【文档说明】福建省福州第一中学2020届高三6月高考模拟考试数学（理）试题 【精准解析】.doc，共(23)页，1.942 MB，由小赞的店铺上传

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福州一中2020届高三（下）高考模拟考试理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合||12AxxaBxx，，

且()ABRRð，则实数a的取值范围是（）A.1aB.1aC.2aD.2a【答案】C【解析】|1,2RCBxxx或.()||1,22RACBxxaxxxRa或.故选C2.复数3izii（i为虚数单位），则复数z的共轭复数为（）A

.2iB.2iC.4iD.4i【答案】B【解析】试题分析：由题32iziii，则复数z的共轭复数为2i，选B考点：复数的运算，共轭复数3.121(3sin)xxdx等于（）A.0B.2sin1C.2cos1D.2【答案】D【解析】，故答案为D.考点：定积分的计算.4.已

知函数fx的定义域为[0，2]，则21fxgxx的定义域为（）A.0,11,2B.0,11,4C.0,1D.1,4【答案】C【解析】【分析】根据fx的定义域，计算2fx定义域，再考虑分母不为0，计算得到

答案.【详解】函数fx的定义域是[0，2]，要使函数21fxgxx有意义,需使2fx有意义且10x.所以10022xx解得01x故答案为C【点睛】本题考查了函数定义域，属于简单题.5.数列na的前n项和为2*23(

)nSnnnN，若5pq，则pqaa（）A.20B.15C.10D.-5【答案】A【解析】试题分析：当2n时，2211123213345,1nnnaSSnnnnnaS

（）适合上式，所以45nan，所以4pqaapq（），因为5pq，所以20pqaa，选A考点：等差数列的性质6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A.83B.103C.6D.3【答案】D【解析】【详解】解：该几何体是一个底面半径为

1、高为4的圆柱被一个平面分割成两部分中的一个部分，故其体积为221141232V.本题选择D选项.7.在区间[1,1]上随机取一个数k，使直线(3)ykx与圆221xy相交的概率为（

）A.12B.13C.24D.23【答案】C【解析】【分析】根据直线与圆相交，可求出k的取值范围，根据几何概型可求出相交的概率.【详解】因为圆心(0,0)，半径1r，直线与圆相交，所以2|3|11kdk，解得2244k所以相交的概率22224P,故选C.【点睛】本题主要考查

了直线与圆的位置关系，几何概型，属于中档题.8.向量,,abc满足0abc，ab，()abc，||||||||||||abcMcab，则M=（）A.3B.32C.222D.3212【答案】D【解析】【分析】将cab

代入()0abc可得||||ab，将cab两边平方，结合0ab可得||2||2||cab，进而可得M的值.【详解】因为0abc，所以cab，因为()abc，所以()()0abab，所以22ab，

所以||||ab，因为ab，所以0ab，由cab得22()cab，所以2222222222cabababab，所以||2||2||cab，所以||||||||||||abcMbca23212122.故选：D.【点睛】本题考查

了向量垂直问题，考查了平面向量的数量积，考查了向量的模，属于基础题.9.已知正方体1111ABCDABCD的棱长为32，,EF分别为,BCCD的中点，P是线段1AB上的动点，1CP与平面1DEF的交点Q的轨迹长为（）A.3B.13C.4D.32【答案】B【解析】【分析】作图分析

，由P是线段1AB上的动点，当P合于1A或B时，找到11CA，1CB与平面1DEF的交点分别为,MN，即Q的轨迹为MN，再求出MN的长度得到答案.【详解】如图所示，连接1,EFAB，连接1111,ACBD交于点M，连接11,BEBC交于点N，由11//EFB

D，即11,,,EFBD共面，由P是线段1AB上的动点，当P合于1A或B时，11CA，1CB与平面1DEF的交点分别为,MN，即Q的轨迹为MN，由棱长为32，则111132CMAC，则16BC，又11112BEBNBCNC，则11243NCBC

,由1111ABBCAC，则1160ACB，则2211111112cos916234132MNMCNCMCNCACB.故选：B【点睛】本题以正方体为载体，考查了点线面的位置关

系、余弦定理，解决本题的关键在于找到点Q的轨迹，还考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.10.已知曲线xxye在1xx处的切线为1l，曲线lnyx在2xx处的切线为2l，且12ll，则2

1xx的取值范围是（）A.10,eB.,1C.(),0-?D.1,e【答案】B【解析】【分析】先求出两条切线各自的斜率，再根据它们垂直得到12,xx的关系，将21xx

表示为1x的函数后利用导数可求21xx的取值范围.【详解】令xxfxe，lngxx，则1xxfxe，1gxx，所以1111xxke，221kx，因为12ll，故112111xxex

，所以1121xxxe，因为20x，故11x.又112111xxxxxe，令1,1xxhxxxe，则221xxxxxehxee，当1,x时，2xyxe为减函数，故12210xxee，所以0hx在1,上恒

成立，故hx在1,上为减函数，所以11hxh，又当1x时，11111xxxxxxeeee，所以hx的取值范围为,1，故选：B.【点睛】本题考查导数的几何意义以及函数的值域的求法，注意函数图

象在某点处的切线的斜率就是函数在该点横坐标处的导数，另外，求函数的值域时不仅要依据函数的单调性，而且还要考虑函数的图象有无水平的渐近线.11.某化工厂在定期检修设备时发现生产管道中共有5处阀门（AE）发生有害气体泄漏.每处阀门在每小

时内有害气体的泄露量大体相等，约为0.01立方米.阀门的修复工作可在不停产的情况下实施.由于各阀门所处的位置不同，因此修复所需的时间不同，且修复时必须遵从一定的顺序关系，具体情况如下表：泄露阀门ABCDE修复时间（小时）118596需先修

复好的阀门CB在只有一个阀门修复设备的情况下，合理安排修复顺序，泄露的有害气体总量最小为（）A.1.14立方米B.1.07立方米C.1.04立方米D.0.39立方米【答案】C【解析】【分析】先确定有要求三个阀门,,BCE的先

后顺序必须是,,CBE，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，确定修复顺序为,,,,CBEDA，然后计算每个阀门泄露有害气体的时间，计算出泄露的有害气体总量最小值.【详解】由表知，根据需先修复好的阀门的要求，可确定,AD顺序无要求，其中三个

阀门的先后顺序必须是,,CBE，要使泄露的有害气体总量最小，修复时间长的因尽量靠后，故修复顺序为,,,,CBEDA，则,,,,CBEDA各阀门泄露有害气体的时间分别为5,13,19,28,39小时，泄露有害气体的时间共5131928391

04小时，故泄露的有害气体总量最小为1040.011.04立方米，故选：C【点睛】本题是实际应用问题的最优化问题，理解题意是解决问题的关键，属于中档题.12.设0,1,2,,2020iai是

常数，对于xR，都有20200122020112122020xaaxaxxaxxx，则012345201920202!3!4!2018!2019!aaaa

aaaa（）A.2019B.2020C.2019！D.2020！【答案】A【解析】【分析】先令1x，求得0a的值，再将给定的恒等式两边求关于x的导数，然后令1x，从而可得所求的值.【详解】因为20200122020

112122020xaaxaxxaxxx，则令1x可得01a.又对20200122020112122020xaaxaxxaxxx两边求导可得：

2019122020202012122020xaaxxaxxx，令12nfxxxxn，则12+2nfxxxxnxxn，所以1112111

!nnfnn，所以12201920191232020202011112!12019!aaaa故123202020202!2019!aaaa，所以012345201920202!3!4!2018!2019!20

2012019aaaaaaaa.故选：A.【点睛】本题考查函数的导数以及恒等式的系数和的求法，注意根据恒等式的特征选择合适的赋值，本题属于较难题.二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分

.请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13.cos15cos45cos75cos45=_________.【答案】12【解析】【分析】题设中的三角函数值可转化为co

s15cos45sin15sin45，逆用两角和的余弦可求给定的三角函数式的值.【详解】cos15cos45cos75cos45=1cos15cos45sin15sin45cos602.故答案为：12.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、

函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角.14.寒假里5名同学结伴乘动车外出旅游，实名制购票，每人一座，恰在同一排,,,,A

BCDE五个座位（一排共五个座位），上车后五人在这五个座位上随意坐，则恰有一人坐对与自己车票相符座位的坐法有__________种.【答案】45【解析】【分析】先选出坐对位置的人，再对剩下四人进行错排，最后利用分布计数乘法原理求

结果.【详解】先选出坐对位置的人，即从5人中选1人，有5种可能；剩下四人进行错排，设四人座位为1234，，，，则四人都不坐在自己位置上有214323412413,3142,3412,3421,4123,4312,4321，，这9种可能；所以恰有一人坐对

与自己车票相符座位的坐法有5945种故答案为：45【点睛】本题考查错排问题，考查基本分析求解能力，属基础题.15.如图，将地球近似看作球体.设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时太阳直射纬度（当地夏半年取正值，冬半年取负值），为该地的纬度值.已知太阳每年直射范围在南北回归线之

间，即2326,2326.如果在北京地区（纬度数约为北纬40）的一幢高为0h的楼房北面盖一新楼，要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的距离不应小于_________.（只需列出式

子）【答案】0tan2634h【解析】【分析】根据题意列出不等式，再根据不等式恒成立，转化为对应函数最值问题，结合范围确定最值，即得结果..【详解】设两楼的距离为d，因为90(40)502634,7326ooooo轾ⅱ=--=+?犏臌则要使新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮

挡，需满足0tanhd³对2634,7326oo轾ⅱÎ犏臌恒成立,因此0min(tan)hd³0tan2634hdo¢\?0tan2634hdo\?¢，从而两楼的距离不应小于0tan2634h故答案为：0tan2634h【点睛】本题考查不等

式恒成立问题、正切函数单调性，考查基本分析建模能力与转化求解能力，属中档题.16.已知椭圆22:143xyC的焦点是12,FF，,AB是C上（不在长轴上）的两点，且1//2FAFB.M为1FB与2FA的交点，则M的轨迹所在的曲线是

______；离心率为_____.【答案】(1).椭圆(2).45【解析】【分析】设11,Axy，22,Cxy则22,Bxy，设1:1AFlxmy表示出1BFl，2AFl联立直线1:1A

Flxmy与椭圆方程，消元列出韦达定理，代入消去m即可得解；【详解】解：设11,Axy，22,Cxy则22,Bxy，1AF的斜率不为0，可设1:1AFlxmy则122:11BFyylxx①，211

:11AFyylxx②所以12121221212121211112224yyyyyyyyxxxxmymymyymyy联立221143xmyxy得2242303mymy，得122243

myym，122343yym所以222316133yxm由①②得12122112yyxxmyyyy，所以35xmy所以22231316353yxxy整理得222215344xx，所以M的

轨迹所在的曲线是椭圆，14554e故答案为：椭圆；45.【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，属于中档题.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知数列na，nb满足112a，11nnnaaa，1

1nnba，nb的前n项和为nS，前n项积为nT.（1）证明：2nnST是定值；（2）试比较nS与nT的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）当1n时，nnST；当2n时，nnST.【解析

】【分析】（1）将已知递推关系式化为11111nnnnbaaa，由此可求得,nnST，代入2nnST整理可得结论；（2）由（1）可得134123nnnSTa，根据数列na单调递增和334a可确定结果.

【详解】（1）证明：由11nnnaaa得：11111=+11nnnnnaaaaa，则11111nnnnbaaa，12122311111111111112nnnnnnSbbbaaaaaaaaa

，121122311112nnnnnnaaaaTbbbaaaaa，22nnST.（2）由（1）知：11111133412

22223nnnnnnSTaaaa，112a，210nnnaaa，na单调递增.又112a，211314aaa，3222131164aaa，当2n时，134na，当1n时，nnST；当

2n时，nnST.【点睛】本题考查数列综合应用问题，涉及到数列中的定值问题、根据数列单调性比较大小的问题；解决定值问题的关键是能够结合裂项的方法，前后相消求得前n项和和前n项积.18.已知圆222:

10Cxyrr，设A为圆C与y轴负半轴的交点，过点A作圆C的弦AM，并使弦AM的中点恰好落在x轴上.（1）求点M的轨迹E的方程；（2）延长MO交直线1y于点P，延长MC交曲线E于点N，曲线E在点N处的切线与y轴

交于点Q.求证：//MNQP.【答案】（1）()2:40Exyx=?；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）由A为圆C与y轴负半轴的交点，可得0,1Ar，再由弦AM的中点恰好落在x轴上，可得点M的纵坐标满足102yr，再由点M在圆上即得解

；（2）设1122:1,,,,MNykxMxyNxy，分别表示直线MO，点N处切线方程，得到,PQ的坐标，结合韦达定理，证明MNPQkk，即得解【详解】（1）设,Mxy，依题意A为圆C与y轴负半轴的交点，令0,1xyr0,1

Ar又弦AM的中点恰好落在x轴上，设(,)Mxy故AM的中点坐标为1(,)22xyr故102yr222101yrxyr，消r得24xy，所以()2:40Ex

yx=?.（2）设1122:1,,,,MNykxMxyNxy，将1ykx代入24xy得2440xkx，12124,4xxkxx，11:yMOyxx，令1y得11Pxxy，所以11,1xPy，因为2xy

，所以点N处的切线为2222xyyxx，即222xyxy，令0x得2yy，所以20,Qy.所以PQ的斜率222211212111114444416160xyxxxxxkkxyx

所以//MNQP.【点睛】本题考查了直线与抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于较难题19.如图，组合体由半个圆锥SO和一个三棱锥SACD构成，其中O是圆锥SO底面圆心，B是圆弧AC上一点，满足BOC是锐角，

2ACCDDA.（1）在平面SAB内过点B作//BP平面SCD交SA于点P，并写出作图步骤，但不要求证明；（2）在（1）中，若P是SA中点，且3SO，求直线BP与平面SAD所成角的正弦值.【答案】（1）答案见解析；（2）265.【解析】【分析】（1）①延长AB交DC的延

长线于点Q；②连接SQ；③过点B作//BPQS交SA于点P，可得点P.（2）若P是SA中点，则B是AQ中点，又因为CBAQ，所以CACQ，所以90QAD，从而30BAC.依题意，,,OSOCOD两两垂直，分别以OC，OD，OS为x，y，z轴建立空间直

角坐标系,运用空间向量线面角的求解方法可得解.【详解】（1）①延长AB交DC的延长线于点Q；②连接SQ；③过点B作//BPQS交SA于点P.（2）若P是SA中点，则B是AQ中点，又因为CBAQ，所以CACQ，

所以90QAD，从而30BAC.依题意，,,OSOCOD两两垂直，分别以OC，OD，OS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则13131,0,0,0,3,0,0,0,3,,0,,,,02222ADSPB，从而331,3,0,1,0,3,

1,,22ADASBP，设平面SAD的法向量为,,nxyz，则0,0,ASnADn即30,30,xzxy取3x，得3,1,1n.则232326cos,5331013115442nBPnBPnBP

，所以直线BP与平面SAD所成角的正弦值为265.【点睛】本题考查空间的线面平行关系，线面角的求解方法，属于中档题.20.已知6名某疾病病毒密切接触者中有1名感染病毒，其余5名健康，需要通过化验血液来确定感染者.血液

化验结果呈阳性的即为感染者，呈阴性即为健康.（1）若从这6名密切接触者中随机抽取3名，求抽到感染者的概率；（2）血液化验确定感染者的方法有：①逐一化验；②分组混合化验：先将血液分成若干组，对组内血液混合化验，若化验结果呈阴性，则该组

血液不含病毒；若化验结果呈阳性，则对该组的备份血液逐一化验，直至确定感染者.（i）采取逐一化验，求所需检验次数的数学期望；（ii）采取平均分组混合化验（每组血液份数相同），依据所需化验总次数的期望，选择合理的平均分组方案.【答案】（1）12；

（2）（i）103；（ii）按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可.【解析】【分析】（1）总数为36C，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触者中，再抽2人，有25C，从而求得抽到感染者的概率；（2）分别求出方案（

i）和方案（ii）的分布列和均值，注意方案（ii）采取平均分组混合化验，又平均分成3组和平均分成2组两种情况，再通过对比得出结论.【详解】解：（1）从这6名密切接触者中随机抽取3名，共有36C种，抽到感染者，则从余下5名某疾病病毒密切接触

者中，再抽2人，有25C故抽到感染者的概率25361==2CPC（2）（i）的可能取值是1，2，3，4，5，且分布列如下：12345P161616161310=3E（ii）首先考虑（3，3）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，

1311=2==3PC，12132=3==3CPC分布列如下：23P13238=3E再考虑（2，2，2）分组，所需化验次数为，的可能取值是2，3，15261=2==3CPC，25262=3==3CPC分布列如下：23P1323

8=3E所以按（2，2，2）或（3，3）分组进行化验均可.【点睛】本题主要考查了随机事件概率的计算,以及离散型随机变量的分布列的均值与方差,属于中档题.21.已知函数lnfxexax，22xgxx.（1）讨论函数fx的单调性；（2

）若存在直线yhx，使得对任意的0,x，hxfx，对任意的xR，gxhx，求a的取值范围.【答案】（1）当0a时，fx在0+，上单调递增；当0a时，fx在0ea，上单调递增，在+ea，上单调递减；（2）1,

a.【解析】【分析】(1)对函数fx求导，分0a，0a两种情况讨论即可；(2)先由gxhx可转化为二次不等式的恒成立问题，然后构造函数()()()Fxfxhx，转化为对任意的0,x，()0Fx恒成立

问题，即可求解.【详解】（1）函数fx的定义域为0,.eeaxfxaxx（i）若0a，则0fx；（ii）若0a，则由0fx得exa，由0fx得e

xa；综上：当0a时，fx在0+，上单调递增；当0a时，fx在0ea，上单调递增，在+ea，上单调递减.（2）设存在直线ykxb满足题意.（i）由22xxkxb，即2102xkxb对任意的xR都成立，得2=120kb

，所以2102kb，（ii）令lnFxexakxb，eakxeFxakxx，①若0ak，则0Fx，Fx单调递增，()0Feeak

eb，不合题意；②若0ak，则Fx在0eak，上单调递增，在+eak，上单调递减，所以max=ln=lneeFxFeebeakbakak

，所以ln0eakb，即lneakb，由（i）得21ln2keak，即212keake，令212kekke，21211kekkee

，222112211+0kkeekkeeee，所以k单调递增，又因为10e，所以x在1e-，是单调递减，1+e，是单调递减，所以min11xe，所以1,a.【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值问题，属于能力提升题.请考生在第22、23两题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.[选修4—4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系xoy中，曲线1C

的参数方程为31,2,2txty（t为参数），以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为22123sin.（1）求曲线1C的普通方程和2C的直角坐标方程；（2）已

知1,0F，曲线1C与2C的交点为,AB，求AFBF的值.【答案】（1）221233:,:13343xyCyxC；（2）当A在x轴上方，123=13AFBF；当A在x轴下方，123=13AFBF.【解析】【分析】（

1）将曲线1C的参数方程消去参数t，可得解1C的普通方程，利用极坐标和直角坐标的互化公式，可得解2C的直角坐标方程；（2）将直线的参数方程与椭圆方程联立，利用参数t的几何意义，分A在x轴上方，下方两种情况讨论即可

【详解】（1）曲线1C的参数方程为31,2,2txty（t为参数），其中2ty=，代入312tx，可得133:,33Cyx曲线2C的极坐标方程为22123sin，即

223(sin)12可得2223312xyy，可得222:143xyC.（2）设,AB对应的直线参数为12,tt，将31,2,2txty代入22143xy得213123360tt，故12123+13tt，当A在x轴上方

，1212123=2213AFBFatattt当A在x轴下方，123=13AFBF【点睛】本题考查了参数方程、极坐标综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题[选修4—5：不等式选讲]23.已知

()|1||2|.fxxax（1）若2a，求fx的最小值；（2）若()1fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）min1fx；（2）1,a.【解析】【分析】（1）分别在1x、12x和2x三种情况下求得函数最小

值，进而得到在R上的最小值；（2）将不等式变为211axx，分别在2x、2x、12x和1x的情况下，通过分离变量的方法求得结果.【详解】（1）当1x时，12253fxxxx，此时min

1532fxf；当12x时，1223fxxxx，此时min2321fxf；当2x时，12235fxxxx，此时min2651fxf

；综上所述：fx的最小值为1.（2）令121xax，则211axx，当2x时，02恒成立，则aR；当2x时，112xax，若2x，则2122xaxx，又2112x

，1a；若12x，则21222xxaxxx，又2112x，1a；若1x，则212xax；综上所述：实数a的取值范围为1,.【点睛】本题考查含绝对值的函数最值的求解、绝对值不等式中的恒成立问题的求解；解决此类

问题通常采用分类讨论的方式，去除绝对值符号之后再进行求解.