【文档说明】上海市杨浦区2023-2024学年高二下学期6月期末模拟考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.407 MB，由小赞的店铺上传

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杨浦区2023学年度第二学期高二年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.抛物线24yx=的焦点坐标是______.2.直线yx=的倾斜角大小是________

．3.已知圆C的方程是22240xyxy+−+=，则圆心C的坐标是________．4.平行直线3450xy+−=及3450xy++=之间的距离是________．5.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150

.250302如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于．．8环的概率是________．6.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯子装满饮料，则可以装________立方厘米．7.已知(1,2,3)a=−，(2,,)bmn=，若//abrr，则mn+=___

_____．8.同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．9.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)50,60，)60,70，)70,

80，)80,90，90,100，图中x的值是________．..10.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE113BB=，DF123DD=．若1EFxAB

yADzAA=++，则x+y+z＝__．11.已知数列{}na是首项是1，公比为(0)qq的等比数列，数列{}nb的通项公式是1nbn=+．设双曲线22221nnxyab−=的离心率为ne且2152e=，则当n=

________时，ne最大．12.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为2yx=，过点（1，0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴

影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________．二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题

纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“1m=−”是“直线1:20lxmy+−=与直线2:(2)320lmxmym−++=互相垂直”（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件14.设a

、b是两条不同的直线，是一个平面，若aP且bP，则a、b的位置关系是（）．A.相交B.平行C.异面D.不能确定15.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且()2()PAPB=，则()P

A=（）．的A.15B.25C.35D.4516.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形11BCCB内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点P满足11PDMB⊥；②存在点P满足1PD与平面

11ADM所成角的大小为60；③存在点P满足1125MDMP+=；其中正确个数是（）．A0B.1C.2D.3三、解答题17.设数列{}na为等差数列，其公差为d，前n项和为nS．（1）已知221a=，776a=，求1a及

d；（2）已知610a=，55S=，求8S．18.如图，三棱柱111OABOAB−中，11OAOBOO===，90AOB=，1OO垂直于平面OAB．（1）求异面直线1AO与1OB所成角的大小；（2）求点O到平面1AOB的距离．的.19.某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每

个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中Na，Nb）；进球数012345高一人数42ab4212高二人数311244337（1）请写出高二年级样本的中位数；（2）若高一年级样本的平均数为3.2，求a的值；（3）在

这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a的值；20.端午节吃粽子，用箬竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，

如图记作正四面体A-BCD，设棱长为a．（1）求证：BCAD⊥（2）求箬竹叶折出的二面角ABCD−−的大小；（3）用绳子捆扎三角粽，要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子

捆扎的路径，并说明理由．21.如图，已知椭圆C的方程为2214xy+=，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点，点E的坐标是()4,0，过点E的动直线l交椭圆C于点P、Q（点P的横坐标小于点Q的横坐标）．（1）求椭圆C焦点的坐标；（2）是否存在常数，使OPOQEPEQ+为定值，若存在，求出的值

；若不存在，请说明理由．（3）当设直线l的斜率不为0时，设直线AP与BQ交于点S．请提出一个与点S有关的问题，并求解该问题．（备注：本小题将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）杨浦区2023学年度第二学期高二年级模拟质量调研数学学科试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6

题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.抛物线24yx=的焦点坐标是______.【答案】()1,0【解析】【分析】根据抛物线的标准方程直接求出焦点坐标即可.【详解】因抛物线标准方程为24yx=，所以焦点坐标为()1,0，故答案为

：()1,0.2.直线yx=的倾斜角大小是________．【答案】45?【解析】【分析】根据倾斜角和斜率关系求解即可.【详解】设直线的倾斜角为，则tan1=，因为0180，所以45?=，故答案为:45?.3.已知圆C的方程是22240

xyxy+−+=，则圆心C的坐标是________．【答案】()1,2−【解析】【分析】将方程配成标准式，即可得到圆心坐标.【详解】圆C的方程是22240xyxy+−+=，即()()22125xy−++=，所以圆心C的坐标为()1,2-.故答案为：()1,2-为

4.平行直线3450xy+−=及3450xy++=之间的距离是________．【答案】2【解析】【分析】直接由两平行线间的距离公式计算可得.【详解】平行直线3450xy+−=及3450xy++=之间的距离2255234d−−==

+.故答案为：25.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下：命中环数678910频率0.10.150.250.30.2如果这名运动员只射击一次，命中的环数大于．．8环的概率是________．【答案】0.5##12【解析】【分析】利

用互斥事件概率加法公式计算可得．【详解】用频率估计概率，可知这名运动员只射击一次，命中的环数大于．．8环的概率0.30.20.5P=+=.故答案为：0.56.如图，一个圆锥形杯子，杯口半径和杯子深度都是4厘米，如果将该杯

子装满饮料，则可以装________立方厘米．【答案】64π3##643π【解析】【分析】根据圆锥的体积公式计算可得.【详解】依题意该圆锥的高4h=厘米，底面半径4r=厘米，所以其体积2264πππ4433311Vrh===立方厘米

，即杯子的容积为64π3立方厘米．故答案为：64π3．7.已知(1,2,3)a=−，(2,,)bmn=，若//abrr，则mn+=________．【答案】2【解析】【分析】依题意可得bta=，即可得到方程组，求出m、n的值，即可得解.【详解】因为(1,2,3)a=

−，(2,,)bmn=且//abrr，所以bta=，即()(2,,)1,2,3mnt=−，所以223tmtnt==−=，解得246tmn==−=，所以2mn+=.故答案为：28.同时掷两颗骰子，则所得点数相等的概率为______．【答案】16【解析】【分析】求出同时掷两颗骰

子的基本事件数、及两颗骰子的点数相等的基本事件数，再根据古典概型的概率公式计算可得.【详解】同时掷两颗骰子包括的基本事件共6636=种，掷两颗骰子的点数相等包括的基本事件为6种，故所求的概率61366P==；故答案为：169.学校开展国防知识竞赛，对100名学生的竞赛成绩进行统计，发

现这100名同学的成绩都在[50，100]的范围内，可得到如图所示的频率分布直方图，其中分组的区间为)50,60，)60,70，)70,80，)80,90，90,100，图中x的值是________．【答案】0.030【解析】【分析】利用面积之和等于1即能解.【详解】因为每个小矩形的

面积就是频率，所以面积之和等于1，即()10000500100150041...x.++++=，解出0.030x=.故答案为：0.030.10.在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，分别在棱B1B和D1D上，且BE113BB=，DF123DD=．若1EFx

AByADzAA=++，则x+y+z＝__．【答案】13【解析】【分析】根据空间向量的加法、减法和数乘运算法则，以1,,ABADAA为基底表示出EF，由此求得,,xyz，进而求得xyz++.【详解】平行六面体ABCD﹣A1B

1C1D1中，BE113BB=，DF123DD=，所以EFEBBAADDF=+++111233BBABADDD=−−++111233AAABADAA=−−++113ABADAA=−++．由1EFxAByADzAA=++，所以x＝﹣1，y＝1，z13=，x+y+z＝﹣1+11133+=．故答案

为：13．11.已知数列{}na是首项是1，公比为(0)qq的等比数列，数列{}nb的通项公式是1nbn=+．设双曲线22221nnxyab−=的离心率为ne且2152e=，则当n=________时，ne最大．【答案】10或11【解析】

【分析】依题意可得222nnaq−=，21nbn=+，即可得到2211nnneq−+=+，再由2e求出2q，从而得到1111211nnne−+=+，令111211nnnc−+=，利用作差法判断nc的单调性，即可求出nc的最大项，从而得解.

【详解】依题意1nnaq−=，1nbn=+，则222nnaq−=，21nbn=+，所以2222111nnnnnncbneaaq−+==+=+，又2231512eq=+=，解得21211q=，所以1111

211nnne−+=+，令111211nnnc−+=，则11211012121211111111nnnnnnnncc+−++−−=−=，所以当010n时10nncc+−，当10n时10nncc+−，即1210111213ccc

ccc=，所以当10n=或11n=时nc取得最大值，则当10n=或11n=时ne最大.故答案为：10或1112.早在公元5世纪，我国数学家祖暅就提出：“幂势既同，则积不容异”．如图，抛物线C的方程为2yx=，过点（1，

0）作抛物线C的切线l（l的斜率不为0），将抛物线C、直线l及x轴围成的阴影部分绕y轴旋转一周，所得的几何体记作，利用祖暅原理，可得出几何体的体积为________．【答案】43##43【解析】【分析】根据题意，切线方程为114xy=+，Ω的水平截面为圆环

，外半径为14t+，内半径为t，故截面面积()21014tSt=−，利用祖暅原理，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥．Ω与圆锥的体积相等，直接用圆锥的体积公式求V．【详解】设切线方程为x＝ky+1，代入y＝

x2，得kx2﹣x+1＝0，由＝1﹣4k＝0，得14k=，故切线方程为114xy=+，且切点坐标为()2,4过点（0，t）（0≤t≤1）作Ω的水平截面，截面为圆环，当y＝t时，代入114xy=+得截面圆环外半径1114xt=+，当y＝t时，代入y＝x2得截面圆环内半径2rt=，截面圆环

面积为()222212111624tttrrt−=++−=−．为了截出面积为214t−的图形，可以构造一个下底面半径为1，高为4的圆锥PO，圆锥及其轴截面如下图：其中1OA=,4OP=，在距离底面为t的M处作底面的

平行截面，设此时截面半径为r0，0rOPOMOAOP−=，即0414rt−=，解得014tr=−，此截面的面积为214t−，与截面圆环面积相同，圆锥体积为2141433=，所以的体积为43.故答

案为：43.二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．13.“1m=−”是“直线1:20lxmy+−=与直线2:(2)320lmxmym−++

=互相垂直”的（）．A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】由两直线互相垂直可得1(2)30mmm−+=，求解可得结论.【详解】由直线1:20lxmy+−=与直线2:(2)

320lmxmym−++=互相垂直，可得1(2)30mmm−+=，解得1m=−或23m=，所以“1m=−”是“直线1l与直线2l互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.14.设a、b是两条不同的直线，是一个平面，若aP且bP，则a、b的位置关系是（）．A相

交B.平行C.异面D.不能确定.【答案】D【解析】【分析】由正方体模型即线面平行的性质易判断a、b的位置关系.【详解】由正方体的模型可得若aP且bP，则a、b的位置关系可能平行，也可能相交，也可能异面，故a、b的位置关系不能确定.故选

：D.15.已知事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且()2()PAPB=，则()PA=（）．A.15B.25C.35D.45【答案】C【解析】【分析】根据互斥事件及所给条件求出()PB，即可求出()PA，从而得解.【详解】因为事件A与B互斥，它们都不发生的概率为25，且()2()P

APB=，()()()()21125PAPBPBPB−−=−−=，解得()15PB=，2()2()5PAPB==，则()()231155PAPA=−=−=．故选：C．16.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，点M为棱AB的中点，点P在正方形11

BCCB内部（不含边界）运动，给出以下三个结论：①存在点P满足11PDMB⊥；②存在点P满足1PD与平面11ADM所成角的大小为60；③存在点P满足1125MDMP+=；其中正确的个数是（）．A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】【

分析】建立空间直角坐标系，设(),1,Pxz，()(),0,1xz，利用空间向量法一一计算可得.【详解】如图建立平面直角坐标系，则11,,02M，()11,0,1A，()10,0,1D，()11,1,1B，设(),1,Pxz，()()

,0,1xz，则110,,12MB=，()1,1,1DPxz=−若11PDMB⊥，则111102MBDPz=+−=，解得12z=，所以存在点P满足11PDMB⊥，故①正确；因为()111,0,0DA=，111,,12DM

=−，设平面11ADM的法向量为(),,nabc=，则1110102nDAanDMabc===+−=，取()0,2,1n=，设1PD与平面11ADM所成角为，()060，则()12211sin511DPnzDPnxz+==++−，

令0x=，1z=，则2253sin525==，所以60，令0x=，0z=，则1103sin10210==，所以60，所以存在点P满足1PD与平面11ADM所成角的大小为60，故②正确；因为()2221131122DM=++−=，11,,2MPxz=−

，所以()221131,422MPxz=−++，所以()12,3MDMP+，所以存在点P满足1125MDMP+=，故③正确.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键是建立空间直角坐标系，将几何关

系转化为代数计算.三、解答题17.设数列{}na为等差数列，其公差为d，前n项和为nS．（1）已知221a=，776a=，求1a及d；（2）已知610a=，55S=，求8S．【答案】（1）110,11.ad==（2）844.S=【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求

和公式求解.【小问1详解】2121,aad=+=71676,aad=+=解得：111,10,da==【小问2详解】61510,aad=+=515455,2Sad=+=解得：3,d=15,a=−8187844.2Sad=+=18.如图，三棱柱111OABOAB−中，

11OAOBOO===，90AOB=，1OO垂直于平面OAB．（1）求异面直线1AO与1OB所成角大小；（2）求点O到平面1AOB的距离．【答案】（1）π3（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求出异面直线所成角的余弦值，即可得解；（2）

求出平面1AOB的法向量n，由距离公式nAOdn=计算可得.【小问1详解】因为90AOB=，1OO垂直于平面OAB，如建立空间直角坐标系，则()0,0,0O，()1,0,0A，()0,1,0B，()10,0,1O，()10,1,1B，所以()11,0,

1AO=−，()10,1,1OB=，设异面直线1AO与1OB所成角为，则111111cos222AOOBAOOB===，又π0,2，所以π3=，即异面直线1AO与1OB所成角为π3；的【小问2详解】因为()11,0,1AO=−，()1,1,0AB=−uuur，()1,0

,0AO=−，设平面1AOB的法向量为(),,nxyz=，则100nAOxznABxy=−+==−+=，取()1,1,1n=，则点O到平面1AOB的距离1333nAOdn===.19.某篮球特色学校调查学生投篮技能情况，请每个学生投篮5次并记录进球数，随机抽取高一年级和

高二年级各100名学生的进球数作为样本，结果统计如下（其中Na，Nb）；进球数012345高一人数42ab4212高二人数311244337（1）请写出高二年级样本的中位数；（2）若高一年级样本的平均数为3.2，求a的值；（3）在这200名学生中，高一高二年级各选取1人，若“至

少有一个人的进球数为2”的概率是40.16%，求a的值；【答案】（1）3（2）30（3）32【解析】【分析】（1）根据中位数的定义求解；（2）利用平均数的定义得到关于a、b的方程组，解得即可；（3）利用独立事件的概率乘法公式求解．【小问1详解】因

为高二年级进球数不超过2个的人数为311216++=人，不超过3个的人数为164460+=人，所以高二年级样本的中位数为3个；【小问2详解】因为高一年级样本的平均数为3.2，所以()10412234425123.2100ab+++++=，即2390ab+=，又因为42

4212100ab+++++=，所以40ab+=，联立方程239040abab+=+=，解得3010ab==，即a的值为30；【小问3详解】由题意可知，高一100人中进球数为2的有a人，则随机抽一人进球数为2的概率为100a；高二100人中进球数为2的有1

2人，则随机抽一人进球数为2的概率为12310025=，所以“至少有一个人的进球数为2”的概率31110.401610025aP=−−−=，解得32a=．20.端午节吃粽子，用箬

竹叶包裹而成的三角粽是上海地区常见的一种粽子，假设其形状是一个正四面体，如图记作正四面体A-BCD，设棱长为a．（1）求证：BCAD⊥（2）求箬竹叶折出的二面角ABCD−−的大小；（3）用绳子捆扎三角粽，要求绳子

经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合．请设计一种捆扎三角粽的方案，使绳子长度最短（不计打结用的绳子），请在图中作出绳子捆扎的路径，并说明理由．【答案】（1）证明见详解.（2）1arccos3（3）路径、理由见详解.【解析】【分析】（1）设BC中点为E，连接A

E、DE，通过线面垂直判定定理证明BC⊥面ADE，即可证明BCAD⊥；（2）由二面角定义知AED即为所求二面角，利用余弦定理进行求解即可；（3）将四面体展开，即可判断过四个面的最短距离.【小问1详解】设BC中点E，连接A

E、DE,如下图所示：ABCD−Q为正四面体，,AEBCDEBC⊥⊥，AE交DE于点E，,AEDE平面ADE，BC⊥面ADE，AD面ADE，BCAD⊥..为【小问2详解】,AEBCDEBC⊥⊥，AED即为二平面ABCD−−的夹角.,ABCBCD为等边三角形，32AEDEa==，2

2222233221cos2333222aaaAEDEADADEAEDEaa+−+−===，1arccos3ADE=.【小问3详解】正四面体展开图如下图所示：题意要求绳子经过正四面体的每一个面、不经过顶点，并且绳子的起点和终点重合，使绳

子长度最短，如图可知取两边中点连线即可达成要求，此时绳子最短.具体路径如下图所示：21.如图，已知椭圆C的方程为2214xy+=，点A、B分别是椭圆C的左、右顶点，点E的坐标是()4,0，过点E的动直线l交椭圆C于点P、Q（点P的横坐标小于点Q的横坐标

）．（1）求椭圆C焦点的坐标；（2）是否存在常数，使OPOQEPEQ+为定值，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．（3）当设直线l的斜率不为0时，设直线AP与BQ交于点S．请提出一个与点S有关的问题，并求解该问题．（备注：本小题

将根据提出问题的质量及其解答情况进行分层计分．）【答案】（1）()3,0和()3,0−（2）存在，239=（3）答案见解析【解析】【分析】（1）根据椭圆方程求出c，即可得到焦点坐标；（2）①当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为：4xmy=+，()11,Pxy、()22,Qxy，联立

直线与椭圆方程，结合韦达定理，利用数量积运算求解；②当直线l斜率为0，直接求出点的坐标，再计算数量积，即可得解；（3）首先得到AP、BQ的方程，联立消去y，求出x，即可得到点S在直线上.【小问1详解】椭圆C的方程为2214xy+=，则2a

=，1b=，所以223cab=−=，则椭圆的焦点坐标为()3,0和()3,0−.【小问2详解】①l必存在斜率，当直线l斜率不为0时，设直线l的方程为：4xmy=+，()11,Pxy、()22,Qxy，联立22414xmyxy=++=并

化简得：()2248120mymy+++=，∴()22Δ644840mm=−+，解得212m，∴12284myym+=−+，122124yym=+，又()11,EPmyy=，()22,EQmyy=，()1

14,OPmyy=+，()224,OQmyy=+，∴OPOQEPEQ+()()()2212121211416myymyymyy=++++++，()()()222222121112412763216444mmmmmm++−+

+=−+=+++，若使OPOQEPEQ+为定值，只需412412761−+=，即239=，其定值为803，②当直线l斜率为0，直线l的方程为0y=，则有()2,0P−、()2,0Q，又()6,

0EP=−，()2,0EQ=−，()2,0OP=−，()2,0OQ=，∴124OPOQEPEQ=+−，当239=时，OPOQEPEQ+也为定值803，综上，存在一个常数239=，使OPOQEPEQ+为定

值803.【小问3详解】问题：S是否在一条定直线上？点S在定直线上，理由如下：由（2）可知()121232yymyy−+=，()2,0A−，()2,0B，当直线l的斜率不为0时，12x−，22x，则直线AP的方程为()1122yyxx=++，直线BQ的方程为()2222yyxx=

−−，则()()12122222yyxxxx+=−+−，所以()()()()2121122121221126622222yxymymyyyxxyxymymyyy++++===−−++()()12212121213639233322yyyyyyyyy

y+−+−+===−+−−+，所以1x=，所以点S的轨迹方程为1x=，即点S在定直线上.【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,xy、(

)22,xy；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为12xx+、12xx的形式；（5）代入韦达定理求解.