【文档说明】江西省上饶市横峰中学2020届高三下学期高考适应性考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(23)页，1.955 MB，由小赞的店铺上传

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横峰中学2020届高三适应性考试数学（理科）一、选择题：（本题包括12小题，共60分，每小题只有一个选项符合题意）1.设集合2|20Axxx=−−，3|log1Bxx=，则AB=（）A.1,2−B.(0,1C.(0,2D.1,3【答案】C【解析】

【分析】先由二次不等式及对数不等式的解法求出集合A、B，然后结合集合交集的运算求AB即可.【详解】解：解不等式220xx−−，得12x−，即1,2A=−，解不等式3log1x，得03x，即(0,3B=，则AB=(0,2，故选：C.【点睛】本题考

查了二次不等式及对数不等式的解法，重点考查了集合交集的运算，属基础题.2.已知复数()ziai=−（i为虚数单位，aR），若12a，则z的取值范围为（）A.()2,5B.()2,2C.()2,5D.()1,2【答案】A【解析】【分析】根据复数的基本运算法则进行化简，再求复数模

的范围即可.【详解】解：因为复数()1ziaiai=−=+，所以21za=+，由于12a，即214a，则z的取值范围为()2,5，故选：A.【点睛】本题主要考查复数的乘法运算及模长的计算，属于基础题.3.某中学高二年级共有学生24

00人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（）A.1260B.1230C.1200D.1140【答案】D【解析】【分析】由分层抽样方法列方程求解即可．【详解】设女生总人数为：x人，由分层抽样的方法

可得：抽取女生人数为：804238−=人，所以80382400x=，解得：1140x=故选D【点睛】本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题．4.已知3512abab===，，，则向量a在向量b上的投影为（）A.125B.

3C.4D.5【答案】A【解析】因为12ab=，设两向量的夹角为，由向量数量积的几何意义有cos12ab=，所以1212cos5ab==，即向量a在向量b上的投影为125，选A.5.已知命题“:pxR,211x+”的否定是（）A.0xR,2011x+B.0xR,201

1x+C.xR,211x+D.xR,211x+【答案】B【解析】【分析】根据全称命题与特称命题的关系,直接写出命题的否定即可.【详解】解::pxR,211x+所以0:pxR,2011x+.故选:B【点睛】本题考查

全称命题与特称命题的否定,属于基础题.6.若实数x，y满足约束条件220,20,30,xyxyxy−++−+则233zxy=−+的最大值为（）A.8−B.5−C.2−D.15−【答案】C【解析】【分析】利用约束条件画出可行域，然后利用目标函数的几

何意义得最值.【详解】由题意，实数x，y满足约束条件2202030xyxyxy−++−+，如图：图中阴影部分由22030xyxy−+=−+=，解得()4,1A−−，目标函数233zxy=−+化为2133zyx=−+，由图可知当目标

函数过()4,1A−−时得最大值，此时()()max243132z=−−−+=−.故选：C.【点睛】本题考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题.7.在ABC中，已知45A=，62AB=，且AB边上的高为22

，则sinC=（）A.1010B.31010C.105D.2105【答案】B【解析】【分析】由已知可求AD，利用勾股定理可求AC，由余弦定理可得BC，进而根据正弦定理可得sinC的值.【详解】∵在ABC

中，已知45A=，62AB=，且AB边上的高为22，∴22AD=，224ACADCD=+=，∴由余弦定理可得2222cos16722462402BCACABACABA=+−=+−=，∴由正弦定理sinsinABBCCA=可得262sin3102sin1040ABACBC

===.故选：B.【点睛】本题主要考查了勾股定理，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.8.函数()()22sincosxxfxxx−=−的部分图象大致是（）A.B.C.D.【答案】B【解析

】【分析】利用函数的奇偶性可以排除部分选项，再利用特殊值进行排除，可得正确结果.【详解】因为()()()()22sincos()xxfxxxfx−−=−−−=，所以()fx是偶函数，排除选项A；当(0,),()02

xfx，排除选项D；当(,),()02xfx，排除选项C；故选：B.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的性质及特殊值，采用排除法是这类问题的常用方法，侧重考查直观想象的核心素养.9.

已知函数()sin23πfxx=−，若()()120fxfx+=.且120xx，则12xx−的最小值为（）A.6B.3C.2D.23【答案】B【解析】【分析】由条件可得12sin2sin233ππxx−=−−，然后可得1222233π

πxxkπ−+−=或1222,33ππxxkπkZ−−−=，即可分析出答案.【详解】因为()sin23πfxx=−，()()120fxfx+=，120xx所以12sin2

sin233ππxx−=−−所以1222233ππxxkπ−+−=或1222,33ππxxkπkZ−−−=所以123πxxkπ+=+或12,2kxxk−=Z因为120xx，所以，若12,2kxxk−=Z

，1x、2x一个取0，一个取2时12xx−最小为2，若123πxxkπ+=+，1x、2x一个取0，一个取3时12xx−最小为3，即12xx−的最小值为3故选：B【点睛】本题主要考查的是三角函数的图象和性质，考查的核心

素养是数学运算，属于中档题.10.已知双曲线22:14xCy−=，12,FF分别为双曲线的左右焦点，00(,)Pxy为双曲线C上一点，且位于第一象限，若三角形12PFF为锐角三角形，则0y的取值范围为（）A.5(,)5

+B.25(,)5+C.51(,)52D.125(,)25【答案】C【解析】【分析】因为P位于第一象限，所以12PFF恒为锐角，由21PFF为锐角可得025x，01(0,)2y，由12FPF为锐角得120PFPF

，利用平面向量积可得答案.【详解】由2214xy−=得1(5,0)F−、2(5,0)F，因为P位于第一象限，所以12PFF恒为锐角，因为三角形12PFF为锐角三角形，所以21PFF为锐角，12FPF为锐角，由21PFF为锐角得025x，所以220011(

0,)44xy=−，因为00y，所以01(0,)2y，由12FPF为锐角得120PFPF，所以0000(5,)(5,)0xyxy−−−−−，所以2000(5)(5)0xxy−−−+，所以220050xy+−，又220014xy−=，所以22004450yy++−，即20

15y，又00y，所以055y，综上所述：051(,)52y.故选：C.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质，考查了平面向量数量积，考查了运算求解能力，考查了锐角三角形的概念，属于基础题.11.如

图，在矩形ABCD中，已知22ABADa==，E是AB的中点，将ADE沿直线DE翻折成1ADE△，连接1AC.若当三棱锥1ACDE−的体积取得最大值时，三棱锥1ACDE−外接球的体积为823，则a=（）A.2B.2C.22D.4【答案】B【

解析】【分析】要想体积最大，需高最大，当1ADE⊥△面BCDE时体积最大，根据对应球的体积即可求解结论.【详解】在矩形ABCD中，已知22ABADa==，E是AB的中点，所以1ADE为等腰直角三角形；斜边DE上的高为22112222AKDEaaa==+=,要想三棱

锥1ACDE−的体积最大；需高最大，则当1ADE⊥△面BCDE时体积最大，此时三棱锥1ACDE−的高等于：22112222DEaaa=+=；取DC的中点H，过H作下底面的垂线；此时三棱锥1ACDE−的外接球球心在OH上；因为三棱锥1ACDE−外接球的体积为

823，可得348233R=，解答2R=，如图所示，222OHOCCH=−；①222AOAGGO=+；②即222RaOH−=；③2222222RaOHa=−+；④联立③④可得2a=；故选：B.【点睛】

本题考查的知识要点：几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力及空间想象能力的应用，属于中档题型.12.已知函数()()21cos12fxaxxaR=+−，若函数()fx有唯一零点，则a的取值范

围为（）A.(),2−B.(),01,−+C.()(),11,−+D.()),01,−+【答案】D【解析】【分析】求出()sinfxxax=−+，设()()singxfxxax==−+，则()cosgxxa=−+，当1a时

，可知()gx在R上单调递增，()00g=，即可判断()fx在)0,+上为增函数，在(),0−上为减函数，由()0fx=，即可证明，当1a时，()fx有唯一的零点；然后验证0a=时，函数的零点的个数，判断选项即可.【详解】因为()()si

nfxxaxxR=−+.令()singxxax=−+，则()cosgxxa=−+，所以当1a时，()cos0gxxa=−+，即()gx在R上单调递增，又()0sin00g=−=，所以)0,x+，()0fx，当(),0x−，()0fx，所以()fx在

)0,+上为增函数，在(),0−上为减函数，又()00f=，即当1a时，()0fx，且当且仅当0x=，()0fx=，故当1a时，()fx有唯一的零点；排除A，当0a=时，()cos1fxx=−，令()0fx=

，可得cos1x=，有无数解，所以0a=，不成立，排除B，C，故选：D.【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的极值的求法，考查转化思想，分类讨论思想的应用，属于中档题.二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()6xa+的展开式中所有项系数和为64，其中实

数a为常数且0a，则a=________.【答案】3−【解析】【分析】由题得()61=64a+，解方程即得解.【详解】因为()6xa+的展开式中所有项系数和为64，所以()661=642,12,1aaa+=+==（舍去）或3a=−.所以3a=−.故答案为：3−.【点睛】本题主

要考查二项式展开式所有项的系数的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.14.已知2sin2cossin,==且22−，，，则()cos2+=______.【答案】14−【解析】【分析】根据2sin2cos

=化简可得sin，由cossin=可得=2+，利用诱导公式求()cos2+即可.【详解】由2sin2cos=则4sincoscos=，因为22−，，所以1sin,0,42=，由15cossin4

==，可得=2+，所以()1cos2sin4+=−=−.【点睛】本题考查正弦的二倍角公式，诱导公式，角的变换，考查运算求解的能力，属于中档题.15.盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色

相同外完全相同.从盒中一次随机取出4个球，设X表示取出的三种颜色球的个数的最大数，则()3PX==______.【答案】1363【解析】【分析】由题意3X=表示抽出的4个球中有3个红球、1个其他色或者3个黄球、1个其他色，计算概率即可.【详解】当3X=时，随机取出4个球中有

3个红球、1个其他色，共有314520CC=种取法，随机取出4个球中有3个黄球、1个其他色，共有31366CC=种取法，所以当取出的三种颜色球的个数的最大数为3时，共有20626+=种取法，所以()49262613312663PXC====,故答案为：1363【点睛】本题主要

考查了组合的实际应用，古典概型，考查了推理运算能力，属于中档题.16.已知抛物线()2:20Cypxp=的焦点为F，点()00,422pHxx是抛物线C上的一点，以H为圆心的圆交直线2px=于A、B两点（点A在点B的上方），若7sin9HFA=，则抛物线C的

方程是_________.【答案】24yx=【解析】【分析】根据点H在抛物线上和7sin9HFA=，列方程组可解得0x和，即可得出抛物线的方程.【详解】画出图形如下图所示，作HDAB⊥，垂足为D，由题意得点()00,422pHxx在抛物线C上，则0232px=①，

由抛物线的定义，可知02pDHx=−，因为7sin9HFA=，所以，077992pDHHFx==+，所以007292ppxx−=+，解得04xp=②，由①②解得048xp==−（舍去）或048xp==

，故抛物线C的方程为24yx=．故答案为：24yx=.【点睛】本题考查抛物线的定义，利用抛物线的定义进行线段的转化是关键，考查方程思想的应用，属于中等题.三、解答题（共70分.解题应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.22、23选做其中一道题）17.已知数列na的前n项和为nS，且满足12a=，12nnSa+=−.（1）求数列na的通项公式；（2）数列nb满足22log1nnba=+，记数列nb的前n项和为nT，求证:123111134nTTTT++++.【答案】（1）2

nna=；（2）证明见解析【解析】【分析】（Ⅰ）根据nS与na的关系，可得12nnaa+=，从而判断na为等比数列，利用等比数列的通项公式即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）得，22log121nnban=+=+，利用等差数列的求和公式可得()

2nTnn=+，再利用裂项求和法可求出11nkkT=，令()31114212fnnn=−+++，根据11012nn+++，利用不等式的性质得到结果.【详解】（1）因为12nnSa+=−，①当2n时，12nnSa−=−，②由①-②得1nnnaa

a+=−，即12nnaa+=，当1n=时，2124aa=+=，21422aa==，所以数列na为等比数列，其首项为12a=，公比为2，所以112nnnaaq−==；（2）由（1）得，22log121nnban=+=+，所以()2nTnn=+，所以()11111222kTkkkk

==−++，11111111111...2324112nkkTnnnn==−+−++−+−−++.31114212nn=−+++

因为11012nn+++所以1134nkkT=.【点睛】本题考查了nS与na的关系、等比数列的通项公式、等差数列的前n项和公式、裂项求和法以及证明不等式，综合性比较强，属于中档题.18.如图，底面ABCD是边长为3的正方形，DE⊥平面ABCD，CF∥DE，

3DECF=，BE与平面ABCD所成的角为45．（1）求证：平面ACE⊥平面BDE；（2）求二面角FBED−−的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）1919.【解析】【分析】（1）DE⊥平面ABCD，可得到DE⊥AC，又因为底面为正方形所以得到AC⊥BD，

进而得到线面垂直;(2)建立坐标系得到面BEF和面BDE的法向量，根据法向量的夹角的求法得到夹角的余弦值，进而得到二面角的余弦值.【详解】（1）证明：DE⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD．DE⊥AC．又底面ABCD是正方形，AC⊥BD，又B

D∩DE=D，AC⊥平面BDE，又AC⊂平面ACE，平面ACE⊥平面BDE．（2）以D为坐标原点，DA、DC、DE所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系Dxyz−，如图所示，BE与平面ABCD所成的角为

45°，即∠EBD=45°，DE=BD=2AD=32，CF=DE=2．A（3，0，0），B（3，3，0），C（0，3，0），E（0，0，32），F（0，3，2），=（﹣3，0，2），=（0，3，22−），设平面BEF的

一个法向量为=（x，y，z），则，即3203220xzyz−+=−=，令z=32，则=（2，4，32）．又AC⊥平面BDE，=（﹣3，3，0）为平面BDE的一个法向量．cos＜＞==63832=1919．∴二面角F﹣BE﹣D的余弦值为1919．【点睛】本题考查平面

和平面垂直的判定和性质．在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直，或者可以通过建系的方法求两个面的法向量使得两个面的法向量互相垂直即可.19.在疫情这一特殊时期，教育行政部门部署了“停课不停学”的行动，全力帮助学生在线学习.复课后进行了

摸底考试，某校数学教师为了调查高三学生这次摸底考试的数学成绩与在线学习数学时长之间的相关关系，对在校高三学生随机抽取45名进行调查.知道其中有25人每天在线学习数学的时长是不超过1小时的，得到了如下的等高条形图：（1

）是否有99%的把握认为“高三学生的这次摸底考试数学成绩与其在线学习时长有关”；（2）将频率视为概率，从全校高三学生这次数学成绩超过120分的学生中随机抽取10人，求抽取的10人中每天在线学习时长超过1

小时的人数的数学期望与方差.【答案】（1）没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；（2）()6EX=，()2.4DX=【解析】【分析】（1）根据题目数据列出22列联表，计算2K，与临界值比较即可得出结论；（2）由在线时长超过1小时的频率代替概率，可知在线时长超过1

小时的人数()~10,0.6XB，根据二项分布求出期望和方差.【详解】（1）依题意，得22列联表在线学习时长数学成绩120分120分合计1小时1510251小时51520合计202545∵2245(1515510)4415.51256.635202525

2080K−===∴没有99%的把握认为“高三学生的这次摸底成绩与其在线学习时长有关”；（2）从上述22列联表中可以看出：这次数学成绩超过120分的学生中每天在线学习时长超过1小时的频率为150.625=，则()~10,0.6XB，∴

()100.66EX==，()()100.610.62.4DX=−=.【点睛】本题主要考查了独立性检验，二项分布，期望、方差，考查了数学知识在实际问题中的应用，属于中档题.20.已知椭圆()2222:10xyCabab=+的离心率为32，过椭圆的焦点且与长轴垂直的

弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，,AB分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．【答案】（Ⅰ）2214xy+=；（2）见解析.【解析】【分析】(1)根据题目所给的条件

得到22223221cabaabc===+解出参数值即可；（2）12ABCDSACBD=分别设出直线AM和BM求出点B，D的坐标，并表示出AC，BD的长度，代入面积公式化简即可.【详解】（Ⅰ）由已知可得：22223221cabaabc=

==+解得：21ab==；所以椭圆C的方程为：2214xy+=．（Ⅱ）因为椭圆C的方程为：2214xy+=，所以()2,0A−，()0,1B−．设()(),0,0Mmnmn，则2214mn+=，即2244m

n+=．则直线BM的方程为：11nyxm+=−，令0y=，得1Cmxn=+；同理：直线AM的方程为：()22nyxm=++，令0x=，得22Dnym=+．所以()()()2221121212212221ABCDmnmnSACBDnmmn++==++=++++221

44448144882222222mnmnmnmnmnmnmnmnmn++++++++===++++++．即四边形ABCD的面积为定值2．【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是考查的重点，一般难度较大，计算较复杂，考查较强的分析能力和计算能力.求定值问题常见的方法：（

1）从特殊入手，求出定值，再证明这个定值与变量无关；（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.解题时，要将问题合理的进行转化，转化成易于计算的方向.21.已知函数()2xfxex=−.(Ⅰ)求曲线()fx在1x=处的切线方程；(Ⅱ)求证：当

0x时，()21ln1xeexxx+−−+.【答案】（Ⅰ）()21.yex=−+；(Ⅱ)见解析．【解析】试题分析：（1）则导数的几何意义可求得曲线()fx在1x=处的切线方程．（2）由（1）当0x时，()()21,fxex−+，即()221xexex−−+，xe+()221exx−

−,只需证,()21xeexx+−−xln1x+试题解析：（Ⅰ）()'2xfxex=−，由题设得()'12fe=−，()11fe=−，()fx在1x=处的切线方程为()21.yex=−+(Ⅱ)()'2xfxex=−，()''2xfxe=−，∴()'fx在()0,ln

2上单调递减，在()ln2,+上单调递增，所以()()''ln222ln20fxf=−，所以()fx在0,1上单调递增，所以()()max11,0,1fxfex==−.()fx过点()1,1e−，且()yfx

=在1x=处的切线方程为()21yex=−+，故可猜测：当0,1xx时，()fx的图象恒在切线()21yex=−+的上方.下证：当0x时，()()21,fxex−+设()()()21,0gxfxex

x=−−−，则()()()'22,''2xxgxexegxe=−−−=−，()'gx在()0,ln2上单调递减，在()ln2,+上单调递增，又()()'030,'10,0ln21geg=−=，∴()'ln20g，所以，存在()00,12xn，使得()0'0gx=，所以，当()

()00,1,xx+时，()'0gx；当()0,1xx时，()'0gx，故()gx在()00,x上单调递增，在()0,1x上单调递减，在()1,+上单调递增，又()()010gg==，∴()()2210xgxexex=−−−−

，当且仅当1x=时取等号，故()21,0xeexxxx+−−.又ln1xx+，即()21ln1xeexxx+−−+，当1x=时，等号成立.【点睛】解本题的关键是第（1）结论对第（2）问的证明铺平了路，只需证明()21xe

exx+−−xln1x+．所以利用导数证明不等式时，要进行适当的变形，特别是变形成第（1）问相似或相同形式时，将有利于快速证明．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为6sin6cosxy

==（为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()23+=.（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于,AB两点，若||||43PAPB+=，求直线m的

倾斜角.【答案】(1)226xy+=，340xy−−=(2)6或56.【解析】【分析】（1）利用22sincos1+=消去参数化曲线C为普通方程，运用cos,sinxy==，即可化直线l极坐标方程为直角坐标方程；（2）将直线方程化

为具有几何意义的参数方程，代入曲线C方程，利用根与系数关系结合直线参数的几何意义，即可求解.【详解】（1）曲线C的普通方程为226xy+=，因为cos()23+=，所以cos3sin40−−

=，直线l的直角坐标方程为340xy−−=.（2）点P的坐标为(4,0)，设直线m的参数方程为4cossinxtyt=+=（t为参数，为倾斜角），联立直线m与曲线C的方程得28cos100tt++=.设,AB对

应的参数分别为12,tt，则121228cos1064cos400tttt+=−==−，所以1212||||||||||8|cos|43PAPBtttt+=+=+==，得3cos2=

，且满足，故直线m的倾斜角为6或56.【点睛】本题考查参数方程与普通方程互化，极坐标方程和直角坐标方程互化，考查直线参数方程参数灵活应用，属于中档题.23.已知函数()()0,0fxxaxbab=−++

.（Ⅰ）若1ab==时，解不等式()2fxx−；（Ⅱ）若()fx的值域是)4,+，若1111kab+++恒成立，求k的最大值.【答案】（Ⅰ）2xx或0x（Ⅱ）23【解析】【分析】（Ⅰ）先根据绝对值

定义将函数化为分段函数形式，再分类列不等式，最后解不等式求结果;（Ⅱ）先根据绝对值三角不等式得()fx的最小值，根据条件可得4ab+=，再利用1的代换求1111ab+++最小值，即得k的取值范围，进而可得结果.【详解】解：（Ⅰ）∵1a=，1b=∴()2,1112,11

2,1xxfxxxxxx=−++=−−−当1x时，()2fxx−化为2x，不等式的解为2x；当11x−时，()2fxx−化为220xx−，不等式的解为10x−；当1x

−时，()2fxx−化为2323xx−−，所以不等式的解为1x−；综上所述，不等式的解集为2xx或0x（（Ⅱ）∵()|||||()()|||fxxaxbxaxbab=−++−−+=+，当且仅当()()0xax

b−+时取“=”号又()fx的值域是)4,+，∵4ab+=，∵0a，0b.∴∴4116abab+=+++=∵()111111112224111111ababababbaba++++++++=+++++++++（当且仅当1111baab++=

++，即2ab==时取“=”号）∴112113ab+++，当且仅当2ab==时取“=”号.又1111kab+++恒成立，∴23k∴k的最大值是23【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式、根据绝对值三角不等式求最值以及利

用基本不等式求最值，考查综合分析与求解能力，属中档题.