【文档说明】湖南省常德市汉寿县第一中学2022-2023学年高二下学期开学考试数学试卷含答案.docx，共(21)页，1.145 MB，由小赞的店铺上传

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汉寿一中2022-2023学年高二下开学考试数学试题一、单选题1．圆心为()1,1-且过原点的圆的方程是（）A．22(1)(1)1xy−++=B．22(1)(1)1xy++−=C．22(1)(1)2xy−++=D．22(1)(1)2

xy++−=2．在数列{an}中，若a112=，且对任意的n∈N*有112nnanan++=，则数列{an}前10项的和为（）A．509256B．511256C．756512D．7555123．设公比为﹣2的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S5＝112，则a4等于A．8B．4C．﹣4

D．﹣84．已知直线l1：mx＋y－1＝0与直线l2：(m－2)x＋my－2＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的（）A．充分不必要条件B．充要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知正四棱柱1111ABCDABCD−中，12AAAB=，则CD与平面1BDC所成角的正弦值

等于（）A．23B．33C．53D．136．已知双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左顶点为A，右焦点为F，以F为圆心的圆与双曲线C的一条渐近线相切于第一象限内的一点B.若直线AB的斜率为13，则双曲线C的离心率为（）A．43B．53C．54D．27．已知

椭圆()2222:10xyEabab+=的右焦点F与抛物线216yx=的焦点重合，过点F的直线交E于AB、两点，若AB的中点坐标为()1,1-，则椭圆E方程为（）A．221248xy+=B．221259xy+=C．2213620xy+=D．221189xy+=8．

对于函数f（x）＝ex﹣lnx，下列结论正确的一个是（）A．f（x）有极小值，且极小值点x0∈（0，12）B．f（x）有极大值，且极大值点x0∈（0，12）C．f（x）有极小值，且极小值点x0∈（12，1）D．f（x）

有极大值，且极大值点x0∈（12，1）二、多选题9．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+上单调递增的是（）.A．3xy−=B．21yx=+C．3yx=D．23yx=10．已知O为坐标原点，抛物线E的方程为21,4yxE=的焦点为F，直线l与E交于

,AB两点，且AB的中点到x轴的距离为2，则下列结论正确的是（）A．AB的最大值为6B．E的焦点坐标为1(0,)16C．若2AFFB=，则直线AB的方程为214yx=+D．若OAOB⊥,则AOB面积的最小值为1611．如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC.请添加一个条件，

使该三棱锥的四个面均为直角三角形，则这个添加的条件可以是（）A．AB⊥ACB．PB⊥BCC．AB⊥BCD．AC⊥BC12．设等比数列na的公比为q，其前n项和为nS，前n项积为nT，且满足条件11a，202220231aa，()()20222023110

aa−−，则下列选项正确的是（）A．01qB．202220231SS+C．2023T是数列nT中的最大项D．40431T第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明三、填空题13．已知直线:3220lxy+−=，直线:3330mkxyk−+−=，若直线l与m的交点在第一象限

，则实数k的取值范围为___________．14．已知曲线32yaxxa=+−在()1,1处的切线过点()2,6，那么实数=a_______．15．锐二面角α-l-β中，直线a在半平面α内，通过探究可知：a与半平面β所成角的最大值就是二面角α-l-β的平面角的大小，请据此解决下面的问题：在三棱P

-ABC中，PA=PB=PC=2，二面角A-PB-C为直二面角，∠APB=2∠BPC(∠BPC<4)，M，N分别为侧棱PA，PC上的动点，设直线MN与平面PAB所成的角为α，当tan的最大值为2532时，则三棱锥P-ABC的体积为_______16．设0a，函数()2(1)cos(

)fxxxax=+−，(0,1)x，若函数21yx=−与()yfx=的图象有且仅有两个不同的公共点，则a的取值范围是__四、解答题17．已知函数()42xxafx+=为偶函数.(1)求出a的值，并写出单调区间；(2

)若存在0,1x使得不等式()()21bfxfx+成立，求实数b的取值范围.18．设Sn为数列{an}的前n项和，已知a1=2，对任意n∈N*，都有2Sn=(n+1)an.（1）求数列{an}的

通项公式；（2）若数列()42nnaa+的前n项和为Tn，求证：112nT.19．已知点(2,1)A在椭圆22221xyab+=（0ab）上，且该椭圆的离心率为22.直线l交椭圆于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之和为零，(1)求椭圆的标准方程；(2)若1co

s3PAQ=，求PAQ△的面积.20．如图，三棱柱111ABCABC-中，侧面11BBCC为菱形，1BC的中点为O，且AO⊥平面11BBCC．(1)证明：1BCAB⊥；(2)若1ACAB⊥，160CBB=，1BC=，求三棱柱111ABCABC-的高；(3)在（2）的条件

下，求三棱柱111ABCABC-的表面积．21．已知椭圆()2222:10xyCabab+=的左右两个焦点分别为1F，2F，以坐标原点为圆心，过1F，2F的圆的内接正三角形的面积为33，以2F为焦点的抛物线(

)2:20Mypxp=的准线与椭圆C的一个公共点为P，且232PF=.（1）求椭圆C和抛物线M的方程；（2）过2F作相互垂直的两条直线，其中一条交椭圆C于A，B两点，另一条交抛物线M于G，H两点，求四边形AGBH面积的最小值.22．已知函数()()2e1,xfxaxxx=++

R.(1)讨论()fx的单调性；(2)若2ea−，证明()fx有且只有一个极小值点1x和一个零点2x，且212ln2xx+−参考答案：1．C【分析】半径为圆上一点即原点到圆心(1，－1)的距离，即可写出圆的方

程．【详解】圆心为(1,1)−且过原点的圆的半径为22(10)(10)2−+−−=，故圆心为(1,1)−且过原点的圆的圆的方程为22(1)(1)2xy−++=，故选：C．2．A【分析】用累乘法可得2nnna=．利用错位相减法可得S222nnn+=−，即可求解S10＝2121024−=23509

256256−=．【详解】∵112nnanan++=，则()32411231234212223212nnnaaaannaaaan−−==−．∴112nnana−=，2nnna=．Sn231232222nn=++++，221111122

222nnnnnS+−=++++．∴211111..22222nnnnS+=+++−，∴S222nnn+=−，则S10＝2121024−=23509256256−=．故选：A．【点评】本题考查了累乘法求通项，考查了错位相减法求和，意在考查计算能力，属于中档题．3．C【分析】由

S5＝112求出1a，再由等比数列通项公式求出4a即可．【详解】由S5＝112得：()5111112aqq−=−，又2q=−解得：112a=，所以3414aaq==−故选：C【点睛】本题主要考查了等比数列的前n项和公式及等比数列通项公式，考查计算能力，属于基础题．4．A【解析】根据两直线

垂直的充要条件计算即可.【详解】由l1⊥l2，得m(m－2)＋m＝0，解得m＝0或m＝1，即l1⊥l2的充要条件为m＝0或m＝1，所以“m＝1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件，故选：A.5．A【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法求得CD与平面1BDC所成

角的正弦值.【详解】建立如图所示空间直角坐标系，不妨设11,2ABADAA===，则()()()10,1,0,1,1,0,0,1,2DCDBDC===，设平面1BDC的法向量为(),,nxyz=，则1020nDBxynDCyz=+==+=，令1z=，则2,2yx=−=，所以

()2,2,1n=−r.设CD与平面1BDC所成角为，则2sin3nDCnDC==.故选：A6．C【分析】将直线BF、OB的方程联立，求出点B的坐标，由13ABk=可得出a、b、c的齐次等式，结合222bca=−可求得双曲线C的离心率的值.【详解】双曲线C的渐近线方

程为byxa=，则直线OB的斜率为ba（O为坐标原点），所以，直线BF的斜率为ab−，易知点(),0Fc、(),0Aa−，所以，直线BF的方程为()ayxcb=−−，联立()byxaayxcb==−−

，解得2axcabyc==，即点2,aabBcc，由题意可得213ABabbckaacac===++，即3acb+=，所以，()()222299acbca+==−，则()9caca+=−，故54cea==.故选：C.7．A

【分析】结合中点坐标用点差法求得228,24ba==.【详解】∵216yx=，故右焦点()4,0F，则2216ab=+，设()()1122,,,AxyBxy，则12122,2xxyy+=+=−，且222

21122222211xyxyabab+=+=，，两式相减得()()()()12121212220xxxxyyyyab+−+−+=，故()()2221212222121220112413ABbxxyybbkxxay

yaa+−+==−=−===−+−−,故222316abb==+，故228,24ba==,故椭圆E方程为221248xy+=，故选：A.8．C【分析】求得导函数为()1'xefxx=−,再根据零点存在性定理分析零点所在的区间即可.【详解】由题()1'xefxx=−,又()21'

'0xfxex=+,故()1'xefxx=−在区间上为增函数.又112211'20122fee=−=−.()11'1101fee=−=−.故()fx有极小值,且极小值点01,12x.故选：C【点睛】本题主要考查了利用导数求解函数极值的问题,同时也考查了零点存

在性定理的运用,属于基础题.9．BD【分析】判断各选项奇偶性及在()0,+上的单调性即可.【详解】A选项，3xy−=为偶函数，当()0,x+时，3xy−=.其在()0,+上单调递减，故A错误；B选项，21yx=+为偶函数，其在()0,+上单调递增，故B

正确；C选项，3yx=为奇函数，故C错误；D选项，23yx=为偶函数，其在()0,+上单调递增，故D正确.故选：BD10．ACD【分析】对于A：利用抛物线定义，三角形三边关系即可求解；对于B：根据抛物线的焦点性质即可求解；对于C：联立直线方程与抛物线方

程，消元后利用韦达定理，利用给定的条件即可求解；对于D：先求出直线所过的定点，利用面积公式即可求解.【详解】对于A：如图：设AB的中点为M，分别过,,ABM作准线的垂线，垂足分别为,,CDN，因为M到x轴的距离为2，所以213MN=+=，由抛物线的

定义知ACAF=，BDBF=,所以26MNACBDAFBF=+=+=，因为AFBFAB+，所以6AB，所以AB的最大值为6.故选项A正确；对于B：由题知，抛物线E的标准方程为24xy=，所以焦点坐标为()0,1.故选项B错误；对于C：由2AFFB=得直线A

B过点()0,1F，直线的斜率存在，设直线AB的方程为1ykx=+，联立方程得214ykxxy=+=，化简得2440xkx−−=，则有4ABxx=−.由于2AFFB=，所以()(),12,1AABBxyx

y−−=−，可得2ABxx=−，解得22Ax=，所以2124AAyx==，所以24k=，直线AB的方程为214yx=+.故选项C正确；对于D：设()11,Axy，()22,Bxy，由OAOB⊥，得12120xxyy

+=，又21122244xyxy==，所以()212121016xxxx+=，由题知，120xx，所以1216xx=−，又221221122121444ABxxyyxxkxxxx−−+===−−，故直线AB的方程为()12114xxyyxx+−=−，又2114x

y=，所以1212124444xxxxxxyxx++=−=+，则有直线AB恒过点()0,4，所以()212121464162ABCSxxxx=−=++，所以ABC面积的最小值为16.故选项D正确；故选

：ACD.11．BCD【分析】直接证明A错误；再由已知结合线面垂直的判定定理及性质说明BCD正确．【详解】解：若AB⊥AC，设AB＝a，AC＝b，AP＝c，求得BC＝22ab+，PB＝22ac+，PC＝22bc+

，则cos∠PBC＝22222222222abacbcabac+++−−++＝222220aabac++，则∠PBC为锐角，同理可得∠PCB，∠BPC为锐角，则△PBC为锐角三角形，故A错误；因为PA⊥底面ABC，,,

ABBCAC面ABC，所以,,PAABPABCPAAC⊥⊥⊥，若PB⊥BC，PBPAP=，所以BC⊥平面PAB，又AB平面PAB，所以ABBC⊥，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故B正确；若AB⊥BC，PAPAA=，所以BC⊥平面PAB，又PB

平面PAB，所以PBBC⊥，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故C正确；若AC⊥BC，ACPAA=，所以BC⊥平面PAC，又PC平面PAC，所以BCPC⊥，所以该三棱锥的四个面均为直角三角形，故D正确．故选：BCD．12．ABD【分析】根据已知

条件，结合等比数列的性质，则202220231010aa−−或202220231010aa−−，11a，202220231aa，所以20221a，20231a，推得公比01q，即可依次求解．【详解

】20222023(1)(1)0aa−−，则202220231010aa−−或202220231010aa−−，11aQ，202220231aa，2022a和2023a同号，且同为正，且一个大于1，一个小于1，11aQ，20221a

，20231a，即数列{}na的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，对于A，公比2023202201aqa=，故A正确，对于B，20231a，2023202320221aSS=−，即202220231SS+

，故B正确，对于C，等比数列{}na的前n项积为nT，且数列{}na的前2022项大于1，而从第2023项开始都小于1，故2022T是数列{}nT中的最大项，故C错误，对于D，4043404312340432022Taaaaa==，20221a，4043202

21a，即40431T，故D正确．故选：ABD13．()1,6【分析】直接求出交点坐标，交点的纵横坐标都大于0，解不等式组即可.【详解】由题意得两直线不平行，即3332k−，得32k−，由32203330xykxyk+−=−+−=得12

2693323kxkkyk−=+−=+，由于直线l与m的交点在第一象限，所以12206933023kkkk−+−+，解得16k，则实数k的取值范围为()1,6，故答案为：()1,6.14．1

【分析】求导函数，然后确定切线的斜率，可得切线方程，利用曲线32yaxxa=+−在点()1,1处的切线过点()2,6，建立方程，解之即可求出所求．【详解】解：32yaxxa=+−，'232yaxx=+，则'1|32xya==+，曲线32yaxxa=+−在()1,1处的

切线方程为：1(32)(1)yax−=+−，代入点()2,6，得61(32)(21)a−=+−，解得1a=，故答案为：1.【点睛】本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，属于基础题．15．96125【分析】如图所示，当直线MN与平面PAB所成的角为

二面角BAPC−−的大小时，此时线面角达到最大，设N运动到C时，作CMPA⊥于M,CDPB⊥于D,连结DM，设,2BPCAPB==,根据tan的最大值为2532,求出cos,sin,再代入体积公式，即可得答案.【详解】

如图所示，当直线MN与平面PAB所成的角为二面角BAPC−−的大小时，此时线面角达到最大,设N运动到C时，作CMPA⊥于M,CDPB⊥于D,连结DM二面角APBC−−为直二面角，面APB⊥面PBC，,CDPB

CD⊥面APB,面APB面PBCPB=CD\^面,,APBAPCD⊥又APCM⊥，CDCMM=AP⊥面,CDMAPDM⊥，DMC=,则25tan32=,设,2BPCAPB==2PBPAPC===2sin

2sin25tansin22cos(2sincos)32CDDMPD====43cos,sin55==,111134396sin22sin22223232555125VPAPB==

=故答案为：96125.【点睛】关键点点睛：本题有三个关键点，第一，准确作出二面角BAPC−−的平面角；第二，根据几何关系引入，建立方程求出的正余弦；第三，运用表达体积.16．4π8π(,]33【分析】将函数图象的交点个数转化为方程根的个数，从而可得1

cos2ax=−在(0,1)上有两不同根，结合余弦函数的图象性质列出不等式即可.【详解】函数21yx=−与()yfx=的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)cos()xxxax−=+−有两不同根，也就

是(1)(2cos1)0xax−+=有两不同根，因为(0,1)x，所以1cos2ax=−在(0,1)上有两不同根．因为0a，所以2π2π3axk=+或4π2π3axk=+，Zk．又(0,1)x且0a，所以0axa，仅有两解时，应有4π138π13aa

，则4π8π33a，所以a的取值范围是4π8π(,]33．故答案为:4π8π(,]33.17．(1)1a=；()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增(2)617b【分析】（1）根据偶函数的定义列出方程，根据方程恒成立求a，由对勾函数性质写出单调

区间；（2）化简不等式换元后转化为()221btt−+，52,2t，分别考虑二次不等式有解转化为()max0gt或分离参数后转化为212tbt−−，利用()minbgt，也可转化为2121tbt−−，求函数()221tgt

t−=−的最大值即可.【详解】（1）因为()42xxafx+=，所以414()22xxxxaafx−−++−==，由偶函数知()()fxfx−=，解得1a=；即411()222xxxxfx+==+，由对勾函数知，当(

)20,1x时，即(),0x−时函数单调递减，当()21,x+时，即()0,x+时函数递增，所以函数()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递增；（2）由题意可得221121222xxxxb+++，即211221222xxxxb

+−++，令1522,22xxt=+，()221btt−+；解一：()212gtbttb=−+−，则()0gt在52,2t上有解，即()max0gt.若1924b，即29b

，此时()max51730242gtgb==−，解得617b，∴617b；若1924b，即209b，此时()()max2210gtgb==−，解得12b，此时无解；综上，

617b；解二：由()221btt−+得212tbt−−，令()212tgtt−=−，则()minbgt.()()()()()22111612171211121ttgtttttt−−===−−+−−−−+−，所以617b.解三：由()22

1btt−+得2121tbt−−，令()221tgtt−=−，则()max1gtb，()()()()()2212112117121116tttgttttt−+−−−===−−+−−−，所以617b.18．（1）2nan=；（2）证明见解析.【分析

】（1）在()21nnSna=+中，将n1−代n可得：()1122nnSnan−−=，两式作差可得：()()112nnnanan−=−，从而可得：11naan=，问题得解．（2）利用（1）中结论，设4(2)nnnbaa=+可得：111nbnn=−+，利用裂项求和可

得：111nTn=−+，问题得解．【详解】（1）因为()21nnSna=+，所以()1122nnSnan−−=.两式相减，得()()1212nnnananan−=+−，即()()112nnnanan−=−所以当2n时，11nnaann−=−，所以121121nnnaaaannn−−===

=−−,即11naan=又因为12a=，所以2nan=，又12a=也符合该式，故2nan=.（2）证明：由（1）有2nan=，令4(2)nnnbaa=+，n∈N*，则41112(22)(1)1nbnnnnnn===−+++所以123nnTbbbb=++++=1

11(1)()223−+−++111()111nnn−=−++因为101n+，所以1111n−+因为11yn=+在N*上是递减函数，所以111yn=−+在N*上是递增函数.所以当1n=时，nT取得最小值1

2.所以112nT【点睛】关键点睛：本题主要考查了赋值法及累乘法求通项公式，还考查了裂项求和方法，解答本题的关键是由42(22)nbnn=+，将之裂成111nbnn=−+，然后用裂项相消法求和，属于中档题.19．(1)22163xy+=(2)

16225【分析】（1）根据条件立方程组求解a，b，c；（2）设直线AP的倾斜角，由条件计算出AP和AQ的斜率，再求出点P和Q的坐标，运用三角形面积公式计算PAQ△的面积.【详解】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意可得2222222411abccaab=+=+=，

解得222633abc===，所以椭圆方程为22163xy+=；（2）由题意作下图：不妨设直线AP的倾斜角为锐角且为，则直线AQ的倾斜角为π−，所以π2PAQ=−，因1cos3PAQ=，222211tancos2cossin31tan−=−=−=+，解得t

an2=，又为锐角，所以tan2=，于是得直线AP：12(2)yx−=−，AQ：12(2)yx−=−−，联立方程组2216312(2)xyyx+=−=−消去y得：25(4216)12820

xx+−+−=，因为方程有一根为2，所以6425Px−=，3425Py−−=，同理可得6425Qx+=，3425Qy−+=，所以PQ：905xy−−=，16||5PQ=，点A到直线PQ的距离92122552d−−==，所以PAQ△

的面积为1162216225525=；综上，椭圆方程为22163xy+=；PAQ△的面积为1162216225525=.20．(1)证明见解析(2)217(3)937162+【分析】(1)要证1BCAB⊥,即证1BC⊥平面ABO,由菱形的对角线垂直和线面垂直的性质即可

得证.(2)要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O到平面ABC的距离，即：作ODBC⊥，垂足为D，连接AD，作OHAD⊥，垂足为H,则由线面垂直的判定定理可得OH⊥平面ABC,再根据三角形面积相等：OHADODOA=,可求出OH的长度，最后

由三棱柱111ABCABC-的高为此距离的两倍即可确定出高.(3)利用反三角函数分别求出17arcsin4ABBABC==，114arcsin16ACCACB==，使用面积公式求出每一面的面积，得到表面积.（1）证明：连接1BC，则O为1BC与1

BC的交点，∵侧面11BBCC为菱形，∴11BCBC⊥．∵AO⊥平面11BBCC，∴1AOBC⊥．∵1AOBCO=，AO平面ABO,1BC平面ABO∴1BC⊥平面ABO．∵AB平面ABO，∴1BCAB⊥．（2）解：作ODBC⊥，垂足为D，连接AD，作OHAD⊥，垂足为H，

如图．∵BCAO⊥，BCOD⊥，AOODO=，AO平面AOD,OD平面AOD,∴BC⊥平面AOD，∴OHBC⊥．∵OHAD⊥，BCADD=，BC平面ABC,AD平面ABC,∴OH⊥平面AB

C．∵160CBB=，∴1CBB为等边三角形．∵1BC=，∴34OD=，∵1ACAB⊥，∴11122OABC==，由OHADODOA=，且2274ADODOA=+=，可得2114OH=，∵O为1BC的中点，∴1B到平面ABC的

距离为217，∴三棱柱111ABCABC-的高为217.（3）解：易知11ABBBBC===，122AB=，17arcsin4ABBABC==，22AC=，11CC=114arcsin16ACCACB

==，∴1132BBCCS=四边形，1174BBAAS=四边形，724ABCS=△，11716CCAAS=四边形．∴表面积为937162+．21．（1）22:184xyC+=；2:8Myx=；（2）()min162AGBHS=四边形.【分析】（1）根据三角形的面积求

解出c的值，从而抛物线方程可求，再求解出1PF的长度，并根据椭圆的定义求解出a的值，从而椭圆的方程可求；（2）分直线的斜率0k=和0k讨论：当0k=时直接计算；当0k时分别联立直线与椭圆、抛物线，利用弦长公式表示出,

ABGH，根据12AGBHSABGH=四边形求解出四边形AGBH面积的最小值.【详解】（1）圆O半径为c，故内接正三角形的面积为2333324cc==∴22p=，即2:8Myx=又232PF=，124FF=，故12PF

=∴1224222aPFPFa=+==，∴2224bac=−=∴椭圆22:184xyC+=.（2）由已知得直线AB的斜率存在，记为k（i）当0k=时，42AB=，8GH=，故162AGBHS=四边形.（ii）当0k

时，设():2ABykx=−，代入2228xy+=，得：()2222128880kxkxk+−+−=∴()()4222222644128811421212kkkkABkkk−+−+=+=++.此时，()1:2GHyxk=−−，代入28yx=

得：()228440xkx−++=∴()()222211841681GHkkk=++−=+.∴()2242211162162116221212AGBHkkSABGHkk+===+++四边形综上，()min162AGBHS=四边形.

【点睛】本题考查圆锥曲线的综合应用，其中涉及到椭圆和抛物线的方程求解、直线与圆锥曲线交点围成面积的最值，对学生的计算能力要求较高，难度一般.22．(1)答案见解析(2)证明见解析【分析】（1）求导，利用导数判断原函数的单调性，注意讨论a的正负以及两根的大小关系；（2

）根据（1）中的单调性分析判断极值点和零点，利用零点代换整理可得()122222ln22ln1xxxxx+=+−+，构建新函数，结合导数证明不等式.【详解】（1）()()()()()1e211e2xxfxaxxxa=+++=++.①若0a，则e20xa+，当1x−

时，()0fx，当1x−时，()0fx¢>，故()fx在(),1−−单调递减，在()1,−+单调递增；②若2e0a−，则2ln1a−−，当1x−或2lnxa−时，()0fx，当21lnxa−−时，()0fx¢>，故

()fx在(),1−−，2ln,a−+单调递减，在21,lna−−单调递增；③若2ae=−，则2ln1a−=−，()0fx，当且仅当=1x−时，“=”成立

，故()fx是R上的减函数；④若2ea−，则2ln1a−−，当2lnxa−或1x−时，()0fx，当2ln1xa−−时，()0rfx，故()fx在2,lna−−，()1,−+单调递减

，在2ln,1a−−单调递增；综上，当0a时，()fx在(),1−−单调递减，在()1,−+单调递增；当2e0a−时，()fx在(),1−−，2ln,a−+单调递减，在21,lna−−单调

递增；当2ae=−时，()fx是R上的减函数；当2aa−时，()fx在2,lna−−，()1,−+单调递减，在2ln,1a−−单调递增.（2）由（

1）知：当2ea−时，()fx在2,lna−−，()1,−+单调递减，在2ln,1a−−单调递增，所以()fx有且仅有一个极小值点1x，且12lnxa=−，222222ln2lnln1

ln10faaaa−=−−+−+=−+，()10eaf−=−，因为()fx在()1,−+单调递减，()010f=，()21e42e40fa=+−+，所以()fx有且仅有一个零点2x，且()20,1

x，即()2222e10xaxx++=，则()22222e21xxax=−+，从而()()221222222222e2lnln2ln22ln11xxxxxxxxxax+=−+=+=+−++，设()(

)()2ln22ln1,0,1gxxxxx=+−+则()()212212011xxgxxxxx++=+−=++，()gx在()0,1单调递增.所以()()12ln22ln22ln2gxg=+−=−.【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤：(1)作差

或变形．(2)构造新的函数h(x)．(3)利用导数研究h(x)的单调性或最值．(4)根据单调性及最值，得到所证不等式．特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.

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