【文档说明】广东省广州市执信中学2023-2024学年高三上学期开学考试（8月） 数学 含解析.docx，共(24)页，1.549 MB，由小赞的店铺上传

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2024届高三开学测试数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.2、选择题每小题选出答案后，用2B铅

笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案

；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.第一部分选择题（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.1.已知集合2{lg,0100},450AyyxxBxxx===−++∣∣，则AB=（）A.()0,2B.()1,2-C.()1,2D.()1,5−【答案】B【解析】【分析】先求出集合,AB，再由交集的定义可求出答案.【详解】因为lg,0100yxx=，所以lg1

002y=，所以{2,Ayy=∣245015Bxxxxx=−++=−∣，所以AB=()1,2-.故选：B.2.已知aR，i为虚数单位，若3aii−+为实数，则a＝（）A.-3B.13C.3D.13−【答案】A【解析】【

分析】先进行分母实数化，化简3aii−+，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.【详解】因为()(3)31(3)31(3)3(3)(3)101010aiaiiaaiaaiiii−−−−−+−+===−++−为实

数，则(3)010a+−=，即30a+=，所以3a=−.故选：A.3已知正项等比数列na，若355664,28aaaa=+=，则2a=（）A.16B.32C.48D.64【答案】B【解析】【分析】根据等比中项，先求出4a，然后根据5628a

a+=求出公比，最后求2a【详解】根据等比中项，235464aaa==，又na是正项数列，故48a=（负值舍去）设等比数列na的公比为q，由5628aa+=，即24428aqaq+=，解得12q=（正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），故42232aaq==故选：B4.已知

向量a，b满足7ab+=，且3a=，4b=，则ab−=rr（）A.5B.3C.2D.1【答案】D【解析】【分析】根据向量的模长的计算即可求解.【详解】22224924991624abababab+=++==−−=rrrrrrrr，所以22

22916241,1abababab−=+−=+−=−=rrrrrrrr，故选：D5.甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为12，已.知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（）A.116B.18C.316D.14【答案】C【解析】

【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局且第七局胜，甲才能最后获胜，所以甲最后获胜的概率为344161111C1222123

+−=.故选：C6.函数(sinsin2)yxxx=−的部分图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.【详解】由

()(sinsin2)yfxxxx==−，得()()()()()sinsin2sinsin2fxxxxxxxfx−=−−−−=−−+=，所以()fx为偶函数，故排除BD.当π2x=时，ππππ(sinsinπ)0

2222yf==−=，排除A故选：C.7.已知ln22a=，ln3eb=，22ec=，则（参考数据：ln20.7）（）.A.abcB.bacC.bcaD.cab【答案】B【解析】【分析】由ln22ln2ln4244a===，22lneec=

考虑构造函数()lnxfxx=，利用导数研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可.【详解】因为ln22ln2ln4244a===，22lneec=，考虑构造函数()lnxfxx=，则()21lnxfxx−=，当0ex时，(

)0fx¢>，函数()fx在()0,e上单调递增，当ex时，()0fx，函数()fx在()e,+上单调递减，因为ln20.7，所以0.7e2，即()220.7e>e4，所以23<4<e，所以22ln3ln4lne34e，即22ln3ln2lne32e，又ln3ln33e

，所以22ln3ln2lnee2e，故bac，故选：B.【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的单调性比较大小.8.已知双曲线22:142xy−=的左右焦点分别为12,FF，过1F的直线分别交双曲线的左右两支于,AB两点，且22FA

BFBA=，则2BF=（）A.54+B.254+C.25D.5【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出2BF即可.【详解】由双曲线22:142xy−=得出2,2,6abc===.因

为22FABFBA=，所以22FAFB=.作2FCAB⊥于C，则C是AB的中点.设22FAFBx==，则由双曲线的定义211222,FAFAaFBFBa−=−=，可得114,4,8FAxFBxAB

=−=+=.故2124cosCBBFxFBF==，又由余弦定理得()()()()222221cos42644244FBFxxxxxxxx++−+−==++，所以()24444xxxxx+−=+，解得25x=.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出

的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.有一组样本数据126,,,xxx，其中1x是最小值，6x是最大值，则（）A.2345,,,xxxx的平均数等于126,,,xxx的平均数B.2345,,,xxxx的中位数等于126,

,,xxx的中位数C.2345,,,xxxx的标准差不小于126,,,xxx的标准差D.2345,,,xxxx的极差不大于126,,,xxx的极差【答案】BD【解析】【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分

析判断.【详解】对于选项A：设2345,,,xxxx的平均数为m，126,,,xxx的平均数为n，则()()165234123456234526412xxxxxxxxxxxxxxxxnm+−+++++++++++−=−=，因为没有确定()1652342,xxxxx

x++++的大小关系，所以无法判断,mn的大小，例如：1,2,3,4,5,6，可得3.5mn==；例如1,1,1,1,1,7，可得1,2mn==；例如1,2,2,2,2,2，可得112,6mn==；故A错误；对于选项B：不妨设123456xxxxxx，可知2345,,,xxxx的中位

数等于126,,,xxx的中位数均为342xx+，故B正确；对于选项C：因为1x是最小值，6x是最大值，则2345,,,xxxx的波动性不大于126,,,xxx的波动性，即2345,,,xxxx的标准差不大于126,,,xxx的标准差，例

如：2,4,6,8,10,12，则平均数()12468101276n=+++++=，标准差()()()()()()222222111052747678710712763s=−+−+−+−+−+−=，4,6,8,10，则平均数()14681074m=+++=，标准差()()()

()22222147678710754s=−+−+−+−=，显然10553，即12ss；故C错误；对于选项D：不妨设123456xxxxxx，则6152xxxx−−，当且仅当1256,xxxx==时，等号成立，故D正确；故选：BD.10.已知,,abc是两两异

面的三条直线，ab⊥rr，ca⊥，直线d满足da⊥，db⊥，adP=，bdQ=，则c与d的位置关系可以是（）A.相交B.异面C.平行D.垂直【答案】BC【解析】【分析】作出正方体模型，确定AB，11BC，1BB所在直线分别

为,,abd，符合题意，然后考虑直线c的位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.【详解】如图，在正方体1111ABCDABCD−中，E是1AA上一点（异于1A），AB，11BC，1BB所在直线分别为,,abd．当1D

D所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d平行，C正确；当1DEf所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d异面，B正确；若c与d相交，则a垂直于,cd确定的平面，又a垂直于,bd确定的平面，则,,bcd在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；若c与d垂直，则c垂直于

a,d确定的平面，而b垂直于a,d确定的平面，推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，故选：BC．11.如图是函数()()sinfxAx=+（0A，0，π2）的部分图像，则（）A.()fx的最小正周期为π

B.5π6x=是的函数()yfx=的一条对称轴C.将函数()yfx=的图像向右平移π3个单位后，得到的函数为奇函数D.若函数()yftx=（0t）在0,π上有且仅有两个零点，则54,63t【答案】AD【解析】【

分析】先根据图像可得2,πAT==，即可判断A；令ππ2π(Z)32xkk+=+解出x即可判断B，接下来求得,，即可得到()fx的解析式，根据图象平移判断C；令π()2sin(2)03ftxtx=+=，解出函数零点，然后根据在0,π上有且仅有

两个零点列出不等式解t即可判断D.【详解】由图像可知，2A=，πππ=43124T−=，即πT=，故A正确；2π2T==，此时()2sin(2)fxx=+，又π(,2)12在图像上，π22sin(2)12=+，解得π2π(Z)3kk=+，ππ()2sin(22π)2sin(

2)33fxxkx=++=+，π()2sin(2)3fxx=+，ππ2π(Z)32xkk+=+，ππ(Z)122kxk=+，当5π6x=是函数()yfx=的一条对称轴时，此时32k=不符合题意，故B错误；将()fx的图象向右平移π3个单位后得到的图象对应的解析式为：πππ()2sin[2

()]2sin(2)333gxxx=−+=−不为奇函数，故C错误；令π()2sin(2)03ftxtx=+=，解得ππ(Z)62kxktt=−+，当0k=时，π06xt=−，不合题意1k=时，π3xt=；2k=时，

5π6xt=；3k=时，4π3xt=；又因为函数()(0)yftxt=在0,π上有且仅有两个零点5ππ64ππ3tt，解得5463t，故D正确.故选：AD.12.我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一个“羡

除”模型，该“羡除”是以,,,,,ABCDEF为顶点的五面体，四边形ABCD为正方形，EF平面,24,23ABCDABEFAEDEBFCF======，则（）A.该几何体的表面积为8261116++B

.该几何体的体积为2073C.该几何体的外接球的表面积为40πD.AE与平面FBC所成角的正弦值为4212【答案】ABD【解析】【分析】过E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，过F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，将该几何体分为

一个棱柱与两个棱锥，取AD，BC的中点P，Q，则EP⊥AD，FQ⊥BC，然后求出表面积可判断A；连接PQ，交GH于T，则T为GH的中点，可证得FT⊥面ABCD，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该几何体的体积，从而判断B；连接AC，BD交于点O，可求得O为该几何体的外接球的球心，半径

R＝22，求出表面积即可判断C；取AB的中点N，得AE∥FN，则AE与平面FBC所成角等于FN与平面FBC所成角，设N到面FBC的距离为h，利用等体积法，由NFBCFNBCVV−−=求得h，进而可得AE与平面FBC所成角的正弦

值，可判断D．【详解】∵EF∥平面ABCD，EF在平面ABFE内，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴EF∥AB，∵AB∥DC，∴EF∥DC，∵24,23ABEFAEDEBFCF======∴ABFE，DCFE均为等腰梯形，过E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，连接KM，过F作FG⊥AB于G，作

FH⊥DC于H，连接GH，∴EF∥KG∥MH，EF＝KG＝MH＝2，AK＝GB＝DM＝HC＝1，∵AB∥DC，FH⊥DC，∴AB⊥FH，又AB⊥GF，GF，FH在平面FGH内，GF∩FH＝F，∴AB⊥面FGH，同理，AB

⊥面EKM，∴面FGH∥面EKM，∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.分别取AD，BC的中点P，Q，连接FQ，EP，∵23AEDEBFCF====，∴EP⊥AD，FQ⊥BC，∴FQ＝()222223111FBBG−=−=，∴1422422EADFBCSS===△△，FG＝

()222223222FBBQ−=−=，()124113112DCFEABFESS==+=，又4416ABCDS==，∴该几何体的表面积为8261116EADFBCDCFEABFEABCDSSSSS+++++=+△△，故A正确；连接PQ，交GH于T，则T为GH的中点，连接FT，∵AB⊥面

FGH，FT在面FGH内，∴FT⊥AB，∵GF＝FH＝EK＝EM，∴FT⊥GH，又AB，GH在面ABCD内，AB∩GH＝G，∴FT⊥面ABCD，∴FT＝()22222217FQQT−=−=，∴14741733EAKMDFGBCHVV−−===，∵11472722FGHSGHFT

===△，∴27247FGHEKMFGHVSGK−===△，∴该几何体的体积为2073EAKMDFGBCHFGHEKMVVV−−−++=，故B正确；连接AC，BD交于点O，则O也在PQ上，连接OE，OF，∵EF∥OQ，EF＝OQ，

∴EFQO为平行四边形，∴EO＝FQ＝22，同理，FO＝EP＝22，∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝22，∴O为该几何体的外接球的球心，半径R＝22，∴该几何体的外接球的表面积为24π32πR=，故C错误；取AB中点N，连接FN，NC，的∵EF∥AN，EF＝AN，∴EFN

A为平行四边形，∴AE∥FN，∴AE与平面FBC所成角等于FN与平面FBC所成角，设为，设N到面FBC的距离为h，∵NFBCFNBCVV−−=，∴1133FBCNBCShSFT=△△，∴11142247332h=，∴142h=，∴14422sin1223hFN===，即AE

与平面FBC所成角的正弦值为4212，故D正确．故选：ABD．第二部分非选择题（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足3()=(2)fxxxf−，则函数()fx在点（2，(2)f）处的切线

方程为________________．【答案】6160xy−−=【解析】【详解】试题分析：对函数3()=(2)fxxxf−，求导可得()()232fxxf−=，得()()22322ff=−，因而切线的斜率(2)6kf==而()()32222812

4ff=−=−=−，由点斜式可得切线方程为46(2)yx+=−即6160xy−−=14.已知数列na各项均为正数，若11a=，且()1lnln1Nnnaan+=+，则na的通项公式为______．【答案】1enna−=#

#eenna=【解析】【分析】推导出数列na为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列na的通项公式.【详解】由已知可得11lnlnln1nnnnaaaa++−==，所以，1ennaa+=，所以，数列na是等比数列，且该数列的首项为1，公比为e，因此，11

1eennna−−==.故答案为：1enna−=.15.已知二项式51axy−+的展开式中含3xy的项的系数为40−，则=a________．【答案】2【解析】【分析】51axy−+表示有5个51axy−+因式相乘，根据3xy的

来源分析即可求出答案.【详解】51axy−+表示有5个51axy−+因式相乘，3xy来源如下：有1个51axy−+提供ay，有3个51axy−+提供x，有1个51axy−+提供常数，此时3xy系数是()3

1354CC140a−=−，即2040a−=−，解得：2a=故答案为：2.16.设()fx为定义在整数集上的函数，()11f=，()20f=，()10f−，对任意的整数,xy均有()()()()()11fxyfxfyfxfy+=−+−．则()55f=

______．【答案】1−【解析】【分析】采用赋值的方式可求得()()0,1ff−，令1y=和yx=−可证得()fx的对称轴和奇偶性，由此可推导得到()fx的周期性，利用周期性可求得函数值.【详解】令1xy==，则()()()()()()21001200ffffff=+==

，()00f=；令2x=，1y=−，则()()()()22212111ffff=+−=−=，又()10f−，()11f−=−；令1y=，则()()()()()()10111fxfxffxffx+=+−=−

，()fx\关于直线1x=对称；令yx=−，则()()()()()()()()01110ffxfxfxfxfxfxfx=++−−=+−+=，()10fx+=不恒成立，()()0fxfx+−=恒成立，()fx\奇函数，()()()2fxfxfx

+=−=−，()()()42fxfxfx+=−+=，()fx\是周期为4的周期函数，()()()55414111fff=−=−=−.故答案为：1−.【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到

函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性和奇偶性推导得到函数的周期.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在ABC中，角A的平分线交线段BC于点D．（

1）证明ABBDACDC=；（2）若6AB=，8AC=，7BC=，求AD．【答案】（1）证明见解析；（2）6AD=．【解析】【分析】（1）由题得ACDABDSACSAB=，再代入面积公式即得证；（2）由题得3BD=，4CD=，求出

1cos4B=，再利用余弦定理得解.【详解】（1）证明：依题意AD为A的平分线，设1,2,CADBAD==∴12=∵1sin12ACDSACAD=1sin22ABDSABAD=为

故ACDABDSACSAB=，设A点到BC的距离为h，则可知1212ACDABDCDhSCDSBDBDh==∴可知ACCDABBD=（2）由8463ACCDABBD===，又7BDDCBC+==∴可知3BD=，4CD=在ABC中，2226

781cos2674B+−==∴在ABD△中，2222cos36ADABBDABBDB=+−=即6AD=.【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，主要从这几个考点出发.18.中国共产党第二十

次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这两类试题中共

抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A类试题中有7道题会作答，而他答对各道B类试题的概率均为25.（1）若小明同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；（2）若小明只作答A类试题，设X表示小

明答这3道试题的总得分，求X的分布列和期望.【答案】（1）99250（2）分布列见解析，期望21【解析】【分析】（1）分A类试题答对和B类试题答对两种类型计算概率；（2）列出X所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变

量的分布列及数学期望.【小问1详解】小明仅答对1题的概率2127332399C1051055250P=+=.【小问2详解】X可能的取值为0，10，20，30，33310C1(0)C120PX===，1273310CC7(10)C4

0PX===，2173310CC21(20)C40PX===，37310C7(30)C24PX===，所以X的分布列为X0102030P11207402140724所以17217()010203021120404024EX=+++=.19.已知数列na的首项135a=，且满足132

1nnnaaa+=+．（1）求证：数列11na−为等比数列；（2）设数列nb满足13,,2,,2nnnabnnnnn−=+++为偶数时为奇数时求最小的实数m，使得122kbbbm+++对一切正整数k均成立．【答案】（1）证明见

解析（2）94【解析】【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解122kbbb+++，由不等式的性质即可求解.【小问1详解】由已知得，112133nnaa+=+，所以

1111113nnaa+−=−．因为112103a−=，所以数列11na−是首项为23，公比为13的等比数列．【小问2详解】证明：（2）由（1），当n为偶数时，12323nnnba=−=−，当n为奇数时，222222

nnnbnnnn+=+=+−++，故()()1221321242kkkbbbbbbbbb−+++=+++++++24222222222222222213352121333kkk=+

−++−+++−+−+−++−−+242222222221333kkkk=+−++++−+222211233212113kk−=−++−292142143kk=−−+，由29219421434k

k−−+所以m的最小值为94．20.如图，PO是三棱锥−PABC的高，PAPB=，ABAC⊥，E是PB的中点．（1）证明：//OE平面PAC；（2）若30ABOCBO==，3PO=，5PA=，求二面角CAEB−−的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）1113【解析】

【分析】（1）连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，根据三角形全等得到OAOB=，再根据直角三角形的性质得到AODO=，即可得到O为BD的中点从而得到//OEPD，即可得证；（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得

.【小问1详解】证明：连接BO并延长交AC于点D，连接OA、PD，因为PO是三棱锥−PABC的高，所以PO⊥平面ABC，,AOBO平面ABC，所以POAO⊥、POBO⊥，又PAPB=，所以POAPOB△△，即OAOB=，所以OABOBA=，又ABAC⊥，即90BA

C=，所以90OABOAD+=，90OBAODA+=，所以ODAOAD=所以AODO=，即AODOOB==，所以O为BD的中点，又E为PB的中点，所以//OEPD，又OE平面PAC，PD平面PAC，所以//OE平面PAC【小问2详解】解：过

点A作//AzOP，如图建立空间直角坐标系，因为3PO=，5AP=，所以224OAAPPO=−=，又30OBAOBC==，所以28BDOA==，则4=AD，43AB=，所以12AC=，所以()23,2,0O，()43,0,0B，()23,2,3P，()0,12,0C

，所以333,1,2E，则333,1,2AE=，()43,0,0AB=，()0,12,0AC=，设平面AEB的法向量为(),,nxyz=，则33302430nAExyznABx=++===，令2z=，则=3y−

，0x=，所以()0,3,2n=−；设平面AEC的法向量为(),,mabc=，则33302120mAEabcmACb=++===，令3a=，则6c=−，0b=，所以()3,0,6m=−；所以1243cos,131339nmnmnm−===−.设二面角CA

EB−−的大小为，则43coscos,=13nm=，所以211sin1cos13=−=，即二面角CAEB−−的正弦值为1113.21.设1F，2F分别为椭圆()2222:10xyCabab+=的左、右焦

点，P是椭圆C的短轴的一个端点，已知12PFF△的面积为2，121cos3FPF=−．（Ⅰ）求椭圆C标准方程；（Ⅱ）是否存在与2PF平行的直线l，满足直线l与椭圆C交于两点M，N，且以线段MN为直径的圆经的过坐标原点？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．【答案】

（Ⅰ）2213xy+=；（Ⅱ）存在满足条件的直线l，方程为23224yx=+或23224yx=−．【解析】【分析】（Ⅰ）由12PFF△的面积得2cb=，又根据121cos3FPF=−得33ba=，结合,,a

bc关系即可求得椭圆C的标准方程；公众号：全元高考（Ⅱ）可设直线l的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段MN为直径的圆经过坐标原点O，则0OMON=，代入坐标化简求取m值，即可求得直线方程．【详解】解：（Ⅰ）设122FFc=，则12PFF△的面积等于121

2FFOPcb=，所以2cb=．①由2121cos2cos3OPFFPF==−，即2212cos13OPF−=−，得23cos3OPF=．因为在直角2OPF中，OPb=，2OFc=，222222PFOPOFbca=+=+=，所以2cosbOPFa=，

所以33ba=．②由①②及222abc=+，得3a=，1b=，2c=，所以椭圆C的标准方程为2213xy+=．（Ⅱ）因为直线2PF的斜率为22−，所以可设直线l的方程为22yxm=+，代入2213xy+=，整理得2252106xmxm−+−=．由

()()22524106mm=−−，得252m．设112,2Mxxm−+，222,2Nxxm−+，则12625mxx+=，()212615mxx−=．若以线段MN为直径的圆经过坐标原点O

，则0OMON=，即121222022xxxmxm+−+−+=，得()2121232022xxmxxm−++=，所以()2261326202525mmmm−−+=，得298m=．因为9582

，所以324m=．公众号：全元高考所以存在满足条件的直线l，方程为23224yx=+或23224yx=−．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与

椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．22.已知函数()ln1fxaxax=−+，Ra.（1）若经过点()0,0的直线与函数()fx的图像相切于点()()22f,，求实数a的值；（2）设()()2112gxfxx=+−，若()gx

有两个极值点为1x，()212xxx，且不等式()()()1212gxgxxx++恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）11ln2a=−（2）[2ln23,)−+【解析】【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将()gx有两个极

值点为1x，()212xxx，转化为方程20xaxa−+=在(0,)+上有两个不同的根，根据根的判别式求出a的取值范围，将不等式()()()1212gxgxxx++恒成立，转化为()()1212gxgxxx+

+恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.【小问1详解】公众号：全元高考()fx的定义域为(0,)+，由()ln1fxaxax=−+，得()afxax=−，则()222aafa=

−=−，因为经过点()0,0的直线与函数()fx的图像相切于点()()22f,，所以(2)22fak==−，所以ln221aaa−+=−，解得11ln2a=−，【小问2详解】()()22111ln22gxfxxaxaxx=+−=−+，则()2(0)axaxagxaxxxx−+=−+

=，因为()gx有两个极值点为1x，()212xxx，所以()20xaxagxx−+==在(0,)+上有两个不同的根，此时方程20xaxa−+=在(0,)+上有两个不同的根，则240aa=−，且12120,0xxaxx

a+==，解得4a，若不等式()()()1212gxgxxx++恒成立，则()()1212gxgxxx++恒成立，因为221211122211()()(ln)(ln)22gxgxaxxxaxxx+=−++−+221212121ln()()()2a

xxaxxxx=−+++2121212121ln()()()22axxaxxxxxx=−+++−21ln2aaaa=−−不妨设()()212121ln12()ln1(4)2aaaagxgxhaaaaxx

a−−+===−−+，则112()22ahaaa−=−=，因为4a，所以()0ha，所以()ha在(4,)+上递减，所以()(4)2ln23hah=−，所以2ln23−，即实数的取值范围为[2ln23,)−+.【点

睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问题，解题的关键是将极值点问题转化为方程20xaxa−+=在(0,)+上有两个不同的根，求出a的范围，再将不等式()()()1

212gxgxxx++恒成立，则()()12121ln1(4)2gxgxaaaxx+=−−+恒成立，然后构造关于a的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.

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