【文档说明】安徽省合肥市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试 数学 Word版含解析.docx，共(23)页，1.340 MB，由管理员店铺上传

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合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥九中命题教师：冯文华审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过()1,1A−、()1,3B−两点,则直线l的倾斜角的大小为（）A.不存在B.π3C.π2D.3π42.已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下列结论成立的

是（）A若//an，则//aB.若an⊥，则a⊥C.若//an，则a⊥D.若an⊥，则//a3.已知两平行直线250xy+−=，240xym++=的距离为5，则m的值为（）A.0或-10B.0或-20C.15或-25D.04.已知点(),3,5Aa−，()0,,2

Bb，()2,7,1C−，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.2−，3B.1−，2C.1，3D.2−，25.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P是棱11BC上一动点，点O是正方形1ABBA的中心，则APAO的值为（）A.不确定B.2C.22D.4

6.在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为11AC与11BD交点，N是1CM的中点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BN相等的向量是（）A.1344abc−++B.3144abc−++C.13

44abc++D.3144abc++7.台风中心从M地以每小时302km的速度向西北方向移动，离台风中心303km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（）.的A.1小时B.2小时C.3小时D.2小时8.已知圆C：()2214xy−+=的圆心为点C，直

线l：2xmy=+与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且//CAMN，若2AMAN=，则MN的值为（）A.23B.3C.2D.1二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题

目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若a，b的夹角是钝角，则x的可能取值为（）A.4−B.3−C.0D.110.已知直线l：()()23110axa

y−+−+=，则（）A.直线l的一个方向向量为()1,23aa−−B.直线l过定点C.若直线l不经过第二象限，则1aD.若2a=，则圆222xy+=上有四个点到直线l的距离等于1211.已知点M在圆Q：()2224xy++=上，点P

是直线l：4360xy−+=上一点，过点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（）A.PA的最小值为2105B直线AB必过定点C.满足MCMD⊥点有两个D.过点D作圆Q的切线，切线方程为320xy−+=或320xy+−=第Ⅱ卷（

非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点M在平面ABC内，O为空间内任意一点，若1142MAOAABxOC=−++，则x=________．13.直线l过点()1,2M−，且与以()4,1P−−、()3

,0Q为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是.的__________．14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内（含边界）移动，且始终保持MN

AB⊥，则端点M的轨迹长度为______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线1l：240xy++=与直线2l：350xy−−=的交点为M.（1）求点M关于直线20

xy−+=的对称点N；（2）求点()4,0A到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程.16.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为棱SB，SC的中点.（1）证明：//

MN平面SAD；（2）若2SAAD==，求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值.17.已知动点P与两个定点()1,0A，()4,0B的距离的比是2.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线l过点()2,1，且被曲线C截得的弦长为23，求直

线l的方程.18.如图1所示PAB中，,12APABABAP⊥==．,DC分别为,PAPB中点．将PDC△沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得62PA=．连接,,PAPBPC得到四棱锥PABCD−，记PB的中点为N，连接CN，动点Q在线段CN上．（1）证明：CN⊥平面PAB；（2）若

2QCQN=，连接,AQPQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段AP的距离的取值范围．19.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量(,,)nabc=，点()0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P，则直线l的标

准式方程可表示为000(0)xxyyzzabcabc−−−==；若平面以n为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0axbyczd+++=.（1

）证明：向量(,,)nabc=是平面:0axbyczd+++=的法向量；（2）若平面1:210xy+−=，平面1:210yz−+=，直线l为平面1和平面1交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2、2、，其中平面2经过

点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4yz+=，平面:(1)(2)30mxmymz+++++=，求实数m的值.的合肥市普通高中六校联盟2024—2025学年第一学期期中联考高二年级数学试卷（考试时间：120分钟满分：150分）命题学校：合肥九中命题

教师：冯文华审题教师：王伟第Ⅰ卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过()1,1A−、()1,3B−两点,则直线l的倾斜角的大小为（）A.不存在B.π

3C.π2D.3π4【答案】C【解析】【分析】根据两点,求出l的直线方程,进而可求倾斜角大小.【详解】解:由题知直线l过()1,1A−、()1,3B−两点,所以直线l的方程为1x=−,故倾斜角为π2.故选:C2.已知直线a的方向向量为a，平面的法向量为n，下

列结论成立的是（）A.若//an，则//aB.若an⊥，则a⊥C.若//an，则a⊥D.若an⊥，则//a【答案】C【解析】【分析】根据题意，结合直线的方向向量和平面分法向量的关系，逐项判定，即可求解.【详解】因为直线a的方向向量

为a，平面的法向量为n，由//an，可得a⊥，所以A不正确，C正确；对于B中，由an⊥，可得//a或a，所以B、D都不正确；故选：C.3.已知两平行直线250xy+−=，240xym++=的距离为5，则m的值为

（）A.0或-10B.0或-20C.15或-25D.0【答案】B【解析】【分析】化简直线方程240xym++=得：202mxy++=，利用两条平行线间的距离公式计算可得.【详解】化简240xym++=得：202mxy++=，两平行直

线250xy+−=，202mxy++=的距离为：225522512mmd++==+，5255m+=，0m=或20m=−，故选：B.【点睛】此题考两条平行线间的距离公式，关键是化简直线方程，使两个直线方程x，y的对应系数相同，属于简单题.4.已知点(),3,5Aa−，(

)0,,2Bb，()2,7,1C−，若A，B，C三点共线，则a，b的值分别是（）A.2−，3B.1−，2C.1，3D.2−，2【答案】D【解析】【分析】由A，B，C三点共线，得AB与BC共线，然后利用共线

向量定理列方程求解即可.【详解】因为(),3,5Aa−，()0,,2Bb，()2,7,1C−，所以(,3,3)ABab=−+−，(2,7,3)BCb=−−，因为A，B，C三点共线，所以存在实数k，使ABkBC=，所以(,3,3)(2,7,3)abkb−+−=−−，所以23(7)33akb

kbk−=+=−−=−，解得1,2,2kab==−=.故选：D5.在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，P是棱11BC上一动点，点O是正方形1ABBA的中心，则APAO的值为（）A.不确定B.2C.22D.4【答案】D【解析】【分析】根据向量的坐标运算即可求解.【详

解】建立如图所示空间直角坐标系，则(2A,0,0)，(Px,2,2)(02)x，()2,1,1O，()2,2,2,APx=−(0AO=,1,1)，()2021214APAOx=−++=．故选：D．6.在平行六面体1111ABCDABCD−

中，M为11AC与11BD的交点，N是1CM的中点，若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列向量中与BN相等的向量是（）A1344abc−++B.3144abc−++C.1344abc++D.3144abc++【答案】A【解析】【分析】作出图象，利用空间向量的线性运算

可得出BN关于a、b、c的表达式.【详解】如下图所示：.由题意可知，()()1111111333444ANACABADab==+=+，所以()1111313444BNBAANAAABANcaababc=+=−+=−++=−++，故选：A.7.台风中心从M地以每小时302km速

度向西北方向移动，离台风中心303km内的地区为危险地区，城市N在M地正西方向60km处，则城市N处于危险区内的时长为（）A.1小时B.2小时C.3小时D.2小时【答案】B【解析】【分析】建立直角坐标系，数形结合求直线与圆相交的弦长，进而可得城市N处于危险区内的时长.【详解】如图所示，以点M为

坐标原点建立直角坐标系，则()60,0N−，以N为圆心，303为半径作圆，则圆的方程为()22602700xy++=，当台风进入圆内，则城市N处于危险区，又台风的运动轨迹为yx=−，设直线与圆的交点为A，B，圆心N到直线的距离22600

30211d−+==+，则()()22222230330260kmABrd=−=−=，的所以时间602h302t==，故选：B.8.已知圆C：()2214xy−+=的圆心为点C，直线l：2xmy=+与圆C交于M，N两点，点A在圆C上，且//CAMN，若2AM

AN=，则MN的值为（）A.23B.3C.2D.1【答案】A【解析】【分析】设弦MN的中点为B，得到BCAC⊥，化简2212||2AMANRMN=−，即可求解.【详解】设弦MN的中点为B，由题可知圆C的半径为2R=，因为

//CAMN，BCMN⊥，所以BCAC⊥，所以12AMABBMABMN=+=−uuuruuuruuuruuuruuur，12ANABBNABMN=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，可得2222222221111||||||||4444AMAN

ABMNRCBMNRRMNMN=−=+−=+−−222112||8||222RMNMN=−=−=uuuruuur，解得||23MN=.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部

分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()1,1,ax=，()3,,9bx=−，若a，b的夹角是钝角，则x的可能取值为（）A.4−B.3−C.0D.1【答案】AC【解析】【分析】根据题意分析得0ab，再去除共线的情况即可.

【详解】由题意得0ab，再去掉其共线反方向的情况，则390xx−++，解得310x，当a，b共线时1139xx==−，解得3x=−，故310x且3x−，对照选项知AC正确，BD错误.故选：AC.10.已知直线l

：()()23110axay−+−+=，则（）A.直线l的一个方向向量为()1,23aa−−B.直线l过定点C.若直线l不经过第二象限，则1aD.若2a=，则圆222xy+=上有四个点到直线l的距离等于12【答案】BD【解析】【分析】根据直线方向向量、直线过定点、直线截距

、直线与圆的位置关系，逐项判断即可得结论.【详解】对于A：由方程可得()()23110axay−+−+=可得一个方向向量：()1,23aa−−，可判断A错误；对于B：()()()23110231axayxyaxy−+−+=−=−−，所以201

3102xyxxyy−==−−==，则直线l过定点()1,2，故B正确；对于C，若1a=，则直线:10lx−+=，此时直线不过第二象限，又直线l过定点()1,2，要使得直线不过第二象限，则23202110aka−−==−−，解得1a，所以若直线l不经过第二象限，则1a，

故C错误.对于D：当2a=时，直线方程为：10xy−+=，圆心到直线的距离为：1222=，而圆的半径为2，因为2122，所以圆222xy+=上有四个点到直线l的距离等于12，正确；故选：BD11.已知点M在圆Q：()2224xy++=上，点P是直线l：4360xy−+=上一点，过

点P作圆Q的两条切线，切点分别为A、B，又设直线l分别交x，y轴于C，D两点，则（）A.PA的最小值为2105B.直线AB必过定点C.满足MCMD⊥的点有两个D.过点D作圆Q的切线，切线方程为320xy−+=或320xy+−=【答案】BCD

【解析】【分析】A：将问题转化为求|𝑃𝑄|的最小值，由此可解；B：根据AB是以PQ为直径的圆与圆Q相交所得到的公共弦，由此求出AB方程并分析是否过定点；C：分析以CD为直径的圆与圆Q的位置关系，由此可判断结果；D：设出切线方程，根据相切时圆心到直线的距离等于半径求解出结果.【详

解】A：因为2224PAPQAQPQ=−=−，当|𝑃𝑄|最小时，PA取最小值，|𝑃𝑄|取最小值时即为Q到直线:4360lxy−+=的距离，所以|𝑃𝑄|最小值为066125169++=+，所以PA的最小值为

212211455−=，故A错误；B：设46,3aPa+，()0,2Q−，所以PQ中点坐标为2,23aa，2222223aaPQ=++，以PQ为直径的圆的方程

为22222222323aaaaxy−+−=++，又圆()22:24Qxy++=，两圆方程相减可得484433aaaxy++=−−，即为()4844033ya

xy++++=令48033440yxy++=+=，解得431xy=−=−，所以公共弦所在直线AB过定点4,13−−，故B正确；对于C：对于:4360lxy−+=，令0x=，则2y=，所以()

0,2D，令0y=，则32x=−，所以3,02C−，所以CD中点E的坐标为3,14−，95442CD=+=，故以CD为直径的圆E的方程为()223251416xy++−=，又因为93179164QE=

+=，且5317522444−+，所以圆E与圆Q相交，所以满足MCMD⊥的点有两个，故C正确；对于D：如图所示，不妨设切线方程为:2lykx=+，即:20lkxy−+=，因为l与圆Q相切，所以22221k+=+，所以23k=，解得3k=，

所以切线方程为320xy−+=或320xy+−=，故D正确；故选：BCD.第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知点M在平面ABC内，O为空间内任意一点，若1142MAOAABxOC=−++，则x=________．【答案】14##0.25【解析】【分

析】根据向量的运算法则得到7142OMOAOBxOC=−−，根据共面得到71142x−−=，得到答案.【详解】由1142MAOAABxOC=−++，得111422MOOAOAAOOBxOC+=−+++，即7

142OMOAOBxOC=−−．因为点M在平面ABC内，所以71142x−−=，得14x=．故答案为：14.13.直线l过点()1,2M−，且与以()4,1P−−、()3,0Q为端点的线段相交，则直线l的斜率的取值范围是____

______．【答案】)1,1,2−−+【解析】【分析】作出图形，求出MPk、MQk，观察直线l与线段PQ的交点运动的过程中，直线l的倾斜角的变化，可得出直线l的取值范围.【详解】如下图所示：设过点M且与x轴垂直的直线交线段PQ于点A，设直线l的斜率为k，且21114PMk+==

−+，201132QMk−==−−−，当点B从点P移动到点A（不包括点A）的过程中，直线l的倾斜角为锐角，此时，1MPkk=；当点B从点A（不包括点A）移动到点Q的过程中，直线l的倾斜角为钝角，此时，

12MQkk=−.综上所述，直线l的斜率的取值范围是)1,1,2−−+.故答案为：)1,1,2−−+.14.如图所示的试验装置中，两个正方形框架ABCD、ABEF的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.

长度为1的金属杆端点N在对角线BF上移动，另一个端点M在正方形ABCD内（含边界）移动，且始终保持MNAB⊥，则端点M的轨迹长度为______.【答案】π2【解析】【分析】建系标点，设()(),,0,,0,,,,0,

1NaaMxzaxy，根据垂直关系可得xa=，结合长度可得221xz+=，分析可知端点M的轨迹是以B为圆心，半径1r=的圆的14部分，即可得结果.【详解】以B为坐标原点，,,BABEBC分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，则()()1,0,0,0,0,0A

B，设()(),,0,,0,,,,0,1NaaMxzaxz，可得()()1,0,0,,,BANMxaaz==−−，因为MNAB⊥，即()10BANMxa=−=，可得xa=，则()0,,NMxz=−，则()221

NMxz=−+=，整理可得221xz+=，可知端点M轨迹是以B为圆心，半径1r=的圆的14部分，所以端点M的轨迹长度为π42π211=.故答案为：π2.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知直线1l：24

0xy++=与直线2l：350xy−−=的交点为M.（1）求点M关于直线20xy−+=的对称点N；（2）求点()4,0A到经过点M的直线l距离的最大值，并求距离最大时的直线l的方程.【答案】（1）()N4,1−（2）29，5290xy++=.【

解析】【分析】（1）先求直线12,ll的交点M，然后通过条件得到直线MN的方程，进而确定MN的中点坐标，最后确定N的坐标；（2）先根据条件得到点()4,0A到l的距离不超过29，然后在取到该值的条件下得到l的斜率，进而确定直线l的方程.【小问1详解】的联立方

程240350xyxy++=−−=,解得12xy=−=−所以两直线1l，2l的交点为()1,2M−−.设()00,Nxy，则MN的中点为0012,22xy−−.联立方程0000122022211xyyx−

−−+=+=−+，解得0041xy=−=所以()N4,1−.【小问2详解】因为()2241229AM=++=，所以点()4,0A到经过点M的直线l距离的最大值为29.由题意，AM与l垂直，则022415AMk+==+，故l

的斜率为152k=−.所以直线l的方程为()5122yx=−+−，即5290xy++=所以当距离最大时，直线l的方程为5290xy++=.16.如图，在四棱锥SABCD−中，底面ABCD为正方形，SA⊥平面ABCD，M，N分别为棱SB，SC的中点.（1）证明：/

/MN平面SAD；（2）若2SAAD==，求直线SD与平面ADNM所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）12.【解析】【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明即可；（2）构建空间直角坐标系，然后根据空间向量求解直线SD与法向量

的夹角的余弦值即可；【小问1详解】∵M、N分别为SB，SC的中点，∴//MNBC，∵ABCD为正方形，∴//BCAD，则//MNAD，∵MN平面SAD，AD平面SAD，∴//MN平面SAD.【小问2详解】由题知SA⊥平面ABCD，ABAD⊥，建立如图所示

的空间直角坐标系，则()0,0,2S，𝐴(0,0,0)，()0,2,0D，()2,0,0B，()2,2,0C，∴()1,0,1M，()1,1,1N，∴()0,2,2SD=−，()0,2,0AD=，()1,0,1AM=，设平面ADNM的一个法向量为(),,nxyz=，则200nAD

ynAMxz===+=令1x=，则0y=，1z=−，∴()1,0,1n=−.设直线SD与平面ADNM所成的角为，∴21sincos,2222nSDnSDnSD====，所以直线SD与平面ADNM所成角的正弦值为1

2.17.已知动点P与两个定点()1,0A，()4,0B的距离的比是2.（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）直线l过点()2,1，且被曲线C截得的弦长为23，求直线l的方程.【答案】（1）22(5)4xy−+=（2）1y=或34100xy+−=【解析】【分析】（1）直接利

用条件求出点P的轨迹方程，所求方程表示一个圆；（2）直线l的斜率分存在与不存在两种情况，当直线的斜率不存在时，检验不满足条件；当直线的斜率存在时，用点斜式设出直线的方程，根据弦长和点到直线的距离公式列出等式即可求出直线的斜率，进而求出直线的方程.

【小问1详解】设点(),Pxy，动点P与两个定点()1,0A，()4,0B的距离的比是2，2PAPB=，即2PAPB=，则2222(1)2(4)xyxy−+=−+，化简得2210210xyx+−+=

，所以动点P的轨迹C的方程为22(5)4xy−+=；【小问2详解】由（1）可知点P的轨迹C是以()5,0为圆心，2为半径的圆，直线被曲线C截得的弦长为23，圆心()5,0到直线l的距离431d=−=，①当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为

2x=，此时圆心到直线l的距离是3，不符合条件；②当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为()12ykx−=−，即210kxyk−−+=，所以圆心()5,0到直线l的距离23111kdk+==+，化简得229611kk

k++=+，解得0k=或34k=−，此时直线l方程为1y=或34100xy+−=.综上，直线l的方程是1y=或34100xy+−=.18.如图1所示PAB中，,12APABABAP⊥==．,DC分别为,PAPB中点．将PDC△沿DC向平面ABCD上方翻折至图2所示的位置，使得62PA=．

连接,,PAPBPC得到四棱锥PABCD−，记PB的中点为N，连接CN，动点Q在线段CN上．（1）证明：CN⊥平面PAB；（2）若2QCQN=，连接,AQPQ，求平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值；（3）求动点Q到线段AP

的距离的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）31919（3）6,36轾犏臌【解析】【分析】（1）根据空间中的垂直关系的转化，结合线面垂直的判定即可求证；（2）建立空间直角坐标系，利用法向量的夹角即可求解平面的夹角；（3）根据向量共线求出()3,6,3Qll，利用空间向量表示出点到直

线距离，利用二次函数性质求范围即可.【小问1详解】的因为折叠前D为PA中点，12PA=，所以6PDAD==，折叠后，62PA=，所以222PDADPA+=，所以PDAD⊥，在折叠前,DC分别为,PAPB

中点，所以//DCAB，又因为折叠前PAAB⊥，所以DCPA⊥，所以在折叠后PDAD⊥，DCPD⊥，ADDC⊥；以D为坐标原点，DA、DC、DP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0D，()6,0,0A，()6,12,0B，()

0,6,0C，()0,0,6P，N为PB中点，所以()3,6,3N，()3,0,3CN=，设平面PAB的法向量为(),,mxyz=，又()6,0,6AP=-，()0,12,0AB=，所以00APmABm==，660120xzy−+==，令1x=，则0y=，1z=，所以()1,0

,1m=，所以3CNm=，所以//CNm，所以CN⊥平面PAB.【小问2详解】设()000,,Qxyz，由（1）知，()3,0,3CN=，因为动点Q在线段CN上，且2QCQN=，所以23CQCN=，所以(

)()0002,6,3,0,33xyz−=，所以02x=，06y=，02z=，所以()2,6,2Q，()2,6,4QP=−−，()4,6,2QA=−−，设平面PAQ的法向量为()111,,nxyz=，00QPnQA

n==，11111126404620xyzxyz−−+=−−=，令11x=，则113y=，11z=，所以11,,13n=，设平面ABCD的法向量为()0,0,6DP=，所以226319cos,19161

13nDPnDPnDP===++，所以平面PAQ与平面ABCD的夹角的余弦值为31919.【小问3详解】设()111,,Qxyz，()111,6,CQxyz=-，()3,0,3CN=，动点Q在线段CN上，所以CQCNl=，0,1，即()()111,6

,3,0,3xyzll-=，即111363xyz===，所以()3,6,3Qll，()6,0,6AP=-，()63,6,3QAll=---，设点Q到线段AP的距离为d，22QAAPdQAAP骣×琪=-琪琪桫，()()()()222266336636362dll

ll轾-?-?犏=-+-+--犏臌，0,1，2183654dll=-+，0,1，令2183654tll=-+，0,1，则()218136tl=-+，0,1，根据二次函数的性

质可知[]36,54tÎ，所以6,36d轾Î犏臌，由此可知动点Q到线段AP距离的取值范围为6,36轾犏臌.19.在空间直角坐标系Oxyz中，已知向量(,,)nabc=，点()0000,,Pxyz.若直线l以n为方向向量且经过点0P，则直线l的标准式方程可表示

为000(0)xxyyzzabcabc−−−==；若平面以n为法向量且经过点0P，则平面的点法式方程可表示为()()()0000axxbyyczz−+−+−=，一般式方程可表示为0axbyczd+++=.（1）证明：向量(,,)nabc=是平面:0axb

yczd+++=的法向量；（2）若平面1:210xy+−=，平面1:210yz−+=，直线l为平面1和平面1的交线，求直线l的单位方向向量（写出一个即可）；（3）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为2、2、

，其中平面2经过点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，平面2:4yz+=，平面:(1)(2)30mxmymz+++++=，求实数m的值.【答案】（1）证明见解析的（2）212,,333−−（3

）1m=−【解析】【分析】（1）由空间向量的垂直即可证明；（2）设直线l的方向向量l，由l与两平面的法向量垂直列方程求解；（3）写出三个平面的法向量，求得2与2交线的方向向量，进而可求解.【小问1详解】取平面0axbycz

d+++=内的任意两点()111,,Axyz，()222,,Bxyz，则1112220,0,axbyczdaxbyczd+++=+++=两式相减得，()()()2121210axxbyyczz−+−+−=，即0nAB=，所以nAB⊥，从而n⊥，故(,,)nabc=是平面

:0axbyczd+++=的法向量.【小问2详解】记平面1，1的法向量为1(1,2,0)=，1(0,2,1)=−，设直线l的方向向量(,,)lxyz=，因为直线l为平面1和平面1的交线，所以1l⊥，1l⊥，即112020lxylyz

=+==−=，取2x=，则(2,1,2)l=−−，所以直线l的单位方向向量为212,,333−−.【小问3详解】设2:10axbycz+++=，由平面2经过点(4,0,0)，(3,1,1)−，(1,5,2)−，所以4103105210aabcabc+

=+−+=−+++=，解得14140abc=−=−=，即2:4xy+=，所以记平面2、2、的法向量为2(1,1,0)=，2(0,1,1)=，(,1,2)mmm=++，与（2）同理，2与2确

定的交线方向向量为(1,1,1)p=−，所以p⊥，即(1)210pmmmm=−+++=+=，解得1m=−.【点睛】关键点点睛：本题的关键，结合已知概念求出相关法向量，即可解决问题.