【文档说明】北京市育才学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，972.801 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025年度第一学期北京育才学校高二数学期中考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221xyy++=的半径为A.1B.2C.2D.4【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221xyy++=，可化为22(1)2xy++=，所以2R=，

故选B．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178xy+=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)−B.(3,0)，(3,0)−C.(0,5)，(0,5)−D.(0,3)，(0,3)−【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的

标准方程，求得,,abc的值，即可求得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178xy+=，可得2217,8ab==，则223cab=−=，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)−.故选：B.3.圆221:4Cxy+=与圆222:(3)1Cxy−+=的位置关系为（）A.外离

B.外切C.相交D.内切【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4Cxy+=，则圆心()10,0C，半径12r=，圆222:(3)1Cxy−+=，则圆心()23,0C,半径21r=，所以两圆圆心距1212||3CCrr==+，所以两圆外切.故选：B

.4.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是1,CCAD的中点，那么异面直线OE和1FD所成角的余弦值等于（）A.105B.155C.45D.23【答案】B【解析】【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1//FD1

，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1//FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，如图所示，∵E是CC1的中点，∴GC1//EH，∴∠OEH为异面

直线OE和1FD所成的角．在△OEH中，3OE=，HE＝2211115222GCCCCG=+=，OH＝52．由余弦定理，可得cos∠OEH＝222315255232OEEHOHOEEH+−==．故选：B

【点睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5xy++=关于原点()0,0O对称的圆的方程为（）A22(2)5xy++=B.22(2)5xy+−=.C.22(

2)5xy−+=D.22(2)5xy++=【答案】C【解析】【分析】先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5xy++=的圆心为(2,0)−，半径为5，因为点(2,0)−关于原点()0,0O对称点为(2,0)，所以圆

22(2)5xy++=关于原点()0,0O对称的圆的方程为22(2)5xy−+=，故选：C.6.如果方程221xky+=表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围（）A.(−∞,1)B.()1,+C.()0,1D.()(),01

,−+【答案】B【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,ab的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由方程221xky+=，则=1a，=kbk，即101k，可得1k>.故选：B.7.已知点P是圆22:(3)1Cxy−+=上一点，则点P到直线:3460

lxy++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【详解】圆22:(3)1Cxy−+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直

线的距离为22906334++=+，所以点P到直线:3460lxy++=的距离的最小值为312−=.故选：C.8.“1a=”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的（）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110aaaa−+−=，解得：0a=或1a=；10aa==或1a=，0a=或11aa==¿

，“1a=”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的充分不必要条件.故选：A.9.已知直线xya+=与圆224xy+=交于,AB两点，且OAOBOAOB+=−（其中O为坐标

原点），则实数a的值为A.2B.6C.2或2−D.6或6−【答案】C【解析】【详解】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距

离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．详解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=2，∴AB=222R=.

∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=12AB=||2a=2，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较

少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知()1,2,2a=−，(),,ab

xyz+=，其中2221xyz++=，则b的最大值为（）A.3B.15+C.10D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2bxyz=−−+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详

解】因为()1,2,2a=−，(),,abxyz+=，则()1,2,2bxyz=−−+，且2221xyz++=，其中点(),,xyz可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以()()()222122b

xyz=−+−++表示球上的点到点()1,2,2−距离，最大值为球心到点()1,2,2−的距离再加球的半径，即()22212214++−+=.故选：D二、填空题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0xy−=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)

(1)2xy−+−=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0xy−=上设圆心坐标为(,)Caa，由于圆过原点，得半径2(0)raa=，对a赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0xy−=，则设圆心坐标为(,)

Caa又圆经过原点则圆的半径为222rOCaaa==+=，且0a故取1a=，得圆心(1,1)C，半径2r=所以圆的方程为：22(1)(1)2xy−+−=.为故答案为：22(1)(1)2xy−+−=（答案不唯一）12.过点()1

,4A−的直线将()()22231xy-+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110xy+−=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231xy-+-=的面积分为

相等的两部分，所以该直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312yxxy−−=+−=−−−.故答案为：3110xy+−=13.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为CD的中点，则直线1AE与平面ABCD所成角的正切值为_____

_.【答案】255##255【解析】【分析】连接AE，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE，易知1AA⊥底面ABCD，所以1AEA为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan55AAAEAEAAE====.故答案为：25514.已知点()2,2A−−，点P在

圆22:20Cxyx++=上，则AP的取值范围是______；若AP与圆C相切，求切线AP的方程______.【答案】①.51,51−+②.2x=−或3420xy−−=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的

距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A在圆C外，且()2222:2011Cxyxxy++=++=，即圆心()1,0C−，半径1r=，5AC=，则ACrAPACr−+，即51,51AP−+；若直线AP斜率不存在，即:2APlx=−，此时圆

心C到直线AP的距离等于半径，满足题意；若直线AP斜率存在，不妨设其方程为：()22ykx=+−，则圆心C到直线AP的距离()22221121kdkkk−==+=−+，解之得34k=，此时直线AP方程为3420xy

−−=.故答案为：51,51−+；2x=−或3420xy−−=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：()32222

16xyxy+=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4；④方程()()32222160xyxyxy+=表示曲线

C在第二象限和第四象限的其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224xy+，可判断②；224xy+=和()3222216xyxy+=联立解得222xy==可判断①③；由图可判断④.【

详解】作出圆224xy+=和四叶玫瑰线()3222216xyxy+=的图示如下图所示：()2223222216162xyxyxy++=，解得224xy+（当且仅当2xy==时取等号），则②正确；将224xy+=和()3222216

xyxy+=联立，解得222xy==，即224xy+=与曲线C相切于点()2,2，()2,2−，()2,2−−，()2,2−，则①和③都错误；由0xy，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛

】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知()3,7A−，()2,2B，()5,1C，线段AC的中点为M.（1）求过点M与直线BC平行的

直线方程；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）3130xy+−=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A−，()5,1C求出AC的中点坐标()1,4M和BC的斜率，进而求出方程，（2）由（1）可知BC的斜率求出BC的直线方程，再点A到直

线BC的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A−，()5,1C，∴AC的中点坐标()1,4M，又直线BC的斜率121523k−==−−，∴过M点和直线BC平行的直线方程为()1413yx−=−−，即3130xy+−=.

【小问2详解】由（1）可知BC的斜率13k=−，直线BC的方程为()1223yx−=−−，即380xy+−=，∴点A到直线BC的距离2233781013d−+−==+，又B、C两点间距离()()2252121

0BC=−+−=，∴△ABC的面积111010522SBCd===.17.已知圆C过原点O和点()1,3A，圆心在x轴上.（1）求圆C的方程；（2）直线l经过点()1,1，且l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）22(5)25xy−+=（2）1x

=或15870xy−−=【解析】【分析】（1）设圆C的圆心坐标为(),0a，由已知列出方程，求得a，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详解】设圆C的圆心坐标为(),0a.依题意，在22220(1)3a

a+=−+，解得5a=从而圆C的半径为2205ra=+=，所以圆C的方程为22(5)25xy−+=.【小问2详解】依题意，圆C的圆心到直线l的距离为4，显然直线1x=符合题意.当直线l的斜率存在时，设其方程为()11ykx−=−，即10kxyk−−+=所以24141kk+=+解得158k

=，所以直线l的方程为15870xy−−=综上，直线l的方程为1x=或15870xy−−=.18.如图，四边形ABCD为梯形，//ABCD，四边形ADEF为平行四边形.（1）求证：//CE平面ABF；（2）若AB⊥平面ADEF，AFAD⊥，1AFADCD===，2AB=

，求：（ⅰ）二面角ABFC−−的余弦值；（ⅱ）点D到平面BCF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问

1详解】过C作//CGAD交AB于G点，因为//ABCD，所以四边形ADCG为平行四边形，则CGAD=，又四边形ADEF为平行四边形，所以,//ADEFADEF=，所以,//EFGCEFGC=，则四边形CEFG为平行四边形，即/

/CEFG，易知FG平面ABF，CE平面ABF，所以//CE平面ABF；【小问2详解】因为AB⊥平面ADEF，,ADAF平面ADEF，所以,ABADABAF⊥⊥，又AFAD⊥，所以,ADABAF,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0

,1,1,1,0BFC，所以()()1,1,0,1,1,1CBCF=−=−−，设平面BCF的一个法向量为(),,nxyz=，则00nCBxynCFxyz=−==−−+=，令11,2xyz==

=，即()1,1,2n=，（ⅰ）易知平面ABF的一个法向量为()0,1,0AD=，二面角ABFC−−的一个平面角为锐角，设二面角ABFC−−的一个平面角为，则16cos616ADnADn===

；（ⅱ）易知𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，则点D到平面BCF的距离1666DCndn===.19.已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的右焦点为()2,0F，且过点()2,2，直线l过点F且交椭圆C于A、B两点.（1）求椭圆C的方程

；（2）若线段AB垂直平分线与x轴的交点为1,02M.（ⅰ）求直线l的方程.（ⅱ）若点()4,0P−，求ABP的面积.【答案】（1）22184xy+=；（2）220xy−−=或220xy+−=；36【解析】【分析】（1）根据椭圆的性质并代

入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1详解】根据题意有222222421a

bab−=+=，解之得224,8ba==，所以椭圆C的方程22184xy+=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l的方程为()2ykx=−，AB的中点为C，设()()()112200,,,,,AxyB

xyCxy，l与椭圆方程联立有222280ykxkxy=−+−=，整理得()2222128880kxkxk+−+−=，则212221228128812kxxkkxxk+=+−=+，的所以2120002

242,221212xxkkxykxkkk+===−=−++，易知20204111612CMykkkkkx=−=−=−−−，解之得22k=，即()222yx=−，整理得直线l的方程为220xy−−=或220xy+−=；（ⅱ）由弦长公

式可知()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−()222321112kkk+=++2211124242321211kk++===++，由直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即6233d==，所以ABP的面积为1123323622dAB=

=.20.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1AD=，12ABAA==，,,HFM分别是棱11CD，1BB，11BC的中点.（1）判断直线1AM与平面1BHF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1

AMD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11ABCD的距离是2，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73；（3）不存在，

理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标

系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12ABMHF，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12AMFBHF=−==−，设平面1BHF的一个法向量为𝑚⃗⃗=

(𝑥,𝑦,𝑧)，则100mFBzmHFxyz===+−=，取11,0xyz==−=，即𝑚⃗⃗=(1,−1,0)，则11155342cos,341722AMmAMmAMm===，连接1AM与1BH交于N点，即直线1AM与平面1

BHF相交于N点，则直线1AM与平面1BHF的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DADM==，设平面1AMD的一个法向量为𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则12012202nDAacnDM

abc=+==++=，取41,2abc===−，即()4,1,2n=−，设直线HF与平面1AMD所成角为，则77sincos,3321HFnHFnHFn====，即直线HF与平

面1AMD所成角的正弦值为73；【小问3详解】设存在Q满足题意，不妨设()0,1HQHF=，则(),,HQHF==−，易知()()10,2,2,1,0,0ABCB=−=，设平面11ABCD的一个法向量

为(),,prst=，则12200pABstpCBr=−===，取10,1srt===，即()0,1,1p=，而()11,1,DQDHHQ=+=+−，所以点Q到平面11ABCD的

距离是1122DQpdp==，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，()3,0M，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过()3,0M作互相垂直的两条直线1l、2

l，1l与动点P的轨迹交于A、B，2l与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．【答案】（1）221(0)4xyy+=（2）证明见解析，定点43(,0)5（

3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PMPM+=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,EF坐标，从而表示出EF的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,ABCD，进而可表示面积，利用二次函数的

性质可求面积的最小值.【小问1详解】取点1(3,0)M−，则有1MOPN∥，所以四边形1MONP是平行四边形，所以1PMON=，因为4PMON+=，所以14PMPM+=，所以动点P的轨迹为椭圆（左右顶点除外）

，所以24a=，3c=，所以2221bac=−=，所以动点P的轨迹方程为221(0)4xyy+=．【小问2详解】当1l垂直于x轴时，AB的中点(3,0)E，直线2l为x轴，与椭圆221(0)4xyy+=，无交点，不合题意，当

直线1l不垂直于x轴时，不妨设直线1l的方程为(3)(0)ykxk=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，由22(3)44ykxxy=−+=，得2222(14)831240kxkxk+−+−=，所以△22

222(83)4(41)(124)16(1)0kkkk=−−+−=+，所以21228341kxxk+=+，212212441kxxk−=+，所以31212228323()23231414kkyykxxkkkk−+=+−=−=++，所以222433(,)4141kkEkk−+

+，因为12ll⊥，以1k−代替k，得22433(,)44kFkk++，所以直线EF的斜率为222222335441(1)4(1)4343441EFkkkkkkkkkkk+++==−−++，所以直线EF的方程为22223543()(1)414(1)41

kkkyxkkkk+=−+−+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x轴上，令0y=，则22223543()414(1)41kkkxkkk=−+−+，所以22221634343(41)435(41)5(14)5kkxkk++==

=++，所以直线EF恒过定点43(,0)5，当1k=时，433(,)55E−，433(,)55F，所以直线EF恒过定点43(,0)5，综上所述，直线EF恒过定点43(,0)5．【小问3详解】由（2）得21228341kxxk+=+

，212212441kxxk−=+，所以221212||1()4ABkxxxx=++−422222221921244(1)14(41)4141kkkkkkk−+=+−=+++，同理可得224(1)||4kCDk+=+，所以四边形ACBD面积222218(1)||||2(41)(

4)kSABCDkk+==++，令21tk=+，则1t，所以2222288889933(43)(3)4994()34ttStttttttt====−++−−++−++，因为1t，所以303t，当332t=，即1k=时，23325()344tt−++，所以min322

5S=，所以四边形ACBD的面积最小值为3225．的