【文档说明】上海市曹杨第二中学2022-2023学年高三下学期2月月考数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.183 MB，由小赞的店铺上传

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2022—2023学年上海市曹杨二中高三年级下学期月考数学试卷2023.02.27一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得0分.

1.若1cos4=−，则πsin2+=___________.【答案】14−##-0.25【解析】【分析】由诱导公式六化简，即可求解.【详解】因为1cos4=−，所以π1sincos24+==−

，故答案为：14−.2.不等式01xx−+的解集是___________.【答案】{|10}xx−【解析】【分析】将分式不等式转化为一元二次不等式，即可求解.【详解】不等式01xx−+即(1)0,10xxx+−，故

不等式01xx−+的解集是{|10}xx−，故答案为：{|10}xx−3.二项式512xx+展开中3x的系数为___________.【答案】516【解析】【分析】利用二项式定理，写出展开式的通项即可求解

.【详解】二项式512xx+的展开式为52515511CC22rrrrrrrxTxx−−+==，令253r−=，解得4r=，所以展开中3x的系数为44515C216=，故答案：5164.方程31x=的虚根为___

________.【答案】13i22−+或13i22−−【解析】【分析】直接因式分解得()()2110xxx−++=，解出即可.【详解】31x=，即310x−=，即()()2110xxx−++=，则10x−=或21324x+=−，解得1x=或1

3i22x=−+或13i22x=−−，所以原方程的虚根为13i22−+或13i22−−.故答案为：13i22−+或13i22−−5.设()1,1n=是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_____

_____.【答案】135【解析】【分析】由题意求出直线斜率，进而可求出结果.【详解】因为()1,1n=是直线l的一个法向量，所以直线l的斜率为：1k=−，所以l的倾斜角的大小为135.故答案为：135.6.已知函数()fx是奇函数，当0x时，()3π3sin2xfxxa=−，且()36

f=，则实数=a_________.【答案】7−【解析】为【分析】根据奇函数的对称性运算求解.【详解】∵函数()fx是奇函数，则()()()33π3333sin27362ffaa=−−=−−−−=+=，故7a=−.故答案为

：7−.7.在ABC中，角A、B、C的对边分别为abc、、，若,cos2cos3cosabcABC==则tantantanABC：：=____．【答案】123：：【解析】【分析】由正弦定理化简已知等式可得sinsinsincos2cos3cosABCABC==，

利用同角三角函数基本关系式化简即可求解【详解】解：∵cos2cos3cosabcABC==，∴由正弦定理可得sinsinsincos2cos3cosABCABC==，∴11tantantan23ABC==，可得

tan:tan:tan1:2:3ABC=，故答案为：123：：8.已知OA为球O的半径，过OA的中点M且垂直OA的平面截球得到圆M，若圆M的面积为9π，则球O的表面积为_________.【答案】48π【解析】【分析】根据截面圆的面积求得截

面圆的半径，再由球心到截面圆的距离为12R，由勾股定理即可求得球的半径，再由面积公式即可求得球O的表面积.【详解】若圆M的面积为9π，则平面截球得到圆M的半径为9π3πr==，设球半径为R，由题意知22212RRr=+

，代入数据可得212R=，则24π4π1248πSR===球.故答案为：48π.9.已知袋中有8n+（n为正整数）个大小相同的编号球，其中黄球8个，红球n个，从中任取两个球，的取出的两球是一黄一红的概率为nP，则nP的最大值为_____

_____.【答案】815【解析】【分析】根据题意分别计算出任取两个球和取出的两球是一黄一红的种类数，利用概率计算公式可得出nP的表达式，再利用基本不等式和n为正整数即可求得nP的最大值.【详解】根据题意可得，黄球8个，红球n个，从中任取两个球总共有28Cn+种，取

出的两球是一黄一红总共有118CCn种；所以从袋中任取两个球，取出两球是一黄一红的概率()()118228CC16161656C87155615nnnPnnnnnnnn+====++++++；令5615ynn=++，

利用基本不等式可得565615215ynnnn=+++，当且仅当56n=时等号成立，但n为正整数，所以当7n=时，781530y=++=；当8n=时，871530y=++=；即当7n=或8n=时，5615nn++的最小值为30，所以16

16856301515nPnn==++，即nP的最大值为815故答案为：81510.已知函数()lnfxxa=+，()e1xgx=−，若()()fxgx在()1,+上恒成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】e1a−【解析】【分析】根据题意参变分离可得

e1lnxax−−在()1,+上恒成立，构造新函数，求导求单调性，求出最值，即可得a的取值范围.的【详解】解：因为()()fxgx在()1,+上恒成立，即e1lnxax−−在()1,+上恒成立，取()1l=enxhxx−−，所以()1

e1=xxhx−−，因为1x，所以ee2x，而112x−−−，即1e10xx−−，所以在()1,+上，()0hx，()hx单调递增，所以()()1e1hxh=−，因为e1lnxax−

−在()1,+上恒成立，所以e1a−.故答案为：e1a−11.已知正项等比数列{}na的公比为q，其前n项和为nS，若对一切nN，1n都有12nnaS+，则q的取值范围是______.【答

案】[3,)+【解析】【分析】根据题意得对于nN，1n时，13nnSS+恒成立，分1q=，1q，其中1q分10q−，10q−两种情况讨论，再得(3)20nqq−+即可解决.【详解】由题知，对一切nN，1n都有1

2nnaS+，即12nnnSSS+−即对于nN，1n时，12nnnSSS+−，即13nnSS+恒成立，当1q=时，显然不成立，不满足题意；当1q时，有13nnSS+，即()11113(1)11nnaqaqqq+−−−−，由题知，10,0aq，当

10q−，即01q时，得113(1)nnqq+−−，所以(3)20nqq−+，因为当n越大，nq越接近0，所以此时(3)20nqq−+不恒成立，不满足题意；当10q−，即1q时，得113

(1)nnqq+−−，所以(3)20nqq−+，因为1q，且(3)20nqq−+恒成立，所以3q，所以q的取值范围是[3,)+．故答案为：[3,)+12.已知ABC中，60A=，6AB=，4AC=，O为ABC的外心，若AOABAC=+，则+的值为________

____.【答案】1118【解析】【分析】由题意可知，O为ABC外接圆的圆心，过O作,ODABOEAC⊥⊥，已知等式两边同乘以AB，结合数量积定义得623+=，同理得342+=，从而两式联立即可求得+的值．【详解】由题意可知，O为ABC的外心，设

半径为r，在圆O中，过O作,ODABOEAC⊥⊥，垂足分别为,DE,因为AOABAC=+，两边乘以AB，即2AOABABACAB=+，,AOAB的夹角为OAD，而632cosADOADAOrr===，则31636462rr=+

，得623+=①，同理AOABAC=+两边乘AC，即2AOACABACAC=+，2cosOACr=，则2146416,2rr=+得342+=②，①②联立解得49λ=，16=，所

以41119618+=+=，故答案为：1118【点睛】关键点睛：解答本题的关键是将AOABAC=+两边分别乘以,ABAC，结合数量积定义化简得到关于,的方程，求得答案.二、选择题（本大题共有4小题，满分18分，4+4+

5+5）每小题给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则得0分.13.已知向量,ab，“0ab==”是“220ab+=”的（）.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【答案】C【解析】【分析】

根据向量的平方即模长的平方，结合充要条件的概念即可得结果.【详解】2222000ababab+====+，故“0ab==”是“220ab+=”的充要条件，故选：C.14.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在

讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：则（）A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座

后正确率的标准差D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差【答案】B【解析】【分析】由图表信息，结合中位数、平均数、标准差、极差的概念，逐项判断即可得解.【详解】讲座前中位数为70%75%70%2+,所以A错；讲座后问卷答题的正确率只有一个是80%,4个85%,剩下全部大于

等于90%,所以讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%,所以B对；讲座前问卷答题的正确率更加分散,所以讲座前问卷答题的正确率的标准差大于讲座后正确率的标准差,所以C错；讲座后问卷答题正确率的极差为100%80%20%−=，讲座前问卷答题的

正确率的极差为95%60%35%20%−=,所以D错.故选:B.15.已知锐角ABC，23AB=，π3C=，则AB边上的高的取值范围为（）A.(0,3B.()0,3C.(2,3D.()2,3【答案】C【解析】【分

析】设AB边上的高为h，根据题意得ππ62A，再结合条件得π2sin216hA=−+，再分析求值域即可.【详解】因为ABC为锐角三角形，π3C=，设AB边上的高为h，所以π022ππ032AA−，解得ππ62A由正弦定理可得

，234sinsinsin32abcABC====，的所以4sinaA=，4sinbB=，因为11πsin223Schab==，所以32π3124sinsin4sincossin32223abhAAAAA==−=+2π23sincos2sin3sin21cos

22sin216AAAAAA=+=+−=−+因为ππ62A，所以ππ5π2666A−，所以1πsin2126A−，所以π22sin2136A−+，所以AB边上的高的取值范围为(2,3].故选：C.16.将

曲线221169xy+=(0x≥)与曲线22179xy+=(0x≤)合成的曲线记作C．设k为实数，斜率为k的直线与C交于,AB两点，P为线段AB的中点，有下列两个结论：①存在k，使得点P的轨迹总落在某个椭圆上；②存在k

，使得点P的轨迹总落在某条直线上，那么（）．A.①②均正确B.①②均错误C.①正确，②错误D.①错误，②正确【答案】C【解析】【分析】对①，分析当0k=时点P的轨迹总落在某个椭圆上即可；对②，设()()1122,,,AxyBxy，12xx，()00,Pxy，则1

21200,22xxyyxy++==，利用点差法，化简可得()222101291672xxykxx−=−，故若存在k，使得点P轨迹总落在某条直线上则()0000ykxk−R为常数，再化简分析推出无解即可【详解】设()()1122,,,AxyBxy，12

xx，()00,Pxy，则121200,22xxyyxy++==.对①，当0k=时，2211179xy+=，22221169xy+=，易得12yy=，故两式相减有22210167xx−=，易得此时的120xx，故1274xx=−，所以22001

7,42xxyxy+−==，即0220847,xxyy−==.代入22221169xy+=可得20208471169xy−+=，所以()2200219474xy+=−，故存在0k=，使得点P的轨迹总落在椭圆()222

19474xy+=−上.故①正确；对②，()00,Pxy，121200,22xxyyxy++==.由题意，若存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上，则2211179xy+=，22221169xy+=，两式相减

有22221212071699xxyy−+−=，即()()2212121207169yyyyxx+−−+=，又1212yykxx−=−，故()2201212207169kyxxxx−−+=，即()222101291672xxykxx−=−，又1202xxx+=，故若存在k，使

得点P的轨迹总落在某条直线上，则()0000ykxk−R为常数.即()()()()()()2222212112012012121212991671672222xxxxxxkxxkkxxkxxkxxk

xx−−++−−=−−−−()()()222221220120201121299916716722xxkkxxkkxkkxkxxkxx−−−+−+==−−为定值，因为分子分母12,xx次数不同，故若为定值则22020199

0167kkxkkx+−+=恒成立，即00990167kkkk+=+=，无解.即不存在k，使得点P的轨迹总落在某条直线上故选：C三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17.设nS为数列na的前n项和，

已知21122nnSnnna=−++.（1）证明：na是等差数列；（2）若4a，7a，9a成等比数列，求nS的最小值.【答案】（1）证明见解析（2）78−【解析】【分析】（1）由题意可得222nnS

nnan+=+，根据11,1,2nnnSnaSSn−==−，作差即可得到11nnaa−−=，从而得证；（2）由（1）及等比中项的性质求出1a，即可得到na的通项公式与前n项和，再根据二次函数的性质计算可得.【小问1详解】证明：因为2112

2nnSnnna=−++，即222nnSnnan+=+①，当2n时，2112(1)2(1)(1)nnSnnan−−+−=−+−②−①②得，221122(1)22(1)(1)nnnnSnSnnannan−−+−−−=+−−−−，即

122122(1)1nnnannana−+−=−−+，即12(1)2(1)2(1)nnnanan−−−−=−,所以11nnaa−−=，2n且*nN，所以na是以1为公差的等差数列.【小问2详解】由（1）可得413aa=+，

716aa=+，918aa=+，又4a，7a，9a成等比数列，所以2749aaa=，即()()()2111638aaa+=++，解得112a=−，所以()121113nann=−+−=−，所以22(1)12512562512222228nnnSnnnn−=−+=−=−−，所以当

12n=或13n=时，nS取得最小值，()21213min1162578228nSSS===−=−.18.已知正方体ABCDABCD−的棱长为1.（1）BAC△的平面截正方体为两个部分，求体积大的

部分几何体的体积；（2）动点E，F在线段AD，DC上，且DEDFa==，M为AB的中点，异面直线EF与DM所成的角为2arccos10，求实数a的值.【答案】（1）56；（2）24a=．【解析】【分析】（1）根据正方体及锥体的体积公式即得；（2）建立空间坐标系，利用空间向量EF、DM表示夹角

即可求解．【小问1详解】因为正方体ABCDABCD−的棱长为1，所以正方体的体积为1V=，11111326BABCV−==，所以BAC△的平面截正方体为两个部分，体积大的部分几何体的体积

为15166BABCVV−−=−=；【小问2详解】如图，以D为坐标原点，DA为x轴，DC为y轴，DD为z轴建立如图坐标系，则()()()100000011,,02DEaFaM,,,,,,,,,，所以

(),,1EFaa=−，11,,02DM=，所以2222101114aEFDMEFDMaa==+++，即2210215aa=+，解得24a=．19.甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，

负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．（1）求甲学校获得冠军的概率；（2）用X表示乙学校的总得分，求X的分布列与期望．【答案】（1）0.6；（2）分布列

见解析，()13EX=.【解析】【分析】（1）设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,ABC，再根据甲获得冠军则至少获胜两个项目，利用互斥事件的概率加法公式以及相互独立事件的乘法公式即可求出；（2）依题可知，X的可能取值

为0,10,20,30，再分别计算出对应的概率，列出分布列，即可求出期望．【小问1详解】设甲在三个项目中获胜的事件依次记为,,ABC，所以甲学校获得冠军的概率为()()()()PPABCPABCPABCPABC=+++0.50.40.80.50.4

0.80.50.60.80.50.40.2=+++0.160.160.240.040.6=+++=．【小问2详解】依题可知，X的可能取值为0,10,20,30，所以，()00.50.40.80.16PX===,()100.50.40.80

.50.60.80.50.40.20.44PX==++=，()200.50.60.80.50.40.20.50.60.20.34PX==++=，()300.50.60.20.06PX===.即X的分布列为X

0102030P0.160.440.340.06期望()00.16100.44200.34300.0613EX=+++=.20.已知1C是以F为焦点的抛物线()220ypxp=，2C是离心率为72，以()0,7

为焦点的双曲线，且1C与2C在第一象限有两个公共点,AB（1）求双曲线2C的标准方程；（2）求FAFB的最大值；（3）是否存在p，使得此时FAB的重心G恰好在双曲线2C的渐近线上？若存在p，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22143yx−=（2）9（3）存在12

37p=，理由见详解.【解析】【分析】（1）设双曲线2C的方程，利用双曲线2C的焦点坐标和离心率建立方程组，即可求得双曲线2C的方程；（2）设点()11,Axy、()22,Bxy，其中10y，20y，将抛物线1C与双曲线2C的方程，由0求出正数p的取值范围，列出韦达定理，将FA

FB表示p的二次函数，利用二次函数的基本性质可求得FAFB的最大值；（3）求出FAB的重心G的坐标，将点G的坐标代入直线230xy−=的方程，求出正数p的值，即可得出结论.【小问1详解】因为双曲线2C焦点是()0,7，故双曲线2C焦点在y轴上，于是可设双曲线2C的方程为()222210,0y

xabab−=，且该双曲线的离心率为72cea==，由题意可得227727ccaab==+=，解得23ab==，因此，双曲线2C的方程为22143yx−=.【小问2详解】抛物线1C的焦点为,02pF，设点()11,Axy、()22,Bxy，其中1

0y，20y联立22223412ypxyx=−=，可得22360xpx−+=，由题意可知，关于x的方程22360xpx−+=有两个不等的正根12,xx，所以29480p=−，因为0p，解得433p，由韦达定理可得12302pxx+=，123xx

=，22221212412yypxxp==，所以1223yyp=，11,2pFAxy=−，22,2pFBxy=−，所以()212121212122224ppppFAFBxxyyxxxxyy=−−+=−+++

()22223132323323994422pppppp=−++=−++=−−+，当且仅当23p=时，等号成立，故FAFB的最大值为9.【小问3详解】由（2）可知，FAB的重心为12122,33pxxyyG+++，且122233pxxp++=，()()22

221212121212222343yyyyyypxxyypp+=++=++=+，故点23432,33pppG+，因为点G为第一象限内的点，故点G在直线230xy−=上，所以291234033ppp+−=，因为0p，解得1237p=.因此，存在正数1237p=，使得此时

FAB的重心G恰好在双曲线2C的渐近线上．【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求

最值．21.已知函数()fx和()gx的定义域分别为1D和2D，若对任意的01xD都存在n个不同的实数1x，2x，…，2nxD，使得()()0igxfx=（其中1,2,,in=，n为正整数），则称()gx为()fx的“n重覆盖函数”

.（1）()()22gxxx=−是否为()()sin1fxxx=+R的“2重覆盖函数”？请说明理由；（2）求证：()()cos04gxxx=是()()2121xxfxx−=+R的“4重覆盖函数”；（3）已知()3lnfxxx=−，()

22gxxk=++，若()gx为()fx的“3重覆盖函数”，求实数k的范围.【答案】（1）否，理由见解析；（2）证明见解析；（3）.【解析】【分析】（1）()0,2fx，则本题等价于判断0,2t，方程xt=在2,2x−时是否总有两个不同实数根；（

2）注意到()()21211,12121xxxfx−==−−++，则本题等价于证明()11,t−，都存在4个不同的实数1x，2x，3x，()40,4πx，使得()igxt=；（3）利用导数可知())3ln1ln3,fxxx=−++，则()gx为()fx的“3重覆盖函数”，等价于)

13ln,t++，方程22xkt++=总有3个根.【小问1详解】由题可得()sin10,2fxx=+，注意到方程0x=在2,2x−时只有一个根0，则当022ππ，Zxkk=−+，存在唯一10x=，使得()()100gxfx==，故()()22gxxx=−

不是()()sin1fxxx=+R的“2重覆盖函数”；【小问2详解】()21212121xxxfx−==−++.当x→−时，20x→，则此时()1fx→−；当x→+时，2x→+，则此时()1fx→，则()()1,1fx−.当()0,πx时，函

数cosyx=单调递减，且()11cos,x−.则对于()11,t−，()10,πx，()2122π-π，πxx=，()()3141223434π+π，π，π-π，πxxxx==使得()igxt=（其中1,2,3,4.i=）

.又()011R，,，xt−使得()0fxt=.则任意的0Rx都存在4个不同的实数1x，2x，3x，()40,4πx，使得()()0igxfx=，即()()cos04πgxxx=是()

()2121xxfxx−=+R的“4重覆盖函数”；【小问3详解】因()3lnfxxx=−，则()1313xfxxx−=−=.得()fx在10,3上单调递减，在1,3+上单调递增.则()1133

lnfxf=+.又0x→时，()fx→+，则())13ln,fx++.若()gx为()fx的“3重覆盖函数”，则)13ln,t++，方程22xkt++=总有3个根.但二次方程最

多有2个实数根，故相应的实数k的范围为空集.【点睛】关键点点睛：本题涉及函数新定义及函数与方程的联系.本题关键为读懂信息，将“n重覆盖函数”转化为相应方程在某些条件下是否有n个根.