【文档说明】黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题 含答案.doc，共(10)页，1.857 MB，由小赞的店铺上传

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铁人中学2019级高二上学期期末考试数学（理）试题本试卷满分150分，答题时长120分钟第Ⅰ卷一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项．．．．是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）1.用反证法证明命题：“若0+ba，则

ba,至少有一个大于0.”下列假设中正确的是（）A.假设ba,都不大于0B.假设ba,都小于0C.假设ba,至多有一个大于0D.假设ba,至少有一个小于02.已知方程112222=−+−kykx表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为（）A

.)2,21(B.),2(+C.)1,21(D.)2,1(3.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：①两球都不是白球；②两球中恰有一个白球；③两球中至少有一个白球．其中与事件“两球都为白球”互斥而不对立的事件是()A．①②B．①

③C．②③D.①②③4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2-2勾）（股股勾+弦实黄实朱

实=+=4，化简，得222弦股勾=+，设勾股中勾股比为1:3，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（）（参考数据：732.13,414.12）A．866B．500C．300D．1345.已知一组数

据54321,,,,xxxxx的平均数是2，方差是31，那么另一组数据231−x，232−x，233−x，234−x，235−x的平均数、方差分别是（）（4题图）A．31,2B．1,2C．32,4D．3,46.用数学归纳

法证明)(2321422+=++++Nnnnn，则当1+=kn时，等式左边应该在kn=的基础上加上（）A．12+kB．2)1(+kC．2)2(+kD．222)1()2()1(++++++kkk7.执行如图所示程序框图，若输出的242

5=S，则判断框内填入的条件可以是（）A．?5kB．?6kC．?7kD．?8k8．某医院为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血清不能起到

预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得918.32K，经查临界值表知05.0)841.3(2KP.则下列表述中正确的是（）A．若有人未使用该血清，那么他一年中有95％的可能性得感冒B．有95％的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”C．这

种血清预防感冒的有效率为95％D．这种血清预防感冒的有效率为5％9.某校举行演讲比赛，9位评委给选手A打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清，若统计员计算无误，则数字x应该是（）A．5B

．4C．3D．210.一张储蓄卡的密码是6位数字，每位数字都可从0，1，…，9这10个数字中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对的概率为（）A．31B．32

C．52D．5111．如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111DCBAABCD−，以顶点A为（7题图）（11题图）（9题图）端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是3，下列说法中正确的是（）A．61=ACB．BDAC⊥1C．向量CB1与向量1AA的夹角是3D．1B

D与AC所成角的余弦值为6312．平面直角坐标系xoy中，直线)0)(2(:+=kxky与抛物线xyC8:2=相交于BA、两点，F为C的焦点，若FBFA2=，则点A到y轴的距离为（）A.3B.4C.5D.6第Ⅱ卷二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正

确答案填在答题卡中的横线上)13.某校高二（1）班共有48人，学号依次为1,2,3，，48，现用系统抽样的方法等距离抽取一个容量为6的样本.已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一名同学的学号为__________.14.观察下列式子：,,474131211,353121

1,23211222222++++++根据以上式子可以猜想：++++2222021131211__________．15．下列说法中，正确的序号为___________.①命题“0,2−xxRx”的否定是“0,2−xxRx”；②已知Ryx,，则“10+yx”是“

5x或5y”的充分不必要条件；③命题“babmam，则若22”的逆命题为真；④若qp为真命题，则p与q至少有一个为真命题；16．正方体1111DCBAABCD−的棱长为,2MN是它的内切球的一条弦(我们把球面

上任意两点之间的线段称为球的弦),P为正方体表面上的动点,当弦MN的长度最大时,PNMP的取值范围是__________.三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)（16题图）17.（10分）

已知21-31:−xp；)0(012:22−+−mmxxq，若p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围.18．（12分）小宋在铁人中学新址附近开了一家文具店，为经营需要，小宋对文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售

量进行了调查，单支售价x元和日销售量y支之间的数据如下表所示：（Ⅰ）根据表格中的数据，求出y关于x的线性回归方程；（Ⅱ）请由（Ⅰ）所得的回归直线方程预测水笔日销售量为18支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为56.0元，为达到日利润（日销售量×单支售价-日销售量

×单支进价）最大，在（Ⅰ）的条件下应该如何定价？（参考公式：回归直线方程axbyˆˆˆ+=中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：xbyaxnxyxnyxbniiniiiˆˆ,ˆ1221−=−−===，yx、为样本平均值，6.16,6

751251====iiiiixyx）19.（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的非负半轴重合．若曲线C的极坐标方程为sin2cos6+=，直线l的参数方程为+=−=tytx222221（为参数t）．

（Ⅰ）求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设点)0，3(Q，直线l与曲线C交于BA、两点，求QBQA的值．20.（12分）2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(

评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人．（Ⅰ）求频率分布于直方图中a的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分

等级为“不满意”的市民中，老年人占13，中青年占23，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；（Ⅲ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改.已知频率分布直方图中同一组

中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.（注：满意指数=100满意度评分的平均分）21.（12分）如图，在四棱锥ABCDP−中，⊥PA平面ABCD，2,//=ABCBCAD，2=AD，32=AB，6=BC．（Ⅰ）求证：平面⊥P

BD平面PAC；（Ⅱ）PA长为何值时，直线PC与平面PBD所成角最大？并求此时该角的正弦值．22.（12分）已知椭圆)0(1:2222=+babyaxC的左、右焦点分别为21、FF，点)2,0(M是椭圆的一个顶

点，21MFF是等腰直角三角形．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点M分别作直线MA、MB交椭圆于BA、两点，设两直线MA、MB的斜率分别为21、kk，且821=+kk，探究：直线AB是否过定点，并说明理由.铁人中学2019级高二上学期期末考试

数学（理）参考答案一．选择题（60分）二．填空题（20分）13.2714.____20214021___15.①②16.0,2-三．解答题（70分）17.（10分）解：由2131−−x，得21312-−−x，即102-x,由01222−+−mxx，

即0)1)(1(22+−+−mmxx，又因为0m得mxm+−11因为p是q的充分不必要条件所以0{129110mmmm−−+（检验：当9m=时，[8,10]B=−，满足题意）故所求的m的取值范围是[9,)+.18.（12分）（1）因为1(1.41.61.822.2)1.8

5x=++++=，1(1311763)85y=++++=，所以5.128.156.1688.156755ˆ2512251−=−−=−−===iiiiixxyxyxb5.308.1)5.12(8ˆˆ=−−=−=xbya题号123456789101112答案ADA

ADDCBDCBB所以，回归直线方程为ˆ12.530.5yx=−+.（2）当18y=时，1812.530.5x=−+，得1x=，假设日利润为)Lx（，则：)(0.56)(30.512.5)Lxxx=−−（，易知0.5630

.512.50xx−，即0.562.44x根据二次函数的性质，可知当1.5x=元时，有max)Lx（.所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元.19.（1

2分）(Ⅰ)由ρ＝6cosθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcosθ＋2ρsinθ，又由222,sin,cos=+==yxyx2分得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝6x＋2y，即10)1()3(22=−+−yx3分由+=−=tytx222221，消去参数t，[来源:Z_xx得直

线l的普通方程为x＋y－3＝0.………5分(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为=−=tytx22223(为参数t)，………7分代入曲线C的直角坐标方程10)1()3(22=−+−yx得0922=−−tt.10分由韦达定理，得921−=tt，则由直线参数方程t的几何意义

得|QA|·|QB|＝21tt＝9………12分20．（12分）（1）由频率分布直方图知，0.0350.0200.0140.0040.0020.075,++++=由100.075)1a+=（解得0.025a=，设总共调

查了N个人，则基本满意的为10(0.0140.020)680N+=，解得2000N=人.不满意的频率为10(0.0020.004)0.06+=，所以共有20000.06120=人，即不满意的人数为120人.（2）评分等级

为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取6人，则中青年抽取4人分别记为1234AAAA、、、，老年人抽取2人分别记为12BB、，从6人中选取2人担任整改督导员的所有的抽取方法有121314111223

24AAAAAAABABAAAA、、、、、、、2122343132414212ABABAAABABABABBB、、、、、、、共15种，抽不到老年人的情况为6种，所以至少有一位老年督导员的概率53156-1==P.（3）所选样本满意程度的平均得分为：450.02550.046

50.14750.2850.35950.2580.7+++++=，估计市民满意程度的平均得分为80.7，所以市民满意指数为80.70.8070.8100=，故该项目能通过验收.21.（12分）（1）∵PA⊥平面,ABCDBD平面ABCD，∴BDPA⊥，又3tan,t

an33ADBCABDBACABAB====，90,60,30===AEBBACABD，即BDAC⊥（E为AC与BD交点）．又AACPA=，∴BD⊥平面PAC，又因为BD平面PBD，所以，平面P

AC⊥平面PBD（2）如图，以AB为x轴，以AD为y轴，以AP为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设APt=，则()()()()23,0,0,23,6,0,0,2,0,0,0,BCDPt，则()23,2,0BD=−，()0,2,tDP=−，()2

3,6,PCt=−，设平面PBD法向量为(),,nxyz=，则00nBDnDP==，即232020xyytz−+=−+=，取1x=，得平面PBD的一个法向量为231,3,nt=，所以2222

6333cos,1214448451PCnPCnPCntttt===++++，因为22221441445151275tttt+++=≥，当且仅当23t=时等号成立，所以5c33353os,PCn=，记直线PC与平面PBD所成角为，则sin

cos,PCn=，故3sin5，即23t=时，直线PC与平面PBD所成角最大，此时该角的正弦值为35．22．（12分）（1）由点(0,2)M是椭圆的一个顶点，可知2b=，又12FMF△是等腰直角三角形，可得2ab=，即22a=，所以28a=，24b=所以椭圆的标准方程为221

84xy+=；（2）若直线AB的斜率存在，设AB方程为ykxm=+，依题意2m，联立22184ykxmxy=++=，得222(12)4280kxkmxm+++−=由已知0，设1122(,),(,)AxyBxy，由韦达定理

得：2121222428,1212kmmxxxxkk−−+==++，821=+kk12221211212222yykxmkkkxmxxxx−+−+−=+=+−+12212121142(2)()2(2)2(2)828xxkmkmkmkmxxxxm+−=+

−+=+−=+−=−42kmkm−=+，整理得122mk=−故直线AB方程为122ykxk=+−，即122ykx=+−，所以直线AB过定点1,22−−若直线AB的斜率不存在，设AB方程为0xx=，设0000(,),(,)AxyBxy

−，由已知得0000228yyxx−−−+=，解得012x=−，此时直线AB方程为12x=−，显然过点1,22−−；综上，直线AB过定点1,22−−