【文档说明】湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高一上学期10月月考数学试题 Word版含解析.docx,共(16)页,831.451 KB,由管理员店铺上传
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数学时量:120分钟满分:150分一、选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个选项是正确的、请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1.已知集合26Axx=,240Bxxx=−
,则AB=()A.()0,6B.()4,6C.)2,4D.()),02,−+【答案】C【解析】【分析】根据一元二次不等式化简集合B,即可根据交集的定义求解.【详解】由240Bxxx=−可得04Bxx=,故AB=)2,4,故选:C2.命题“xR,222
0xx−+”的否定是()A.xR,2220xx−+B.xR,2220xx−+C.xR,2220xx−+D.xR,2220xx−+【答案】D【解析】【分析】根据特称命题的否定直接得出答案.【详解】因为特
称命题的否定是全称命题,所以命题“xR,2220xx−+”的否定是为:xR,2220xx−+,故选:D.3.设aR,则“1a”是“11a”的()A充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由11a可得1a或0a,即可判
断..【详解】由11a可得1a或0a,又1aa{1aa或0}a所以“1a”是“11a”的充分不必要条件.故选:A4.下列各组函数中,表示同一个函数的是()A.2(),()xfxxgxx==B.()(),()()fxxxRgxxxZ==C.,0(),()
,0xxfxxgxxx==−D.2(),()()fxxgxx==【答案】C【解析】【分析】分别求得函数的定义域和对应法则,结合同一函数的判定方法,逐项判定,即可求解.【详解】对于A中,函数()fxx=的定义域为R,函数2()
xgxx=的定义域为(,0)(0,)−+,两函数的定义域不同,不是同一函数;对于B中,函数()()fxxxR=和()()gxxxZ=的定义域不同,不是同一函数;对于C中,函数,0(),0xxfxxxx==−与,0(),0xxgxxx=−的定义域相同
,对应法则也相同,所以是同一函数;对于D中,函数()fxx=的定义域为R,2()()gxx=的定义域为[0,)+,两函数的定义域不同,不是同一函数.故选:C.【点睛】本题主要考查了同一函数的判定,其中解答
中熟记两函数是同一函数的判定方法是解答的关键,着重考查推理与运算能力,属于基础题.5.函数1xyx=+的大致图象是()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】探讨函数1xyx=+的定义域、单调性,再逐一分析各选项判断作答.【详解】函数1xyx=+的定义域为{R|1}xx−,选项C,D不满
足,因111111xyxx+−==−++,则函数1xyx=+在(,1)−−,(1,)−+上都单调递增,B不满足,则A满足.故选:A【点睛】方法点睛:函数图象的识别途径:(1)由函数的定义域,判断图象的左右位置,由函数的值域,判断图象的上下位置;(2)由函数的单调性,判断图象的
变化趋势;(3)由函数的奇偶性,判断图象的对称性.6.若xA且1Ax就称A是伙伴关系集合,集合111,0,,,1,2,3,432M=−的所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数为()A.15B.16C.64D.128【答案】A【解析】【分析】首先确定具有伙伴集合
的元素有1,1−,“3和13”,“2和12”四种可能,它们组成的非空子集的个数为即为所求.【详解】因为1A,111A=;1A−,111A=−−;2A,12A;3A,13A;这样所求集合即由1,1−,“3和13”,“2和12”这“四大”元素所组成的集合的非空子集.所以满足
条件的集合的个数为42115−=,故选:A.7.某班有学生56人,同时参加了数学小组和英语小组的学生有32人,同时参加了英语小组和语文小组的学生有22人,同时参加了数学小组和语文小组的学生有25人.已知该班学生每人至少参加了1个小组,则该班学生中只参加了数学小组、英语小组和语文小组中的
一个小组的人数最多是()A.20B.21C.23D.25【答案】B【解析】【分析】设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x,只参加其中一个小组的人数为y,根据题意列出方程即可.【详解】如图,设该班学生中同时参加了数学小组、英语小组和语文小组的人数为x,只参加其中一个小组的人数为
y,则()()()32252256xxxxy−+−+−++=,即223yx=−.因为22x,所以21y.故选:B.8.已知集合P,Q中都至少有两个元素,并且满足下列条件:①集合P,Q中的元素都为正数;②对于任意(),abQab,都有aPb;③对于任意(),abPab,都有a
bQ;则下列说法正确的是()A.若P有2个元素,则Q有3个元素B.若P有2个元素,则PQ有4个元素C.若P有2个元素,则PQ有1个元素D.存在满足条件且有3个元素的集合P【答案】C【解析】【分析】若集合P中有2个元素,设,Pab=,根据集合中元素的特性和题设条件进行分
析推导,可判断出选项ABC;假若P有3个元素,设,,Pabc=,再根据题设条件推导分析,可得到P中还有第四个元素,推出矛盾,从而可判断出D选项.【详解】若P有2个元素,设(),0,0,Pababab=,则abQ,因为Q至少有2个元素,所以Q中除ab外至
少还有一个元素,不妨设xQ,xab,则0,,xabxPPabx,若xababx=,则()22xab=且0,0xab,所以xab=,与假设矛盾,所以xababx,所以,xabababx==或
,xabbaabx==,当,xabababx==时,则,1xaab==,所以1ba=,若1a=,则1ab==,与ab矛盾,所以1a,同理可知1b,所以此时1,,1,PaQaa==,1,1,,PQaPQaa==UI;当,
xabbaabx==时,则,1xbab==,所以1ab=,若1a=,则1ab==,与ab矛盾,所以1a,同理可知1b,此时1,,1,PbQbb==,1,1,,PQbPQbb==UI;由上可知,当P有2个元素,则Q有2个元素,PQ有3个元素,PQ有1个
元素,故A错误,B错误,C正确;不妨假设P有3个元素,设,,Pabc=,则,,abc为互不相等的正数,由③可知:,,abQacQbcQ,又因为,,abc为互不相等的正数,所以,,abacbc也为互不相等的正数,由②可知:,,,,,bcacabaabbcc都是集合,,Pabc=
的元素,因为,,abc为互不相等的正数,所以,,,,,bcacabaabbcc都是不等于1的正数,所以,,bacacbabacbc,又因为,bc为互不相等的正数,所以,aacbbcaa,考虑到baab
和aabc,若baac,则,,ababac为互不相等的正数,又因为baac,所以acba,所以ca是与,,ababac不相等正数,因为,,,cabaabac都是集合P的元素,所以集合P中至少有4个元素,这与假
设矛盾,因此考虑baac=的情况,所以2abc=,同理可得22,baccab==,所以333abcabc===,所以abc==,这与集合中元素的互异性矛盾,所以P有3个元素不可能成立,故D错误;故选:C.【点睛】关键点点睛:本题考查元素
与集合的关系以及集合运算后集合中元素个数的判断,本题的难点在于如何通过假设推导出矛盾,解答过程中主要利用集合中元素的互异性去检验元素,从而达到确定集合中元素个数的目的.二、选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选
项中,有多项符合题目要求,全部选对得6分、部分选对的得部分分,有选错的得0分.)9.如果0ab,那么下列不等式成立的是()A.11abB.2abbC.2aba−−D.11ab−−【答案】D【解析】【分析】由于0ab
,不妨令2a=−,1b=−,代入各个选项检验,只有D正确,从而得出结论.【详解】解:由于0ab,不妨令2a=−,1b=−,可得111,12ab=−=−,11ab,故A不正确.可得2ab=,21b=,2abb,故B不正确.可得2ab−=−,24a−=−,2aba−−
,故C不正确.故选:D.10.已知关于x不等式20axbxc++的解集为34xx−∣,则下列说法正确的是()A.0aB.不等式20cxbxa−+的解集为1143xx−∣C.0abc++D.2342cb++的最小值为4−【答案】AB【解析
】【分析】利用二次不等式解与系数的关系得到,bc关于a的表达式,结合基本不等式,逐一分析判断各选项即可得解.【详解】因为关于x的不等式20axbxc++的解集为34xx−∣,所以3,4−是方程
20axbxc++=的两根,且0a,故A正确;所以3434baca−=−+=−,解得12baca=−=−,所以20cxbxa−+,即2120axaxa−++,则21210xx−−,解得1143x−,所以不等式20cxbxa−+的解集为1143xx−
∣,故B正确;而12120abcaaaa++=−−=−,故C错误;因为0,,12abaca=−=−,所以344a−+,则()222623483423434caabaa+=−=+−+−+−+−+()222348434aa−+−=−−+,当且仅当()22343
4aa=−+−+,即1a=或53a=时,等号成立,与0a矛盾,所以2342cb++取不到最小值4−,故D错误.故选:AB.11.已知0x,0y且3210xy+=,则下列结论正确的是()A.xy的最大值为625B.
32xy+的最大值为25的C.32xy+的最小值为52D.22xy+的最大值为10013【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式直接判断A;利用基本不等式求得()232xy+的最大值可判断B;利用基本不等式“1”的代换可判断C;利用二次函数的性质可判断D;【详解】0x
>,0y且3210xy+=,1003x,0y5对于A,利用基本不等式得1032232xyxy=+,化简得256xy,当且仅当32xy=,即55,32xy==时,等号成立,所以xy的最大值为256,故A错误;对于B,()22610261013022320xyxyx
yxy=++++=+=,当且仅当32xy=,即55,32xy==时,等号成立,所以32xy+的最大值为25,故B正确;对于C,()32132166166453291101012032xxyxyyxyxyyxyx++++
=+=+=+,当且仅当66xyyx=,即2xy==时,等号成立,所以32xy+的最小值为52,故C正确;对于D,22222102134013009yyxyyy−++−+
==()05y利用二次函数的性质知,当20013y时,函数单调递减;当20513y时,函数单调递增,()222min201340120100131330091xy−+==+,()()222max55221340150099xy−+=+
,故D错误;故选:BC三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分.)12.若函数f(x)=-x2-2(a+1)x+3在区间(-∞,3]上是增函数,则实数a的取值范围是________.【答案】(-∞,-4]【解析】分析】【求出
二次函的对称轴,根据二次函数的单调性,确定对称轴的位置,即可求解.【详解】∵f(x)=-x2-2(a+1)x+3的开口向下,对称轴方程为(1)xa=−+,要使f(x)在(-∞,3]上是增函数,只需-(a+1)≥3,即a≤-4,∴实数a的取值范围为(-∞,-4].故答
案为:(-∞,-4].【点睛】本题考查二次函数的单调性,属于基础题.13.已知函数()22fxaxax=−+的定义域为R,则实数a的取值范围是______.【答案】0,8.【解析】【分析】由题意得220axax−+
恒成立,结合二次不等式恒成立对a进行分类讨论进行求解.【详解】由题意得220axax−+恒成立,当0a=时,20恒成立,满足题意;当0a时,2080aaa−,解得08a.综上08a.故答案
为:0,8.14.已知函数()()2462fxxaxa=−++−,若集合()N0Axfx=中有且只有两个元素,则实数a的取值范围是______【答案】3,15【解析】【分析】先将集合的元素个数转化为不等式的自然数解的个数,再分离参数,转化为求函数的取值范围问题
,再结合函数的图象进行求解.【详解】由()N0Axfx=中有且只有两个元素,得()24620xaxa−++−有且只有两个自然数解,即2462xxax−++有且只有两个自然数解,令2tx=+,则()1882attt+−,令()()1882gt
ttt=+−,作出()()1882gtttt=+−的图象(如图所示),又因为()142g=,()355g=,()()361gg==所以315a.故答案为:3,15.四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤.)15.已知集合121Axmxm=−−,集合()()230Bxxx=−+.(1)若2m=,求AB;(2)若AB,求实数m的范围.【答案】(1)33ABxx=−(2)3(,)2−【
解析】【分析】(1)解一元二次不等式求出集合B,由集合的并集运算可得结果;(2)根据条件对集合A分类讨论,分别求出实数m的范围.【小问1详解】由2m=时,集合13Axx=,()()23032Bxxxxx=−+=−,所以1332
33ABxxxxxx=−=−,【小问2详解】当121mm−−,即0m时,集合𝐴=∅,符合AB,当𝐴≠∅时,由AB,有013212mmm−−−,解得302m,综上可知,若AB,则m的范围是3(,)2−.16.如图所示,某学校要建造一个一面靠墙的无盖
长方体垃圾池,垃圾池的容积为360m,为了合理利用地形,要求垃圾池靠墙一面的长为6m,如果池底每平方米的造价为200元,池壁每平方米的造价为180元(不计靠墙一面的造价),设垃圾池的高为mx,墙高5m,(1)试将垃圾池的总造价y(元)表示为(m)x的函数,并指出x的取值范
围;(2)怎样设计垃圾池能使总造价最低?最低总造价是多少?【答案】(1)详解见解析(2)当垃圾池的高为103m、宽为3m时,垃圾池总造价最低为10800元.【解析】【分析】利用长方体垃圾池的容积及长与高表示宽,再求各面面积,得出总造价,利用均值不等式求最值.【小问1详解】
无盖长方体垃圾池的容积为360m,长为6m,高为xm,则宽10xm,()60180620200yxx=++,即1200010803600yxx=++,(0,5x.【小问2详解】1200012000108036
0021080360010800yxxxx=+++=,当且仅当120001080xx=取等号,即(100,53x=.所以当垃圾池的高为103m宽为3m时,垃圾池总造价最低为10800元.17.已知()24xfxx=+,()2,2x−.(1)求证:函数()fx在区
间()2,2−上是增函数;(2)求函数()fx在区间()2,2−上的值域.【答案】(1)证明见解析(2)11,44−【解析】【分析】(1)用单调性的定义证明即可.(2)由()fx在区间()2,2−上的单调性易得值域.【小问1详解】令1222xx−,则()()
()()22211222112122222121444444xxxxxxxxfxfxxxxx+−−−=−=++++()()()()()()()()121212121222222121444444xxxxxxxxxxxxxx−−−−−==++++,又1
240xx−,120xx−,(𝑥22+4)(𝑥12+4)>0,即()()21fxfx,所以函数()fx在区间()2,2−上增函数.【小问2详解】由(1)知函数()fx在区间()2,2−上是增函数,又(
)()112,244ff−=−=,所以函数()fx在区间()2,2−上的值域为11,44−.18.已知函数()11mxfx=++,()()21gxxxa=++.(1)当0a=,1m=−时,解关于x的不等式()()fxgx;(2)当0m=时,
对任意)1,x+,关于x的不等式()()fxgx恒成立,求实数m的取值范围;(3)当0m,0a时,若点()111,Pxy,()222,Pxy均为函数()yfx=与函数()ygx=图象的公共点,且12xx,求证:()1221223axx−−+.【答案】(1)1
5150,,122−+−−−是(2))0,+(3)证明见解析【解析】【分析】(1)即解不等式2101−−+xxxx,分0x=、0x、0x且1x−讨论,解不等式可得答案;(2)转化为2111x
axx−=−+在)1,x+上恒成立,求得1x−的最大值可得答案;(3)由()()fxgx=得()()()32121101xaxaxamx+++−+−−=−,化简方程得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−
=,令21=+txx,结合一元二次不等式求解可得答案【小问1详解】当0a=,1m=−时,即解不等式2111−++xx,可得2101−−+xxxx,当0x=时,00成立,当0x时,得2101−−+xxx,即解210−−xx,解得1502−+x;当0x且1x−时,得2101−
−+xxx,解得1512−−−x,综上所述,不等式的解集为15150,,122−+−−−;【小问2详解】当0m=时,可得()1fx=,()()21gxxax=++,对任意)1,x+,关于x的不等式
()()fxgx恒成立,即()211xax++在)1,x+上恒成立,.即2111xaxx−=−+在)1,x+上恒成立,即当)1,x+时,1x−的最大值为0,所以0a,所以实数m的取值范围)0,+;【小问3详解】由()()fxgx=,可得(
)2111mxaxx+=+++,可得()()()32121101xaxaxamx+++−+−−=−,因为点()111,Pxy,()222,Pxy均为函数𝑦=𝑓(𝑥)与函数𝑦=𝑔(𝑥)图象的公共点,可得()()3211112110xaxaxam+++−
+−−=,()()3222212110xaxaxam+++−+−−=,两式相减得()()()()33222121211210xxaxxaxx−++−+−−=,因为12xx,所以()()222211211210xxxxaxxa++++
++−=,可得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−=,令21=+txx,则()221214ttata+++−,整理得()2312104tata+++−,解得()21223at−−,所以()2121223axx−−+.【点
睛】关键点点睛:第三问解题的关键点是化简方程得()()()()22212121211214xxxxaxxaxx++++++−=,令21=+txx,结合一元二次不等式求解可得答案.19.已知集合A为非空数集.定义:|,,,{|,,}SxxababATx
xababA==+==−(1)若集合{1,3}A=,直接写出集合S,T;(2)若集合12341234,,,,,Axxxxxxxx=且TA=.求证:423xx=;(3)若集合|02024,N,AxxxST=,记A为集合A中元素的个数,求A的最大值.【答案】(
1){2,4,6}S=,{0,2}T=(2)证明见解析(3)1350.【解析】【分析】(1)根据新定义直接求出,ST;(2)首先根据定义得出213141,,}{0,Txxxxxx=−−−234{0,,,}xxx=,然后由324240xxxxx−−,得出结论,再验证43xx−也是T
中元素即得;(3)设12,,kAaaa=满足题意,其中12kaaa,利用最大的ka和最小的1a构造也S中至少含有的元素,以及T中至多含有的元素,得21,SkTk−,然后由利用ST=,得31STSTk=+−,再由ST中最小的元素0与最大的元素2ka得到1350k,然后构造一
个集合{,1,2,,2024}Ammm=++,由ST=得出m的范围,求得ST中元素个数可以为1350,从而得出结论.【小问1详解】由已知{1,3}A=,则{2,4,6}S=,{0,2}T=;【小问2详解】由于集合12341234,,,,,Axxxxxxxx=且TA
=,所以T中也只包含四个元素,因为2131410xxxxxx−−−,即213141,,}{0,Txxxxxx=−−−且10x=,即234{0,,,}Txxx=,又3242410xxxxxx−−−,所以322423,xxxxxx−=−=,
从而3242322,3xxxxxx==+=,此时243xxx−=满足题意,所以423xx=;【小问3详解】设12,,kAaaa=满足题意,其中12kaaa,1121312312kkkkkaaaaaaaaaaaaa−+++++
+2ka,112131121,,kSkaaaaaaaaTk−−−−−,∵ST=,∴31STSTk=+−,又ST中最小的元素为0,最大的元素为2ka,则()*21,31214049N,1350kkSTakakk+−+
设{,1,2,,2024}Ammm=++,Nm,则{2,21,22,,4048},{0,1,2,,2024}SmmmTm=++=−,因为ST=,可得20242mm−,即26743m,故m的最小值为6
75,于是当675m=时,A中元素最多,即675,676,6},{77,2024A=时满足题意,综上所述,集合A中元素的个数的最大值是1350.【点睛】方法点睛:本题考查集合的新定义,解题关键是对新定义的理
解,第(3)小题较难,解题方法首先是对集合A中元素进行排序,即设12,,kAaaa=满足题意,其中12kaaa,利用集合中的最大元素和最小元素确定S的最小值,T的最小值,确定k的范围,然后构造出一个集合,使得ST能取得范
围内的最大值.