【文档说明】甘肃省张掖市高台县第一中学2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题 含解析.docx，共(20)页，1.601 MB，由小赞的店铺上传

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2023年春学期高二年级三月月考数学试卷第Ⅰ卷（选择题共60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.1.函数2yx=在区间2,3上的平均变化率为（）A.2B.3

C.5D.4【答案】C【解析】【分析】根据平均变化率的知识求得正确答案.【详解】当2x=时，4y=；当3x=时，9y=.所以函数2yx=在区间2,3上的平均变化率为94532−=−.故选：C2.已知()tanfxx=，则()fx=（）A.21sinxB.21cosxC.

21sinx−D.21cosx−【答案】B【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式及求导法则求导函数即可.【详解】2222sincossin1()(tan)()coscoscosxxxfxxxxx+

====.故选：B.3.函数()2lnfxxx=−的单调递减区间为（）A.1,22B.10,2C.1,2+D.(),2−【答案】B【解析】【分析】利用导数法求解.【详解】因为()2lnfxxx=−，所以()1212x

fxxx−=−=，当102x时，()0fx，所以函数的单调递减区间为10,2，故选：B4.已知函数()()2223ln9fxfxxx=−+，则()1f=（）A.209−B.119−C.79D.

169【答案】D【解析】【分析】先对函数求导，然后令3x=，可求出(3)f，从而可求出()fx的解析式，进而可求出(1)f【详解】由()()2223ln9fxfxxx=−+，得()()41239fxfxx=−+，令3x

=，则()()41323393ff=−+，解得(3)1f=，所以()222ln9fxxxx=−+，所以()21612ln199f=−+=，故选：D5.曲线2()xfxex−=+在点(0,(0))f处的切线方程为()A.10xy+−=B.10xy−+=C

.10xy−−=D.10xy++=【答案】A【解析】【分析】利用导数的几何意义即可求解﹒【详解】()2xfxex−＝＋()()201xfxexf−−＝＋，＝()01f−＝∴在(0，1)处切线方程为：1yx−

−＝，即10xy−＋＝﹒故选：A﹒6.函数()||2()e2xfxx=−的大致图像为（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.【详解】因函数()||2()

e2xfxx=−，定义域为R，又()||2||2()e2()]e2()[xxfxxxfx−=−=−−=−，所以()||2()e2xfxx=−偶函数，故B错误；由()||2()e20xfxx=−得，22x−

，同理，由()||2()e20xfxx=−得，2x−或2x，故C错误；因为()|0|2(0)e202f=−=，()|1|2(1)e21ef=−=，所以(1)(0)ff，故D错误；因为函数()||2()e2xfxx=−，定义域为R，且当0x时，()2

()e2xfxx=−，()2()e22xfxxx=−−，由()2()e220xfxxx=−−有，031x−，同理，由()0fx，解得31x−，.为为所以当0x时，()fx在(0,31)−单调递增，在(31,)−+上单调递减，又()()fxfx−=，所

以A正确.故选：A.7.当1x=时，函数()lnbfxaxx=+取得最大值2−，则(2)f=（）A.1−B.12−C.12D.1【答案】B【解析】【分析】根据题意可知()12f=-，()10f=即可解得,ab，再根据()fx即可解出．【详解】因为函数()fx定义域

为()0,+，所以依题可知，()12f=-，()10f=，而()2abfxxx=−，所以2,0bab=−−=，即2,2ab=−=−，所以()222fxxx=−+，因此函数()fx在()0,1上递增，在()1,+上递减，1x=时取最大值，满足题

意，即有()112122f=−+=−．故选：B.8.函数()3213fxxx=−在区间()5aa，+内存在最小值，则实数a的取值范围是（）A.()3,2−B.)3,2−C.)1,2−D.()1,2−【答案】C【解析】【分析】由

导数法求得函数最小值点，根据区间列不等式求解即可.【详解】由()220fxxx=−=得120,2xx==，则当(),0x−或()2,+，()0fx¢>，()fx单调递增；()0,2x，()0fx，()fx单调递减.()fx在

区间()5aa，+内存在最小值，故最小值为()2f，又()()12ff−=，故有1252aa−+，解得12a.故实数a的取值范围是)12−，.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得

2分，有选错的得0分.9.下列函数求导运算正确的是（）A.()333logexx=B.()21logln2xx=C.()12xx=D.2312xx−=【答案】BCD【解析】【分析】根据基本初等函数的导数公式判断各项的正误.【详解

】A：()33ln3xx=，错误；B：()21logln2xx=，正确；C：()12xx=，正确；D：2312xx−=，正确．故选：BCD10.定义在R上的函数()yfx=的导函数的图像如图所示，则

下列说法正确的是（）A.函数()yfx=在(3,5)上单调递减B.(0)(3)ffC.函数()yfx=在x＝5处取得极小值D.函数()yfx=存在最小值【答案】ACD【解析】【分析】借助导数图像的正负性即

可分析原函数的单调性.【详解】()0fx在(3,5)恒成立，则()fx在(3,5)上单调递减，故A正确；()0fx在1,3−恒成立，则()fx在1,3−上单调递增，则(0)(3)ff，故B错误；(3,5)上()0fx，(5,)+

上()0fx,则函数()yfx=在x＝5处取得极小值，故C正确;由导数图可知()fx在(,1)−−上递减，()fx在(1,3)−上递增，()fx在(3,5)上递减，()fx在(5,)+上递增，故min()fx在两个极小值(5)f和(1)f

−中产生，故存在最小值，故D正确;故选：ACD.11.对于函数ln()xfxx=，下列说法正确的有（）．A.()fx在xe=处取得极大值1eB.()fx有两不同零点C.(2)()(3)fffD.若1()fxkx−在(0,)+上恒成立，则1k

【答案】ACD【解析】【分析】对于A，先对函数求导，令导函数等于零，然后再判其极值即可；对于B，令()0fx=，则可得函数的零点；对于C，由选项A的解答过程可知，当xe时，函数()fx为减函数，所以()()()34fff，而(2)(4)ff=，从而可得结果；对于D，由1()fxkx−

在(0,)+上恒成立，得ln1xkxx+，令ln1()xhxxx=+，再利用导数求此函数的最大值即可【详解】函数的导数'21ln()xfxx−=，(0)x，令()0fx=得xe=，则当0xe时，()0fx，函数为增函数，当xe时，()0

fx，函数()fx为减函数，则当xe=时，函数取得极大值，极大值为()1fee=，故A正确，由()0fx=，得ln0x=，得1x=，即函数()fx只有一个零点，故B错误，()()ln42ln2ln224442ff====Q，由xe时，函数()fx

为减函数知()()()34fff，故()()()23fff成立，故C正确，若1()fxkx−在(0,)+上恒成立，则ln1xkxx+，设ln1()xhxxx=+，(0)x，则2ln()xhxx=−，当01

x时，()0hx，()hx单调递增，当1x时，()0hx，()hx单调递减，即当1x=时，函数()hx取得极大值同时也是最大值()11h=，1k成立，故D正确.故选：ACD．【点睛】本题主要考查

命题的真假判断，涉及函数的单调性，极值，函数零点问题，求函数的导数，利用导数研究的性质是解决本题的关键．12.已知22eexyxy−−−，则（）A.()ln10xy++B.2()1exyxy+++C.sinsinxyxy+−−D.22cosc

osxyyx−−【答案】BC【解析】【分析】根据条件构造函数，求导，计算出x与y的关系，再根据函数的性质逐项分析.【详解】因为22eexyxy−−−，即()22eexyxy−−−−．令()2exfxx=−，则有()()fxfy−，则()'2exfxx=−，令()2exgx

x=−，则()'2exgx=−，令()'2e0xgx=−=，可得ln2x=，当()ln2x−，时，()'0gx，函数()gx单调递增，当()ln2x+，时，()'0gx，函数()gx单调递减，故()()maxln

22ln220gxg==−，所以总有()'0fx，故()fx单调递减；所以xy−，即0xy+；对于A，()ln1ln10xy++=，故A错误；对于B，设()()2e10xhxxx=−−，则()()''e20xhxxfx=−=−，故()h

x在()0+，上单调递增，所以()()00hxh=，所以()21e0xxx+，因为0xy+，所以()21exyxy+++，故B正确；对于C，sinsinxyxy+−−，即()()sinsinxxyy+−+−．设()sinux

xx=+，则()()uxuy−，则()1cos0uxx=+，所以()ux单调递增．因为xy−，所以()()uxuy−，故C正确；对于D，22coscosxyyx−−，即22coscosxxyy++，令()

2costxxx=+，则()()txty，因为()()()()22coscostxxxxxtx−=−+−=+=，所以()2costxxx=+为偶函数，所以()()txty即为()()txty−．则()'2sintxxx=−，令()2sinmxxx=−，则()'2cos

0mxx=−，所以()mx单调递增．又()00m=，所以当()0x−，时，()0mx，()'0tx，函数()tx单调递减；当()0x+，时，()0mx，()'0tx，函数()tx单调递

增，当0yx−时，()()tytx−，故D错误；故选：BC.第Ⅱ卷（非选择题共90分）三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数exyx=的极小值为______.【答案】1e−##1e−−【解析】【分析】求导得到单调区间，再

计算极值得到答案.【详解】exyx=，()ee1exxxyxx=+=+，当1x−时，()1e0xyx=+，函数单调递增；当1x−时，()10exxy=+，函数单调递减；故当=1x−时，函数有极小值为1e−.故答案为：1e−14.已知函数()sin,(0,)2xfxxx=−

，则()fx的单调递减区间为___________.【答案】[,)3【解析】【分析】利用导数的性质，结合余弦函数的单调性进行求解即可.【详解】'1()sin()cos22xfxxfxx=−=−，当'()0fx时，()fx单调递减，'1

1()cos0cos22fxxx=−，因为(0,)x，所以[,)3x，故答案为：[,)315.已知函数()exfxax=−在区间(0,1)上有极值，则实数a的取值范围是_____．【答案】(1,e)【解析】【分析】求导函数，确定函数的单调性，求出函数的极值，利

用函数()exfxax=−在区间(0,1)上有极值，即可求实数a的取值范围．【详解】解：()fx的定义域为R，且()e=−xfxa．①当0a时，()e0xfxa=−恒成立，故()fx在R上单调递增，从而()fx没有极大

值，也没有极小值．②当0a时，令()0fx=，得lnxa=，则()fx和()fx的情况如下：x(,ln)a−lna(ln,)a+()fx−0+()fx单调递减极小值单调递增故()fx的单调减区间为(,

ln)a−；单调增区间为(ln,)a+．从而()fx的极小值为(ln)lnfaaaa=−，没有极大值．函数()exfxax=−在区间(0,1)上有极值，0ln1a，(1,e)a．故答案为：(1,e)．16.已知1xx=和2xx=分别是函数2()2exfxax=−（0a且1

a）的极小值点和极大值点．若12xx，则a的取值范围是____________．【答案】1,1e【解析】【分析】法一：依题可知，方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=

与函数eyx=的图象有两个不同的交点，构造函数()lnxgxaa=，利用指数函数的图象和图象变换得到()gx的图象，利用导数的几何意义求得过原点的切线的斜率，根据几何意义可得出答案.【详解】[方法一]：【最优解】转化法，零点的问题转为函数图象的交点

因为()2ln2exfxaax=−，所以方程2ln2e0xaax−=的两个根为12,xx，即方程lnexaax=的两个根为12,xx，即函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小

值点和极大值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，所以当时()1,x−()2,x+，()0fx，即eyx=图象在lnxyaa=上方当()12,xxx时，(

)0fx¢>，即eyx=图象在lnxyaa=下方1a，图象显然不符合题意，所以01a．令()lnxgxaa=，则()2ln,01xgxaaa=，设过原点且与函数()ygx=的图象相切的直线的切点为()00,lnxxaa，则切线的斜率为()020lnxgxaa=，故切线方程为

()0020lnlnxxyaaaaxx−=−，则有0020lnlnxxaaxaa−=−，解得01lnxa=，则切线的斜率为122lnlnelnaaaa=，因为函数lnxyaa=与函数eyx=的图象有两个不同的交点，所以2elnea，解得1ee

a，又01a，所以11ea，综上所述，a的取值范围为1,1e．[方法二]：【通性通法】构造新函数，二次求导()2ln2exfxaax=−=0两个根为12,xx因为12,xx分别是函数()22exfxax=−的极小值点和极大

值点，所以函数()fx在()1,x−和()2,x+上递减，在()12,xx上递增，设函数()()()g2lnxxfxaaex==−，则()()2g2ln2xxaae=−，的若1a，则()gx在R上单调递增，此时若()0g0x=，则()fx在()0-,x上单调递减，在()

0,x+上单调递增，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，则12xx，不符合题意；若01a，则()gx在R上单调递减，此时若()0g0x=，则()fx在()0,x−上单调递增，在()0,x+上单调递减，令()0g0

x=，则02(ln)xeaa=，此时若有1xx=和2xx=分别是函数()22(0xfxaexa=−且1)a的极小值点和极大值点，且12xx，则需满足()00fx，()()00002ln20lnxefxaaexexa=−=−，即001ln1lnxxaa，故()0

02lnlnln1lnxeaxaa==，所以11ea.【整体点评】法一：利用函数的零点与两函数图象交点的关系，由数形结合解出，突出“小题小做”，是该题的最优解；法二：通过构造新函数，多次求导判断单调性，根据极值点的大小关系得出不

等式，解出即可，该法属于通性通法．四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.求满足下列条件的直线l的方程：（1）过原点且与曲线lnyx=相切；（2）斜率为e且与曲线xye=相切.【答案】（1）1yxe=（2）yex=【解析】【

分析】（1）求出导函数，设切点为(),lnmm，切线方程为ykx=，根据导数的几何意义求出斜率，即可得直线方程，然后将切点代入直线方程即可求得m，从而可得答案；（2）求出导函数，根据切线斜率为e，求出切点坐标，即可

得出答案.【小问1详解】解：1yx=，()0x，设切点为(),lnmm，切线方程为ykx=，所以1km=，1yxm=，因为切点为(),lnmm，所以1ln1mmm==，所以me=，所以切线方程为1yxe=；【小问2详解】解：exy=，因

为切线斜率为e，所以xyee==，所以1x=，则切点为()1,e，所以切线方程为()1yeex−=−，即yex=.18.已知函数32()2fxxaxbx=++−在2x=−时取得极值，且在点(1(1))f−−，处的切线的斜率为3−.（1）求()fx的解析式；

（2）求()fx在区间[12]−，上的最大值与最小值.【答案】（1）3232xx+−；（2）最大值为18，最小值为2−.【解析】【分析】（1）根据函数()fx在2x=−处有极值，且在=1x−处切线斜率为﹣3

，列出方程组；（2）利用导数求出函数的单调区间，然后求出极值和端点的函数值比较即可求出函数的最大值与最小值.【小问1详解】由32()2fxxaxbx=++−，得2()32fxxaxb=++，因为函数32()2fxxaxbx=++−在2x=−时取得极值，且在点(1(

1))f−−，处的切线的斜率为3−，所以()()132321240fabfab−=−+=−−=−+=，解得30ab==，当3,0ab==时，()3232fxxx=+−，则()236fxxx=+，令()2360fxxx=+=，得0

x=或2x=−，当<2x−或0x时，()0fx，当20x−时，()0fx，所以2x=−为函数的极大值点，所以符合题意，所以()3232fxxx=+−，【小问2详解】由（1）可得当<2x−

或0x时，()0fx，当20x−时，()0fx，所以()fx在(),2−−上单调递增，在()2,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，又因为()11320f−=−+−=，()02f=−，()2812218f=+−=，所以()()max218fxf==，()()min02fxf=

=−.19.已知函数1()2ln(1)fxxx=−−．（1）求曲线()yfx=在点(1,(1))f−−处的切线方程；（2）求函数()yfx=单调区间．【答案】（1）2ln21y=+（2）单调递增区间为：()110,02−，，

，单调递减区间为：()1112−−，，，【解析】【分析】（1）求导，根据导函数在某点处的导数值是切线的斜率即可求解，（2）根据导函数的正负即可确定()yfx=的单调区间.【小问1详解】由1()2ln(1)fxxx=−−得()()()2212

121()=11xxfxxxxx+−=+−−，故()()10,12ln21ff−=−=+，所以切线方程为：2ln21y=+【小问2详解】()yfx=的定义域为()()00,1−，，由（1）知：当1,x−()0fx，()fx单调递减，当110,

02xx−时，()0fx¢>，()fx单调递增，当11,2x()0fx，()fx单调递减，故()yfx=的单调递增区间为：()110,02−，，，单调递减区间为：()1112−−，，，的20.新冠肺炎疫情期间，某企业生产的口罩能全部售出，每月生产x

万件（每件5个口罩）的利润函数为()23145,07,3e12ln,7xxxpxxxx−+−=−−（单位：万元）．（1）当每月生产5万件口罩时，利润为多少万元？（2）当月产量约为多少万件时，生产的口罩所获月利润最大？最大

月利润是多少？【答案】（1）203万元；（2）当月产量约为3e万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．【解析】【分析】当07x时，()21453pxxx=−+−，直接求解()5p即可利用二次函数的顶点式和求导，即可求出()px的最值【详解】解：（1）由已知，当

07x时，()21453pxxx=−+−，∴()2520520533p=−+−=．即当每月生产5万件口罩时，利润为203万元．（2）当07x时，()()21673pxx=−−+，∴当6x=时，()px的最大值为()67p=

（万元）；当7x时，()3e12lnpxxx=−−，()33221eexpxxxx−=−+=，令()0px=，解得3ex=．∴当37ex时，函数()px单调递增，当3ex，函数()px单调

递减，∴当3ex=时，()px取最大值()33e12lne18p=−−=（万元）．∵87，∴当3ex=时，()px取得最大值8万元．故当月产量约为3e万件时，生产的口罩所获月利润最大，最大利润为8万元．【点睛】本题考查分段函数以及利用导数求解最值，属于基础题21.已知函数()ln3fxxax

=−+，0a.（1）当1a=时，求函数()fx的极值；（2）若对任意()0,x+，不等式()0fx恒成立，求a的取值范围.【答案】（1）极大值为2，无极小值（2）)2e,+【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）利用导数

求出函数的最大值，依题意可得1ln20faa=−+，解得即可.【小问1详解】解：当1a=时，()()ln30fxxxx=−+，则()111xfxxx−=−=，令()0fx¢>，得01x，令()0fx，得1x∴函数()fx在()0,1上单调递增，在()1,+上单调

递减，∴函数()fx的极大值为()12f=，无极小值；【小问2详解】解：()()110axfxaxxx−=−=当10,xa，()0fx¢>，则()fx是增函数.当1,xa+时()0fx，则

()fx是减函数，∴()fx的最大值为1fa，∵()ln30fxxax=−+恒成立，∴11ln13ln20faaa=−+=−+，解得2ea，∴a的取值范围为)2e,+.22.已知函数()()ee212xxfxaax=−++

，（e为自然对数的底数，且1a）.（1）讨论()fx的单调性；（2）若()fx有两个零点，求a的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）1,02−【解析】【分析】（1）求导得到导函数，考虑0a，1a

=，01a三种情况，根据导数的正负得到单调区间.（2）考虑1a=，01a，a<0三种情况，求导得到单调区间，计算最值，再根据零点存在定理得到答案.【小问1详解】()()()()()2ee21ee22e21e22e1exxxxxxxxfxaaaaa=−+++=−

++=−−，当0a时，e0xa−，则当0x时，()0fx，故()fx在(),0−单调递减；当0x时，()0fx¢>，故()fx在()0,+单调递增.当0a时，由()0fx=得1lnxa=，20x

=.若1a=，则()0fx，故()fx在R上单调递增.若01a，当lnxa或0x时，()0fx¢>，故()fx在(),lna−，()0,+单调递增.当ln0ax时，()0fx，故()fx在()ln,0a单调递减.综上所述：0a时，()fx在(),0

−单调递减，在()0,+单调递增；01a时，()fx在(),lna−，()0,+单调递增，在()ln,0a单调递减.1a=时，()fx在R上单调递增.【小问2详解】当1a=时，()fx在R上单调递增，不可能有两个零点.当01a时，()fx在(),lna−，()

0,+单调递增，()ln,0a单调递减，故当lnxa=时，()fx取得极大值，极大值为()()ln22ln0faaaaa=−++，此时，()fx不可能有两个零点.当0a=时，()()ee2xxfx=−，由()0fx=得ln2x

=，此时，()fx仅有一个零点.当a<0时，()fx在(),0−单调递减，在()0,+单调递增，()()min012fxfa==−−，()fx有两个零点，故()00f，解得12a−，故102a−，而则()()1ee2120faa=

−++，取()212aba+，则()()()()222e112e10bbfbaaaba=−+−++−+，故()fx在(),0−、()0,+各有一个零点，综上所述：a的取值范围

是1,02−.【点睛】关键点睛：本题考查了利用导数求函数的单调性，根据零点个数求参数范围，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中分类讨论的方法是解题的关键，分类讨论是考试的常考题型，需要熟练掌握.获得更多资源请扫码加入享学资源网

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