【文档说明】天津市第三中学2022-2023学年高一下学期期中质量检测试题数学含解析.docx，共(21)页，1.787 MB，由小赞的店铺上传

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高一平面向量及其应用单元检测试题第I卷（选择题）一、选择题（本大题8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在ABC中，,,abc分别是角,,ABC所对的边，π2,,sin2sin3cABC===，则ABC

的面积为（）A．3B．23C．2D．4【答案】B【分析】由正弦定理求得24bc==，再利用面积公式进行求解即可.【详解】由正弦定理得：24bc==，由面积公式得：113sin4223222ABCSbcA===

.故选：B.2．已知在等腰△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝2π3，点D在线段BC上，且3ACDABDSS=，则ABAD的值为（）A．72B．52C．32D．12−【答案】B【分析】根据3ACDABDSS=确定3CDBD=，从而可得3144AD

ABAC=+，从而用向量数量积的运算律即可求解.【详解】设等腰△ABC在BC边上的高为h，因为3ACDABDSS=，所以11322CDhBDh=，所以3CDBD=,所以1113144444ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+，所以231314444ABA

DABABACABABAC=+=+2315cos442ABABACBAC=+=.故选:B.3．若平面向量a与b的夹角为60°，()2,0a=,1b=，则2ab+等于（）.A．3B．23C．4D．12【答案】B【分析】先根据数量

积的定义求出ab，再根据模的计算法则求2ab+.【详解】由题意22202a=+=r，1cos602112abab===，()2222222442414123abababab+=+=++=++=；故选：B.4．已知ABC中，O为BC的中点，且4

BC=，ABACABAC+=−，π6ACB=，则向量AO在向量AB上的投影向量为（）A．14ABB．13ABC．12ABD．AB【答案】C【分析】由向量线性运算可得2AOCB=，知π2BAC=，根据投影向量为cosA

BAOOABAB，结合长度和角度关系可求得结果.【详解】ABACABAC+=−，2AOCB=，π2BAC=，又4BC=，π6ACB=，2AB=，2AO=，OAB为等边三角形，π3OAB=；AO在AB上的投影向量为π11cos2322ABAOOABABA

BAB==.故选：C.5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若22coscos212ABC+−=，4sin3sinBA=，1ab−=，则c的值为（）A．13B．7C．37D．6【答案】A【分析】利用余弦的降幂公式，化简已知条件求得C；再利用正弦定理将角

化边结合已知求得,ab，再用余弦定理即可求得c.【详解】由22coscos212ABC+−=得221cos()(2cos1)22coscos1ABCCC++−−=−−=，即22coscos10CC+−=，

解得1cos2C=或cos1C=−(舍去)．由4sin3sinBA=及正弦定理，得43ba=，结合1ab−=，得4,3ab==.由余弦定理，知2222212cos43243132cababC=+−=+−=，所以13c=.故选：A6．在平行四边

形ABCD中，π3A=，边AB、AD的长分别为2、1，若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足||||||||BMCNBCCD=，则AMAN的最大值是（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，设||||||||BMCNkBCCD==，[0,1]k，利用已知条件

求出,AMAN的坐标，然后通过数量积运算结合二次函数的性质求出最大值．【详解】以A为原点，建立如图所示的平面直角坐标系．(0,0)A，(2,0)B，13(,)22D，53(,)22C，1353(2,0),(,),

(,),(2,0)2222ABBCACCD====−，设||||||||BMCNkBCCD==，[0,1]k，则BMkBC=，CNkCD=，可得13(2,)22kAMABBMABkBCk=+=+=+，53(2,)22ANACCNACkCDk=+=+=−，22153(2)

(2)25(1)6224kAMANkkkkk=+−+=−−+=−++，[0,1]k，当0k=时，AMAN取得最大值5．故选：D．7．已知ABC中，a、b、c为角A、B、C的对边，coscossinaBbAcC+=，若BAC与ABC的内角平分线交于点I，ABC的外接圆半径为2，则

IAB△面积的最大值为（）A．222−B．424−C．21−D．22−【答案】A【分析】根据正弦定理求出sin1C=，π2C=，22c=，2228abc+==，得到2222abcabr+−+−==，利用基本不等式

求出IAB△面积的最大值.【详解】coscossinaBbAcC+=，由正弦定理得：sincossincossinsinABBACC+=∵()sincossincossinsinABBAABC+=+=，∴sin1C=，∵()0,πC，∴π

2C=，ABC为直角三角形且外接圆半径R为2，∴22c=，∴2228abc+==，设内切圆半径为r，则12ABIScr=△．其中2222abcabr+−+−==，因为222abab+，所以()()2222222a

bababab+++=+，故2222abab++，当且仅当ab=时，等号成立，∴221222222222222ABIababS+−+=−=−△，当且仅当ab=时等号成立，故选：A8．已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足ABACOPO

AABAC=++()R，则点P的轨迹一定经过ABC的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【答案】C【分析】根据ABAB与ACACuuuruuur的意义，得到||||ABACABAC+的方向与BAC的角平分线一致，从而判断出点P的轨迹一定经过ABC的内心.

【详解】因为ABAB为AB方向上的单位向量，ACACuuuruuur为AC方向上的单位向量，则||||ABACABAC+的方向与BAC的角平分线一致，由ABACOPOAABAC=++，可得ABACOPOAABAC−=

+，即ABACAPABAC=+，所以点P的轨迹为BAC的角平分线所在直线，故点P的轨迹一定经过ABC的内心.故选：C.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．ABC的内角在A，B，C的对边分别为a，b，c，若()()()::9:11:10abbcca+++=，则下列结论正确的是（）A．s

in:sin:sin4:5:6ABC=B．ABC是锐角三角形C．ABC的最大内角是最小内角的2倍D．若7a=，则ABC外接圆半径为4【答案】ABC【分析】根据()()()::9:11:10abbcca+++=，得到4,5

,6axbxcx===，结合正弦定理判断AD，结合余弦定理判断BC..【详解】因为在ABC中，()()()::9:11:10abbcca+++=，所以91111abxbcxacx+=+=+=，解得456axbxcx===，由正弦定理可得2sinsin

sinabcRABC===，R为ABC的外接圆半径，所以sin,sin,sin222abcABCRRR===，所以sin:sin:sin::4:5:6ABCabc==，故A正确；因为cba，所以角C为最大角，角A为最小角，又由余弦定理可得2222221625361cos0

22458abcxxxCabxx+−+−===，又()0,πC，所以角C为锐角，故ABC是锐角三角形，故B正确；则2222222536163cos22564bcaxxxAbcxx+−+−===，所以21cos22c

os18AA=−=，即cos2cosAC=，又()20,πA，所以2AC=，故C正确；因为3cos4A=，()0,πA，所以27sin1cos4AA=−=，则由正弦定理得724sin74aRA===，解得2R

=，故D错误；故选：ABC.10．已知向量()π13cos,sin0,,222ab==−，若|4||4|abab+=−，则下列结论在确的是（）A．ab⊥B．π3=C．435ab+=D．2

ab+与2ab−的夹角为锐角【答案】AC【分析】求出ab、，对44abab+=−两边平方得ab可判断A；由0ab=的坐标运算可得tan的值，求出可判断B；对435ab+=两边平方化简可判断C；求出()()22ab

ab+−、2ab+、2ab−，设2ab+与2ab−的夹角为，由向量的夹角公式计算可判断D.【详解】2213cossin1,144ab=+==+=，由2244abab+=−得2222168816aabbaabb++=−+，所以0ab=，所以A正确；对于B，由cos3si

n022ab=−+=，可得3tan3=，因为π02，所以π6=，故B错误；对于C，由435ab+=得221624916925aabb++=+=，所以435ab+=，故C正确；对于D，()()22224143ababab+−=−=−=−，22

244145abaabb+=++=+=，22244145abaabb−=−+=+=设2ab+与2ab−的夹角为，所以()()2233cos055522abababab+−−−===+−，又0π，所以为钝角，故D错误.故选：AC.11．已知向量a，b的夹角为π6，3a=，

1b=，tR，则（）A．b在a方向上的投影向量的模为32B．3ab+在a方向上的投影向量的模为32C．tab+的最小值为14D．tab+取得最小值时，()atab⊥+【答案】AD【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律

求解判断.【详解】因为b在a方向上的投影向量的模为π3cos62b=，故A正确；因为3ab+在a方向上的投影向量的模为()22π3331cos339632abaabaaa+++===，故B错误；22222223331292193319264tabtatabbtt

ttt+=++=++=++=++，当36t=−时，tab+取得最小值12，此时()233333990262atabtaabt+=+=+=−+=，所以()atab⊥+，故C错误，D正确．故选：AD12．窗花是贴在窗子或窗户上

的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A．2BGAH=B．AD在AB向量上的投影向量为212AB+

C．若()12OAFCPAED=+，则P为ED的中点D．若P在线段BC上，且APxAByAH=+，则xy+的取值范围为1,22+【答案】BD【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，计算各

点坐标，计算2BGAH，A错误，投影向量为212AB+，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，022yaxyaa++=−，D正确，得到答案.【详解】如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，设OAOBOC

ODOEOFOGOHa========，则222π22cos4aaa=+−，整理得到222a=+，()()()2222220,,,,,0,,,0,,,222222AaBaaCaDaaEaFaa−−−

，(),0Ga−，22,22Haa−−，设()00,Pxy，对选项A：22,22aBaaG=−−，22,22aAaHa=−−，2BGAH，错误；对选项B：22,22ADDaaa

=+，22,22ABaaa=−，22222211122212221222aaaADABABaaa+−===+−+−，即投影向量为212AB+，正确；对选项C：()22220,,222OAFCa

aaaa=−+−=，()()00002222,222,2aPxaaaAEaxDyayaa=−=−−+−−−−，()12OAFCPAED=+，整理得到()2

0022122222axayaaa−−+−=+，即()0021yx=+，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：()00,xyaAP=+，22,22ABaaa=−，22,22aAa

Ha=−−，APxAByAH=+，()002222,,,2222xyaxaaayaaa+=−+−−，整理得到022yaxyaa++=−，02,02ya−，故

1,22xy++，正确.故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4个小题，每

小题5分，共20分．13．已知向量()1,3a=−，(),0bx=，()2,1c=，若()cab⊥+，则实数x的值为______．【答案】12−##0.5−【分析】利用平面向量的坐标运算，结合向量垂直的坐标表示求解作答.【详解】因为向量()1,3a=−，(),0bx=，则()1,

3abx+=−，又()2,1c=，且()cab⊥+，因此2(1)30x−+=，解得12x=−，所以实数x的值为12−.故答案为：12−14．已知2ABab=+，56BCab=−+，72CDab=−，则点

A、B、C、D中一定共线的三点是______.【答案】A、B、D【分析】根据已知向量，结合向量加法法则、共线基本定理判断向量是否共线，即可判断点共线.【详解】由48ACABBCab=+=−+不存在实数使ACCD=成立，故A，C，

D三点不共线，同理A、B、C以及B、C、D均不共线，又()24222BDBCCDababAB=+=+=+=，故BD与AB共线，故三点A、B、D共线.故答案为：A、B、D15．在ABC中，AM是BAC的角平分线，且交BC于M.已知

23,2,3AMBMMC===，则AC=__________.【答案】33【分析】根据角平分线性质定理可得:2:3ABAC=，设2,3,(0)ABmACmm==，由余弦定理可得关于m的方程，求得m的值，

可得答案.【详解】由题意AM是BAC的角平分线，23,2,3AMBMMC===，由角平分线的性质知：::2:3ABACBMMC==，设2,3,(0)ABmACmm==，因为πAMBAMC+=，则coscosAMBAMC=−，则22222222AMBMABAM

CMACAMBMAMCM+−+−=−,所以2216421983123mm−−=−，整理得23090m=，解得3m=或3m=−（舍）.所以AC33=,.故答案为：3316．锐角三角形ABC的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a=，且c

os2cosbABa−=，则2cb−的取值范围为___________.【答案】30,3【分析】根据正弦定理结合已知可得2BA=，于是由锐角三角形ABC，可得ππ64A，再用正弦定理与二倍角及和差角公式可将2cb−转化为212coscoscAbA−=−，由函数单调性

可得其范围.【详解】解：因为2a=，且cos2cosbABa−=，所以coscosbAaBa−=由正弦定理sinsinabAB=得：sincossincossinBAABA−=，所以()sinsinBAA−=又锐角三角形ABC中，π,0,2AB，则B

AA−=，即2BA=所以ππ3CABA=−−=−，由于锐角三角形ABC，所以π02π022π0π32AAA−，解得ππ64A所以()223sin2sin2sinsin2sincoscossinsi

nsinsinsin22sincosAAAccaCAAAAAAAbbBAAA+−−−−+−−====22222coscossin14cos212cos2cos2coscosAAAAAAAA+−−−===−由于ππ64A，则cosyA=在ππ,64上递减，1cosy

A=在ππ,64上递增所以212coscoscAbA−=−在在ππ,64上递减，于是有132cos0,cos3AA−，即2cb−的取值范围为30,3.故答案为：30,3.四、解答题：本大题共5小题，17题共10分，其余各

题每题12分，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．在平面直角坐标系中，已知点()()()1,4,2,3,2,ABCm−．(1)若//ABACuuuruuur，求m的值；(2)若1m=−，设实数t

满足()ABtOCOC−⊥，求t的值．【答案】(1)133m=(2)1t=−【分析】（1）利用共线向量定理的坐标形式即可求解（2）利用向量垂直的充要条件的坐标形式即可求解【详解】（1）因为()1,4A，()2,3B−，()2,Cm

所以()3,1AB=−−，()1,4ACm=−//ABACuuuruuur()()34110m−−−−=133m=（2）若1m=−，则()2,1OC=−，()32,1ABtOCtt−=−−−()

ABtOCOC−⊥()()()232110tt−−+−−=1t=−18．如图，边长为2的等边ABC所在平面内一点D满足CDtAB=（0t），点P在边BC上，||PBm=.PDB△的面积为3，记aAB=，bAC=uuurr.(1)用a，b及m表示P

C；(2)求CBPD的最小值.【答案】(1)2222mmPCba−−=−(2)424−【分析】（1）根据向量的运算求解即可；（2）由题知2222PDmmbta−−−−=，CBab=−，进而得224CmBtPD+−=，设三角形PBD在PB边上的高为h，根据几何关系得2tm

=，再结合基本不等式求解即可.（1）解：因为ABC是边长为2的等边三角形，||PBm=，所以，2PCm=−，所以2222222222mmmmmPCBCACABba−−−−−==−=−（2）解：因为22222222mmmmbatPDPCCaaDbt−−−−−+=−−

=+=，CBABACab=−=−，12222ab==，2ab==rr，所以，()2222CBmmDbaPbta=−−−−−2224222424222mmmtttmm−−−−−+−=+−=−

−，设三角形PBD在PB边上的高为h，则132mh=，所以23hm=，因为CDtAB=（0t），所以//,60CDABBCD=，所以1231222sin6022BCDStm==△，即2tm=，所以，4422

424224424CBtmmmmmPD+−=+−−=−=uuruuur，当且仅当42mm=，即2m=时等号成立，所以CBPD的最小值为424−.19．在ABC中，,,ABC的对边分别为(),,,cos2cos2cosabcaBaCcbA−=−.(1)若3c

a=，求cosB的值；(2)若1,bBAC=的平分线AD交BC于点D，求AD长度的取值范围.【答案】(1)13324(2)40,3【分析】（1）由正弦定理得出2cb=，再由余弦定理求得结果；（2）设BAD

=，把ABC表示成两个三角形的面积和，表示出AD，再求其取值范围；【详解】（1）已知()cos2cos2cosaBaCcbA−=−，由正弦定理可得()sincos2sincos2sinsincosABACCBA−=

−，sincoscossin2sincos2cossinABABACAC+=+，()()sin2sinABAC+=+，sin2sinCB=，2,3cbca==，即32ab=，222222331334cos22423aaaa

cbBacaa+−+−===.（2）由（1）知2cb=，由1b=，则2c=.设BAD=，1112sin22sin1sin222ABCSADAD==+，4cos3AD=，0

,2，40,3AD.20．如图，△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且22cosacbC−=.(1)求角B的大小；(2)已知3b=，若D为△ABC外接圆劣弧AC上一点，求AD+DC的最大值.【答案】(1)3；(2)23.【分析】(1)法

一:利用正弦定理和两角和的正弦公式可得()sin2cos10CB−=，再利用三角形内角的取值范围即可求解；法二:利用余弦定理得出1cos2B=，根据三角形内角的取值范围即可求解；(2)方法一：设DAC=，则π3DCA=−，利用正弦定理得出π

23sin3AD=−，23sinDC=，然后利用辅助角公式和正弦函数的图象和性质即可求解；方法二：利用余弦定理和基本不等式即可求解.【详解】（1）法一:∵22cosacbC−=，由正弦定理得()2sinsin2

sincos,2sinsin2sincosACBCBCCBC−=+−=，∴()2sincossincossin2sincosBCCBCBC+−=，∴()sin2cos10CB−=，∵sin0C，∴1cos2B=，又∵0πB，∴π3B=，法二:∵22c

osacbC−=，由余弦定理得22222222222abcacbaacabcab+−−=−=+−，∴222acbac+−=，∴2221cos22acbBac+−==，∵0πB，∴π3B=.（2）由（1）知，π3B=，面四边形ABCD内角互补，则23ADC

=，法一:设DAC=，则π3DCA=−，由正弦定理得232ππsinsinsin33ADDCAC===−，∴π23sin3AD=−，23sinDC=，∴ππ23sin23sin3cos3sin23sin2333ADDC

+=−+=+=+，当且仅当3ADDC==时，ADDC+的最大值为23.法二:在△ADC中，2π3ADC=，3AC=，由余弦定理得2222π2cos3ACADDCADDC=+−，∴()()22994ADDCADDCADDC++

=++，∴23ADDC+，当且仅当3ADDC==时，ADDC+的最大值为23.21．在ABC中，a，b，c分别是ABC的内角A，B，C所对的边，且sinsinsinsinbacACBC−=+−．(1)求角A的大小；(2)记ABC的面积为S，若12BMMC=，求2AM

S的最小值．【答案】(1)π3A=(2)839【分析】（1）根据题意，由正弦定理先将边角化统一，然后由余弦定理即可得到结果；（2）根据题意可得，1233AMACAB=+，然后得到2AM，再由三角形的面积公式可得S，最后结合基本不等式即可得到结果.【详解

】（1）因为sinsinsinsinbacACBC−=+−，即sinsinsinsinBCacACb−−=+由正弦定理可得，bcacacb−−=+，化简可得222abcbc=+−，且由余弦定理可得，2222cosabcbcA=+−，所以1cos2A=，且()0,πA，所以π3A=.（2）因为

12BMMC=，则可得1233AMACAB=+，所以222212144cos33999AMACABACACABAAB=+=++22142999bcbc=++且13sin24SbcAbc==，

即22214242899999393344bcbcbcbcAMSbcbc+++==，当且仅当1233bc=，即2bc=时，等号成立.所以2min839AMS=22．在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2aBbc+=.(

1)若coscos7bCcB+=，ABC的面积为3，求11bc+的值；(2)若ABC为锐角三角形，作角B的平分线交AC于点D，记ABD△与CBD△的面积分别为1S，2S，求21SS的取值范围.【答案】(1)194(2)3,32【分析】

（1）由2cos2aBbc+=，利用正弦定理结合两角和与差的三角函数得到sin2cossinBAB=，从而解得3A=，再根据coscos7bCcB+=，利用正弦定理得到a，再根据ABC的面积为3，得到4bc=，然后利用余弦定理求解；

（2）利用三角形面积公式结合BD为角B的角平分线，得到213sin2sinsinSCBaASABcCC====，然后利用ABC为锐角三角形求解.【详解】（1）解：在ABC中，2cos2aBbc+=，所以2sincos

sin2sinABBC+=，A+B+C=π，而sinsin()sincoscossinCABABAB=+=+，所以sin2cossinBAB=，因为(),0,AB，所以sin0B，且1cos2A=，所以3A=，

又coscos7bCcB+=，所以()2sincossincos7RBCCB+=，即2sin7aRA==，又ABC的面积为3，所以1sin32bcA=，则4bc=，由余弦定理得2222cosabcbcA=+−，()23bcbc=+−，所以19bc+=，所以11194bcbcbc++==；（2）由题

意知：11sin2ABDSSABBDABD==，21sin2CBDSSCBBDCBD==，因为BD为角B的角平分线，所以ABDCBD=，所以213sin2sinsinSCBaASABcCC====，因为ABC为锐角三角形，所以0202BC，即203202C

C−，解得62C，所以1sin,12C，所以213,32SS.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com