【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，831.451 KB，由管理员店铺上传

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数学时量：120分钟满分：150分一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．）1.已知集合26Axx=，240Bxxx=−，则AB=（）A.()0,6B.()4,

6C.)2,4D.()),02,−+【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合B,即可根据交集的定义求解.【详解】由240Bxxx=−可得04Bxx=，故AB=)2,4，故选：C2.命题“xR，2220xx−+”的否定是（）A.x

R，2220xx−+B.xR，2220xx−+C.xR，2220xx−+D.xR，2220xx−+【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“x

R，2220xx−+”的否定是为：xR，2220xx−+，故选：D.3.设aR，则“1a”是“11a”的（）A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由11a可得1a或

0a，即可判断..【详解】由11a可得1a或0a，又1aa{1aa或0}a所以“1a”是“11a”的充分不必要条件.故选:A4.下列各组函数中，表示同一个函数的是（）A.2(),()

xfxxgxx==B.()(),()()fxxxRgxxxZ==C.,0(),(),0xxfxxgxxx==−D.2(),()()fxxgxx==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则，结合同一函数的判定方法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A中，函数()fxx=的

定义域为R，函数2()xgxx=的定义域为(,0)(0,)−+，两函数的定义域不同，不是同一函数；对于B中，函数()()fxxxR=和()()gxxxZ=的定义域不同，不是同一函数；对于C中，函数,0(),0xx

fxxxx==−与,0(),0xxgxxx=−的定义域相同，对应法则也相同，所以是同一函数；对于D中，函数()fxx=的定义域为R，2()()gxx=的定义域为[0,)+，两函数的定义域不同，不是同一函数.故选：C.【点睛】本题主要

考查了同一函数的判定，其中解答中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键，着重考查推理与运算能力，属于基础题.5.函数1xyx=+的大致图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】探讨函数1xyx=+的定义域、单调性，

再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数1xyx=+的定义域为{R|1}xx−，选项C，D不满足，因111111xyxx+−==−++，则函数1xyx=+在(,1)−−，(1,)−+上都单调递增，B不满足，则A满足.故选：A

【点睛】方法点睛：函数图象的识别途径：(1)由函数的定义域，判断图象的左右位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；(2)由函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)由函数的奇偶性，判断图象的对称性.6.若xA且1Ax就称A是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M=−

的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合个数为（）A.15B.16C.64D.128【答案】A【解析】【分析】首先确定具有伙伴集合的元素有1，1−，“3和13”，“2和12”四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】

因为1A，111A=；1A−，111A=−−；2A，12A；3A，13A；这样所求集合即由1，1−，“3和13”，“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为42115−=，故选

:A.7.某班有学生56人，同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人，同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人，同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人．已知该班学生每人至少参加了1个小组，则该班学生中只参加了数学小组、

英语小组和语文小组中的一个小组的人数最多是（）A.20B.21C.23D.25【答案】B【解析】【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，根据题意列出方程即可.【详解】如图，设该班学

生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x，只参加其中一个小组的人数为y，则()()()32252256xxxxy−+−+−++=，即223yx=−．因为22x，所以21y．故选：B.8.已知集合P，Q中都至少有两个元素，并且满足下列条件：

①集合P，Q中的元素都为正数；②对于任意(),abQab，都有aPb；③对于任意(),abPab，都有abQ；则下列说法正确的是（）A.若P有2个元素，则Q有3个元素B.若P有2个元素，则PQ有4个元素C.若P有2个元素，则PQ有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P【答案

】C【解析】【分析】若集合P中有2个元素，设,Pab=，根据集合中元素的特性和题设条件进行分析推导，可判断出选项ABC；假若P有3个元素，设,,Pabc=，再根据题设条件推导分析，可得到P中还有第四个元素，推出矛盾，从而可判断出D选项

.【详解】若P有2个元素，设(),0,0,Pababab=，则abQ，因为Q至少有2个元素，所以Q中除ab外至少还有一个元素，不妨设xQ，xab，则0,,xabxPPabx，若xababx=，则()

22xab=且0,0xab，所以xab=，与假设矛盾，所以xababx，所以,xabababx==或,xabbaabx==，当,xabababx==时，则,1xaab==，所以1ba=，若1a=，则1ab==，与ab矛盾，

所以1a，同理可知1b，所以此时1,,1,PaQaa==，1,1,,PQaPQaa==UI；当,xabbaabx==时，则,1xbab==，所以1ab=，若1a=，则1ab==，与ab矛盾，所以1a，同理可知1b，此时1,,1,PbQbb=

=，1,1,,PQbPQbb==UI；由上可知，当P有2个元素，则Q有2个元素，PQ有3个元素，PQ有1个元素，故A错误，B错误，C正确；不妨假设P有3个元素，设,,Pabc=，则,,abc为互不相等的正数，由③可知：,,abQacQbcQ，

又因为,,abc为互不相等的正数，所以,,abacbc也为互不相等的正数，由②可知：,,,,,bcacabaabbcc都是集合,,Pabc=的元素，因为,,abc为互不相等的正数，所以,,,,,bcacabaabbcc都

是不等于1的正数，所以,,bacacbabacbc，又因为,bc为互不相等的正数，所以,aacbbcaa，考虑到baab和aabc，若baac，则,,ababac为互不相等的正数，又因为baac，所以acba，所以ca是与,,ababac不相等正数，因为,,,caba

abac都是集合P的元素，所以集合P中至少有4个元素，这与假设矛盾，因此考虑baac=的情况，所以2abc=，同理可得22,baccab==，所以333abcabc===，所以abc==，这与集合中元素的互异性矛盾，所以P有3个元素不

可能成立，故D错误；故选：C.【点睛】关键点点睛：本题考查元素与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断，本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾，解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素，从而

达到确定集合中元素个数的目的.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分、部分选对的得部分分，有选错的得0分．）9.如果0ab，那么下列不等式成立的是（）A.

11abB.2abbC.2aba−−D.11ab−−【答案】D【解析】【分析】由于0ab，不妨令2a=−，1b=−，代入各个选项检验，只有D正确，从而得出结论．【详解】解：由于0ab，不妨令2a=−，1b=−，可得

111,12ab=−=−，11ab，故A不正确．可得2ab=，21b=，2abb，故B不正确．可得2ab−=−，24a−=−，2aba−−，故C不正确．故选：D．10.已知关于x不等式20axbxc++的解集

为34xx−∣，则下列说法正确的是（）A.0aB.不等式20cxbxa−+的解集为1143xx−∣C.0abc++D.2342cb++的最小值为4−【答案】AB【解析】【分析】利用二次不等式解与系数的

关系得到,bc关于a的表达式，结合基本不等式，逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于x的不等式20axbxc++的解集为34xx−∣，所以3,4−是方程20axbxc++=的两根，且0a，故A正

确；所以3434baca−=−+=−，解得12baca=−=−，所以20cxbxa−+，即2120axaxa−++，则21210xx−−，解得1143x−，所以不等式20cxbxa−+的解集为1143xx

−∣，故B正确；而12120abcaaaa++=−−=−，故C错误；因为0,,12abaca=−=−，所以344a−+，则()222623483423434caabaa+=−=+−+−+−+−+

()222348434aa−+−=−−+，当且仅当()223434aa=−+−+，即1a=或53a=时，等号成立，与0a矛盾，所以2342cb++取不到最小值4−，故D错误.故选：AB.11.已知0x，0y且3210xy+=，则

下列结论正确的是（）A.xy的最大值为625B.32xy+的最大值为25的C.32xy+的最小值为52D.22xy+的最大值为10013【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A；利用基本不等式求得()232xy+的最大值可判断B；利用基本

不等式“1”的代换可判断C；利用二次函数的性质可判断D；【详解】0x>，0y且3210xy+=，1003x，0y5对于A，利用基本不等式得1032232xyxy=+，化简得256xy，当且仅当32xy

=，即55,32xy==时，等号成立，所以xy的最大值为256，故A错误；对于B，()22610261013022320xyxyxyxy=++++=+=，当且仅当32xy=，即55,32xy==时，

等号成立，所以32xy+的最大值为25，故B正确；对于C，()32132166166453291101012032xxyxyyxyxyyxyx++++=+=+=+，当且仅当66xyy

x=，即2xy==时，等号成立，所以32xy+的最小值为52，故C正确；对于D，22222102134013009yyxyyy−++−+==()05y利用二次函数的性质知，当20013y时，函数单调递减；当20513y时，函数单调递增，()222min20134

0120100131330091xy−+==+，()()222max55221340150099xy−+=+，故D错误；故选：BC三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．）12.若函数f（x）

＝－x2－2(a＋1)x＋3在区间(－∞，3]上是增函数，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－4]【解析】分析】【求出二次函的对称轴，根据二次函数的单调性，确定对称轴的位置，即可求解.【详解】∵f（x）＝－x2－2(a＋1)x＋3的开口向

下，对称轴方程为(1)xa=−+，要使f（x）在(－∞，3]上是增函数，只需－(a＋1)≥3，即a≤－4，∴实数a的取值范围为(－∞，－4]．故答案为:(－∞，－4].【点睛】本题考查二次函数的单调性，属于基础题.13.已知函数()22fxaxax=−+

的定义域为R，则实数a的取值范围是______．【答案】0,8．【解析】【分析】由题意得220axax−+恒成立，结合二次不等式恒成立对a进行分类讨论进行求解．【详解】由题意得220axax−+恒成立，当0a=时，20恒成

立，满足题意；当0a时，2080aaa−，解得08a．综上08a．故答案为：0,8．14.已知函数()()2462fxxaxa=−++−，若集合()N0Axfx=中有且只有两个元素，则实数a的取值范围是______【答案】3,15

【解析】【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数，再分离参数，转化为求函数的取值范围问题，再结合函数的图象进行求解.【详解】由()N0Axfx=中有且只有两个元素，得()24620xaxa−++−有且只有两个自然数解，即2462xxax−++有且只有两个自然数

解，令2tx=+，则()1882attt+−，令()()1882gtttt=+−，作出()()1882gtttt=+−的图象（如图所示），又因为()142g=，()355g=，()()361gg==所以315a.故答案为：3,15.四、解答题（本题共5小题，共77

分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15.已知集合121Axmxm=−−，集合()()230Bxxx=−+．（1）若2m=，求AB；（2）若AB，求实数m的范围．【答案】（1）33ABxx=−（2）3

(,)2−【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求出集合B，由集合的并集运算可得结果；（2）根据条件对集合A分类讨论，分别求出实数m的范围.【小问1详解】由2m=时，集合13Axx=，()()

23032Bxxxxx=−+=−，所以133233ABxxxxxx=−=−，【小问2详解】当121mm−−，即0m时，集合𝐴=∅，符合AB，当𝐴≠∅时，由AB，有013212mmm−−−，解得302m，综上可知，若AB，则m的范

围是3(,)2−.16.如图所示，某学校要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为360m，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为6m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），

设垃圾池的高为mx，墙高5m，（1）试将垃圾池的总造价y（元）表示为(m)x的函数，并指出x的取值范围；（2）怎样设计垃圾池能使总造价最低？最低总造价是多少？【答案】（1）详解见解析（2）当垃圾池的高为103m、宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.【解析】【分析】利用

长方体垃圾池的容积及长与高表示宽，再求各面面积，得出总造价，利用均值不等式求最值.【小问1详解】无盖长方体垃圾池的容积为360m，长为6m，高为xm，则宽10xm，()60180620200yxx=++，即1200010803600yxx=++，(0,5x.【小问2详

解】12000120001080360021080360010800yxxxx=+++=，当且仅当120001080xx=取等号，即(100,53x=.所以当垃圾池的高为103m宽为3m时，垃圾池总造价最低为10800元.1

7.已知()24xfxx=+，()2,2x−．（1）求证：函数()fx在区间()2,2−上是增函数；（2）求函数()fx在区间()2,2−上的值域.【答案】（1）证明见解析（2）11,44−【解析】【分析】（1）用单调性的定义证

明即可.（2）由()fx在区间()2,2−上的单调性易得值域.【小问1详解】令1222xx−，则()()()()22211222112122222121444444xxxxxxxxfxfxxxxx+−−−=−=++++()()()()()()()()121212121222222121444

444xxxxxxxxxxxxxx−−−−−==++++，又1240xx−，120xx−，(𝑥22+4)(𝑥12+4)>0，即()()21fxfx，所以函数()fx在区间()2,2−上增函数.【小问2详解】由（1）知函数()fx在区间()2,2−上是增函数，又(

)()112,244ff−=−=，所以函数()fx在区间()2,2−上的值域为11,44−.18.已知函数()11mxfx=++，()()21gxxxa=++.（1）当0a=，1m=−时，解关于x的不等式()()fxgx；（2）当0

m=时，对任意)1,x+，关于x的不等式()()fxgx恒成立，求实数m的取值范围；（3）当0m，0a时，若点()111,Pxy，()222,Pxy均为函数()yfx=与函数()ygx=图象的公共点，且12xx，求证：()1221223axx−−+.【答案】（1）15

150,,122−+−−−是（2）)0,+（3）证明见解析【解析】【分析】（1）即解不等式2101−−+xxxx，分0x=、0x、0x且1x−讨论，解不等式可得答案；（2）转化为2

111xaxx−=−+在)1,x+上恒成立，求得1x−的最大值可得答案；（3）由()()fxgx=得()()()32121101xaxaxamx+++−+−−=−，化简方程得()()()()222121212

11214xxxxaxxaxx++++++−=，令21=+txx，结合一元二次不等式求解可得答案【小问1详解】当0a=，1m=−时，即解不等式2111−++xx，可得2101−−+xxxx，当0x=时，00成立，当0x时，得2101−−+xxx，即解210−−

xx，解得1502−+x；当0x且1x−时，得2101−−+xxx，解得1512−−−x，综上所述，不等式的解集为15150,,122−+−−−；【小问2详解】当0m=时，可得()1fx=，()()21gxxax=++，对任意

)1,x+，关于x的不等式()()fxgx恒成立，即()211xax++在)1,x+上恒成立，.即2111xaxx−=−+在)1,x+上恒成立，即当)1,x+时，1x−的最大值为0，所以

0a，所以实数m的取值范围)0,+；【小问3详解】由()()fxgx=，可得()2111mxaxx+=+++，可得()()()32121101xaxaxamx+++−+−−=−，因为点()111,P

xy，()222,Pxy均为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑔(𝑥)图象的公共点，可得()()3211112110xaxaxam+++−+−−=，()()3222212110xaxaxam+++−+−−=，两式相减得()()()()33222

121211210xxaxxaxx−++−+−−=，因为12xx，所以()()222211211210xxxxaxxa++++++−=，可得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−=，令21=+txx，则(

)221214ttata+++−，整理得()2312104tata+++−，解得()21223at−−，所以()2121223axx−−+.【点睛】关键点点睛：第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++

++++−=，令21=+txx，结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知集合A为非空数集.定义：|,,,{|,,}SxxababATxxababA==+==−（1）若集合{1,3}A=，直接写出集合S，T；（2）若集合

12341234,,,,,Axxxxxxxx=且TA=．求证：423xx=；（3）若集合|02024,N,AxxxST=，记A为集合A中元素的个数，求A的最大值.【答案】（1）{2,4,6}S=，{0,2}T=（2）证明见解析（3）135

0.【解析】【分析】（1）根据新定义直接求出,ST；（2）首先根据定义得出213141,,}{0,Txxxxxx=−−−234{0,,,}xxx=，然后由324240xxxxx−−，得出结论，再验证43xx−也是T中元素即得；（3）设12,,kAaaa=

满足题意，其中12kaaa，利用最大的ka和最小的1a构造也S中至少含有的元素，以及T中至多含有的元素，得21,SkTk−，然后由利用ST=，得31STSTk=+−，再由ST中最小的元素0与最大的

元素2ka得到1350k，然后构造一个集合{,1,2,,2024}Ammm=++，由ST=得出m的范围，求得ST中元素个数可以为1350，从而得出结论．【小问1详解】由已知{1,3}A=，则{2,4,6}S=，{0,2}

T=；【小问2详解】由于集合12341234,,,,,Axxxxxxxx=且TA=，所以T中也只包含四个元素，因为2131410xxxxxx−−−，即213141,,}{0,Txxxxxx=−−−且10x=，即234{0,,,}Txx

x=，又3242410xxxxxx−−−，所以322423,xxxxxx−=−=，从而3242322,3xxxxxx==+=，此时243xxx−=满足题意，所以423xx=；【小问3详解】设12,,kAaaa=满

足题意，其中12kaaa，1121312312kkkkkaaaaaaaaaaaaa−++++++2ka，112131121,,kSkaaaaaaaaTk−−−−−，∵ST=，∴31STSTk=+−，又ST

中最小的元素为0，最大的元素为2ka，则()*21,31214049N,1350kkSTakakk+−+设{,1,2,,2024}Ammm=++，Nm，则{2,21,22,,4048},{0,1,2,,2024}S

mmmTm=++=−，因为ST=，可得20242mm−，即26743m，故m的最小值为675，于是当675m=时，A中元素最多，即675,676,6},{77,2024A=时满足题意，综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350.【点睛】方法点睛：本题考查

集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合A中元素进行排序，即设12,,kAaaa=满足题意，其中12kaaa，利用集合中的最大元素和最小元素确定S的最小值，T的最小值，确定k的

范围，然后构造出一个集合，使得ST能取得范围内的最大值．