由OP平

面PAD，所以OCPO⊥.由PD⊥平面PAB，AP平面PAB，有PDAP⊥，故112OPAD==.又2==OCAB，故225PCOPOC=+=.【小问2详解】以O为坐标原点，,OCOD为x，y轴的正方向，以过O且与平面ABCD垂直向上为z轴的正方向建立空间直角坐标系.由1P

D=，得POD为正三角形，故130,,22P.又(0,1,0),(2,0,0),(0,1,0)ACD−，13(2,1,0),0,,22CDPD=−=−.设平面PCD的法向量(,,)nxyz=，由00nCDnPD==，即201

3022xyyz−+=−=，取2z=，得到平面PCD的一个法向量(3,23,2)n=.又330,,22PA=−−，设直线PA与平面PCD所成角的大小为，则43419sincos,19319nPAnPAnPA====

.所以直线PA与平面PCD所成角的正弦值为41919.16.已知函数()()2e2exxfxaax=+−−.（1）当2a=时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()fx的单调区间.【答案】（1）

()222e2e0xy−−−=（2）答案见详解【解析】【分析】（1）求导，可得()21e2f=−，()212e2f=−，结合导数的几何意义求切线方程；（2）求导可得()()()2ee1xxfxa=+−，分类讨论a的符号以及ln2a−与0的大小关系，利用导数判断原函

数的单调性.【小问1详解】当2a=时，则()2e2xfxx=−，()22e2xfx=−，可得()21e2f=−，()212e2f=−，即切点坐标为()21,e2−，切线斜率为22e2k=−，所以切线方程为()()()22e22e21xy−=−−−，即()222e2e0xy−−−=.

【小问2详解】由题意可知：()fx的定义域为R，且()()()()22e2e2ee1xxxxfxaaa=+−−=+−，（i）若0a，则2e0xa+，令()0fx，解得0x；令()0fx，解得0x；可知()fx在(),0−内单调递减，在()0,+内

单调递增；（ⅱ）若0a，令()0fx=，解得ln2ax=−或0x=，①当ln02a−，即20a−时，令()0fx，解得0x或ln2−ax；令()0fx，解得ln02ax−；可知()fx在

ln,02a−内单调递减，在(),ln,0,2a−−+内单调递增；②当ln02a−=，即2a=−时，则()()22e10xfx=−，可知()fx在R内单调递增；③当ln02a−，即2a−时，令()

0fx，解得0x或ln2−ax；令()0fx，解得0ln2ax−；可知()fx在0,ln2a−内单调递减，在(),0,ln,2a−−+

内单调递增；综上所述：若0a，()fx的单调递减区间为(),0−，单调递增区间为()0,+；若20a−，()fx的单调递减区间为ln,02a−，单调递增区间为(),ln,0,

2a−−+；若2a=−，()fx的单调递增区间为R，无单调递减区间；若2a−，()fx的单调递减区间为0,ln2a−，单调递增区间为(),0,ln,2a−−+

.17.已知ABCV的内角,,ABC所对的边分别为,,abc，且π22sin6cbaC−=−．（1）求角A；（2）若6,aD=为边BC上一点，AD为BAC的平分线，且1AD=，求ABCV的面积【答案】（1）π

3A=（2）32【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理边化角，再结合三角恒等变换运算求解；（2）根据面积关系可得3bcbc+=，再结合余弦定理解得2bc=，进而可得面积.【小问1详解】因π22sin3sincos6cbaCaCaC−=−=−，由正弦定理可得2sins

in3sinsinsincosCBACAC−=−，且()sinsinsincoscossinBACACAC=+=+，即2sinsincoscossin3sinsinsincosCACACACAC−−=−，为整理可得π2sin3sinsinco

ssin2sinsin6CACACCA=+=+，且()0,πC，则sin0C，可得πsin16A+=，又因为()0,πA，则ππ7π666A+，可得ππ62A+=，所以π3A=.【小问2详解】因为AD为BAC的平分线，则π

6BADCAD==，因为ABCBADCADSSS=+，则111sinsinsin222ABACBACABADBADADACCAD=+，即13111111222222bccb=+，可得3bcbc+=，在BAC中，由余弦定理可得()22

222cos22cosabcbcBACbcbcbcBAC=+−=+−−，即()2632bcbcbc=−−，整理可得()220bcbc−−=，解得2bc=或bc1=−（舍去），所以ABCV的面积1133sin22222ABCSbcBAC===△.18.已知

平面内一动圆过点()2,0P，且该圆被y轴截得的弦长为4，设其圆心的轨迹为曲线E.（1）求曲线E的方程；（2）梯形ABCD的四个顶点均在曲线E上，//ABCD，对角线AC与BD交于点()2,1T.（i）求直线AB的斜率；

（ii）证明：直线AD与BC交于定点.【答案】（1）24yx=（2）（i）2；（ⅱ）3,12−【解析】【分析】（1）设圆心为(),Qxy，根据题意结合弦长列式求解即可；（2）（i）设()()()()11223344:,,,,,,,,ABxmynA

xyBxyCxyDxy=+，联立方程可得韦达定理，求得13181yyy−=−，24281yyy−=−，根据斜率相等运算求解即可；（ⅱ）分析可知直线AD与BC的交点即为直线AD与MN的交点，求直线AD的方程运算求解即可.【小问1详解】设圆心为(),Q

xy，由题意可得：()222222xxy+=−+，整理可得24yx=，所以曲线E的方程为24yx=.【小问2详解】（i）由题意可知：直线AB的斜率不存在，且不为0，设()()()()()11223344:0,,,,,,,,ABxmynmAxyBxyCxyDx

y=+，联立方程24xmynyx=+=，消去x可得2440ymyn−−=，则216160mn=+，可得12124,4yymyyn+==−，可知直线()112:121xACxyy−=−+−，联立方程()11221214xxyyyx−=−+−=，消去x可得()(

)1121142428011xxyyyy−−−+−=−−，由题意可知：()1131421xyyy−+=−，即1311481xyyy−=−−，且2114yx=，可得21113111114888111xyyyyyyyy−−−=−=−=−−−，同理可得：24281yyy−

=−，则343422123434341244881144CDyyyykyyyyxxyyyy−−====−−−++−−−()()12121212414412916294yyyynmyyyynm−+++−==−+++−，因为//ABCD，则ABCDkk

=，即1441294nmmnm+−=+−，整理可得()()2120mmn−+−=，由题意可知：点()2,1T不在直线:ABxmyn=+上，则2mn+，即20mn+−，可得210m−=，即12m=，所以直线AB的斜率1

2ABkm==；（ii）由（i）可知：122yy+=，则AB中点(),1Ma，又因为3442CDkyy==+，即342yy+=，则CD的中点(),1Nb，即直线:1MNy=，由梯形的性质可知：直线AD与BC的交点即为直线AD与MN的交点，因为直线A

D的斜率141422141414444ADyyyykyyxxyy−−===−+−，则直线()1411:4yyADxyyx+=−+，令1y=可得()2141141411444yyyyyyyxy++−=−+=的()()()122112222288

76811441yyyyyyyyyy−−+−+−−−−==−()2214683412yy−−==−−，即直线AD与直线MN交点为3,12H−，所以直线AD与BC交于定点3,12H−.【点睛】方法点睛：1.过定点问题的两

大类型及解法（1）动直线l过定点问题.解法：设动直线方程（斜率存在）为ykxt=+由题设条件将t用k表示为tmkn=+，得()ykxmn=++，故动直线过定点(),mn−；（2）动曲线C过定点问题.解

法：引入参变量建立曲线C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点.2.求解定值问题的三个步骤（1）由特例得出一个值，此值一般就是定值；（2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代

数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值；（3）得出结论.19.有编号为1,2,,n的n个空盒子()2,Nnn，另有编号为1,2,,k的k个球()2,Nknk，现将k个球分别放入n个盒子中，每个盒子最多放入一个球．放球时，先将

1号球随机放入n个盒子中的其中一个，剩下的球按照球编号从小到大的顺序依次放置，规则如下：若球的编号对应的盒子为空，则将该球放入对应编号的盒子中；若球的编号对应的盒子为非空，则将该球随机放入剩余空盒子中的其中一个

．记k号球能放入k号盒子的概率为(),Pnk．（1）求()3,3P；（2）当3n时，求(),3Pn；（3）求(),Pnk．【答案】（1）12的（2）21nn−−（3）()1,2nkPnknk−+=−+【解析】【分析】（1）分类讨论1号球

放入的盒子应用全概率公式即可计算；（2）分类讨论1号球放入的盒子应用全概率公式即可计算；（3）分三类讨论1号球放入的盒子，1号球放入()21jjk−号盒中等效于将编号为1,2,,1kj−+的球，按照题设

规则放入编号为1,2,,1nj−+的盒中()1,1Pnjkj−+−+，做差运算可得()(),1,1PnkPnk=−−迭代得出结论..【小问1详解】1号球放入1号盒中的概率为13,此时2,3号球分别放入2,3号盒中；1号球放入2

号盒中的概率为13,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号盒中，概率为12,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：()11113,33322P=+=.【小问2详解】1号球放入1号,4号，5号，,n号盒中的概率为2nn−，此时3号球可放

入3号盒中;1号球放入2号盒中的概率为1n,欲使3号球放入3号盒中，则2号球需放入1号，4号，5号，....n号盒中，概率为2nn−,1号球放入3号盒中时，此时3号球不能放入3号盒中;综上所述：()2122,311nnnPnnnn

n−−−=+=−−【小问3详解】1号球放入1号，1k+号，2k+号，3k+号，...,n号盒中的概率为1nkn−+,此时k号球可放入k号盒中：1号球放入()21jjk−号盒中的概率为1n,此时2号，

3号，....1j−号球都可以放入对应编号的盒中，剩下编号为,1,2,,jjjk++的球和编号为1,,2,,jljn++的空盒，此时j号盒非空，j号球在所有空盒中随机选择一个放入，此时要让k号球放入k号盒中的放法总数等效于将编号为1,2,,1kj−+的球，按照

题设规则放入编号为1,2,,1nj−+的盒中（1号球仍然随机选择一个盒子放入）,所以概率为()1,1Pnjkj−+−+1号球放入k号盒中时，此时k号球不能放入k号盒中：所以()()1211,1,1kjnkPnkPnjkjnn−=−+=

+−+−+,整理得：()()()12,11,1kjnPnknkPnjkj−==−++−+−+,①分别用1n−和1k−替换n和k，可得：()()()()2211,111,1kjnPnknkPnjkj−=−−−=−++−+−+,②,由①②式相减，整理得：()

(),1,1PnkPnk=−−从而()()(),1,12,2PnkPnkPnk=−−==−+,()2,2Pnk−+等于1号球不放在2号盒的概率，即()112,2122nkPnknknk−+−+=−=−+−+.所以()1,2nkPnknk−+=−+【

点睛】关键点点睛：1号球放入()21jjk−号盒中的关键是等效于将编号为1,2,,1kj−+的球，按照题设规则放入编号为1,2,,1nj−+的盒中()1,1Pnjkj−+−+，做差运算可得()(),1,1PnkPnk=−−迭代

得出结论..