【文档说明】吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试数学试题含答案.doc，共(15)页，1.643 MB，由小赞的店铺上传

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长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.）1．直线3310xy++=的倾斜角是（）A．30B．60C．120D．1502．与圆22:2350Cxyx+−−=同

圆心，且面积为C面积的一半的圆的方程为（）A．22(1)3xy−+=B．22(1)6xy−+=C．22(1)9xy−+=D．22(1)18xy−+=3．圆C：22(1)4xy−+=被直线1ykx=−截得的最短弦长为（）A．23B．22C．3D．24．若椭圆

2219xy+=上一点A到焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为（）A．1B．2C．3D．45．已知,ab为实数，直线1:210laxy+−=与直线()2:1210laxay+−+=垂直，则a=（）A．0

或3B．3C．0D．无解6．过点()1,2P引直线，使()2,3A，()4,5B−两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（）A．240xy+−=B．250xy+−=C．240xy+−=或250xy+−=D．3270xy+−=或460xy+−=7．在三棱锥PABC−中，PA⊥平面

ABC，90BAC=，D，E，F分别是棱AB，BC，CP的中点，1ABAC==，2PA=，则直线PA与平面DEF所成角的正弦值为（）A．255B．55C．35D．2358．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3米，

水面宽12米，当水面下降1米后，水面宽度为（）A．102米B．112米C．411米D．104米9．如图所示，椭圆22221(0)xyabab+=的离心率12e=，左焦点为F，A、B、C分别为左顶点、上顶点和下顶点，直线CF与AB交于点

D，则tanADF的值为（）A．33B．33−C．35D．35−10．已知点(,)Pxy是直线l：40kxy−+=(0k)上的动点，过点P作圆C：2220xyy=++的切线PA，A为切点，若||PA最小为2时，圆M：220x

ymy+−=与圆C外切，且与直线l相切，则m的值为（）A．2−B．252−C．4D．62+二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分。）11．如图，在正方体1111ABCDABCD−中，点E是线段1CD上的动点，则下列判断正确的是（）A．当点E与点1D重合时，1BEAC⊥B．当点E与线段1CD的中点重合时，1BE与1AC异面C．无论点E在线段1CD的什么位置，都有11ACBE⊥D．若异面直线1BE与AD所

成的角为θ，则cos的最大值为6312．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右焦点分别为1F、2F，长轴长为4，点()2,1P在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是（）A．离心率的取值范围为10,2B．当离心率为24时，1QFQP+的最大

值为622a+C．存在点Q使得120QFQF=D．1211QFQF+的最小值为1第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．已知圆()()221:121Oxy++−=与圆()()()2222:310Oxyrr−++=外切，则r=______．14．已知直

线l与直线1:26lyx=+在y轴上有相同的截距，且l的斜率与1l的斜率互为倒数，则直线l的方程为______．15．曲线24yx=−与直线yxb=+恰有1个公共点，则b的取值范围为_________．16．已知椭圆22116xy+=的

左右焦点为1F、2F，点P为椭圆上任意一点，过2F作12FPF的外角平分线的垂线，垂足为点Q，过点Q作y轴的垂线，垂足为N，线段QN的中点为M，则点M的轨迹方程为___________.四、解答题：本题共6小题,第17题

10分，第18-22题每题12分，共70分.17．在ABC中，BC边上的高所在的直线的方程为210xy−+=，A的平分线所在直线的方程为0y=，若点B的坐标为()1,2.（1）求点A的坐标.（2）求直

线BC的方程.18．已知圆C与y轴相切，圆心点C在直线30xy−=上，且直线xy=被圆C所截得的线段长为27.（1）求圆C的方程；（2）若圆C与y轴正半轴相切，从()1,2M−−点发出的光线经过直线4yx=+反射，反射光线刚好通过圆C的

圆心，求反射光线所在直线的方程.19．已知椭圆()2222:10xyCabab+=，离心率为32，且点13,2在椭圆C上．（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上的任意一点M（除短轴的端点外）与短轴的两个端点1B，2B的连线分别

与x轴交于P,Q两点，求证OPOQ为定值.20．如图，某海面上有O,A,B三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在O岛的北偏东45方向距O岛402千米处，B岛在O岛的正东方向距O岛20千米处.以O为坐标原点，O的正东方向为x轴的正方向，1千米为

单位长度，建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.（1）求圆C的方程；（2）若圆C区域内有未知暗礁，现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40千米处，正沿着北偏东45行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险21．如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为平行四边形，45DAB=，

PD⊥平面ABCD，APBD⊥．（1）证明：BC⊥平面PBD；（2）若2AB=，PB与平面APD所成角的正弦值为55，求二面角BPCD−−的余弦值．22．在平面直角坐标系xOy中，过点()0,1P且互相垂直的两条直线分别与

圆22:4Oxy+=交于点,AB，与圆()()22:211Mxy−+−=交于点,CD．（1）若直线AB斜率为2，求弦长AB；（2）若CD的中点为E，求ABE△面积的取值范围．第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本题共10小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

.）1．D【详解】由3310xy++=可得3133yx=−−，所以直线3310xy++=的斜率为33k=−，设直线的倾斜角为，则3tan3k==−，因为0180，所以150=，故选：D.2．D【详解】由题得圆22:(1)36Cxy−+=，所以圆C的圆心为(1,0)，半径为6.设所求的

圆的半径为r，所以2216,322rr==.所以所求的圆的方程为22(1)18xy−+=.故选：D3．B【详解】直线1ykx=−过定点(0,1)P−，圆心(1,0)C，当直线CP与弦垂直时，弦长最短，22||112CP=+=，

所以最短弦长为222||24222rCP−=−=，故选：B．4．B【详解】因为椭圆2219xy+=，所以3a=，设椭圆的另一个焦点为2F，则222624AFa=−=−=，而OB是12AFF△的中位线，所以222AFOB==．故选：B．5．A【详解】若直线1:210laxy+

−=与直线()2:1210laxay+−+=垂直，则()()1220aaa++−=，即230aa−=，解得0a=或3a=，故选：A.6．D【详解】若过P的直线与AB平行，因为3(5)424ABk−−==−−，故直线l的方程为：()241yx

−=−−即460xy+−=.若过P的直线过AB的中点，因为AB的中点为()3,1−，此时2(1)3132ABk−−==−−，故直线l的方程为：()3212yx−=−−即3270xy+−=.故选：D.7．B【详解】因为90BAC=

，所以BAAC⊥，因为PA⊥平面ABC，,BAAC平面ABC，所以,PAACPAAB⊥⊥，以A为空间直角坐标系的原点，以ABACAP，，所在的直线为,,xyz轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，()()11110,0,0,0,

0,2,,0,0,,,0,0,,12222APDEF，(0,0,2)PA=，1(0,,0)2DE=，11,,122DF=−，设平面DEF的法向量为(,,)mxyz=，所以有()10022,0,11100

22ymDEmDEmmDFmDFxyz=⊥==⊥=−++=，设直线PA与平面DEF所成角为，所以22215sincos,5221PAmPAmPAm====+，故选：B8．C【详解】

如图建立平面直角坐标系，则圆心在y轴上，设圆的半径为r，则圆的方程为222(+)xyrr+=，∵拱顶离水面3米，水面宽12米，∴圆过点(6,3)−,∴2236(3+)rr+−=，∴152r=∴圆的方程为2215225(+)24xy+=，当水面下降1米后，

可设水面的端点坐标为(,4)t−，则244t=，∴211t=，∴当水面下降1米后，水面宽度为411。故选：C.9．A【详解】12e=，2222312baceaa−==−=，312bbca==．由题图可知，tantan()A

DFBAOOFC=−+，||3tan||2BObBAOAOa===，||tan3||OCbOFCOFc===，33tantan2tan331tantan3132BAOOFCADFBAOOFC++=−=−=−

−．故选：A．10．B【详解】圆C的圆心为(0,1)C−，半径为1，当CP与l垂直时，||PA的值最小，此时点C到直线l的距离为2|14|1dk+=+，由勾股定理得2222|14|12()1k++=+，又0k，解得2k=，圆M的圆心为(0,)2mM，半径为||2m，∵圆M与圆C外切，∴|

|1|(1)|22mm+=−−，∴0m，∵圆M与直线l相切，∴|4|225mm−+=，解得252m=−，故选:B二、选择题（本题共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）11．ACD【

详解】当点E与点1D重合时，1//BEBD，∵ACBD⊥，∴1BEAC⊥∴A正确；当点E与线段1CD的中点重合时，E是1CD的中点，1BE与1AC都在平面11ABCD内，1BE与1AC相交，∴B错误.建立如图所示的直角

坐标系，设正方体棱长为1，则(0,0,0)A，1(1,1,1)C1(1,0,1)B，(0,1,0)D.设(1,1,)Eaa−，01a则1BE=(,1,1)aa−−，1(1,1,1)AC=，∵11110BEACaa=−++−=，∴

11ACBE⊥，∴C正确.∵(0,1,0)AD=uuur，异面直线1BE与AD，所成的角为，则122221111cos||1(1)22213222BEADBEADaaaaa====++−−+−+.当12a=时，cos有最大值63，此时

点E是线段1CD的中点，∴D正确.故选：ACD12．BD【详解】由题意可得24a=，所以2a=，由点()2,1P在椭圆内部可得：22114b+，可得224b，即2244c−，所以02c，对A，cea=，所以202e，故A错误；对B，当24e=时，22c=，22(,0)

2F,12262242QFQPaQFQPaPF+=−++=+，故B正确；对C，由A知202e，当22e=时，当Q在短轴端点时，12FQF最大，此时2212224cos1102acFQFa−==−

=，此时1290FQF=，由202e，故可得12FQF在椭圆在最扁时的最大值都小于90，所以不存在点Q使得120QFQF=，即C错误；对D，122121212121144414()2QFQFQFQFQFQFQFQFQ

FQF++====+，故D正确；故选：BD.第Ⅱ卷（共90分）三、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13．4【详解】因为()11,2O−，()23,1O−，圆()()221:121Oxy++−=的半径为1，圆()()()2222:310Oxyrr−++=的半径为r，

所以2212(13)(21)5OO=−−++=，因为两圆外切所以15r+=，得4r=．故答案为：414．162yx=+【详解】由题意知，直线1:26lyx=+在y轴上的截距为6，其斜率为2，所以直线l在y轴上的截距为6，其斜率为12，所以直

线l的方程为162yx=+．故答案为：162yx=+15．)2,222−【详解】由240yx=−，可得224yx=−，即224xy+=，所以，曲线24yx=−表示圆224xy+=的上半圆，作出

曲线24yx=−与直线yxb=+如下图所示：当直线yxb=+与圆224xy+=相切于相切且切点在第二象限时，0b且有22b=，解得22b=，当直线yxb=+过点()0,2时，2b=，此时，直线yxb=+与曲线24yx=−有两个公共点；当直线yxb=

+过点()2,0时，2b=−.由上图可知，曲线24yx=−与直线yxb=+恰有1个公共点时，b的取值范围是)2,222−.故答案为：)2,222−.16．221416xy+=【详解】如图，延长2FQ交1FP的延长线于S，连接OQ.因为PQ为2SPF

的平分线且2FSPQ⊥，故2PSF△为等腰三角形且2PSPF=，2SQQF=，所以121248PFPFPSPF+=+==.在12FSF△中，因为122,FOFOSQQF==，所以()1111422OQFSFPPS==+=，故Q的轨迹方程为

：2216xy+=.令(),Mxy，则()2,Qxy，所以22416xy+=即221416xy+=，故答案为：221416xy+=四、解答题：本题共6小题,第17题10分，第18-22题每题12分，共70分.17．（1）()1,0A−；（2）240xy+−=.【详解】（1）联立

2100xyy−+==，解得10xy=−=，可得()1,0A−.（2）∵BC边上的高所在的直线的方程为210xy−+=，∴112BCk=−，即2BCk=−，∴直线BC的方程为()221yx−=−−，整理得240xy+−=.

18．（1）圆()()22:319Cxy−+−=或()()22319xy+++=；（2）29150xy+−=.【详解】（1）设圆()()222:Cxaybr−+−=，由题意得：30ab−=…①，ra=…②，2272abr+=−…③，由①得3ab=

，则3rb=，代入③得：21b=；当1b=时，3a=，3r=，圆()()22:319Cxy−+−=；当1b=−时，3,3ar=−=，圆()()22:319Cxy++=+；综上所述：圆()()22:319Cxy−+−=或()()22319xy+++=.

（2）圆C与y轴正半轴相切，圆()()22:319Cxy−+−=，设()1,2M−−关于4yx=+的对称点(),Mxy，则21121422yxyx+=−+−−=+，解得：63xy=−

=，()6,3M−，反射光线所在直线的斜率132369k−==−+，反射光线所在直线方程为：()2369yx−=−+，即29150xy+−=.19．（1）2214xy+=；（2）证明见解析．【详解】（1）由题设，22222313

142abcaacb+==+=，可得2241ab==，故椭圆方程为2214xy+=.（2）由题意，若()10,1B，()20,1B−，设椭圆上任意一点()00,Mxy，()01y∴直线1BM的方程为

0011yyxx−=+；直线2BM的方程为0011yyxx+=−，令0y=，得001Pxxy−=−，001Qxxy=+．∴2200220041411xyOPOQyy−===−−为定值，得证．20．（1

）2220600xyxy+−−=（2）该船有触礁的危险【详解】解：（1）如图所示，(40,40)A、(20,0)B，设过O、A、B三点的圆C的方程为220xyDxEyF++++=，得：222040404040020200FDEFDF=++++

=++=，解得20D=−，60E=−，0F=，故所以圆C的方程为2220600xyxy+−−=，圆心为(10,30)C，半径1010r=，（2）该船初始位置为点D，则()20,203D−−，且该船航线所在直线l的斜率为1，故该船航行方向为直线l：20

2030xy−+−=，由于圆心C到直线l的距离22|103020203|106101011d−+−==+，故该船有触礁的危险.21．（1）证明见解析；（2）105.【详解】（1）证明：因为PD⊥平面ABC

D，BD平面ABCD，BC平面ABCD，所以PDBD⊥，PDBC⊥因为APBD⊥，PDAPP=，,APPD平面APD，所以DB⊥平面APD，因为AD平面APD，所以BDAD⊥，因为底面ABCD为平行四边形，所以//ADBC，所以BCBD⊥，因为PDBC⊥，PDBDD=，,P

DBD平面PDB，所以BC⊥平面PDB；（2）解：由（1）可知BDAD⊥，因为2AB=，45DAB=，所以1ADBD==，因为DB⊥平面APD，所以DP为BP在平面APD上的射影，所以PB与平面APD所成角即为B

PD，因为PB与平面APD所成角的正弦值为55，所以2PD=以D为坐标原点，DA，DB，DP所在的直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则(0,0,2)P，(1,0,0)A，(0,1,0)B，(1,1,0)C−，(0,0,0)D所以，(1,0,2)PA=−，(0,1

,2)PB=−，(1,1,2)PC=−−，(1,1,0)DC=−设平面PCB的法向量为(,,)mxyz=，则200200xyzPCmyzPBm−+−==−==令0x=，2y=，1z=，得面PCB的法向量

(0,2,1)m=同理可得平面PCD的法向量11,,022n=r所以cos,mn=1105||252mnmn==‖，因为二面角BPCD−−为锐二面角，所以二面角BPCD−−的余弦值为10522．（1）2955；（2）35,42.【详解】（1）直线A

B斜率为2，则直线AB方程为210xy−+=所以点O到直线AB的距离251251d==+，12952455AB=−=（2）当直线AB的斜率不存在时，ABE△的面积14242S==；当直线AB的斜率存在时，设为k，则直线:1ABykx=+，当0k=时，直线AB的方程为

1y=，经过圆心()2,1，此时ABE△不存在，舍去；当0k时，直线1:1CDyxk=−+，由2211111kk−+−+−得23k，所以(,3)(3,)k−−+．因为2221421ABk+=+，所以224321k

ABk+=+．因为E点到直线AB的距离即M点到直线AB的距离22211211kkdkk+−==++，所以ABE△的面积()()2222431221kkSABdk+==+．令21tk=+，则4t，所以

222245151159224224ttStttt−+==−+=−−，因为4t，所以1104t，所以35,42S，综上可得，ABE△面积的取值范围是35,42.