【文档说明】北京市育才学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(18)页，1007.190 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025年度第一学期北京育才学校高二数学期中考试试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.1.圆2221xyy++=的半径为A.1B.2C.2D.4【答案】B【解析】【详解】试题分析：由题意得，圆2221xyy++=，可化为22(1)2xy+

+=，所以2R=，故选B．考点：圆的标准方程．2.椭圆221178xy+=的焦点坐标为（）A.(5,0)，(5,0)−B.(3,0)，(3,0)−C.(0,5)，(0,5)−D.(0,3)，(0,3)−【答案】B【解析】【分析】根据椭圆的标准方程，求得,,abc的值，即可求

得椭圆的焦点坐标，得到答案.【详解】由题意，椭圆221178xy+=，可得2217,8ab==，则223cab=−=，所以椭圆的焦点坐标为(3,0)和(3,,0)−.故选：B.3.圆221:4Cxy+=与圆222:(3)1Cxy−+=的位置关系为（）A.外离B.外

切C.相交D.内切【答案】B【解析】【分析】根据圆心距与半径的关系判断.【详解】由题意，圆221:4Cxy+=，则圆心()10,0C，半径12r=，圆222:(3)1Cxy−+=，则圆心()23,0C,半径21r=，所以两圆圆心距12

12||3CCrr==+，所以两圆外切.故选：B.4.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，O是底面ABCD的中心，E，F分别是1,CCAD的中点，那么异面直线OE和1FD所成角的余弦值等于（）A

.105B.155C.45D.23【答案】B【解析】【分析】取BC的中点G，连接GC1，则GC1//FD1，再取GC的中点H，连接HE、OH，则∠OEH为异面直线所成的角，在△OEH中，利用余弦定理可得结论．【详解】取BC的中点G．连接GC1，则GC1//FD1，再取GC的中点H，连接HE、O

H，如图所示，∵E是CC1的中点，∴GC1//EH，∴∠OEH为异面直线OE和1FD所成的角．在△OEH中，3OE=，HE＝2211115222GCCCCG=+=，OH＝52．由余弦定理，可得cos∠OEH＝222315255232OEEHOHOEEH+−==．故选：B【点

睛】本题考查异面直线所成的角，考查余弦定理的运用，解题的关键是作出异面直线所成的角，属于中档题．5.圆22(2)5xy++=关于原点()0,0O对称的圆的方程为（）A22(2)5xy++=B.22(2)5xy+−=.C.22(2)5xy−+=D.22(2)5xy++=【答案】C【解析】【分析】

先求出圆心关于原点的对称点，从而可求出所求圆的方程.【详解】圆22(2)5xy++=的圆心为(2,0)−，半径为5，因为点(2,0)−关于原点()0,0O对称点为(2,0)，所以圆22(2)5xy++=关于原点()0,0O对称的圆的方程为22(2)

5xy−+=，故选：C.6.如果方程221xky+=表示焦点在x轴上的椭圆，那么实数k的取值范围（）A.(−∞,1)B.()1,+C.()0,1D.()(),01,−+【答案】B【解析】【分析】由椭圆的标准方程，明确,ab的取值，根据焦点的位置，设不等式，可得答案.【详解】由

方程221xky+=，则=1a，=kbk，即101k，可得1k>.故选：B.7.已知点P是圆22:(3)1Cxy−+=上一点，则点P到直线:3460lxy++=的距离的最小值为（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】首先求出圆心到直线的距离，再减去半径，即可求解.【

详解】圆22:(3)1Cxy−+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线的距离为22906334++=+，所以点P到直线:3460lxy++=的距离的最小值为312−=.故选：C.8.“1a=”是“直线()1

10axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两直线垂直可构造方程求得a的值，由推出关系可得结论.【详解】由两直线垂直可得：()()110aaaa−+

−=，解得：0a=或1a=；10aa==或1a=，0a=或11aa==¿，“1a=”是“直线()110axay+−−=与直线()110axay−++=垂直”的充分不必要条件.故选：A.9.已知直线xya+=与圆224

xy+=交于,AB两点，且OAOBOAOB+=−（其中O为坐标原点），则实数a的值为A.2B.6C.2或2−D.6或6−【答案】C【解析】【详解】分析：利用OA⊥OB，OA=OB，可得出三角形AOB为等腰直角三角形，由圆的

标准方程得到圆心坐标与半径R，可得出AB，求出AB的长，圆心到直线y=﹣x+a的距离为AB的一半，利用点到直线的距离公式列出关于a的方程，求出方程的解即可得到实数a的值．详解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB为等腰直角三角形，又圆心坐标为（0，0），半径R=

2，∴AB=222R=.∴圆心到直线y=﹣x+a的距离d=12AB=||2a=2，∴|a|=2，∴a=±2．故答案为C．点睛：这个题目考查的是直线和圆的位置关系，一般直线和圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆

心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理和垂径定理.10.在空间直角坐标系Oxyz−中，已知()1,2,2a=−，(),,abxyz+=，其中2221x

yz++=，则b的最大值为（）A.3B.15+C.10D.4【答案】D【解析】【分析】根据题意，求得()1,2,2bxyz=−−+，根据其几何意义，代入计算，即可得到结果.【详解】因为()1,2,2a=−，(),,abxyz+=，则()1,

2,2bxyz=−−+，且2221xyz++=，其中点(),,xyz可以看作球心在原点，半径为1的球上的点所以()()()222122bxyz=−+−++表示球上的点到点()1,2,2−距离，最大值为球心到点()1,2,2−的距离再加球的半径，即()22212214++−+=.故选：D二、填空

题：本大题共5题，每小题6，共25分11.写出一个圆心在直线0xy−=上，且经过原点的圆的方程：______．【答案】22(1)(1)2xy−+−=（答案不唯一）【解析】【分析】利用圆心在直线0xy−=上设

圆心坐标为(,)Caa，由于圆过原点，得半径2(0)raa=，对a赋值，可得一个符合条件的圆的方程.【详解】解：因为圆心在直线0xy−=，则设圆心坐标为(,)Caa又圆经过原点则圆的半径为222rOCaaa=

=+=，且0a故取1a=，得圆心(1,1)C，半径2r=所以圆的方程为：22(1)(1)2xy−+−=.为故答案为：22(1)(1)2xy−+−=（答案不唯一）12.过点()1,4A−的直线将()()22231x

y-+-=的面积分为相等的两部分，求直线方程______.【答案】3110xy+−=【解析】【分析】根据圆的对称性先判定直线过圆心，利用两点式计算直线方程即可.【详解】因为直线将()()22231xy-+-=的面积分为相等的两部分，所以该

直线过圆心()2,3，由两点式知该直线方程为3231104312yxxy−−=+−=−−−.故答案为：3110xy+−=13.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为CD的中点，则直线1AE与平面ABCD所成角的正切值为______.【答案】255##2

55【解析】【分析】连接AE，利用正方体的特征及线面角的定义计算即可.【详解】连接AE，易知1AA⊥底面ABCD，所以1AEA为所求角，不妨设正方体棱长为2，则112255,tan55AAAEAEAAE====.故答案为：25514.已知点()2,2A−−，点P在圆22:2

0Cxyx++=上，则AP的取值范围是______；若AP与圆C相切，求切线AP的方程______.【答案】①.51,51−+②.2x=−或3420xy−−=【解析】【分析】利用点与圆的位置关系计算

可得第一空；利用直线与圆的位置关系结合点到直线的距离公式分类讨论计算即可得第二空.【详解】易知点A在圆C外，且()2222:2011Cxyxxy++=++=，即圆心()1,0C−，半径1r=，5AC=，则ACrAPACr−+，即51,51AP−+；若直线AP斜

率不存在，即:2APlx=−，此时圆心C到直线AP的距离等于半径，满足题意；若直线AP斜率存在，不妨设其方程为：()22ykx=+−，则圆心C到直线AP的距离()22221121kdkkk−==+=−+，解之得34k=，此时直线AP方程为3420xy−−=.故答案为：51,51

−+；2x=−或3420xy−−=15.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物，曲线C：()3222216xyxy+=恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：①曲线C经过5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；②曲线C上任意一点

到坐标原点O的距离都不超过2；③曲线C围成区域的面积大于4；④方程()()32222160xyxyxy+=表示曲线C在第二象限和第四象限的其中正确结论的序号是______.【答案】②④【解析】【分析】利用基本不等式得224xy+，可判断②；224xy+=和(

)3222216xyxy+=联立解得222xy==可判断①③；由图可判断④.【详解】作出圆224xy+=和四叶玫瑰线()3222216xyxy+=的图示如下图所示：()2223222216162xyxyxy++=，解得224xy+（当且仅

当2xy==时取等号），则②正确；将224xy+=和()3222216xyxy+=联立，解得222xy==，即224xy+=与曲线C相切于点()2,2，()2,2−，()2,2−−，()2,2−，则①和③都错误；由0xy

，得④正确.综上，正确命题为：②④.故答案为：②④【点睛】本题考查曲线与方程的应用，根据方程，判断曲线的性质及结论，考查学生逻辑推理能力，是一道有一定难度的题.三、解答题：本大题共6小题，共85分.16.在平面直角坐标系中，已知

()3,7A−，()2,2B，()5,1C，线段AC的中点为M.（1）求过点M与直线BC平行的直线方程；（2）求△ABC的面积.【答案】（1）3130xy+−=（2）5【解析】【分析】（1）由点()3,7A−，()5,1C求出AC的中点坐标()1,4M和BC的斜率

，进而求出方程，（2）由（1）可知BC的斜率求出BC的直线方程，再点A到直线BC的距离，根据面积公式，求出结果.【小问1详解】∵()3,7A−，()5,1C，∴AC的中点坐标()1,4M，又直线BC的斜率121523k−==−−，∴过M点和直线BC平行的直线方程为()1413yx−

=−−，即3130xy+−=.【小问2详解】由（1）可知BC的斜率13k=−，直线BC的方程为()1223yx−=−−，即380xy+−=，∴点A到直线BC的距离2233781013d−+−==+，又B、C两点间距离(

)()22521210BC=−+−=，∴△ABC的面积111010522SBCd===.17.已知圆C过原点O和点()1,3A，圆心在x轴上.（1）求圆C的方程；（2）直线l经过点()1,1，且l被圆C截得的弦长为6，求直线l的方程.【答案】（1）22(5)25xy−+

=（2）1x=或15870xy−−=【解析】【分析】（1）设圆C的圆心坐标为(),0a，由已知列出方程，求得a，进而求得半径，即可得出结果；（2）设出直线方程，利用垂径定理，列方程求出直线的斜率即可得出结果.【小问1详

解】设圆C的圆心坐标为(),0a.依题意，在22220(1)3aa+=−+，解得5a=从而圆C的半径为2205ra=+=，所以圆C的方程为22(5)25xy−+=.【小问2详解】依题意，圆C的圆心到直线l的距离为4，显然直线1x=符合题意.当直线l的斜率

存在时，设其方程为()11ykx−=−，即10kxyk−−+=所以24141kk+=+解得158k=，所以直线l的方程为15870xy−−=综上，直线l的方程为1x=或15870xy−−=.18.如图，四边形ABCD为梯形，//ABCD，四

边形ADEF为平行四边形.（1）求证：//CE平面ABF；（2）若AB⊥平面ADEF，AFAD⊥，1AFADCD===，2AB=，求：（ⅰ）二面角ABFC−−的余弦值；（ⅱ）点D到平面BCF的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）66；66【

解析】【分析】（1）利用平行四边形的性质与判定结合线面平行的判定证明即可；（2）根据题意判定线线垂直，构造合适的空间直角坐标系，利用面面夹角及点面距离公式计算即可.【小问1详解】过C作//CGAD交AB于G点，因为//ABC

D，所以四边形ADCG为平行四边形，则CGAD=，又四边形ADEF为平行四边形，所以,//ADEFADEF=，所以,//EFGCEFGC=，则四边形CEFG为平行四边形，即//CEFG，易知FG平面ABF，CE平面ABF，所以//CE平面ABF；【小问2详解】因为AB⊥平面ADEF，,A

DAF平面ADEF，所以,ABADABAF⊥⊥，又AFAD⊥，所以,ADABAF,三条线两两垂直，即可以以A为中心建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()2,0,0,0,0,1,1,1,0BFC，所以()()1,1,0,1,

1,1CBCF=−=−−，设平面BCF的一个法向量为(),,nxyz=，则00nCBxynCFxyz=−==−−+=，令11,2xyz===，即()1,1,2n=，（ⅰ）易知平面ABF的一个法向量为()0,1,0AD=，二面角ABFC−−的一个平面角为锐角，设二面角ABFC

−−的一个平面角为，则16cos616ADnADn===；（ⅱ）易知𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)，则点D到平面BCF的距离1666DCndn===.19.已知椭圆2222:1xyCab+=（0ab）的右焦点为()2,0F，且过点()2,2，直线l过点F且交椭圆C于A、

B两点.（1）求椭圆C的方程；（2）若线段AB垂直平分线与x轴的交点为1,02M.（ⅰ）求直线l的方程.（ⅱ）若点()4,0P−，求ABP的面积.【答案】（1）22184xy+=；（2）220xy−−=或220xy+−=；36【解析】【分析】（1）

根据椭圆的性质并代入所过点坐标计算即可；（2）（ⅰ）先排除直线l斜率不存在的情况，设其点斜式方程，联立椭圆方程结合韦达定理、直线垂直的斜率积计算即可；（ⅱ）由上的结论及弦长公式、点到直线的距离公式计算即可.【小问1

详解】根据题意有222222421abab−=+=，解之得224,8ba==，所以椭圆C的方程22184xy+=；【小问2详解】（ⅰ）显然若l斜率不存在，其垂直平分线与横轴重合，不符合题意；不妨设直线l的

方程为()2ykx=−，AB的中点为C，设()()()112200,,,,,AxyBxyCxy，l与椭圆方程联立有222280ykxkxy=−+−=，整理得()2222128880kxkxk+−+−=，则212221228

128812kxxkkxxk+=+−=+，的所以2120002242,221212xxkkxykxkkk+===−=−++，易知20204111612CMykkkkkx=−=−=−−−，解之得22k=，即()222yx=−，整理得直线l的方程为220xy−−

=或220xy+−=；（ⅱ）由弦长公式可知()222121212114ABkxxkxxxx=+−=++−()222321112kkk+=++2211124242321211kk++===++，由

直线的对称性知点P到两条直线l的距离相同，即6233d==，所以ABP的面积为1123323622dAB==.20.如图，在长方体1111ABCDABCD−中，1AD=，12ABAA==，,,HFM分别是棱11CD，1BB

，11BC的中点.（1）判断直线1AM与平面1BHF的位置关系，并证明你的结论；（2）求直线HF与平面1AMD所成角的正弦值；（3）在线段HF上是否存在一点Q，使得点Q到平面11ABCD的距离是2，若存在，求出HQHF的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）相交但不垂直，证明见解析；（2）73

；（3）不存在，理由见解析.【解析】【分析】（1）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算线面夹角即可；（3）假设存在点Q，利用空间向量研究点面距离计算参数即可.【小问1详

解】如图建立空间直角坐标系，则()()()()1111,0,2,1,2,2,,2,2,0,1,2,1,2,12ABMHF，所以()()111,2,0,0,0,1,1,1,12AMFBHF

=−==−，设平面1BHF的一个法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则100mFBzmHFxyz===+−=，取11,0xyz==−=，即𝑚⃗⃗=(1,−1,0)，则11155342cos,341722AMmAMmAMm===，连接1AM与1

BH交于N点，即直线1AM与平面1BHF相交于N点，则直线1AM与平面1BHF的位置关系为相交，直线与平面的夹角的正弦值53434；【小问2详解】由上知()111,0,2,,2,22DADM==，设平面1AMD的一个法向量

为𝑛⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，则12012202nDAacnDMabc=+==++=，取41,2abc===−，即()4,1,2n=−，设直线HF与平面1AMD所成角为，则77sincos,3321HFnHFnHFn====

，即直线HF与平面1AMD所成角的正弦值为73；【小问3详解】设存在Q满足题意，不妨设()0,1HQHF=，则(),,HQHF==−，易知()()10,2,2,1,0,0ABCB=−=，设平面11A

BCD的一个法向量为(),,prst=，则12200pABstpCBr=−===，取10,1srt===，即()0,1,1p=，而()11,1,DQDHHQ=+=+−，所以点Q到平面11A

BCD的距离是1122DQpdp==，所以不存在.21.在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，()3,0M，已知平行四边形OMNP两条对角线的长度之和等于4．（1）求动点P的轨迹方程；（2）过()3,0

M作互相垂直的两条直线1l、2l，1l与动点P的轨迹交于A、B，2l与动点P的轨迹交于点C、D，AB、CD的中点分别为E、F；证明：直线EF恒过定点，并求出定点坐标；（3）在（2）的条件下，求四边形ACBD面积的最小值．【答案】（1）221(0)4xyy+=（

2）证明见解析，定点43(,0)5（3）3225．【解析】【分析】(1)根据几何位置关系可得14PMPM+=，再根据椭圆定义求解；(2)利用韦达定理表示出,EF坐标，从而表示出EF的直线方程即可求解；(3)利用韦达定理表示出弦长,ABCD，进而可表示面积，利用二次函数的性质可求面积的最小

值.【小问1详解】取点1(3,0)M−，则有1MOPN∥，所以四边形1MONP是平行四边形，所以1PMON=，因为4PMON+=，所以14PMPM+=，所以动点P的轨迹为椭圆（左右顶点除外），所以24a=，3c=，所以2221bac=

−=，所以动点P的轨迹方程为221(0)4xyy+=．【小问2详解】当1l垂直于x轴时，AB的中点(3,0)E，直线2l为x轴，与椭圆221(0)4xyy+=，无交点，不合题意，当直线1l不垂直于x轴时，

不妨设直线1l的方程为(3)(0)ykxk=−，11(,)Axy，22(,)Bxy，由22(3)44ykxxy=−+=，得2222(14)831240kxkxk+−+−=，所以△22222(8

3)4(41)(124)16(1)0kkkk=−−+−=+，所以21228341kxxk+=+，212212441kxxk−=+，所以31212228323()23231414kkyykxxkkkk−+=+−=−=++，所

以222433(,)4141kkEkk−++，因为12ll⊥，以1k−代替k，得22433(,)44kFkk++，所以直线EF的斜率为222222335441(1)4(1)4343441EFkkkkkkkkkkk+++==−−++，所以直线EF的方程为222235

43()(1)414(1)41kkkyxkkkk+=−+−+，由椭圆的对称性得，若存在这样的定点必在x轴上，令0y=，则22223543()414(1)41kkkxkkk=−+−+，所以22221634343(41)435(41)5(14)5kkxkk++===++

，所以直线EF恒过定点43(,0)5，当1k=时，433(,)55E−，433(,)55F，所以直线EF恒过定点43(,0)5，综上所述，直线EF恒过定点43(,0)5．【小问3详解】由（2）得21228341kxxk+=+，212212441kxxk−=+，所以221212||1()4

ABkxxxx=++−422222221921244(1)14(41)4141kkkkkkk−+=+−=+++，同理可得224(1)||4kCDk+=+，所以四边形ACBD面积222218(1)||||2(41)(4)kSABCD

kk+==++，令21tk=+，则1t，所以2222288889933(43)(3)4994()34ttStttttttt====−++−−++−++，因为1t，所以303t，当332t=，即1k=时，23325()344tt−++，所以min3225S

=，所以四边形ACBD的面积最小值为3225．的