【文档说明】黑龙江省齐齐哈尔市2023-2024学年高二下学期7月期末考试 数学 Word版含解析.docx，共(26)页，1.152 MB，由小赞的店铺上传

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高二数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘

贴在条形码区域.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑

.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na的通项公式为31,21,nnnn

an+=−为奇数为偶数，则23aa=（）A.13B.14C.30D.492.已知函数()1fxx=，则0(1)(1)limxfxfx→+−=（）A.1−B.1C.21x−D.21x3.现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种

数为（）A.216B.240C.432D.7204.现有8道四选一的单选题，某学生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，该学生从这8道题中随机选择1道

题，则他做对此题的概率为（）A.0.225B.0.625C.0.675D.0.73755.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x（单位：cm）167173175177178180181体重y（单位：kg）

90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l的方程为11ˆybxa=+，其相关系数为1r；经过残差分析，点(167,90)对应残差过大，把它去掉后，再用剩

下的6组数据计算得到经验回归直线2l的方程为22ˆˆˆybxa=+，相关系数为2r.则下列选项正确的是（）A121212ˆ,ˆˆˆ,bbaarrB.121212ˆˆˆˆ,,bbaarrC.121212ˆˆˆˆ,,bbaarrD.121212ˆˆˆˆ,

,bbaarr6.已知22naxx−的展开式的各二项式系数和为128，且2x的系数为280，则=a（）A.1B.2C.1D.27.已知等差数列na的公差为2π3，若集合*cos

,nAanab==N∣，则ab=（）A.14−B.12−C.0D.128.已知函数()()22e,exfxxxagxx=−+=−，若(12,0,1,exx−，使()()12gxfx成立，则实数a的取值范围是（）A.)2e1

,−+B.12e1,e+−+C.)2e,+D.21e,e++二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分

，部分选对的得部分分，有选错的得0分..9.已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩X服从正态分布()2,,NX的正态密度函数为()()21004501e152πxfx−−=，称它的图像为正态密度曲线，通过X的正态密度函数及其图像可以发现，下列关于X的正态密度曲线的叙

述正确的有（）参考数据：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827PX−+=，()220.9545PX−+=.A.正态密度曲线是单峰的，它关于直线100x=对称B.当x无限增大时，

曲线无限接近x轴C.曲线在100x=处达到峰值12πD.()1300.02275PX=10.定义数列13nnaa+−为数列na的“3倍差数列”，若na的“3倍差数列”的通项公式为1133nnnaa++−=，且13a=，则下列正确的有（）A.4324a=B.数列na

n的前n项和为312nnS−=C.数列3lognan的前n项和与数列3nna的前n项和相等D.数列19nnnaa+的前n项和为nT，则1163nT11

.已知()()2ln1,0,0xxxfxaxxx−=−−的图象上能找到两个不同点AB､关于原点对称，则称AB､为函数()yfx=的一对“友好点”，则下列正确的有（）A.若1ea，则()yfx=有两对“友好点

”B.()yfx=不可能有三对“友好点”C.若()yfx=仅有一对“友好点”，则0aD.当1ea=时，对任意10x，总是存在20x，使得()()120fxfx+=第II卷三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，

共15分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.12.袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是79.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则()21EX−=____________.13.已知函数()fx的导函数为()gx，对

任意的实数x，都有()()gxfx，且()1ef=，则不等式()lnfxx的解集为____________.14.已知nS是数列na的前n项和，且21,12,21nnnnaSnS==−，则2a=____________；2024S=_____

_______.四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列.且111ab==，327ab+=，2322ab−=，

*nN.（1）求na、nb通项公式；（2）记nnncab=，nT为nc的前n项和，求nT.16.某学校想了解学生爱好体育运动是否与性别有关联，从学生群体中随机抽取80名学生进行调查，得到了如下22列联表：单位：人性别是否爱好体育运动合计是否女生10男生10合

计现在从这80人中随机选择1人，已知在选到的是爱好体育运动者的条件下，选到男生的概率是12.（1）请将上面的22列联表补充完整，并根据表中数据，依据小概率值0.005=的独立性检验，能否认的的为爱好体育运动与性别有关联？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该学校的所有女生中随机调查3人

，设被调查的3人中爱好体育运动的人数为X，求X的分布列､均值和方差.参考公式：()()()()()22,nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++.附表：0.1000.0500.0100

.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.82817.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.现记莱布尼茨三角

第1行的第2个数字为1a，第2行的第2个数字为2,a，第n行的第2个数字为na.（1）求1236aaaa++++的值；（2）将杨辉三角中的每一个数Crn都换成()11Crnn+就得到了莱布尼茨三角.我们

知道杨辉三角的最基本的性质()11CCC,1rrrnnnrrn−+=+N，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.18.已知函数()3ln,Rfxxaxaa=−−.（1）当1a=−时，求曲线()yfx=在

点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()fx的单调性；（3）若()fx有极大值，且极大值大于2−，求a的取值范围.19.中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国

三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网

高2.24米）扣球高度x（米）2.42.52.7293.0得分概率y0.10.20.40.70.9（1）若表中两个变量线性相关（经验回归方程为5ˆ1.33.0yx=−），计算样本相关系数（保留0.1%），并推断它们相关程度；（2）若恰好抽到甲、

乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为12，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为13和23，当丙接到球时，丙传给甲、乙的概率分别为13和23，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率.参考公式：

()()()()112222221111.nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynxyrxxyyxnxyny======−−−==−−−−参考数据：()()555221116.55,0.34,50.26iiiiiii

ixyxxyyxx====−−=−=，0.117520.343,0.4520.672..的高二数学试卷本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，试卷共8页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.

答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清楚.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答

，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上答题无效.4.作图题可先使用2B铅笔填涂，然后用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄皱，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.第I卷一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知数列na的通项公式为31,21,nnnnan+=−为奇数为偶数，则23aa=（）A.13B.14C.30D.49【答案】C【解析】【分析】由通项公式分别求出23,

aa即可得.【详解】由31,21,nnnnan+=−为奇数为偶数，得22213a=−=，333110a=+=，所以2330aa=.故选：C.2.已知函数()1fxx=，则0(1)(1)limxfxfx→+−=（

）A.1−B.1C.21x−D.21x【答案】A【解析】【分析】根据题意，由条件可得(1)(1)fxf+−，然后代入计算，即可得到结果.【详解】因为()111fxx+=+，()1111f==，则1(1)(1)111xfxfxx−+−=−=++，所以00(1)(1)l1imm11lix

xfxxfx→→+−−+==−.故选：A3.现有3男3女站成一排照相，左右两端恰好性别不同，则不同的排法种数为（）A.216B.240C.432D.720【答案】C【解析】【分析】先排特殊位置，再排其它

位置，由分步乘法计数原理计算.【详解】3男3女站成一排拍照，左右两端的恰好是一男一女，先分别选1男1女排在左右两端，有112332CCA18=种排法，再排中间4个位置，有44A24=种排法，所以不同的排法种数为1824

432=种.故选：C.4.现有8道四选一的单选题，某学生对其中6道题有思路，2道题完全没有思路，有思路的题做对的概率为0.9，没有思路的题只好任意猜一个答案，猜对答案的概率为0.25，该学生从这8道题中随机选择1道题，则他做对此

题的概率为（）A.0.225B.0.625C.0.675D.0.7375【答案】D【解析】【分析】根据全概率公式结合题意求解.【详解】记事件A表示“考生答对题”，事件B表示“考生选到有思路的题”，则该学生从这8道题中随机选择1道

题，则他做对此题的概率为()()()()()PAPBPABPBPAB=+620.90.2588=+0.7375=.故选：C5.某校为了解本校高一男生身高和体重的相关关系，在该校高一年级随机抽取了7名男生，测量了他们的身高和体重得下表：身高x（

单位：cm）167173175177178180181体重y（单位：kg）90545964677276由表格制作成如图所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l的方程为11ˆybxa=+，其相关系数为1r；经过残差分析，点(167,90

)对应残差过大，把它去掉后，再用剩下的6组数据计算得到经验回归直线2l的方程为22ˆˆˆybxa=+，相关系数为2r.则下列选项正确的是（）A.121212ˆ,ˆˆˆ,bbaarrB.121212ˆ

ˆˆˆ,,bbaarrC.121212ˆˆˆˆ,,bbaarrD.121212ˆˆˆˆ,,bbaarr【答案】A【解析】【分析】根据()167,90的特点判断斜率和截距；由于去掉()167,90，其它点的线性关系更强，从而可判断相

关系数.【详解】身高的平均数为167173175177178180181123117677++++++=，因为离群点()167,90的横坐标167小于平均值176，纵坐标90相对过大，所以去掉()167,90后经验回归直线的截距变小而斜率变

大，故1212,ˆˆˆˆbbaa，去掉()167,90后相关性更强，拟合效果也更好，且还是正相关，所以12rr.故选：A6.已知22naxx−的展开式的各二项式系数和为128，且2x的系数为280，则=a（）A.1B.2C.1D.2【答案】C【解析】【分析】由二项式

系数和为2128n=，求出n，再写出展开式的通项，利用通项计算可得.【详解】因为展开式的各二项式系数和为128，所以721282n==，解得7n=，所以722axx−展开式的通项为()()771431772C22CrrrrrrrrTaxaxx−−−+−−

==（07r且Nr），令1432r−=，解得4r=，所以展开式中2x的系数为()43472C280a=−，解得1a=.故选：C7.已知等差数列na的公差为2π3，若集合*cos

,nAanab==N∣，则ab=（）A.14−B.12−C.0D.12【答案】B【解析】【分析】根据给定的等差数列，写出通项公式，再结合余弦型函数的周期及集合只有两个元素分析、推理作答.【详解】依题意，等差数列{}na中，112π2π2π(1)()333

naanna=+−=+−，因为函数12π2π()cos()33fnna=+−的周期为3，而Nn，所以cosna最多3个不同取值，又cosN,nanab=，则在1112π4πcos,co

s,cos33aaa++中，恰两个值相等.所以有1112π4πcoscoscos33aaa=++，或1112π4πcoscoscos33aaa+=+，或1114π2πcoscoscos3

3aaa+=+.（1）当1112π4πcoscoscos33aaa=++时，令1a=，由2πcoscos3=+，得2π()2π,Z3kk++=，解得ππ,Z3kk=−，

故4π2πcoscoscoscos33ab=+=−，则ππ2ππcosπcosπcosπcosπ3333abkkkk=−−−=−−2πππ1cosπcoscosπcoscosπ=cosπco

s3332kkkk=−+−=−（2）当1112π4πcoscoscos33aaa+=+时，令12π3a+=，则2πcoscos3=+，且112π2πcosc

oscoscos33abaa=+=−也成立，故同（1）可得；（3）当1114π2πcoscoscos33aaa+=+时，其中114π2πcoscos33aa+=−

，则有1112π2πcoscoscos33aaa−=+，令12π3a−=，则2πcoscos3=+，且112π2π4π2πcoscoscoscoscoscos

3333abaa=−+=+=−仍然成立，故以下也同（1）可得.综上，12ab=−.故选：B.8.已知函数()()22e,exfxxxagxx=−+=−，

若(12,0,1,exx−，使()()12gxfx成立，则实数a的取值范围是（）A.)2e1,−+B.12e1,e+−+C.)2e,+D.21e,e++【答案】B【解析】【分析】由题意()()1

2maxmaxgxfx，故只需分别求出两个函数()22e,1,efxxxax=−+、()(0,e,xgxxx=−−的最大值即可列不等式求解.【详解】若(12,0,1,exx−，使()()12gxfx成立，则当

且仅当()()12maxmaxgxfx，于函数()()2222eee,1,efxxxaxax=−+=−+−而言，其最大值为e21a−+，于()(0,e,xgxxx=−−而言，其导数()()(01e,,xxxgx

+−=−，当1x−时，()0gx，当10x−时，()0gx，所以当1x−时，()gx单调递增，当10x−时，()gx单调递减，从而()gx的最大值()()max11egxg=−=

，所以原题条件等价于121eea−+，即12e1ea+−.故选：B.【点睛】关键点点睛：关键是分析得出()()12maxmaxgxfx，并求得()()12maxmax1,21eegfxax=−=+，由此即可顺利得解

.二､多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知某校有1200名同学参加某次联考，其中每位学生的数学考试成绩

X服从正态分布()2,,NX的正态密度函数为()()21004501e152πxfx−−=，称它的图像为正态密度曲线，通过X的正态密度函数及其图像可以发现，下列关于X的正态密度曲线的叙述正确的有（）参考数据：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()0.6827PX

−+=，()220.9545PX−+=.A.正态密度曲线是单峰的，它关于直线100x=对称B.当x无限增大时，曲线无限接近x轴C.曲线在100x=处达到峰值12πD.()1300.02275PX=【答案】ABD【解析】【分析】根据题意

，由正态密度曲线的性质即可判断ABC，再由“3原则”代入计算，即可判断D【详解】由正态密度函数可知，100=，22450=，则15=，由正态密度曲线的性质可知，图像是单峰的，且关于100x==对称

，故A正确；当x无限增大时，()2100450x−−→−，则()21004500ex−−→，则曲线无限接近x轴，故B正确；当100x=时，()1152π100f=，故C错误；()()()20.954513020.50.50.02275

222PPPXXX=+=−−=−=+，故D正确；故选：ABD10.定义数列13nnaa+−为数列na的“3倍差数列”，若na的“3倍差数列”的通项公式为1133nnnaa++−=，且13a=，则下列正确的有（）A.4324a=B.数列na

n的前n项和为312nnS−=C.数列3lognan的前n项和与数列3nna的前n项和相等D.数列19nnnaa+的前n项和为nT，则1163nT【答案】ACD【解析】【分析】由递推关

系可得数列3nna是以1为首项，以1为公差的等差数列，从而可得3nnan=，再结合等比数列的求和公式，即可判断ABC，再由裂项相消法代入计算，即可判断D【详解】由1133nnnaa++−=可得11133nnnnaa++−=，且113

a=，所以数列3nna是以1为首项，以1为公差的等差数列，即()1113nnann=+−=，则3nnan=，所以4443324a==，故A正确；因为3nnan=，由等比数列求和公式可得该数列的前n项和为()131333132nnnS+

−−==−，故B错误；因为33loglog3nnann==，3nnan=，这两个数列的通项公式相同，则其前n项和相等，故C正确；因为()1113nnan++=+，则()()()119911113131313nnnnnnaa

nnnnnn++===−+++，则其前n项和1111111113232331nTnn=−+−++−+1111111111132231313nnn=−+−++

−=−++，且当1n=时，nT取得最小值为16，所以1163nT，故D正确；故选：ACD的11.已知()()2ln1,0,0xxxfxaxxx−=−−的图象上能找到两个不同点AB､关于原点对称，则称AB､为函数()yfx=的一对“友好点”，则下列正确的有（）

A.若1ea，则()yfx=有两对“友好点”B.()yfx=不可能有三对“友好点”C.若()yfx=仅有一对“友好点”，则0aD.当1ea=时，对任意的10x，总是存在20x，使得()()120fx

fx+=【答案】BD【解析】【分析】不妨设0x，则()fx存在友好点等价于方程2lnxxax+=有实数根，从而构造函数2ln()xxgxx+=，利用导数求得其单调区间，画出函数的大致图象，讨论()ygx=与直线y

a=的图象的交点个数情况，再逐个分析判断.【详解】若(,)xy和(,)xy−−互为“友好点”，不妨设0x，则2ln2(22)0xxaxx−−+−++=，得2lnxxax+=，令2ln()xxgxx+=（0x），则2431(1)2(ln)12ln()xxxxxxxgxxx+−+−−=

=，令()12ln(0)hxxxx=−−，则2()10hxx=−−，所以()hx在(0,)+上递减，因为(1)0h=，所以当01x时，()0hx，当1x时，()0hx，所以当01x

时，()0gx，当1x时，()0gx，所以()gx在(0,1)上递增，在(1,)+上递减，所以()gx的大致图象如图所示，由图可知，当1a时，()ygx=的图象与直线ya=无交点，所以()yfx=不存在“友好点”，当1a=或0a时，()ygx=的图象与直

线ya=有一个交点，所以()yfx=只有一对“友好点”，当01a时，()ygx=的图象与直线ya=有两个交点，所以()yfx=存在两对“友好点”，()yfx=不可能有三对“友好点”，所以AC错误，B正确，当1ea=时，()yfx=存在两对“友好点”，所以对任意的1>0x，总存在20x，使()

()120fxfx+=，所以D正确，故选：BD【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有：（1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思；（2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言；（3）将已知条件代入

新定义的要素中；（4）结合数学知识进行解答.第II卷三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.把正确答案写在答题卡相应题的横线上.12.袋中装有10个大小相同的黑球和白球，已知从袋中任意摸出2个球，至少得到一个白球的概率是79.现从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X，则()21E

X−=____________.【答案】2【解析】【分析】设白球的个数为x，则红球和黑球的个数为10x−，记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件，由此求出白球的个数；得出X的取值可能为0，1，2，3，求出X的分布列和数学期望，再由期望性质求解．【

详解】设白球的个数为x，则黑球和红球的个数为10x−；记两个都不是白球的事件为A，则至少有一个白球的事件与事件A为对立事件；所以()210210C72199CxPA−=−==，解得5x=，所以白球的个数为5；从袋中任意摸出3个球，到白球的个数X的取值可能为：0，1，2，3；则0355310C

C1(0)C12PX===，1255310CC5(1)C12PX===，2155310CC5(2)C12PX===，3055310CC1(3)C12PX===，所以X的分布列为：X0123P112512512112X所

以的数学期望()155130123121212122EX=+++=，则()()321212122EXEX−=−=−=．故答案为：213.已知函数()fx的导函数为()gx，对任意的实数x，都有()()gxfx，且()1ef=，则不等式()lnfxx的解集为____

________.【答案】{0e}xx∣【解析】【分析】根据题意，构造函数()()exfxhx=，即可得到()hx在R上单调递减，不等式可化为()()ln1hxh，代入计算，即可求解.【详解】令()()exfxhx=，则()()(

)exgxfxhx−=，因为对任意的实数x，都有()()gxfx，则()0hx，所以()hx在R上单调递减，且()1ef=，则()11h=，不等式()lnfxx，()0,x+，即()ln1fxx，所以()()lnln1exfxh，即()(

)ln1hxh，所以ln1x，解得ex，且0x，所以0ex，即不等式得解集为{0e}xx∣.故答案为：{0e}xx∣14.已知nS是数列na前n项和，且21,12,21nnnnaSnS==−，则2a=____________；2024S=_________

___.【答案】①.16−②.12025【解析】【分析】2n=代入na可得2a；利用()12nnnaSSn−=−求出nS可得2024S.【详解】()2222122212221211112++===−+−+−aaaaSS

aaa，解得216a=−；当2n时，211−==−−nnnnnSaSSS，可得11−−=+nnnnSSSS，即1111nnSS−−=，112S=，所以1nS是以2为首项，1为公差的等差数列，所以()1211nnnS=+−=+，可得11n

Sn=+，1n=时1111112Sa===+成立，所以11nSn=+，可得202412025=S.故答案为：①16−；②12025.的四､解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.设na是等差数列，nb是各项都为正数的等比数列.且111ab==，

327ab+=，2322ab−=，*nN.（1）求na、nb的通项公式；（2）记nnncab=，nT为nc的前n项和，求nT.【答案】（1）21nan=−，12nnb−=（2）()2323nnTn=−+【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q

，则0q，根据已知条件可得得出关于q、d的方程组，解出这两个量的值，即可得出数列na、nb的通项公式；（2）求出数列nc的通项公式，利用错位相减法可求得nT.【小问1详解】解：设等差数列na的公差为d，等比数列nb的公比为q，则0q，因为111ab

==，327ab+=，2322ab−=，则32112217abadbqdq+=++=++=，()22231122222abadbqdq−=+−=−+=，所以，226200dqdqq+=−=，解得2qd==，所以，()()1112121naandnn=

+−=+−=−，1111122nnnnbbq−−−===.【小问2详解】解：由（1）可知，()1212nnnncabn−==−，所以，()0121123252212nnTn−=++++−，①可得()()12121232232212nnnTnn−

=+++−+−，②①−②可得()()()()2112121212222212121212nnnnnTnn−−−−=++++−−=+−−−()3322nn=−+−，因此，()2323nnTn=−+.16.某学校想了解学生爱好体育运动是否与性别有关联，从学生群体中随机抽取80名学生

进行调查，得到了如下22列联表：单位：人性别是否爱好体育运动合计是否女生10男生10合计现在从这80人中随机选择1人，已知在选到是爱好体育运动者的条件下，选到男生的概率是12.（1）请将上面的22列联表补充完整，并根据表中数据，依据小概率值0.

005=的独立性检验，能否认为爱好体育运动与性别有关联？（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该学校的所有女生中随机调查3人，设被调查的3人中爱好体育运动的人数为X，求X的分布列､均值和方差.参考公式：()()(

)()()22,nadbcnabcdabcdacbd−==+++++++.附表：0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）列联表见解析，能（2）分布列

见解析，()()15,212EXDX==【解析】【分析】（1）设喜欢运动者共有x人，依题意可得1102x=，求出x，即可得到列联表，计算出卡方，即可判断；的（2）依题意可得13,6XB，根据二项分布的概率公式求出分布列，

再由二项分布的期望与方差公式求出期望、方差.【小问1详解】设喜欢运动者共有x人，则由题意可得1102x=，则20x=，故可得如下22列联表：性别是否爱好运动合计是否女生105060男生101020合计206080零假设0H：爱好体育运动与性别无关联所

以220.00580(10101050)808.8897.879206020609x−===，根据小概率值0.005=的独立性检验，我们推断0H不成立，即认为爱好体育运动与性别有关联，此推断犯错误的

概率不大于0.005.【小问2详解】由表中数据可知女生爱好运动的概率为101606=，所以13,6XB，则X的所有可能取值为0,1,2,3，所以()3512506216PX===，()21315251C6

672PX===，()2231552C6672PX===，()31136216PX===，所以X的分布列为：X0123P12521625725721216()()111553,3626612EXDX====17

.莱布尼茨（德国数学家）三角（如图1所示）是与杨辉（南宋数学家）三角数阵（如图2所示）相似的一种几何排列，但与杨辉三角不同的是，莱布尼茨三角每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和.现记莱布尼茨三角第1行的第2个数字为

1a，第2行的第2个数字为2,a，第n行的第2个数字为na.（1）求1236aaaa++++的值；（2）将杨辉三角中的每一个数Crn都换成()11Crnn+就得到了莱布尼茨三角.我们知道杨辉三角的最基本的性质()11CCC

,1rrrnnnrrn−+=+N，也是二项式系数和组合数性质，请你类比这个性质写出莱布尼茨三角的性质，并证明你的结论.【答案】（1）67（2）()()()*111111,,11C1CCrrrnnnnrrnnnn−−−+=++N，证明见解析【解析】【分析】（1）由莱布尼茨三角

每个三角形数组顶端数等于底边两数之和求出56,aa，再由裂项相消法求和可得；（2）结合题意代换写出和式()()1111C1Crrnnnn−+++，再利用组合公式运算证明可得.【小问1详解】由图1可知：12341111,,,,261220aaaa

====由每个三角形数组顶端的数等于底边两数之和，可得51165a+=，的故51115630a=−=，同理61116742a=−=，故12361111112612203042aaaa++++=+++++111112233467=+++

+11111111611223346777=−+−+−++−=−=；【小问2详解】莱布尼茨三角的性质：()()()*111111,,11C1CCrrrnn

nnrrnnnn−−−+=++N证明：()()1111C1Crrnnnn−+++()()()1!1!!!111!1!rnrrnrnnnn−+−−=+++.()()()()()()1!!11!!1!!rnrnrrrnrnnn−−+−+−−==+()()()()111!11

!11!Crnrnrnnn−−−−−−==−.故结论正确.18.已知函数()3ln,Rfxxaxaa=−−.（1）当1a=−时，求曲线()yfx=在点()()1,1f处的切线方程；（2）讨论()fx的单调性；（3）若()fx有极大值，且极大值大于2−，求a的取值范围.【答案】（1）

2yx=（2）当()0,afx在()0,+上单调递增，无递减区间；当()0,afx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.（3）()0,1【解析】【分析】（1）利用导数的几何意义求出斜率，结合切点，得到切线方程即可.（2）利用导数含参

讨论单调性即可.（3）结合题意转化为不等式恒成立问题，利用导数判断函数单调性，再解不等式即可.【小问1详解】()()311ln(0),axfxxaxaxfxaxx−=−−=−=，当1a=−时，()()1212ff==.所以曲线()yfx

=在点()()1,1f处的切线方程()221yx−=−，即2yx=.【小问2详解】由（1）知，()()10axxxxf−=，①当0a时，()()0,fxfx在()0,+上单调递增，无递减区间，②当0a

时，()()110,0,,0xfxxfxaa，()fx\在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减，综上：当()0,afx在()0,+上单调递增，无递减区间，当()0,afx在10,a上单调递增，在1,a+上单调递减.

【小问3详解】因为()fx有极大值，且极大值大于2−，故0a，且()fx在1xa=处取极大值1fa，31ln12faaa=−−−−，即3ln10aa−+，令()3ln1(0)gxxxx=−

+，()2130gxxx=+恒成立，()gx在()0,+上单调递增，又()10g=，()0gx当且仅当01x时成立，故12fa−，当且仅当01a时成立，因此a的取值范围是()0,1

.19.中国国家女子排球队（简称中国女排）曾十度成为世界冠军（包括世界杯、世锦赛和奥运会三大赛），中国女排也是中国三大球中唯一一个拿到冠军奖杯的队伍.众所周知，排球是一项集体运动，团队协作及日常科学训练对于赢得比赛都至关重要.现有主攻手1人，副攻手2人，接应手

1人，二传手1人，自由人1人，从这6人中随机抽取3人参与常规训练.该主攻手的扣球高度与得分概率的数据，如表所示：（女子网高2.24米）扣球高度x（米）2.42.52.72.93.0得分概率y0.10.20.

40.70.9（1）若表中两个变量线性相关（经验回归方程为5ˆ1.33.0yx=−），计算样本相关系数（保留0.1%），并推断它们的相关程度；（2）若恰好抽到甲、乙、丙3人参与传球训练，先从甲开始，甲传给乙、丙的概率均为12，当乙接到球时，乙传给甲、丙的概率分别为13和23，当丙接到球时

，丙传给甲、乙的概率分别为13和23，假设球一直没有掉地上，求经过n次传球后甲接到球的概率.参考公式：()()()()112222221111.nniiiiiinnnniiiiiiiixxyyxynx

yrxxyyxnxyny======−−−==−−−−参考数据：()()555221116.55,0.34,50.26iiiiiiiixyxxyyxx====−−=−=，0.117520.343,0.4520.672.【答案】（1）0.991r；两个变量呈现

正相关，而且相关性很强；（2）1111443n−−−.【解析】【分析】（1）根据已知数据和r的计算公式求解即可；（2）设经过n次传球后，排球被甲接到的概率为nP.找到nP与1nP−的关系，构造等比数列即可求解.【小问1详解】()12.42.52.72.932.75x=++++=，

()10.10.20.40.70.90.465y=++++=，()552221150.26iiiixxxx==−=−=，()55222i1i15iiyyyy==−=−2222220.70.20.40.70

.950.461.511.0580.452=++++−=−=，()()()()515522110.340.340.340.9910.3430.260.4520.11752iiiiiiixxyyrxxyy===−−===−−，两个变量呈现正相关，而且相关性很强.【小问2详

解】经过n次传球后，排球被甲接到的概率为nP.则()()111111012333nnnnPPPPn−−−=+−=−.即()11112434nnPPn−−=−−.11144P−=−，14nP−

是首项为14−，公比为13−的等比数列，1111443nnP−−=−−，即1111443nnP−=−−.