【文档说明】湖南省长沙市麓山国际实验中学2020-2021学年高一下学期暑假中期线上检测数学答案.pdf，共(11)页，298.007 KB，由小赞的店铺上传

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2021年暑假高一在线检测数学卷参考答案一．选择题（共8小题）1．【解析】解：{|53}Axx，{|62}Bxx，{|52}ABxx．故选：C．2．【解析】解：①由l，//mlm或m，充分性不成立，②由l，//mml，

必要性成立，ml是//m的必要不充分条件．故选：B．3．【解析】解：32(32)(2)47472(2)(2)555iiiiziiii，所以4755zi，故选项A错误；z的虚部为75，故选项B错误；|32|13|||2|5izi，故选项C错误；z在平

面内对应的点为47(,)55，在第一象限，故选项D正确．故选：D．4．函数2()21fxmxx的定义域为R，则实数m的取值范围是()A．(0,1)B．(1,)C．[1，)D．[0，)【解析】解：函数2()21fxmxx的定义域为

R，对任意xR，不等式2210mxx恒成立．当0m时，不等式化为210x，不满足对任意xR都成立；当0m时，则20(2)40mm„，解得：1m．使函数2()21fxmxx的定义域为R的实数m的取值范围是[1，)．

故选：C．5．一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件A“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件A互斥而不互为对立的是()A．都是黑球B．恰好有1个黑球C．恰好有1个红球D．至少

有2个红球【解析】解：从装有大小和质地完全相同的3个红球和3个黑球的口袋内任取3个球，在A中，至少有2个黑球和都是黑球能同时发生，不是互斥事件，故A错误，在B中，至少有2个黑球和恰有1个黑球不能同时发生，是互斥而不对立事件，故B正确，在C中

，至少有2个黑球和恰有1个红球能同时发生，不是互斥事件，故C错误，在D中，至少有2个黑球和至少有2个红球事件不能同时发生，是对立事件，故D错误．故选：B．6．设3log2a，5log3b，23c，则()A．acbB．abcC．

bcaD．cab【解析】解：333332log2893aloglog，335552log327253bloglog，23c，acb．故选：A．7．如图，在四棱锥PABCD中，PD平面ABCD，//ABCD，ADDC，2PDADDCAB，则异面直线P

A与BC所成角的余弦值为()A．155B．105C．105D．104【解析】解：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DP为x，y，z轴正方向建立空间坐标系设22PDADDCAB则(0P，0，2)，(2A，0，0)，(2B，1，0)，(0C，2，0)则(2PA，0

，2)，(2BC，1，0)设异面直线PA与BC所成角为则||4105||||225PABCPABC故选：B．8．已知()fx是R上最小正周期为2的周期函数，且当02x„时，3()fx

xx，则函数()yfx的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为()A．6B．7C．8D．9【解析】解：当02x„时，3()0fxxx解得0x或1x，因为()fx是R上最小正周期为2的周期函数，故()0fx在

区间[0，6)上解的个数为6，又因为f（6）(0)0f，故()0fx在区间[0，6]上解的个数为7，即函数()yfx的图象在区间[0，6]上与x轴的交点的个数为7故选：B．二．多选题（共4小题）9．为了解学生的身体状

况，某校随机抽取了100名学生测量体重．经统计，这些学生的体重数据（单位：千克）全部介于45至70之间，将数据整理得到如图所示的频率分布直方图，则()A．频率分布直方图中a的值为0.04B．这100名学生中体重不低于60千克的人数为20C．这100名学生体重的众数约为5

2.5D．据此可以估计该校学生体重的75%分位数约为61.25【解析】解：由(0.010.070.060.02)51a，解得0.04a，故选项A正确；体重不低于60千克的频率为(0.040.02)50.3，所以这100名学生中体重不低于60千克的人数为0

.310030人，故选项B错误；100名学生体重的众数约为505552.52，故选项C正确；因为体重不低于60千克的频率为0.3，而体重在[60，65)的频率为0.0450.2，所以计该校学生体重的75%分位数约为160561.254，故选项D正确．故

选：ACD．10．已知函数22()sin23sincoscosfxxxxx，xR，则()A．2()2fx„„B．()fx在区间(0,)上只有1个零点C．()fx的最小正周期为D．23x为()fx图象的一条对称轴【解析】解：22()sin23sincoscosfxxxxx

，3sin2cos2xx，2sin(2)6x，结合正弦函数的性质可知，2()2fx„„，A正确；令()0fx可得26xk，则212kx，kZ，()fx在区间(0,)上的零点12，712，B错误；由周期公式可知，T，C正确；当23

x时，()fx没有取得最值，不符合对称轴的条件，D错误．故选：AC．11．设正实数a、b满足1ab，则()A．ab有最大值12B．1122abab有最小值3C．22ab有最小值12D．

ab有最大值2【解析】解：因为正实数a、b满足1ab．对于A选项，由基本不等式可得122abab„，当且仅当12ab时，等号成立，A选项正确；对于B选项，由基本不等式可得11111(33)()22322ababababab，1111221224[(

2)(2)]()(2)(22)3223223223abababababababababababab，当且仅当12ab时，等号成立，B选项错误；对于C选项，222222()1()2()2()222abababa

babab，当且仅当12ab时，等号成立，C选项正确；对于D选项，2()22()2abababab„，则2ab„，当且仅当12ab时，等号成立，D选项正确．故选：ACD．12．如图，点P在正方体111

1ABCDABCD的面对角线1BC上运动，则其中正确的结论是()A．三棱锥11CABP的体积不变B．1//AP平面1ACDC．DP与平面11BCCB所成角的正弦值最大值为13D．平面1PDB平面1ACD【解析】解：对于A，由题意知1

BC与平面11ABC相交，点P在面对角线1BC上从B到1C运动时，点P到平面11ABC的距离逐渐减小所以三棱锥11CABP的体积逐渐减小，故A错误；对于B，连接1AB，11AC，11//ACAC且相等，由于选项A知：11//ADBC，所以11//BAC面1ACD，从而由线

面平行的定义可得1//AP平面1ACD，故B正确；对于C，当P与B重合时，DP与平面11BCCB所成角的正弦值为22，故C错误；对于D，连接1DB，由1DBAC且11DBAD，可得1DB面1ACD，从而由面面垂直的判定知，故D正确．故选：BD．三．填空题（共4小题）13．向

量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若(,)cabR，则4．【解析】解：以向量a、b的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得(1,1)a，(6,2)b，(1,3)c

(,)cabR1632，解之得2且12因此，2412故答案为：414．已知复数z满足||1(zii是虚数单位），则||

zi的取值范围是[1，3]．【解析】解：设zabi，由||1zi得22(1)1ab，222|1(1)2abbb，2222||(1)22141ziabbbbbb，由2221(1)20abbb

得02b„„，||41[0zib，3]．故答案为：[0，3]．15．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin2sin2AA，2b，3c，则a22．【解析】解：sin2sin2AA，sin22sincosAAA，且sin0

A，2cos4A，且2b，3c，根据余弦定理得，22222cos2922384abcbcA，且0a，22a．故答案为：22．16．已知直三棱柱ABC﹣A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥

AC，AA1＝12，则球O的半径为．【解析】解：如图：由AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，所以BC2＝32+42＝25，∴BC＝5，∴△ABC外接圆半径r＝，由题可知，直三棱柱的高h＝AA1＝12，球的半径为R，则＝＝＝，

∴，故答案为：．四．解析题（共6小题）17．（10分）某中学为了解大数据提供的个性化作业质量情况，随机访问50名学生，根据这50名学生对个性化作业的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间[40，50

)，[50，60)，，[80，90)，[90，100]．（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值；（Ⅱ）估计该中学学生对个性化作业评分不低于70的概率；（Ⅲ）从评分在[40，60)的受访学生中，随机抽取2人，求此2人评分都在[50，60)的概率．【解析】解：（Ⅰ）因为(0.0040.

0180.02220.028)101a，所以0.006a．（3分）（Ⅱ）由所给频率分布直方图知，50名受访学生评分不低于70的频率为(0.0280.0220.018)100.68，（6分）所以该中学学生对个性化作

业评分不低于70的概率的估计值为0.68．（Ⅲ）受访学生评分在[50，60)的有500.006103（人)，即为1A，2A，3A；受访学生评分在[40，50)的有：500.004102（人)，即为1B，2B．从这5名

受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是：1{A，2}A，1{A，3}A，1{A，1}B，1{A，2}B，2{A，3}A，2{A，1}B，2{A，2}B，3{A，1}B，3{A，2}B，1{B，2}B．又因为所抽取2人的评分都在[50，60)的结果有

3种，即1{A，2}A，1{A，3}A，2{A，3}A，故所求的概率为310P．（10分）18．已知函数2()sin(2)cos(2)2cos136fxxxx．（1）求函数()fx的最小正周期；（2

）若[,]42，且32()5f，求cos2．【解析】解：（1）函数2()sin(2)cos(2)2cos136fxxxxsin2coscos2sincos2cossin2sincos23366xxxxxsin2co

s22sin(2)4xxx；（4分）所以函数()fx的最小正周期22T；（6分）（2）32()5f，即322sin(2)45，3sin(2)45[,]42，352444„„，4cos(2)

45；2cos2cos[(2)]cos(2)cossin(2)sin44444410；故2cos210．（12分）19．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y（万元）与年产量x（吨)之间的函数关系式可以近似地

表示为24880005xyx，已知此生产线年产量最大为210吨．（1）求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；（2）若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？【解析】解：

（1）设每吨的平均成本为W（万元/)T，则800080004824832(0210)55yxxWxxxx„，（4分）当且仅当80005xx，200()xT时每吨平均成本最低，且最低成本为32万元．（6分）（2）设年利润为u（万元），则222140(488000)888000(2

20)1680555xxuxxxx．（11分）所以当年产量为210吨时，最大年利润1660万元．（12分）20．在ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，1ba，2ca．（Ⅰ）若2sin3sinCA，求ABC

的面积；（Ⅱ）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【解析】解：()2sin3sinICA，根据正弦定理可得23ca，1ba，2ca，4a，5b，6c，在ABC中，运

用余弦定理可得2222224561cos22458abcCab，22sincos1CC，22137sin11()88CcosC，1137157sin452284ABCSabC．（6分）()I

Icba，ABC为钝角三角形时，必角C为钝角，222222(1)(2)cos022(1)abcaaaCabaa，2230aa，0a，03a，三角形的任意两边之和大于

第三边，abc，即12aaa，即1a，13a，（10分）a为正整数，2a．（12分）21．如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点．（Ⅰ）求证：BD平面PAC；（Ⅱ）若60ABC，求证：平面P

AB平面PAE；（Ⅲ）棱PB上是否存在点F，使得//CF平面PAE？说明理由．【解析】证明：（Ⅰ）四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，BDPA，BDAC，PAACA，BD平面PAC．

（4分）（Ⅱ）在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，60ABC，ABAE，PAAE，PAABA，AE平面PAB，AE平面PAE，平面PAB平面PAE．（8分

）解：（Ⅲ）棱PB上是存在中点F，使得//CF平面PAE．理由如下：取AB中点G，连结GF，CG，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，E为CD的中点，//CGAE，//FGPA，CGFGG，

AEPAA，平面//CFG平面PAE，CF平面CFG，//CF平面PAE．（12分）22．已知定义域为R的函数2()21xxafx是奇函数．（1）求a值；（2）若对任意的tR，不等式22(2)(2)0

fttftk恒成立，求实数k的取值范围；（3）设关于x的函数1()(4)(2)xxFxfbf有零点，求实数b的取值范围．【解析】解：（1）由题设，需1(0)02af，1a，12()12xxfx，

经验证，()fx为奇函数，1a．（4分）（2）()fx减函数证明：任取1x，2xR，12xx，△210xxx，211221122112122(22)()()1212(12)(12)xxxxxxxxfxfx，1212022xxxx

；12220xx，12(12)(12)0xx21()()0fxfx该函数在定义域R上是减函数．（6分）由22(2)(2)0fttftk得22(2)(2)fttftk，()fx是奇函数，22(2)(2)fttfkt，

由（2）知，()fx是减函数原问题转化为2222ttkt，即2320ttk对任意tR恒成立，△4120k，得13k即为所求．（8分）（3）原函数零点的问题等价于方程1(4)(2)0xxfbf由（3）知，142xxb

，即方程142xxb有解12242(2)22(21)11xxxxx，当[1b，)时函数存在零点．（12分）