【文档说明】安徽省名校2020-2021学年高二下学期5月第二次联考数学理科试题 含答案.docx，共(13)页，895.802 KB，由小赞的店铺上传

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安徽名校2020—2021学年下期第二次联考高二数学（理）试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项是正确的）1．已知集合{}

1,1,0,2,3AxxB==−，则()RBA=ð（）A．2B．2,3C．0,1,2D．1xx−2．已知复数x满足132izi−=−，则复数z的虚部为（）A．–iB．iC．1−D.

13．抛物线24yx=−的焦点坐标为（）A．()1,0−B．()0,1−C．10,16−D．1,016−4．设曲线2()lnfxaxxx=+在()()1,1f处的切线为320xy−−=，则实数a=（）A．3B．．2

C．1D．135．如图是某校调查高一年级文理分科男女生是否喜欢理科的等高条形图，阴影部分的高表示喜欢理科的频率．假设参加调查的男生有600人，女生有400人，现从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为（）A．8B．12C．16D．246．函数()s

in()0,0,||2fxAxA=+的图像如图所示，则函数()fx的解析式为（）A．()2sin36fxx=+B．()2sin33fxx=−C．()2sin36fxx=−D．()2sin33fxx

=+7．设函数()fx在R上可导，且()fx为奇函数，则0(1)(1)lim2xfxfx→−++=−（）A．()21fB．()21f−C．1(1)2f−−D．1(1)2f8．已知幂函数()()2133mfxmmx+=−+的图像关于原点对称，则满足()()13?2m

maa+成立的实数a的取值范围为（）A．22,33−B．22,3−−C．22,3−D．2,439．设2,2,ln32eaebc===，已知ln20.7,2.71828e=，则a，b，c的大小关系为（）A．abcB．cab

C．acbD．bac10．已知22,(0,),cos23=且15sin()5−=则cos的值为（）A．451515−−B．451515−C．2153515−D．2153515−−11．如图，正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，

点O为下底面的中心，点E在棱1BB上运动，则下列四个结论：①OEDE⊥；②当点E运动到B处时，//OE平面1ACD；③四棱锥11EAACC−的体积不变；④1AEEC+的最小值为25；其中正确结论的个数是（）A．4个B．3个C．2个

D．1个12．过圆22:1Oxy+=内一点11,42做直线交圆O于A，B两点，过A，B分别作圆的切线交于点P，则点P的坐标满足方程（）A．240xy+−=B．240xy−+=C．240xy−−=D．240x

y++=二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知单位向量1e、2e互相垂直，122mee=+，则向量m的模为_________．14．设各项为正的等比数列na的首项为1，且23a，1a，32a成等差数列，则na=_______．15．如图，三棱锥PAB

C−中，PB⊥底面,ABCABC是边长为2的正三角形，463PB=，则三棱锥PABC−的外接球的表面积为___________．16．已知12,FF是双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左右焦点，过点

1F斜率为33的直线与双曲线的左，右两支分别交于点A，B．若点2F在线段AB的垂直平分线上，则双曲线C的离心率为________．三､解答题（共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本题满分10分）锐角ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知sincos

nc3s2sioABBC=+．（1）求角C的大小；（2）若2,7ac==，求ABC的面积．18．（本题满分12分）已知数列na是各项为正的等差数列，数列nb为等比数列，设数列na的前n项和为nS

，且521214112,,8bbaaabS====．（1）求数列na和nb的通项公式；（2）设数列nc的前n项和为nT，且3nnnacb=，求nT．19．（本题满分12分）2020年初的新冠疫情

对零售业造成严重冲击，随着疫情逐步得到控制，各地经济逐渐得到恢复，以下是某地一超市2020年6月某星期的营业收入统计情况．星期：x12345营业收入：y（单位；万元）57.5910.513（1）根据数据可知y与x之

间存在较强线性关系，求出y关于x的线性回归方程；（2）该超市为鼓励员工努力工作，制定如下奖励方案：若当天营业收入达到或超过8万元，则当天上班的每一位员工可获得一个50元的红包，若当天营业收人达到或超过12万元，则当天上班的每一位员工可获得一个100元的红包．假设某员工这5天中上了3

天班，每天上班的可能性都一样，求该员工5天中获得红包奖励不少于100元的概率．附：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixynxyxxyybaybxxnxxx====−−−===−−−

．20.（本题满分12分）如图，已知PABCD−是正四棱锥，其所有棱长均为2，过点P作//PQAB，且1PQ=，连接QB，QC.（1）求证：平面QBC⊥平面ABCD；（2）求平面PAD与平面BCQ所成的锐二面角的余弦值．21．（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)xyCaba

b+=的长轴长为22，且经过点21,2−．（1）求C的方程；（2）过点()1,0F斜率互为相反数的两条直线1l，2l分别交椭圆C于A，B两点（A，B在x轴同一侧）．求证：直线AB过定点，并求定点

的坐标．22．（本题满分12分）已知函数22()ln,()axfxmxmxgxeex=+=−．（1）当0a时，求函数()()()gxhxfxe=+的单调区间；（2）设0x时，函数()gx的图象始终在x轴的上方，求实数a的取值范围．安徽名

校2020—2021学年下期第二次联考高二数学（理）参考答案一､选择题（共12小题，每小题5分，共60分．每小题的四个选项中，只有一项是正确的）题号123456789101112答案BCBCBACDABBA1．B【解析】因为}1{Axx=，所以1RAxx=ð，

又因为1,0,2,3B=−，所以()2,3RBA=ð．2．C【解析】13(13)(2)5512(2)(2)5iiiiziiii−−+−====−−−+，虚部为–1．3．C【解析】把抛物线24yx=−

化为标准方程214xy=−，所以焦点坐标为10,16−．4．C【解析】由题意得：()()1ln2fxaxx=++，所以()123fa=+=，解得1a=．5．B【解析】由图得喜欢理科的男生人数

为6000.6360=人，喜欢理科的女生4000.3120=人，男女生人数之比为3:1，所以从所有喜欢理科的同学中按分层抽样的方式抽取48人，则抽取的女生人数为148124=．6．A【解析】由图可知，22,6ATw===，所以3w=﹐又1232k+=+

，所以2()6kZk=+，所以,()2sin()636fxx==+．7．C【解析】因为()fx为奇函数，所以00(1)(1)(1)(1)limlim22xxfxffxfxx→→−++−+−−=−−0

1(1)(1)1lim(1)22xfxffx→−+−−=−=−−．8．D【解析】由题意得：331mm−+=，得1m=或2m=．当1m=时，2()fxx=图像关于y轴对称，不成立；当2m=时，3()fxx

=是奇函数，成立；所以不等式转化为22(1)(32)aa+−，解得243a．9．A【解析】因为ln2,lnln22.80.71.96abe===，所以lnlnab，于是ab，因为2ln3

25ln250.74,224ecb====，所以bc，综上可得abc．10．B【解析】因为0,2，22cos3=，21sin1cos3=−=．又02所22−−，又15sin()5−=，所以210cos()1si

n()5−=−−=．coscos(())coscos()(sinsin)aa=+−=−−−22101154515353515−=−=．11．B【解析】对于①，因为2226,8ODDEBE==+，2212OEBE=+，则222OD

DEOE+，故①错误；对于②，设ACBDF=，则1//DFOB，故②正确；对于③，因为1//BB平面11AACC，所以点E到平面11AACC的距离不变，故③正确；对于④，如图展开图中，当1A，E，C共线时，1

AEEC+有最小值为22111125ACAC+=，故④正确．12．A【解析】设()00,Pxy，则以OP为直径的圆()()00:0Mxxxyyy−+−=，即22000xyxxyy+−−=①因为,PAPB是圆O的切线

，所以,OAPAOBPB⊥⊥，所以A，B在圆M上，所以AB是圆O与圆M的公共弦，又因为圆22:1Oxy+=②，所以由①-②得直线AB的方程为：0010xxyy+−=，又点11,42满足直线AB方程，所以00111042xy+−=，即2

40xy+−=．二､填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．5【解析】因为()2121212122,0,1,||25meeeeeemee=+====+=．14．112n−【解析】设na的公比为q，则123232aaa=+，即2232q

q=+，2q=−（舍去）或12q=所以112nna−=．15．16【解析】如图，设三棱锥PABC−的外接球球心为O，半径为R，1O为ABC的外接圆圆心，因为ABC边长为2的正三角形，所以2212123()323OBABAC=−=，因为

PB⊥底面ABC，463PB=，所以1263OO=，所以2222114ROBOOOB==+=，所以外接球表面积为16S=．16．2【解析】设1AFt=，则2212,4,||4AFtaBFBFtaBAa=+==+=．过2F作2FHABH⊥=，则2AH

a=．如图：在12RtFFH中，12121,sin62BFFBFF==，12231cos,||222FFHBcFc===，123||23|2|FHccAF===，在2RtAFH中，2224(3)cac+=解得2e=．三､解答题（共6小题，共70

分．解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）（1）由3sincossincos2ABBC=+得，3sin()cossincos2BCBBC+=+，整理得3sincoscos2CBB=，因为ABC是锐角三角形，所以cos0,02BC，所以sin32C=，所以3C=，5分（2）由余弦

定理得：2222coscababC=+−，即2742bb=+−，即2230bb−−=，解得3b=或–1b=（舍），所以11333232222sinABCCSab===10分18．【解析】（1）设正项等差数列na的公差为d，则

由2412,8aaS==，得2111328adaad+=+=，解得1824ad=−=（舍）或132ad==，所以()321nan=+−，即21nan=+，3分设等比数列nb的公比为q，则由5212111,bbaab==，得151193bbbq=

=，解得193bq==，所以13nnb+=，综上所述，121,3nnnanb+=+=，6分（2）由（1）得3213nnnnancb+==，7分所以2357211333nnnT+=++++，231

135212133333nnnnnT+−+=++++，8分两式相减得：231122222142413333333nnnnnnT++++=++++−=−所以，223nnnT+=−12分19．【解析】（1）由条

件得1234557.5910.5133,955xy++++++++====1221154135ˆˆˆ1.9,91.933.35545niiiniixynxybaybxxnx==−−====−=−=−−

y关于x的线性回归方程：1.93.3yx=+，6分（2）设事件A：“红包奖励不少于100元”，则5天中上了3天班有()()()()()()()()()()1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,2,3,42,3,5,2,4,,5,

3,4,5，共10种事件A包含()()()()()()()()1,2,5,1,3,41,3,5,1,4,5,2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5．，共8种所以，84()105PA==12分20．【解析】（1）证明：设ACBDO=，取BC中点为E，又O

为AC中点，所以//OEAB，且112OEAB==，又由条件知//,1PQABPQ=，所以//PQOE，且PQOE=，所以四边形PQEO为平行四边形，从而//QEPO，又PABCD−为正四棱锥，故PO⊥平面ABCD，所以QE⊥平面ABCD，因为QE平面QBC，所以平面

QBC⊥平面ABCD，6分（2）由题意知ABCD为正方形，所以ACBD⊥，如图，以点O为坐标原点，,,OAOBOP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)O，(2,0,0)A，(0,2,0)B，(0,2,0)D−，(0,0,2)P，所以(2,0,2),(0,2,2)P

APD=−=−−，设平面PAD的法向量为(),,nxyz=，则220220PAPnxznyzD=−==−−=，取1z=，得平面PAD的一个法向量为()1,1,1n=−，9分由（1）易得OE⊥平面QBC，又因为122,,0222OEAB==−

所以平面QBC的一个法向量为22,,022OE=−，10分所以||6|cos,|3||||OnnOEnOEE==，所以平面PAD与平面BCQ所成的锐二面角的余弦值为6312分21．【解析】（1

）由题意得222a=，得2a=，所以椭圆方程为：22212xyb+=，将21,2−代入椭圆方程得：211122b+=，解得1b=，故椭圆C的方程为2212xy+=4分（2）证明：由题意可知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为ykxm=+，联立2212x

yykxm+==+，得222(12)4220kxkmxm+++−=．设A，B的坐标分别为()()1122,,,xyxy，则222222Δ164(12)(22)16880kmkmkm=−+−=−+，且

2121222422,1212kmmxxxxkk−+=−=++，因为直线1l，2l斜率互为相反数，即0FAFBkk+=，所以1212011yyxx+=−−，则()()1221110yxyx−+−=，即()()()()1221

110kxmxkxmx+−++−=，即()12122()20kxxkmxxm−−+−=，所以2222242()201212mkmkkmmkk−+−−=++，化简得2mk=−，所以直线AB的方程为()22ykxkkx=−=−，故直线AB过定点()2,

012分22．【解析】（1）当0a=时，函数2()1gxex=−，所以22ln()1()()(0)gxhxfxmmxxxxee=+=++−所以222222()(2)()2mmmxxxmxmhxmxxxx+−−+=+−==−所以，0m时，()hx增

区间是()0,m，减区间是(),m+﹔0m=时，()hx减区间是(0,)+，无增区间；0m时，()hx增区间是(0,)2m−，减区间是(,)2m−+，6分（2）由函数()gx的图像始终在x轴的上方，可得：()0axgxeex=

−即2axeex，所以()2lnlnaxeex，可得：()12ln0axxx+所以12(0)lnxaxx+恒成立，令21212(),(nln)lkxkxxxxx+−==所以()kx在区间(0,)e上单调递增，(,)e+上单调递，所

以2()()kekxee=，所以2eae，综上可得，实数a的取值范围为2(,)ee+12分