【文档说明】湖北省新高考联考协作体2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题 含解析【武汉专题】.docx，共(20)页，2.107 MB，由小赞的店铺上传

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2023年湖北省新高考协作体高二3月联考高二数学试卷一、单选题（共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上）1.数列121−，122，123−，124，

L的通项公式为（）A.()11nann=−B.()112nnan+−=C.()()11nnann−=−D.()12nnan−=【答案】D【解析】【分析】由数列的前几项归纳出数列的一个通项公式即可.【详解】解：数列()1112121−−=，()2112222−=，()3112323−

−=，()4412412=−，，所以第n项为()12nn−，所以通项公式为()12nnan−=，故A、B、C错误，D正确.故选：D2.已知抛物线2:2(0)Cypxp=上一点(3,)(0)Mmm到其焦点F的距离等于4，则直线MF的倾斜角为（）A.π2B.π6C.π3D

.π4【答案】C【解析】【分析】利用焦半径公式求抛物线方程，即可求点M的坐标，再求直线MF的斜率，即可求解.【详解】依题意可知||342pMF=+=，∴2p=，24yx=，由条件可知，()243120mm==，∴23m=，即()3,23M，()1,0F，3MFk

=，∴倾斜角π3=．故选：C3.定义在区间1,42−上的函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A.函数()fx在区间()1,4上单调递增B.函数()fx在区间()1,3上单调递减C.函数()fx1x=处取得极大值D.函数()fx在0

x=处取得极大值【答案】A【解析】【分析】根据函数的单调性和导数值的正负的关系，可判断A、B；根据函数的极值点和导数的关系可判断C、D的结论．【详解】在区间()1,4上()0fx，故函数()fx在区间()1,4上单调递增，故A

正确；在区间()1,3上()0fx，故函数()fx在区间()1,3上单调递增，故B错误；当(0,4)x时，()0fx，可知函数()fx在(0,4)上单调递增，故1x=不是函数()fx的极值点，故C错误；当1(,0)2x−时，()0fx，()

fx单调递减；当(0,4)x时，()0fx，()fx单调递增，故函数()fx在0x=处取得极小值，故D错误，故选：A.4.在等比数列{}na中，37,aa是函数321()4413fxxxx=−+−的极值点，则a5＝（）A.2−或2B.2−C

.2D.22【答案】C【解析】在【分析】根据题意可知：37,aa是方程()0fx=的两根，利用韦达定理和等比数列的性质即可求解.【详解】因为321()4413fxxxx=−+−，所以2()84fxxx=−+.又因为37,aa是函数321()4413fxxxx=−+−的极值点，即37,

aa是方程2()840fxxx=−+=的两根，则有374aa=，由{}na为等比数列可知：25374aaa==，因为3780aa+=，且374aa=，所以370,0aa，则有50a，所以52a=，故选：C.5.正方形的面积及周长都随着边长的

变化而变化，则当正方形的边长为3cm时，面积关于周长的瞬时变化率为（）A.23B.32C.38D.83【答案】B【解析】【分析】根据题意先求出面积y与周长x的函数关系式，然后利用导数的概念即可求解.【详解】易得正方形的面积y与周长x的函数关系为2116yx=，求导得1()8y

fxx==，边长为3，即12x=，故3(12)2f=．故选：B.6.正项数列na的前n项和为nS，且510S=，1050S=，若直线()*11:3430Nnnlxyaan−++++−=与圆()2224:(1)025nnCxyaa−+=相切，则15S=（

）A.90B.70C.120D.100【答案】C【解析】【分析】根据圆的方程确定圆心与半径，由直线与圆相切可得112nnnaaa−+=+，即可判断数列na为等差数列，根据等差数列的前n项和性质即可求得15S的值.【详解】圆C的圆心为(1,

0)，半径25nra=，由直线()*11:3430Nnnlxyaan−++++−=与圆相切得：圆心(1,0)到直线l的距离11223032534nnnaadra−++++−===+，整理得11255nnnaaa−++=，

即112nnnaaa−+=+，所以na为等差数列．在等差数列na中，5S，105SS−，1510SS−成等差数列，所以()051051512SSSSS−=−+，则152(5010)1050S−=+−，即15120S=．故选：C.7.高斯（Gauss）被认为是历史上最重要的数学家之一，

并享有“数学王子”之称．小学进行123100++++L的求和运算时，他这样算的：1100101+=，299101+=，…，5051101+=，共有50组，所以501015050=，这就是著名的高斯算法，课本上推导等差数列前n项和的

方法正是借助了高斯算法．已知正数数列na是公比不等于1的等比数列，且120231aa=，试根据以上提示探求：若24()1fxx=+，则()()()122023fafafa+++=（）A.2023B.4046C.2022D.4044【答案】B【解析】【分析】根

据倒序相加法，结合等比数列的下标性质进行求解即可.【详解】根据等比数列的下标性质由12022024311nnaaaa−==，∵函数24()1fxx=+，∴222214444()41111++=+==+++xfxfxxxx，令()()()12202

3Tfafafa=+++，则()()()202320231Tfafafa=+++，∴()()()()()()120232202220231242023Tfafafafafafa=++++++=，∴4046T=．故选：B8.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了

具有视觉效果的正方体图案，如图1，把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的空间几何体．若图3中每个正方体的棱长为1，则下列结论错误．．的是（）A.点1C到直线CQ的距离是63B.122CQABADAA=−−+C.平面ECG

与平面1BCD的夹角余弦值为13D.异面直线CQ与BD所成角的正切值为17【答案】A【解析】【分析】通过空间向量的基底运算可得B的正误，利用空间向量的坐标运算可得A,C,D的正误.【详解】()1112222CQCBBQADBAADAAABABADAA=+=

−+=−+−=−−+，所以选项B正确；如图，以1A为坐标原点，1111,,AFABAA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则1(0,1,0)B，1(1,1,0)C−，1(1,0,0)D−，(0,1,1)Q−，(1,1,1)C−−，

(1,1,1)E−−，(1,1,1)G−−,(0,1,1),(1,0,1)BD−−−对于A,1(1,2,1)QC=−−，(1,2,2)CQ=−，设173||QCCQmCQ==−，则点1C到直线CQ的距离221495693dQCm=−=−=，

所以选项A错误；对于B,()()2,2,0,2,0,2ECEG=−=−,()()11,1,0,1,0,1BDBC=−−=−；设平面ECG的法向量的一个法向量为()1,,nxyz=，则220220xyxz−+=−+=，令

1x=可得为1(1,1,1)n=，同理可求平面1BCD的法向量为2(1,1,1)n=−−，1212121cos,3nnnnnn==，所以选项C正确；对于D，因为(1,2,2)CQ=−，(1,1,0)B

D=−−，所以12cos,61442CQBD==++，所以tan,17CQBD=，所以选项D正确．故选：A.二、多选题（共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，全

部选对得5分，部分选对得2分，有错选得0分）9.下列求导运算正确的是（）A.1(ln7)7=B.()()222sin2sin2cosxxxxxx+=++C.222eexxxxx−=D.1[ln(32)]32xx

+=+【答案】BC【解析】【分析】根据求导法则以及基本初等函数的求导公式即可结合选项逐一求解.【详解】对于A,(ln7)0=,故A错误，对于B，()()()()()22222sin2sin2sin2sin2cosxxxxxxxxxx+=+++

=++，故B正确，对于C，()()()22222ee2eeexxxxxxxxxx−−==，故C正确，对于D，3[ln(32)]32xx+=+，故D错误，故选：BC10.已知双曲线22:Cpxqyr−=，

且p，q，r依次成公比为2的等比数列，则（）A.C的实轴长为4B.C的离心率为3C.C的焦点到渐近线的距离为2D.过焦点与C相交所得弦长为4的直线有3条【答案】AC【解析】【分析】根据等比数列求出双曲线的方程，结合选项逐一判断，A,B通过方程可得正误，C通过点线距可得正

误，通过最短弦长和对称性可得D的正误.【详解】因为p，q，r依次成公比为2的等比数列，所以2qp=，4rp=，即2qp=，4rp=．所以C的方程可化为22142xy−=，则24a=，2426c=+=，即2a=，6c=．对于A，C的实轴长为4，故A正确；对于B，离心率为62，故

B错误；对于C，不妨设焦点坐标为()6,0，一条渐近线的方程为22yx=，则焦点到渐近线的距离为2626d==，故C正确；对于D，交于同一支时弦长最小值为222ba=，交于两支时弦长最小值为24a=．根据对称性可知过焦点与C相交所得弦长为4

的直线有5条，故D错误．故选：AC.11.已知等差数列na，其前n项和为nS，若150S，981aa−，则下列结论正确的是（）A.98aaB.当8n=时nS最大C.使0nS的n的最大值为16D.数列nnSa中的最小项为

第9项【答案】ABD【解析】【分析】根据等差数列的通项性质与前n项和性质逐项判断即可.【详解】∵等差数列na，()115158151520aaaS+==，∴80a，又∵981aa−，∴980aa−，890aa

+，∴98aa，A正确；∵80a，90a，∴当8n，0na，9n，0na，所以当8n=时nS最大，B正确；∵890aa+，∴()()16116891616022Saaaa=+=+，150S，使0nS的n的最大值为15，C

错误；∵当15n时，0nS，16n时，0nS；当8n，0na，9n，0na∴当18n时，0nnSa，当915n时，0nnSa，0na且递减，0nS且递减，∴99Sa最小，故D正确．故选：ABD.12.已知函数()fx的定义域为(0,)+，导函数为()fx，满足

()()(1)exxfxfxx−=−，（e为自然对数的底数），且(1)0f=，则（）A.3(2)2(3)ffB.(1)(2)(e)fffC.()fx在2x=处取得极小值D.()fx无最大值【答案】AD【解析】【分析】由题

意，构造函数，利用导数可得新函数的单调性，解得函数()fx的解析式，根据导数求得该函数的单调性，可得答案.【详解】解：设()()(0)fxgxxx=，则22()()(1)ee()xxxfxfxxgxxxx−−===，可设e()xgxcx=+，则(1)e0gc=+=，

解得ec=−，故e()exgxx=−，即()xfxeex=−，令()0gx，则1x，故()gx在(1,)+上单调递增，∴(2)(3)gg，即(2)(3)23ff，则3(2)2(3)ff，A正确；∵()xfxee=−，令()ee0xfx=−，解得1x，则()fx在(0,1

)上单调递减，在(1,)+上单调递增，∴(1)(2)(e)fff，()fx在1x=处取得极小值，无最大值，B、C均错误，D正确．故选：AD.三、填空题（共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上）13.已知()0,0,0O，()2,2,2A−−，()1,4,

6B−，(,8,8)Cx−，若OABC、、、四点共面，则x＝_______．【答案】8【解析】【分析】OABC、、、四点共面，则存在唯一的λ、μ使得OCOAOB=+，据此即可求出x.【详解】∵()0,0,0O，()2,2,2A−−，()1,4,6B−，(,8,8)Cx−，∴(2,2,2)

OA=−−，(1,4,6)OB=−，(,8,8)OCx=−，∵OABC、、、四点共面，则有OCOAOB=+，即2,824,826.x=−+−=+=−−解得8x=．故答案为：8.14.已知定义在区间[0,]

上的函数()sincosfxxxx=+，则()fx的单调递增区间是__________．【答案】π0,2##π[0,]2##π(0,]2##π[0,)2【解析】【详解】对函数()sincosfxxxx=+进行求导，则()sincossincosfx

xxxxxx=+−=，因为[0,π]x，当π0,2x，()0fx，故()fx的单调递增区间是π0,2．故答案为：π0,2.15.已知双曲线22221xyab−=右焦点为(5),0F，

点P，Q在双曲线上，且关于原点O对称．若PFQF⊥，且PQF△的面积为4，则双曲线的离心率e=___________．【答案】5【解析】【分析】根据条件得到225PQOF==和22220PFQFPQ+=

=，从而得到2PFQF−=，结合对称性得到1|||22|PFPFa−==，利用双曲线定义得到1a=，求出离心率.【详解】因为双曲线的右焦点(5,0),5Fc=，设其左焦点为1F，因为PFQF⊥，P，Q关于原点O对称，所以225PQOF==，由P

QF△的面积为4，所以142SPFQF==，得8PFQF=，又22220PFQFPQ+==，故()222422028PFQFPFQFPFQF−=−=+−=，所以2PFQF−=．又由双曲线的对称性可得1||QFPF=，由双曲线

的定义可得1|||22|PFPFa−==，所以1a=，故离心率5e=.故答案为：5.16.在一个正三角形的三边上，分别取一个距顶点最近的十等分点，连接形成的三角形也为正三角形（如图1所示，图中共有2个正三角形）．然后在较小的正三角形中，以同样的方式形成一个更小的正

三角形，如此重复n次，可得到如图2所示的优美图形（图有多个正三角形），这个过程称之为迭代，也叫递推．在边长为3的正三角形三边上，分别取一个三等分点，连接成一个较小的正三角形，然后递推得到如图3所示的图形（图中共有n个正三角形），则图中至

少__________个正三角形的面积之和超过91327．【答案】7【解析】【分析】根据题意，设第n个正三角形的边长为na，面积为nb，第1n+个正三角形的边长为1na+，面积为1nb+，然后结合等比数列的前n项和公式，代入计算，即可得到结果.【详解】设第n个正三角形的边长

为na，面积为nb，第1n+个正三角形的边长为1na+，面积为1nb+，易得234nnba=，由条件可知：13a=，1934b=，又由图形可知：222112122cos603333nnnnnaaaaa+=+−，所以22113nnaa+=，0na

，所以113nnbb+=，所以nb是首项为1934b=，公比为13的等比数列，nb的前n项和为2731183nnS=−．由91327nS，解得6n，所以n最小值为7．故答案为：

7四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E为1DD的中点．的（1）证明：直线1//BD平面A

CE；（2）求直线1CD与平面ACE所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）36【解析】【分析】（1）先利用中位线定理证得1//BDEO，再利用线面平行的判定定理即可得证；（2）建立空间直角坐标系，分别求出1CD与平面ACE的法向量n，从而利用空间向量夹

角余弦的坐标表示即可得解.【小问1详解】连接直线BD，设直线BD交直线AC于点O，连接EO，如图，因为在正方体1111ABCDABCD−中，底面ABCD是正方形，所以O为BD中点，又因为E为1DD的中点，所以1//BDEO，又因为EO平面ACE，1BD平面ACE，所以直线1//BD平面ACE

．【小问2详解】根据题意，以DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图，不妨设正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，则()10,0,2D，()2,0,0A，()0,2,0C，()0,0,1E，故()10

,2,2CD=−，()2,2,0AC=−，()2,0,1AE=−，设平面ACE的法向量(),,nxyz=，则00ACnAEn==，即22020xyxz−+=−+=，令1x=，则1y=，2z=，故()1,1,2n=，设直线1CD与平面ACE所成角为，则111243sinco

s,686CDnCDnCDn−+====，所以直线1CD与平面ACE所成角正弦值为36．18.已知数列na的前n项和为nS，且11nnnSSa+=++，___________．请在①31520aa+=；②2511，，aaa成等比数列；③20230S=，这三个条件中任

选一个补充在上面题干中，并解答下面问题．（1）求数列na的通项公式；（2）若1nnba=−，求数列2nnb的前n项和nT．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．.【答案】（1）1nan=+，Nn（2）12(1)2nnTn+=+−，Nn【解析】【分析

】首先由11nnnSSa+=++，可得na为首项为1a，公差为1的等差数列.的对于（1），当选①②时，代入11naan=+−，可得数列na通项公式，若选③，由()112nnnSna−=+可得数列na的通项公式；对于（2），由（

1）可知1nnban=−=，则22nnnbn=，后利用错位相减法可得答案.【小问1详解】11nnnSSa+=++，所以11nnnSSa+−=+，即11nnaa+=+，所以数列na是首项为1a，公差为1的等差数列．若选①：由31520aa+=，得1121420adad+++=，即

122016ad=−，解得12a=．所以1(1)2(1)11naandnn=+−=+−=+，即数列na的通项公式为1nan=+，Nn．若选②：由2511,,aaa成等比数列，得()()()2111410adadad+=++，解得12a=，所以1(1)

2(1)11naandnn=+−=+−=+，Nn．若选③：因为2011201920201902302Sadad=+=+=，解得12a=，所以1(1)2(1)11naandnn=+−=+−=+，Nn．【小问

2详解】1nnban=−=，则22nnnbn=，则1231222322nnTn=++++，234121222322nnTn+=++++，两式相减得：()2341212222222212nnnnnTnn++−−=+++++−=

−−，故12(1)2nnTn+=+−，Nn．19.已知函数32()61()fxxaxxa=+−+R，且(1)6f=−．（1）求函数()fx的图象在点(1,(1))f处的切线方程；（2）若函数()()gxfxm=−在区间[2,4]

−上有三个零点，求实数m的取值范围．【答案】（1）12210xy+−=（2）912m−的【解析】【分析】（1）利用(1)6f=−可构造方程求得a的值，结合11(1)2f=−可求得切线方程；（2）利用导数可求得函数()fx的单调性，结合

区间端点值和极值可求得()fx在区间[2,4]−上取值情况，进而求出实数m的取值范围．【小问1详解】∵2()326fxxax+=−，∴(1)236fa=−=−，解得：32a=−，∴323()612fxxxx=−−+，则311(1)16122f=−−+=−，∴()fx在点(

1,(1))f处的切线方程为：116(1)2yx+=−−，即12210xy+−=．【小问2详解】由（1）知：323()612fxxxx=−−+，则2()3363(2)(1)fxxxxx=−−=−+，∴当[2,1)(2,4]x−−时，()0fx；当(1,

2)x−时，()0fx；∴()fx在[2,1)−−，(2,4]上单调递增，在(1,2)−上单调递减，又(2)1f−=−，9(1)2f−=，(2)9f=−，(4)17f=，∴max()17fx=，min()9fx=−，由()()0gxfxm=−=，有()mfx

=，即函数ym=与()yfx=的图像有三个交点，则有实数m的取值范围为912m−．20.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的离心率为32，焦距为23．（1）求C的方程；（2）若斜率为12−的直线l与椭圆C交于P，Q两点（点P，Q均在第一象限），O为坐标原点，记直线O

P，OQ的斜率分别为OPk，OQk；线段PQ的长度为||PQ，已知OPk，12PQ，OQk依次成等比数列，求直线l的方程．【答案】（1）2214xy+=（2）510650xy+−=．【解析】【分析】（1）根据椭圆离心

率公式、焦距的定义进行求解即可；（2）设出直线l的方程代入椭圆方程中，根据一元二次方程根与系数关系、根的差别式，结合直线斜率的公式、等比数列的性质、椭圆弦长公式进行求解即可.【小问1详解】由题意可得3222

3cac==，解得23ac==，又2221bac=−=，所以椭圆方程2214xy+=；【小问2详解】设直线l的方程为12yxm=−+，()11,Pxy，()22,Qxy，由221214yxmx

y=−++=，消去y，得()222210xmxm−+−=．则()()222481420mmm=−−=−，且1220xxm+=，()212210xxm=−，得到m的范围为12m．则()2212121212111112

2422myyxmxmxxmxxm−=−+−+=−++=．弦长()22212121215||145222PQxxxxxxm=+−−=+−=−，()()22121221212121111542||2424OPOQxxm

xxmyykkPQmxxxx−++=====−，解得355m=，∵m的范围为12m，∴355m=，为故直线l的方程为13525yx=−+，即510650xy+−=．【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数的关系、根的判别式是解题的关键.21.已知正项

数列na的前n项和为nS，且21nnSa=+.（1）证明：na是等差数列.（2）设数列1nnnSaa+的前n项和为nT，若满足不等式nTm的正整数n的个数为3，求m的取值范围.【

答案】（1）证明见解析（2）610,79【解析】【分析】（1）先利用题意得到()241nnSa=+，继而得到()21141,nnSa−−=+2n，两式相减可得12(2),nnaan−−=即可证明；（2

）由（1）可得21nan=−，2nSn=，所以11111482121nnnSaann+=+−−+，然后利用裂项相消法可求出nT，继而分析nT的单调性即可求解【小问1详解】由()21nnSa=+可得()241nnSa=+，当2n时，()2114

1,nnSa−−=+两式相减可得()221142,nnnnnaaaaa−−=−+−()22112nnnnaaaa−−−=+，0,na12(2),nnaan−−=又由1121Sa=+可得1121,aa=+解得11,a=na是以1为首项，2为公差的等差数列，【小问2详解】由（1）可

得1(1)221nann=+−=−，()21212nnnSn+−==，所以()()2211112121441nnnSnaannn+==+−+−()()1111111442121482121nnnn=+=+−+−−+，所以11111111111148348354

82121nTnn+−++−+++−−+=11111111483352121nnn=+−+−++−−+11114821nn=+−+()111

48218nn=−++因为()11,4821yxyx==−+在()0,+内单调递增，所以()11148218nnnT=−++，*Nn单调递增，因为367T=，4109T=，所以满足不等式nTm的正整数n的个数为3，m的取值范围为610,7922.已知函数()()ln3(

)fxxaxxaa=−−+−R（1）若0a=，求()fx的极小值；（2）讨论函数()fx的单调性；（3）当2a=时，()fx恒成立，求的最大整数值．【答案】（1）4−（2）答案见解析（3）4−【解析】【分析】（1）根据题意，求导得()fx，然

后即可得到()fx的极小值；（2）由题意得到()fx，令()ln(0)ahxxxx=−，然后由()hx的正负即可判断函数()fx的单调性；（3）根据题意可得存在0(2,3)x使得()00fx

=，从而得到函数()fx的最小值，从而得到结果.【小问1详解】当0a=时，()ln3fxxxx=−−，()fx的定义域为(0,)+，()ln11lnfxxx=+−=，所以()fx在区间(0,1)，()0fx，()fx递减

；在区间(1,)+，()0fx，()fx递增．所以当1x=时，()fx取得极小值(1)4f=−．【小问2详解】()()ln3fxxaxxa=−−+−的定义域为(0,)+，()ln1lnxaafxxxxx−−==+−．令()ln(0)ah

xxxx=−，221()axahxxxx+=+=，当0a时，()0hx恒成立，所以()hx即()fx在(0,)+上递增．当0a时，()hx在区间(0,)a−，()0hx，()hx即()fx递减；在区间(,)a−+，()0hx，()

hx即()fx递增．【小问3详解】当2a=时，()(2)ln1fxxxx=−−−，2()lnfxxx=−，由（2）知，()fx在(0,)+上递增，(2)ln210f=−，2(3)ln303f=−，所以存在0(2,3)x使得()00fx

=，即002lnxx=．()fx在区间()00,x，()0fx，()fx递减；在区间()0,x+，()0fx，()fx递增．所以当0xx=时，()fx取得极小值也即是最小值为()()()000000000242ln1211fxxxxxxxxx=−−−=−−−=−+，∵0

(2,3)x，∴004134,3xx+，所以()010,33fx骣琪?-琪桫．由()fx恒成立，得()0fx，故的最大整数值为4−．