【文档说明】浙江省温州市环大罗山联盟2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题 含解析.docx，共(18)页，1.264 MB，由小赞的店铺上传

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2022学年第二学期环大罗山联盟期中联考高一年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟．2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字．3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上

无效．4．考试结束后，只需上交答题纸．选择题部分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．）1.复数23zi=−的虚部为（）A.－3B.3C.2D.3i−【答案】A【解析】【分析】根据复数的概念直接可得答案.【详解】复数23zi=−的虚部为3−故选：A【点睛】本题考查复数的基本概念，

属于基础题.2.πcos6−等于（）A.12−B.32−C.12D.32【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值即可求出结果.【详解】因为ππ3coscos662−==，故选：D.3

.设13log2a=，ln3b=，123c−=，则,,abc的大小关系为（）A.acbB.c<a<bC.bacD.cba【答案】A【解析】【分析】根据指数函数、对数函数的性质判断即可；【详解】解：因为ln3lne1b=

=，1200313−=，即01c，1133log2log10a==，所以bca；故选：A4.在半径为9的圆中，100的圆心角所对弧长为（）A.900B.5C.52D.10【答案】B【解析】【分析】根据角度制与弧度制转化并结合弧长公式即可得到答案

.【详解】π5π1001001809==，则所对弧长为5π95π9=.故选：B5.把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分

析】通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．【详解】结合立体图形与平面图形的相互转化，即可得出两圆应该

在几何体的上下，符合要求的只有C和D，再根据三角形的位置，即可得出答案，故选：C6.若D为ABC的边BC的中点，则AB=（）A.2ACAD−B.2ADAC−C.2ADAC+D.2ACAD+【答案】B【解析】【分析】根据条件，利用向量的运算法则即可求出

结果.【详解】因为D为ABC的边BC的中点，所以111()()222ADABBCABACABACAB=+=+−=+，得到2ABADAC=−，故选：B.7.如图，已知直角梯形ABCD，224ABADCD===，//ABCD，ADA

B⊥，P是斜腰BC边（含端点）上的动点，APBC的最小值为（）A.0B.1−C.2−D.8−【答案】D【解析】【分析】建立合适的直角坐标系，求出直线BC的方程，再利用向量数量积的坐标运算即可.【详解】因

为四边形ABCD为直角梯形，则以A为坐标原点建立如图所示直角坐标系，因为224ABADCD===，所以2ADCD==，则()()4,0,2,2BC，设直线BC的方程为ykxb=+，则代入,BC坐标有0422kbkb=+=+，解得1,4kb=−=，

则直线BC的方程为4yx=−+，则可设(),4Pxx−+，24x，则()(),4,2,2APxxBC=−+=−，则()22448APBCxxx=−+−+=−+，因为24x，则其最小值为4488−+=−，故选：D.8.小李同学到如图所示的一个影

视厅观看电影，由于看电影的观众比较多，占去了观影区的其它位置，只剩下01-10座，共10个座位．电影院的平面图数据如图所示，使小李同学观影视角最好（水平方向视角，即眼睛看屏幕两侧的视线夹角最大）的座位是（）A.01座B.02座C.03座D.10座【答案】B【解析】【分析】简化成数学模型，再设未

知数，利用两角和与差的正切公式结合基本不等式即可得到答案.【详解】将此题简化为如下数学图形，其中2==ACBD，6AB=，题目转化为求找到点P的位置，使得APB最大，设CPx=，210x，则28tan,tanCPACPBxx

==，则()82663tantan821641612xxAPBCPBCPAxxxxxx−=−===++，当且仅当16xx=，即4x=时成立，此时座位位于第2座，故选：B.二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9.若向量()2,0a=r，(),2bn=，下列结论正确的是（）A.若2b=，则2n=B0n=时，//abC.与a垂直的单位向量有两个D.2n=−时，b在a上投影向量

为a−【答案】CD【解析】【分析】根据向量模的坐标运算即可判断A，根据向量共线的坐标表示即可判断B，根据向量垂直的坐标表示和单位向量的定义即可判断C，根据投影向量的求法即可判断D.【详解】对A，222bn=+=，解得2n=，故

A错误；对B，当0n=时，()0,2b=，显然2200，故B错误；对C，设与a垂直的单位向量为(),mxy=，则有22120xyx+==，.的解得01xy==或01xy==−，则()0,1m=，则C正确；对D，()2,2b=−，则b在a上的投影向量为2242

abaaaa−===−，故D正确.故选：CD.10.已知复数2i1iz=+，则下列说法正确的是（）A.2z=B.z的共轭复数为1i−C.2iz+D.22iz=【答案】BD【解析】【分析】根据复数乘除法计算出1iz=+，再利用复数模的计算、共轭复数的概念、乘方的运算法

则以及虚数无法比较小的性质一一分析即可.【详解】()()()i1iiiiii221111z−===+++−，对A，则22112z=+=，故A错误；对B，其共轭复数为1i−，则B正确；对C，两个虚数无法比较大小，故C错误；对D，()221i2iz=+=，故D正确.故选：BD.11.关于函

数()23sincoscos2fxxxx=−，其中0，下列命题正确的是（）A.若1=，则对12,Rxx，若满足12xx−=，则必有()()12fxfx=成立；B.若1=，()fx在区间,63−上单调递减；C.若1=，函数()fx的图象关于点,012

成中心对称；D.将函数()fx的图象向右平移6个单位后与cos2yx=−的图象重合，则有最小值1．【答案】ACD【解析】【分析】对于ABC直接代入利用辅助角公式得()2sin26fxx=−，再根据平移原则结合诱导公式即可判断A，根据正

弦型函数的单调性即可判断B，代入检验即判断C，根据平移原则结合正余弦函数的关系即可判断D.【详解】若1=，则()2sin3sin2c2os26fxxxx=−−=对于A，对12,Rxx，若满足12xx−=，则()(

)122ππ3sin23sin2266fxxx=+−=+−()22π3sin26xfx=−=，故A正确；对B，,63x−，2,622−−x，而正弦函数sinyx=在,22−上单调递增，因此函数()f

x在,63−上单调递增，故B错误；对于C，显然2sin2012126f=−=，所以函数()fx的图象关于点,012成中心对称，故C正确；对于D，依题意，()2sin26fxx=−

，将其向右平移6个单位得2sin22sin26636yxx=−−=−−于是得2362k+=+，Zk，则61k=+，且0，则Nk，所以min1=，故D正确.故选：ACD.12.阳马和

鳖臑［biēnào］是我国古代对一些特殊锥体的称谓，取一长方体按下图斜割一分为二，得两个一模一样的三棱柱（图2，图3），称为堑堵．再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开（图4），得四棱锥和三棱锥各一个．以矩形为底，有一棱

与底面垂直的四棱锥，称为阳马（图5）．余下的三棱锥是由四个直角三角形组成的四面体，称为鳖臑（图6）．若图1中的长方体是棱长为4的正方体，则下列结论正确的是（）A.鳖臑中只有一个面不是直角三角形B.鳖臑外接球半径为23C.鳖臑的体积为正方体

的14D.鳖臑内切球半径为222−【答案】BD【解析】【分析】利用题设条件，逐一对各个选项分析判断即可得到结果.【详解】对于选项A，由题知，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，所以选项A错误；对于选项B，由题知鳖臑的外接球即长方体的外接球，而长方体是棱长为4的正方体，又易知，正方

体外接球的半径为体对角线的一半，所以鳖臑外接球的半径为23R=，所以选项B正确；对于选项C，鳖臑是由四个直角三角形组成的四面体，且易知11DC⊥面1BCC,所以1111111324443323DBCCVSDC−===，又

正方体的体积为3464=，故鳖臑的体积为正方体的16，所以选项C错误；对于选项D，设鳖臑内切球半径为r，由选项C知，鳖臑的体积323，则1111111132()33BCCDCCDCBDCCSSSSr+++=，又111111118,442822BCCDCCDCBDCCSSSS==

===，所以222212r==−+，所以选项D正确.故选：BD的三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13.若复数12,zz在复平面内的对应点关于实轴对称，且134iz=+，则12zz=_

_________.【答案】25【解析】【分析】利用对称得到复数234zi=−，再利用复数的乘法求解.【详解】解：因为复数12,zz在复平面内的对应点关于实轴对称，且134iz=+，所以234zi=−，则()()()2212

34i34i34i25zz=+−=−=，故答案为：2514.若一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则这个圆锥的侧面积与表面积之比为_____．【答案】【解析】【分析】【详解】试题分析：设底面圆的半径为

r，母线长l，所以22lrlr==，所以侧面积为22122Slr==，表面积为222132Slrr=+=，所以面积比为考点：圆锥的表面积侧面积15.已知1cos211cos22−=+，则tan2=__

____．【答案】22【解析】【分析】直接利用同角三角函数关系和商数关系即可.【详解】因为1cos211cos22−=+，解得1cos23=，所以2122sin2133=−=，所以22sin23tan2221cos23===−，故答案为：22.16.水

平放置的圆柱形容器底半径为3cm，高15cm，已知该容器中装有高度为hcm的水.实验时甲同学先把一个棱长为3cm的玻璃立方体放进了容器里，然后乙同学逐个缓慢放入两个半径为3cm的实心玻璃球，使两个球都浸没在容器的水中.若第一只

球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，则高度h的取值范围为______．【答案】33(7,11)ππ−−【解析】【分析】根据给定的信息，结合圆柱、球、正方体的体积公式列出不等式求解作答.【详解】依题意，圆柱的体积为23π315cm，球的体

积为334π3cm3，正方体的体积为333cm，圆柱形容器中原有水的体积为23π3cmh，由第一只球放入的过程中水没溢出，第2只球放入的过程中有水溢出容器，得23322334π4ππ333π315π332333hh++++，

解得33711ππh−−，所以高度h的取值范围为33(7,11)ππ−−.故答案为：33(7,11)ππ−−四、解答题（本題共6小題，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，否则酌情扣分．）17.已知复数2i=−za（Ra，i为虚数单位）．（1）若()12i

z−为纯虚数，求实数a的值；（2）若3iz=+，且复数所对应的点位于第四象限，求a的取值范围．【答案】（1）1.（2）2,63−【解析】【分析】（1）根据复数乘法运算求出()12iz−，再根据纯虚数的概念求解.

（2）化简复数，根据所对应的点位于第四象限列不等式组求解.【小问1详解】因为复数2i=−za，则(12i)(12i)(2i)(22)(4)izaaa−=−−=−−+又(12i)z−为纯虚数，所以22040aa−=+，解得1a=，【小问2详解】因为2i(2i)(3i)3i3i(3i

)(3i)zaa−−−===+++−(6)(32)i10aa−−+=由复数所对应的点位于第四象限，可得:()60320aa−−+，解得263a−，所以a的范围为2,63−.18.如图，已知ABC中，120BAC=，D是边BC上一点，且3BCBD=．（1）设aAB

=，bAC=，试用a，b表示AD．（2）若3ABAC==，求ADC的大小．【答案】（1）2133ADab=+（2）60【解析】【分析】（1）根据平面向量基本定理用基底,ab表示向量AD.（2）分别求出,ADCD

长度，在ACD中用勾股定理求解.【小问1详解】因为3BCBD=，所以()3ACABADAB−=−，所以21213333AABACaDb=+=+.【小问2详解】因3ABAC==，120BAC=，为由余弦定理得222cos1

2099933BCABACABAC=+−=++=，因为3BCBD=，所以2233CDBC==，22221414412333999ababAbDa=+=++=+−=，在ACD中，3,23,3ADCDAC===，所以222ADACCD+=

，则ADAC⊥，所以33sin223ACADCCD===，又因为ADC为锐角，所以ADC的大小为60.19.如图，某公园摩天轮的半径为50m，圆心距地面的高度为60m，摩天轮做匀速转动，每6min转一圈，摩

天轮上的点p的起始位置在最低点处．（1）已知在时刻t（单位：min）时点P距离地面的高度()()sinftAth=++（其中0A，0，π），求函数()ft解析式及8min时点P距离地面的高度；（2）当点P距离地面()60253m+

及以上时，可以看到公园的全貌，若游客可以在上面游玩18min，则游客在游玩过程中共有多少时间可以看到公园的全貌？【答案】（1）()π50cos603ftt=−+，85（2）1【解析】【分析】（1）由已知可得，函数()ft的振幅A等于圆形的半径即50Ar==

，周期6T=，即π3=，60h=，零时刻处，摩天轮上在最低点，可知初相π2=−，这样便可求得的解析式，进而求得8min时距离地面的高度；（2）从最低处开始到达高度为()60253m+刚好能看着全貌，经过最高点再下降至()60253m+

时又能看着全貌，求得两次的时间差即能看着全貌的时间．【小问1详解】由题意可知：50,60,6AhT===，所以2π6=，又0，得到π3=，即()π50sin603ftt=++，又

摩天轮上的点p的起始位置在最低点处，即(0)10f=，所以50sin6010+=，即sin1=−，又π，所以π2=−，故()πππ50sin6050cos60323fttt=−+=−+，当8t=时，8π

π(8)50sin()608532f=−+=，所以8min时点P距离地面的高度为85.【小问2详解】因为从最低处开始到达高度为()60253m+刚好能看着全貌，经过最高点再下降至()60253m+时又能看着全貌，由（1）知()π50

cos60023653ftt−++=，得到2πcos33t−，即2πcos33t−，得到5ππ7π2π2π,Z636tkkk++，所以5766,Z22ktkk++，又756(6)122kk+−+=，所以，游客在游玩过程中共有1min可以

看到公园的全貌.20.在ABC中，角,,ABC的对边分别是,,abc，若2coscoscbBaA−=，3==bc．（1）证明：ABC是正三角形．（2）若ABC的三顶点都在球O表面，且球O的表面积为16π，求三棱锥OABC−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）334【解析】分析】

（1）根据条件，利用正弦定理边转角得到2sincossincossincosCABAAB−=，进而可得到π3A=，从而证明结果；（2）根据条件求出球的半径R和ABC外接圆的半径，再利用球的截面圆性质求出三棱锥OABC−的高，即可求出结果.【【小问1详解】因为2coscoscbBaA

−=，由正弦定理得，2sinsincossincosCBBAA−=，整理得，2sincossincossincosCABAAB−=，即2sincossincossincossin()sinCABAABBAC=+=+=，又(0,π)C，所以sin0C，得到1cos2A=，所以π3A=，又3

==bc，所以ABC是正三角形.【小问2详解】设球的半径为R，因为球O的表面积为16π，所以24π16πR=，得到2R=，由（1）知ABC是正三角形，且边长为3，设ABC外接圆半径为r，由正弦定理得2sinarA=，所

以332sin60r==，设球心O到ABC所在平面距离为h，则由球的截面圆性质知，222Rrh=+，得到22431hRr=−=−=，又11393sin332224ABCSbcA===△，所以，三棱锥OABC−的体积为1133391

3344VSh===.21.已知ABC的角A，B，C的对边分别为a，b，c，(),mcab=−，()3sinsin,sinsinnBCAB=−+，满足mn⊥．（1）求A；（2）若ABC的面积为3，且3co

scos1BC+=，点D为边BC的中点，求AD的长．【答案】（1）π6（2）7【解析】【分析】（1）由正弦定理得到2223bcabc+−=，再利用余弦定理求出π6A=；（2）在第一问的基础上，结合3coscos1BC+=，利用三角恒等变换求出π6B=，进而由三角形面积

得到2ab==，由余弦定理求出答案.【小问1详解】mn⊥，0mn=，即()()()3sinsinsinsin0cBCabAB−+−+=即()()()sin3sinsinsincCBabAB−=−+，所以由正弦定理可得()()()3cc

babab−=−+，即2223bcabc+−=，由余弦定理可得22233cos222bcbcAbcbca+===−，又()0,πA，所以π6A=．【小问2详解】因为3coscos1BC+=，所以5π5π5π313cos1cos1coscossinsin1coss

in66622BBBBBB=−−=−−=+−，即13πsincossin1223BBB+=+=，又0πB，则2ππ3B+=，所以π6B=，所以ab=，2π3C=，所以213s

in324ABCSabCa===△，所以2ab==，故2ACb==，11122CDBCa===，故在ACD中，由余弦定理可得222222π12cos21221732ADACCDACCD=+−=+−−=，则7AD=．2

2.已知函数()33xxfx−=−，()33xxgxx−=−+．（1）指出()gx单调性与()fx的奇偶性，并用定义证明()fx的奇偶性．（2）是否存在实数使不等式()()()33131log1log121log2ftftt

−−+−−+对1,33t恒成立，若存在求出的范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）()gx为R上的增函数,()fx是奇函数，证明见解析.（2）存在13,22−使得不等式恒成立，理由见解析.【解析】【

分析】（1）根据3,xyyx==与13xy=的单调性判断()gx单调性，根据奇偶性定义判断()fx的奇偶性．（2）根据()gx奇函数性与单调性将不等式转化为()321log20t−−对1,33t恒成立，换元

后转化()2120m−−对任意1,1m−恒成立求解.【小问1详解】∵()13333xxxxgxxx−=−+=−+，函数的定义域为R，3xy=为增函数，13xy=为减函数，yx=为增函数，∴()

gx为R上的增函数.∵()33xxfx−=−，函数的定义域为R，定义域关于原点对称，∴()()3333xxxxfx−−−=−=−−=()fx−，∴()33xxfx−=−是奇函数.∵yx=为奇函数，∴()33xxgxx−=−+也是奇函数.

【小问2详解】()()()33131log1log121log2ftftt−−+−−+，即()()()3331log1log121log2ftftt−−+−−−+，即()()()3331log1log121log20ftftt−−+−+−−

，即()()()33331log11log1log1log10fttftt−−+−−+−+−，即()()331log1log10gtgt−−+−，即()()331log1log1gtg

t−−−−，∵()ygx=是奇函数，∴()()331log11loggtgt−−−，又∵()ygx=为R上的增函数，∴()331log11logtt−−−，∴()321log20t−−，

∵1,33t，∴3log1,1t−，令3log,1,1tmm=−，问题转化为()2120m−−对任意1,1m−恒成立，所以()()()2112021120−−−−−，解得13,22−，故存在实数13,22−

使不等式()()()33131log1log121log2ftftt−−+−−+对1,33t恒成立.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com