【文档说明】湖北省重点高中智学联盟2024-2025学年高三上学期10月联考数学试卷 Word版含解析.docx，共(18)页，1006.255 KB，由管理员店铺上传

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湖北省重点高中智学联盟2024年秋季高三年级10月联考数学试题命题学校：新洲一中邾城校区命题人：卢有勇审题人：新洲一中阳逻校区林志刚一､单项选择题：（每小题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1

.已知集合()3390,lg3AxxxBxyx=+−==−N∣∣，则集合AB的子集个数为（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】先确定集合B中的元素，依次判断是否满足3390xx+−，即可确定AB，即可得解.【详解】根据题意，

()lg30,1,2Bxyx==−=N∣，可得0,1,2AAA，所以0,1AB=，所以集合AB的子集个数为224=.故选：B.2.若复数z满足1i34iz−=+，则z=（）A.55B.25C.25D.52【答案】C【解析】【分析】根据复数的除法、复数的共轭及复

数的模公式即可求解.【详解】由题意得1i(1i)(34i)34i3i417i34i(34i)(34i)91625z−−−−−−−−====++−+，17i2525z=−+，222175022525255z=−+==.故选：C.

3.在ABCV中，G为ABCV重心，设,BAaBCb==，则CG=（）的A.1233ab−B.2133ab−+C.1233ab−+D.2133ab−【答案】A【解析】【分析】根据重心得出2CGGF=，进而得出()13CGCBCA=+，再结合已知条件转化为用,ab表示即可.【详解】设F分别是

AB的中点，由于G是三角形ABC的重心，所以2CGGF=，则()2213323CBCACGCFCBCA+===+.因为,BAaBCb==，所以bCBCaABA=−=−,CBb=−,所以()1122333CGabab=−=−.故选：A.4.已知集合()()

210,21102xAxBxxaxaax−==−++++∣，若“xA”是“xB”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A.3a−或1aB.3a−或1aC.3a−或1aD.3a−或1a

【答案】C【解析】【分析】由题意确定BA,列出不等式即可求解.【详解】1012xAxxxx−==+或2}x−()()221101Bxxaxaaxaxa=−+++=+∣∣因为“xA”是“xB”的必要不充分条件，所以BA，

所以12a+−或1a.解得:3a−或1a.故选:C5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到2079mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg

及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了0.4mg/mL.如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时20%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？（）（结果取整数，参考数据：lg20.3010）A.

5B.4C.3D.2【答案】B【解析】【分析】设至少经过t个小时才能驾驶，则40(10.2)20t−，所以1lg2lg0.8t，再结合对数的运算性质求解．【详解】设至少经过t个小时才能驾驶，则40(10.2)20t−，即10.82t，所以1lg0.8lg2t，所

以1lglg2lg2lg20.301023.1lg0.8lg4lg5lg52lg213lg210.9030t−===−−−−，即至少经过4个小时才能驾驶．故选：B．6.已知实数(),1,0ab−，且满足cosπcosπab，则下列一定正确的是（）

A.sinsinabB.3355ab−−C.sinsinaabb−−D.4433ab【答案】D【解析】【分析】由已知条件结合余弦函数单调性可得10ba−，通过对应函数的单调性，判断选项中的大小关系是

否正确.【详解】(),1,0ab−时，()π,ππ,0ab−，余弦函数在()π,0−上单调递增，由cosπcosπab，得ππab，则有10ba−.正弦函数在()1,0−上单调递增，则有sinsinba，A选项错误；幂函数35yx−=在()1,0

−上单调递减，则有3355ba−−，B选项错误；设函数()sinfxxx=−，由()cos10fxx=−，()fx在()1,0−上单调递减，10ba−，则有()()fbfa，即sinsinbbaa−−，C选项错误；幂函数4

3yx=是偶函数，在()1,0−上单调递减，4433ba，D选项正确.故选：D.7.已知函数()fx的定义域为R，若()1fx+为偶函数，()2fx+为奇函数，则下列一定正确的是（）A.()20221f=B.()

()2fxfx=+C.()3fx+为奇函数D.()2024fx+为奇函数【答案】D【解析】【分析】根据函数的奇偶性、周期性、对称性得出函数值判断A,根据对称性分别判断B,C,D.【详解】函数()1yfx=+是偶函数，()()11fxfx+=−，所以()fx的图象关于直线

1x=对称，且因为()()2,fxfx=−由于函数()2yfx=+是奇函数，所以()fx的图象关于()2,0对称，则()()220fxfx−++=，令𝑥=0，可得()()220ff+=，即()20f=，由()()2,fxfx=−可得()()2fxfx=−+，因为()fx不一定恒为0，所以()(

)2fxfx=+不一定成立，故B选项错误；可得𝑓(𝑥+4)=−𝑓(𝑥+2)=𝑓(𝑥)，所以()fx是周期为4的周期函数.所以()()()20224505220fff=+==，故A选项错误；因为()()11fxfx+=−，则()()2fxfx+=−，且

()()2fxfx=−+，即得()()fxfx−=−，所以()fx为奇函数，即()()2024fxfx+=为奇函数，D选项正确；因为()()2fxfx=−+，所以()()31fxfx+=−+，又因为()1fx+为偶函数，()fx不一定恒为0，所以()3fx+不一定为奇函数，所以C选项

错误.故选：D【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把()1fx+为偶函数，()2fx+为奇函数转化为对称关系得出函数周期及对称轴对称中心解题.8.在ABCV中，记角,,ABC的对边分别为,,abc，若222cabab=++，点D在边AB上，CD平分ACB，且12CD=，

则49ab+的最小值为（）A.252B.25C.254D.24【答案】A【解析】【分析】由余弦定理可得角C的大小，由SABCACDBCDSS=+可得112ab+=，结合基本不等式“1”的巧用，即可得49ab+的最小值.【详解】由

()22212πcos,0,π23cababCCC=++=−=，又SABCACDBCDSS=+，12π1π1π11sinsinsin2,2232323abbCDbCDababab=+=++=，0,0ab，()1111941942

54949131322222babaababababab+=++=+++=，当且仅当9423babaab==取等号；又112ab+=，即当且仅当55,46ab==取到最小值252.故选：A.二､多项选择题：每小题6

分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知向量()()3,,0,1amb==，则下列说法正确的是（）A.若2=a，则1ab=B.不存在实数m，使得a∥bC.若向量()4aab⊥−，则1m=或3m=D.若

向量a在b向量上的投影向量为b−，则,ab的夹角为2π3【答案】BCD【解析】【分析】运用平面向量的性质定理，即可求解.【详解】A选项：()222332amm=+=+=，所以1m=，所以·1ab=，故A错误；B选项：若得

a∥b，则130=，显然不成立，故B正确；C选项：因为()43,4abm−=−,若向量()4aab⊥−，则()()·43401aabmmm−=+−==或3m=，故C正确；D选项：设,ab的夹角为()0,π，则向量a

在b向量上的投影向量为··,abbmbbbb==−所以1m=−，又因为向量a在b向量上的投影向量为2····cos3?cos?2cos?abbbambbbbbb==+==−，所以1cos2=−则,ab的夹角为2π3，故D正

确.故选：BCD.10.已知函数()π3πsincos22fxxx=+−+，则下列说法正确的是（）A.()fx的图像可由2sinyx=的图像向左平移π4个单位得到B.()fx图像关

于点π,04对称C.()fx在0,π上值域为1,1−D.若()π,0,5cos22f−=，则2cos275=【答案】BD【解析】【分析】根据三角恒等变换，化简函数()fx，根据三角函数的图象性质判断A，B，C选项；利用同角三角函数关系与二倍角公式转

化即可求cos2的值，从而判断D选项.【详解】()π3ππsincoscossin2cos224fxxxxxx=+−+=−=+，对于A，将2sinyx=的图像向左平移π4个单位可得函数()π2sinsinco

s4yxxxfx=+=+图象，故A不正确；对于B，ππ22cos04f==，所以()fx图像关于点π,04对称，故B正确；对于C，当0,πx时，ππ5π,444x+，则π2cos1,42x+−

，所以()2,1fx−，故C不正确；对于D，()cossin5cos2f=−=()()()225cossin5cossincossin=−=−+，因为π,02−，所以cossin0−，则()5

cossin1+=，故1cossin5+=，平方得221cossin2cossin25++=，则242sincos25=−，所以()2222449cossincossin2cossin12

525−=+−=+=，则7cossin5−=，所以()()22177cos2cossincossincossin5525=−=+−==，故D正确.故选：BD.11.已知函数

()ln,()elnxfxxxgxaxa=−=−+，则下列说法正确的是（）A.()fx有极大值1−B.()0gx对于xR恒成立，则实数a的取值范围是12[e,)−+C.当1a=时，过原点与曲线()()1ygxfx=−−相切的直线有2条D.若关于x的方程()()fxgx=有两

个不等实根，则实数a的取值范围是1(0,)e【答案】ABD的为【解析】【分析】求出极大值判断A；探讨最小值并建立不等式求出a的范围判断B；求出过原点的曲线切线方程，再确定方程解的个数判断C；变形给定等式并构造函数，探讨函数性质

求出a的范围判断D.【详解】对于A，()ln,0fxxxx=−，求导得11()1xfxxx−=−=，当(0,1)x时，()0fx，当(1,)x+时，()0fx，函数()fx在1x=处取得极大值为(1)1f=−，A正确；对于B，()e1=−xgxa

，当10lnxa时，()0gx，当1lnxa时，()0gx，函数()gx在1(0,ln)a递减，在1(ln,)a+上递增，1()(ln)12lngxgaa=+，由()0gx对于xR恒成立，得12ln0a+，解得12e−a，B正确；对于C，()()1e1lnxygxf

xx=−−=−−，函数定义域为(0,)+，求导得1exyx=−，设切点坐标为00(,)xy，则在0xx=处，e1lnxyx=−−的切线方程为000001(e1ln)()e)(xxyxxxx−−−=−−，则000001(e1l

n)(e)xxxxx−−−=−−，化简得000ln(1)exxx=−，当001x时，000ln0(1)exxx−，此方程无解；当01x时，000ln0(1)exxx−，此方程无解；当01x=时，000l

n0(1)exxx==−，满足要求，因此方程000ln(1)exxx=−只有01x=这1个解，即过原点有且仅有一条直线与()yfx=相切，C错误；对于D，由关于x的方程()()fxgx=有两个实根，得lnelnxxaa=+有两个不等实根，整理得l

nlnelnxaxa+=+，则lnlne(ln)xaxxxa++=++，即lnlnlnee(ln)xxaxxa++=++，令函数()exhxx=+，则lnlnlnee(ln)xxaxxa++=++即为(

ln)(ln)hxhxa=+，函数()hx在R上单调递增，则lnlnxxa=+，即lnlnaxx=−，由A选项知()ln,(0,)fxxxx=−+，函数()fx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，max()(1)1fxf==−，当01x

时，函数lnyx=取值集合为(,0)−，而10x−，因此()fx在(0,1)的取值集合为(,1)−−；当2x时，令1()ln2xxx=−，11()02xx=−，函数()x在(2,)+上单调递减

，()(2)ln210x=−，则1ln2xx，当2x时，11()ln22fxxxxxx=−−=−，显然函数12yx=−在(2,)+取值集合为(,1)−−，因此函数()fx在(1,)+的取值集合为(,1)−−，则lnlnaxx=−有两个根，必

有ln1a−，解得10ea，所以a的取值范围为1(0,)e，D正确.故选：ABD【点睛】思路点睛：解决过某点的函数f(x)的切线问题，先设出切点坐标00(,)xy，求导并求出切线方程000()()yyfxxx−=−，然后将给定点代入切线方程转化为方程根的问题求解.

三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()sin2gxx=，若()()2lg1fxgxax=+−为偶函数，则实数a=__________.【答案】1【解析】【分析】由题可设函数()2lg1hxax=+−

为奇函数，由奇函数的定义结合对数运算即可得实数a的值.【详解】已知()sin2gxx=为R上的奇函数，若()()2lg1fxgxax=+−为偶函数，则函数()2lg1hxax=+−为奇函数，又()

2lg1hxax−=+−−，则()()2222lglglg01111hxhxaaaaxxxx+−=+++=++=−−−−−−，故22111aaxx++=−−−，整理得()222221aaxx

−−=−，所以()22211aa−==，解得1a=，则()21lg1lg11xhxxx+=+=−−，其定义域为()(),11,−−+符合定义域对称，则函数ℎ(𝑥)为奇函数，所以1a=.故答案为：1.13.已知ABCV的外心为O，内角,,ABC

的对边分别为,,abc，且::5:6:5abc=.若7BABC=，则BOBA=__________.【答案】252【解析】【分析】根据向量数量积的几何意义，即可求解.【详解】由题意，不妨设()5,60ackbkk===＞，所以2222222cos7722acbacbBAB

CBABCBackac+−+−=====，解得𝑘=1，则5c=，又因为O是ABCV的外心，过点O作ODAB⊥又因为OAOB=,所以12BDBA=则()2125·cos22BOBABOBAABOBABDBA====，故填：252.14.定义：如果集合A存在一组两两不交

（任意两个集合交集为空集时，称为不交）的非空真子集()12,,,,2mAAAmmN，且12mAAAA=，那么称无序子集组12,,,mAAA构成集合A的一个m划分.若使函数()()πsin4fxx=+N在π0,4有且仅

有一个零点的的取值集合为A，则集合A的所有划分的个数为__________.【答案】14【解析】【分析】通过零点个数确定，再结合新定义即可求解.【详解】函数()()πsin4fxx=+N在π0,4

有且仅有一个零点，则πππ2π3744+，,4,5,6,7,4,5,6,7A==N，集合A有4个元素，集合A的2划分个数为214422CC7A+=，集合A的3划分个数为24C6=，集合A的4划分个数为1，故集合

A的所有划分的个数为14.故答案为：14四､解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.对于任意两个非零向量,ab，定义新运算：2ababb=.（1）若向量()()1,5,3,4ab=−=，求()2abb−；（2）若两个单位向量,ab满足()()5323

abab+−=−，求ab+与b夹角的余弦值.【答案】（1）925（2）31010【解析】【分析】（1）由向量数量积的坐标运算，结合新定义求解即可.（2）利用新定义以及向量求夹角的公式求解.【小问1详解】()25,6ab−=−，()()()()225,63,4

152492252525abbabbb−−−+−====.【小问2详解】由()()()()()2325532332ababababab+−+−=−=−−，15543554ababab−=−=−，()2983101,()222555abb

abababab+=+=+=+=+=+=.()93105cos,1031015abbabbabb++===+，故ab+与b夹角的余弦值为31010.16.已知ABCV的三个内角,,ABC的对边分别为,,abc，且

π22sin6baAc++=.（1）求角C；（2）若1a=，点D满足2ADDB=，且73CD=，求ABCV的面积；【答案】（1）23（2）334【解析】【分析】（1）由正弦定理边化角及两角和的正弦公式可得：3sinc

os2CC=+，再由辅助角公式即可求解；（2）由题意得到：1233CDCACB=+，平方得到b，再由面积公式即可求解.【小问1详解】（1）π2πsin2sin2sin2sin66sinbaBAAAcC+++=+=

，()()3sincossinsin2sinAACACA+=++，3sinsincossinsincoscossin2sinACACACACA+=++，()3sinsinsincos2sin,0,π,sin0ACACAAA=+，πππ5π3sinc

os2sin1,,6666CCCC=+−=−−，ππ2π623CC−==【小问2详解】由()22233ADDBCDCAADCAABCACBCA==+=+=+−，1233CDCACB=+，221217|4|43333C

DCACBCACBCACB=+=++=，22214474272baabbb++−=+−=，()()22301303bbbbb−−=+−==11333sin132224SabC===17.已知函数()2lnfxxaxa=−+.（1）若1

x=是()fx的极值点，求实数a的值，并求()fx的单调区间；（2）若存在()1,x+，使得()0fx，求实数a的取值范围.【答案】（1）12a=，单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+（2）1,2−.【解析】【分析】（1）求导，通过1x=极值点，求a，进而确定单调区

间；（2）将()0fx转换成()21ln0,axx−−构造函数()()()21ln1,gxaxxx=−−，通过0a，12a，102a三类情况讨论单调性即可求解.【小问1详解】()12,1fxaxxx=−=是()fx的极值点，故()1112

02faa==−=，当12a=时，()()()()111120xxfxaxxxxxx−−+=−=−=，为()()()()00,1,01,fxxfxx+，可知1x=是()fx的极大值点，故12a=，()f

x的单调增区间为()0,1；单调减区间为()1,+【小问2详解】由()0fx得()()21ln0,1,axxx−−+，易知2ln0,10,xx−−当0a时，()21ln0,axx−−满足题意；当12a时，令()()()21ln1gxaxxx=−−，()2210,()axgxg

xx=−在(1,+∞)上单调递增，则()()10gxg=，不符合题意；当102a时，由()0,gx得1,2xa+，由()0,gx得11,2xa，于是有()gx

在11,2a递减，在1,2a+递增，()()min1102gxgga==，所以当102a，()1,x+，使得𝑔(𝑥)<0，也即()1,x+，使得()0fx，综上，a的取值范围时1,2−

18.已知函数()()()2log20,1afxxxaa=++在1,14−上的最大值为2，集合()1,0,2Ayyfxx==+∣.（1）求a的值，并用区间的形式表示集合A；（2）若()()2

21xxxxgxaamaa−−=+−++，对1xA，都20,1x，使得()12xgx=，求实数m的值.【答案】（1）2，2,4A=（2）12.【解析】【分析】（1）通过换元22txxx=++，先求得t的范围，在通过

01a，和1a讨论确定a，即可求解；（2）通过换元22xxt−=+，构造()21httmt=−−，通过22m和5222m的讨论即可求解.【小问1详解】212,14txxx=++−，则29,416t，当01a时，29162929

log,,4,maxlog2164aaytta====（舍）当1a时，429log,,4,maxlog2216aaytta====满足，故2a=.()()221log21,0,2,2,4yfxxxxy=+=+++

，故集合2,4A=【小问2详解】由集合()()()()2222,4,2222122221xxxxxxxxAgxmm−−−−==+−++=+−+−，设22xxt−=+，则当0,1x，即21,2x时，由对勾函数的性质可知52,2

t，故()()()22222211xxxxgxmtmt−−=+−+−=−−，设()21httmt=−−，则由题意得2,4A=为当52,2t时，()ht的值域的子集.当22m即4

m时，易知()ht在52,2上单调递增，故()232252154242hmhm=−=−，得1;2m=当5222m，即45m时，()ht在52,2上的最大值为()2h和52h中的较大值，若()23

24hm=−得12m−，若52154242hm=−得12m，而45m，故不合题意；当522m，即5m时，易知()ht在52,2上单调递减，故()232452152242hmhm=−=−，不等式组无解.综上所述：

实数m的值为12.19.（1）当0,πx时，求证：（i）sinxx；（ii）21e12xxx++（2）已知函数()esin1xfxmxxx=+−−.（i）当1m=时，求()yfx=在点()()0,0f处的切线方程；（ii）讨论函数

()yfx=在0,π上的零点个数.【答案】（1）（i）证明见解析；（ii）证明见解析；（2）（i）0y=；（ii）答案见解析【解析】【分析】（1）（i）作差之后构造函数，求导分析单调性可得；（ii）作差之

后构造函数，求导分析单调性可得；（2）（i）由导数的意义求出切线的斜率，再得到切线方程即可；（ii）当0m和1,02m−，求导后由（1）结果进行简单放缩即可，当1,2m−−时，属于隐零点问题，求导后构造函数再求导，结合单调性和零点存在定理分析即可

；【详解】证明：（1）（i）令()()sin0,πxxxx=−，则()1cos0xx=−，故()sinxxx=−在0,π上为增函数，故()()00x=，即sin0xx−，当且仅当0x=时取等号；故当0,πx时，sinxx成立.的（i

i）令()()21e10,π2xkxxxx=−−−，则当0,πx时，()e1,xkxx=−−，设()()gxkx=，则()e10xgx=−，令()00gxx==，当0x时，()0gx故()e1

xkxx=−−在0,π上为增函数，故当0,πx时，()()00kxk=，即：e10xx−−，当且仅当0x=时取等号；故()21e12xkxxx=−−−在0,π上为增函数，故()()00kxk

=，即2e1102xxx−−−，当且仅当0x=时取等号；故当0,πx时，21e12xxx++成立.（2）（i）当1m=时，()()()()esin1,00,esincos1,00xxfxxxxffxxxxf=+−−−=

=++=，故()yfx=在点()0,0处的切线方程为：0y=（ii）()esin1,0,πxfxmxxxx=+−−（A）当0m时，0,π,sin0xmxx，故()esin1e10xxfxmxxxx=+−−−−，当且仅当0x=时取等号，故()fx在区间

0,π上的零点个数只有1个；（B）当1,02m−时，0,π,sin0xxx，()211esin1esin1e1022xxxfxmxxxxxxxx=+−−−−−−−−，当且仅当0x=时取等号

，故()fx在区间0,π上的零点个数只有1个；（C）当1,2m−−时，()esin1,0,πxfxmxxxx=+−−，()e1sincos,xfxmxmxx=−++，令()()hxfx=，则()()

e2cossinxhxmxxx=+−，当π0,2x时，由复合函数的单调性可得()()e2cossinxhxmxxx=+−在π0,2上为增函数，故()()π2ππ0120,e022hxhmhm=+=−，当π,π2x时，()()e2c

ossin0xhxmxxx=−+，故0π0,2x，使得()00hx=，则()()()()000,,0;,π,0xxhxxxhx，故()fx在)00,x递减，在(0π,x递增，又()()π00,πe1π0ffm==−−

，故()()000fxf=，则()10,πxx，使得()10fx=，则()()()()110,,0;,π,0xxfxxxfx，故()fx在)10,x递减，在(1,πx递增，又()()()100,00ffxf==，又()ππeπ10f=−−，故(

)21,πxx，使得()20fx=，即此时()fx在区间0,π上有两个零点0x=和2xx=；综合有：当1,2m−+时，()fx在区间0,π上只有一个零点；当1,2m−−时，()fx在区间

0,π上有两个零点.【点睛】关键点点睛：本题第二问的第二小问关键在于对m分类讨论，当1,2m−−，需要两次求导，利用复合函数的单调性结合零点存在定理分析，属于隐零点问题.