【文档说明】【精准解析】2021高中数学人教B版选择性必修第三册：6.3　利用导数解决实际问题.docx，共(13)页，223.654 KB，由envi的店铺上传

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第六章导数及其应用6.3利用导数解决实际问题课后篇巩固提升基础达标练1.某工厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁,若使砌壁所用的材料最省,堆料场的长和宽应分别为(单位

:米)()A.32,16B.30,15C.40,20D.36,18解析要使材料最省,则要求新砌的墙壁的总长最短,设场地宽为x米,则长为512𝑥米,因此新墙总长L=2x+512𝑥(x>0),则L'=2-51

2𝑥2.令L'=0,得x=16或x=-16(舍去).此时长为51216=32(米),可使L最短.答案A2.将8分为两个非负数之和,使两个非负数的立方和最小,则应分为()A.2和6B.4和4C.3和5D.以上都不对解析设一个数为x,则另一个数为8-x,则其立方和y=x3+(8-x

)3=83-192x+24x2(0≤x≤8),y'=48x-192.令y'=0,即48x-192=0,解得x=4.当0≤x<4时,y'<0;当4<x≤8时,y'>0.所以当x=4时,y最小.答案B3.(2020东海第二中学高二月考)如图

,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器.当这个正六棱柱容器的底面边长为()时,其容积最大.A.34B.23C.13D.12解析设正六棱柱容器的底面边长为x,则正六棱

柱容器的高为√32(1-x),所以正六棱柱容器的容积为V(x)=(x+2x)·√32x·√32(1-x)=94(-x3+x2),所以V'(x)=-274x2+92x,令V'(x)=0,得x=0(舍去)或x=

23,则在0,23上,V'(x)>0;在23,1上,V'(x)<0,所以V(x)在0,23上单调递增,在23,1上单调递减,所以当x=23时,V(x)取得最大值.答案B4.某公司生产某种产品,固定成本为20000元,每生产一单位产品,成本增加100元

,已知总营业收入R与年产量x的关系是R(x)={400𝑥-12𝑥2,0≤𝑥≤400,80000,𝑥>400,则总利润最大时,每年生产的产品是()A.100B.150C.200D.300解析由题意,得总成本函数为C(x)=20000+100x,总利

润P(x)=R(x)-C(x)={300𝑥-𝑥22-20000,0≤𝑥≤400,60000-100𝑥,𝑥>400.所以P'(x)={300-𝑥,0≤𝑥≤400,-100,𝑥>400.令P'(x)=0,得x=300,易知x

=300时,总利润P(x)最大.答案D5.(2020四川树德中学高二期中)已知球体的半径为3,当球内接正四棱锥的体积最大时,正四棱锥的高和底面边长的比值是()A.1B.√2C.√3D.2解析如图,△PAC是正四棱锥P-

ABCD的对角面,其外接圆是四棱锥外接球的大圆,O是圆心(球心),设正四棱锥底面边长为a,则AC=√2a,OA=OP=3,设OE=x(0<x<3),则由AO2=OE2+AE2,得x2+12a2=9,a

2=18-2x2,PE=3+x,S四边形ABCD=18-2x2,V=13S四边形ABCD·PE=13(18-2x2)(3+x)=23(-x3-3x2+9x+27),V'=23(-3x2-6x+9)=-2(x-1)(x+

3),当0<x<1时,V'>0,V单调递增,当1<x<3时,V'<0,V单调递减,∴当x=1时,V取得极大值也是最大值Vmax=643.此时高PE=4,a=√18-2×12=4,𝑃𝐸𝑎=1.故选A.答案A6

.电动自行车的耗电量y与速度x之间的关系为y=13x3-392x2-40x(x>0),为使耗电量最小,则其速度应定为.解析由题设,知y'=x2-39x-40,令y'>0,解得x>40或x<-1,故函数y=13x3-392x2-40x(x>0)在(40,+∞)上单调递增,在(0,40)上单调递减

.∴当x=40时,y取得最小值.由此得为使耗电量最小,则其速度应定为40.答案407.(2020山东省实验中学高二期中)某商场销售某种商品,该商品的成本为3元/千克,每日的销售量y(单位:千克)与销售价格x(单位:元/千克)满足关系式y=1𝑥-3+5(x-6)2,其

中3<x<6,当销售价格为元时,商场每日销售该商品所获得的最大利润为元.解析设商场每日销售该商品所获得的利润为L元,则L=y(x-3)=1𝑥-3+5(x-6)2(x-3)=5x3-75x2+360x-539(3<x<6),则L'=15x2-150x+360=15(x2-10x+24)=1

5(x-4)(x-6),令L'>0,得3<x<4,令L'<0,得4<x<6,所以函数L=5x3-75x2+360x-539在(3,4)上单调递增,在(4,6)上单调递减,所以x=4时,L取得最大值,最大值为21元.答案4218.(2020江苏)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面

图如图所示:谷底O在水平线MN上,桥AB与MN平行,OO'为铅垂线(O'在AB上).经测量,左侧曲线AO上任一点D到MN的距离h1(米)与D到OO'的距离a(米)之间满足关系式h1=140a2;右侧曲线BO上任一点F到

MN的距离h2(米)与F到OO'的距离b(米)之间满足关系式h2=-1800b3+6b.已知点B到OO'的距离为40米.(1)求桥AB的长度.(2)计划在谷底两侧建造平行于OO'的桥墩CD和EF,且CE

为80米,其中C,E在AB上(不包括端点).桥墩EF每米造价k(万元),桥墩CD每米造价32k(万元)(k>0),O'E为多少米时,桥墩CD与EF的总造价最低?解(1)设AA1,BB1,CD1,EF1都与MN

垂直,A1,B1,D1,F1是相应垂足.由条件知,当O'B=40时,BB1=-1800×403+6×40=160,则AA1=160.由140O'A2=160,得O'A=80.所以AB=O'A+O'B=80+40=12

0(米).(2)以O为原点,OO'为y轴建立平面直角坐标系xOy(如图所示).设F(x,y2),x∈(0,40),则y2=-1800x3+6x,EF=160-y2=160+1800x3-6x.因为CE=80,所以O'C=80-x.设D(x-80,y1),则y1=

140(80-x)2,所以CD=160-y1=160-140(80-x)2=-140x2+4x.记桥墩CD和EF的总造价为f(x),则f(x)=k(160+1800𝑥3-6𝑥)+32𝑘(-140𝑥2+4𝑥)=k(1800𝑥3-380𝑥2+160)(0<x<40).f'(x)=k(38

00𝑥2-340𝑥)=3𝑘800x(x-20),令f'(x)=0,得x=20.x(0,20)20(20,40)f'(x)-0+f(x)↘极小值↗所以当x=20时,f(x)取得最小值.答:(1)桥AB的长度为120米;(2)当O'E为20米时,桥墩CD和EF的总造价最低.9.某商店经销一

种商品,每件产品的成本为30元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交a元(a为常数,2≤a≤5)的税收.设每件产品的日售价为x元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例.已知每件产品的日售价为40元

时,日销售量为10件.(1)求该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式;(2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润L(x)最大,并求出L(x)的最大值.解(1)设日销售量为𝑘e𝑥,则𝑘e40=10,∴k=10e40,则日售量为1

0e40e𝑥件.则日利润L(x)=(x-30-a)10e40e𝑥=10e40·𝑥-30-𝑎e𝑥;答:该商店的日利润L(x)元与每件产品的日售价x元的函数关系式为L(x)=10e40·𝑥-30-𝑎e𝑥.(2)L'(x)=10e40·31+𝑎-𝑥e𝑥.①当2≤a

≤4时,33≤a+31≤35,当35<x<41时,L'(x)<0.∴当x=35时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;②当4<a≤5时,35<a+31≤36,令L'(x)=0,得x=a+31,易知当x=a+31时,L(x)取最大值为10e9-a.综

上,得L(x)max={10(5-𝑎)e5(2≤𝑎≤4),10e9-𝑎(4<𝑎≤5).答:当2≤a≤4时,当每件产品的日售价35元时,L(x)取最大值为10(5-a)e5;当4<a≤5时,每件产品的

日售价为a+31元时,该商品的日利润L(x)最大,最大值为10e9-a.能力提升练1.(2019湖南高三三模)某莲藕种植塘每年的固定成本是1万元,每年最大规模的种植量是8万斤,每种植一斤藕,成本增加0.5元.如果销售额函数

是f(x)=-18x3+916ax2+12x(x是莲藕种植量,单位:万斤;销售额的单位:万元,a是常数),若种植2万斤,利润是2.5万元,则要使利润最大,每年需种植莲藕()A.8万斤B.6万斤C.3万斤D.5万斤解析设销售的利润为g(x),由题意,得g(x)=-

18x3+916ax2+12x-1-12x,x∈(0,8],即g(x)=-18x3+916ax2-1.当x=2时,g(2)=-1+94a-1=52,解得a=2,故g(x)=-18x3+98x2-1,g'(x)=-38x2+94x=-38x(x-6),

当x∈(0,6)时,g'(x)>0,当x∈(6,8)时,g'(x)<0,所以函数g(x)在(0,6)上单调递增,在(6,8)上单调递减,所以x=6时,利润最大,故选B.答案B2.(2019北京市八一中学高二期中)已知等腰梯形的上底长为7,腰长为2,那

么该等腰梯形面积最大时的下底长为()A.7.5B.8C.8.5D.9解析根据题意,绘图如下:由题意,可知AB=7,AD=2,不妨设DE=x,x∈(0,2),故可得AE=√4-𝑥2,DC=7+2x,则梯形的面积f(x)=(7+x)√4-𝑥2=√-𝑥4-1

4𝑥3-45𝑥2+56𝑥+196,令h(x)=-x4-14x3-45x2+56x+196,故可得h'(x)=-4x3-42x2-90x+56,令g(x)=-4x3-42x2-90x+56,则g'(x)=-12x2-84x-90,因为x∈

(0,2),容易知g'(x)<0恒成立,故可得h'(x)在区间(0,2)上单调递减,又h'(0)>0,h'(2)<0,h'12=0,故可得h(x)在区间0,12上单调递增,在12,2上单调递减,故当且仅当x=12时,h(x)取得最大值,则f(x)也取得最大值.此时,梯形的

底边长DC=7+2x=8.故选B.答案B3.(2019云南省云南师大附中高三月考)如图所示,一个仓库设计由上部屋顶和下部主体两部分组成,屋顶的形状是四棱锥P-ABCD,四边形ABCD是正方形,点O为正方形ABCD的中心,PO⊥平面ABCD,下部的形状是长方体ABCD-A'B'C'

D'.已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k>0),下部主体造价与高度成正比,比例系数为8k.若欲造一个上、下总高度为10m,AB=8m的仓库,则当总造价最低时,PO=()A.4√55mB.4√33mC.4mD.4√5m解析如图,设BC的中点为E,连接PE,OE,则OE

=4.由于PO⊥平面ABCD,则有PO⊥OE.在Rt△POE中,设∠PEO=θ,则有PO=4tanθ,PE=4cos𝜃,所以上部屋顶面积为S=4S△PBC=64cos𝜃,下部主体的高度为h=10-4tanθ,所以仓库的总造价为y=S·k+h·8

k=32k·2-sin𝜃cos𝜃+80k.设f(θ)=2-sin𝜃cos𝜃0<θ<π2,所以f'(θ)=2sin𝜃-1cos2𝜃.令f'(θ)=0,得sinθ=12,所以θ=π6.则当0<θ<π6时,f'(θ)<0,f(θ)在0,π6上单调递减;当π6<θ<π2时,

f'(θ)>0,f(θ)在π6,π2上单调递增;所以当θ=π6时,f(θ)有最小值,此时总造价最低,PO=4√33m.答案B4.(2020高台第一中学高二期中)如图所示,某几何体由底面半径和高均为1的圆柱与半径为1的半球对接而成,在该封闭几何体内部放入一个小圆柱体,且小圆柱体的上下

底面均与外层圆柱的底面平行,则小圆柱体积的最大值为.解析根据题意,画出图形:由题意,设小圆柱体底面半径为cosθ,则高为1+sinθ,θ∈0,π2,小圆柱体体积V=π·cos2θ·(1+sinθ).设sinθ=t,t∈(0,1),则V=π·(1-t2)(1+t)=π·(-t3-t

2+t+1).则V'=π·(-3t2-2t+1)=π·(-3t+1)(t+1).当t=13时,Vmax=32π27.答案32π275.如图所示,内接于抛物线y=1-x2的矩形ABCD,其中A,B在抛物线上运动,C,D在x轴上运动,则此矩形的面积的最大值是.解析设CD=x,则点C

的坐标为(𝑥2,0),点B的坐标为(𝑥2,1-(𝑥2)2),∴矩形ABCD的面积S=f(x)=x·[1-(𝑥2)2]=-𝑥34+x,x∈(0,2).由f'(x)=-34x2+1=0,得x1=-2√33(舍),

x2=2√33,∴x∈(0,2√33)时,f'(x)>0,f(x)单调递增,x∈(2√33,2)时,f'(x)<0,f(x)单调递减,故当x=2√33时,f(x)取最大值4√39.答案4√396.(2019佛山顺德区容山中学高二开学考试)已知某公司生产一种零件的年

固定成本为5万元,每生产1千件,成本再增加3万元.假设该公司年内共生产该零件x千件并且全部销售完,每1千件的销售收入为D(x)万元,且D(x)={6.6-𝑥230(0<𝑥≤10),195𝑥-1875𝑥2(𝑥>10),为使公司获得最大利润,则应将年产量定为千件(注:年

利润=年销售收入-年总成本).解析设年利润为W(x),则W(x)=xD(x)-(3x+5)={3.6𝑥-𝑥330-5,0<𝑥≤10,190-1875𝑥-3𝑥,𝑥>10.当0<x≤10时,W'(x)=3.6-𝑥210=(6+𝑥)(6-𝑥)10,所以W(

x)在(0,6)上单调递增,在(6,10]上单调递减,最大值为W(6)=3.6×6-6330-5=9.4万元.当x>10时,W(x)=190-1875𝑥-3x=190-1875𝑥+3x≤190-2√1875�

�·3𝑥=190-2×75=40,当且仅当1875𝑥=3x,即x=25时,等号成立.综上所述,当x=25千件时,年利润最大.答案257.(2019安徽合肥高三二模)已知正三棱锥的体积为√3,则其表面积的最小值为.解析设正三棱锥的底面边长为a,高为h,如图

,过顶点S作底面ABC的垂线,垂足为O,过O作OD垂直AB于D,连接SD,∴AB=a,SO=h.∴SO⊥底面ABC,AB⊂底面ABC,∴AB⊥SO,SO⊥OD.又∵AB⊥OD,SO∩OD=O,∴AB⊥平面SOD.又∵SD

⊂平面SOD,∴AB⊥SD,即SD为△SAB的高,三棱锥体积√3=13×√34×a2×h,得a2h=12,又O为底面中心,∴OD=13ABsin60°=√36a,SD=√𝑂𝐷2+𝑆𝑂2=√𝑎21

2+ℎ2,三棱锥的表面积S=√34a2+3×12×a×√𝑎212+ℎ2=√34a2+32√𝑎412+𝑎2ℎ2,将a2=12ℎ代入得S=3√3ℎ+32√12ℎ2+12ℎ=3√3·1+√ℎ3+1ℎ.∴S'=3√3·ℎ3-2-2√ℎ3+12ℎ2√ℎ3+1,令S'=0,得h3-2-2√ℎ3+1

=0,令√ℎ3+1=t(t>0),上式可化为t2-2t-3=0,解得t=3,或t=-1(舍),∴√ℎ3+1=3,得h=2.当0<h<2时,S'<0,当h>2时,S'>0,故S在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,故当h=2时,表面积最小,此时S=3√3·1+√23+1

2=6√3.答案6√38.如图所示,有甲、乙两个工厂,甲厂位于一直线海岸的岸边A处,乙厂与甲厂在海的同侧,乙厂位于离海岸40km的B处,乙厂到海岸的垂足D与A相距50km.两厂要在此岸边A,D之间合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,则供水站C建

在何处才能使水管费用最省?解设C点距D点xkm,则AC=50-x(km),所以BC=√𝐵𝐷2+𝐶𝐷2=√𝑥2+402(km).又设总的水管费用为y元,依题意,得y=3a(50-x)+5a√𝑥2+402(0<x<50).y'=-3a+5𝑎𝑥√𝑥2+402.令y'=0

,解得x=30.在(0,50)上,y只有一个极小值点,根据问题的实际意义,函数在x=30km处取得最小值,此时AC=50-x=20(km).故供水站建在A,D之间距甲厂20km处,可使水管费用最省.9.(2020江西新余一中高二月考)某同学大学毕业后,决定利用所学专业进行自主创业.经过市场

调查,生产一小型电子产品需投入固定成本2万元,每生产x万件,需另投入流动成本C(x)万元,当年产量小于7万件时,C(x)=13x2+2x(万元);当年产量不小于7万件时,C(x)=6x+lnx+e3𝑥-17(万

元).已知每件产品售价为6元,假设该同学生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润p(x)(万年)关于年产量x(万件)的函数解析式.(注:年利润=年销售收入-固定成本-流动成本)(2)当年产量约为多少万件时,该同学的这一产品所获年利润最大?最

大年利润是多少?(取e3=20)解(1)每件产品售价为6元,则x万件产品销售收入为6x万元.依题意,得当0<x<7时,p(x)=6x-13x2-2x-2=-13x2+4x-2;当x≥7时,p(x)=6x-6x+lnx+e3𝑥-17-2=15-lnx-e3𝑥

.∴p(x)={-13𝑥2+4𝑥-2,0<𝑥<7,15-ln𝑥-e3𝑥,𝑥≥7.(2)当0<x<7时,p(x)=-13(x-6)2+10,∴当x=6时,p(x)的最大值为p(6)=10(万元).当x≥7时,p(x)=15-lnx-e3𝑥,∴p'(x)=-1𝑥+e3𝑥2=e3-𝑥

𝑥2,∴当7≤x<e3时,p(x)单调递增,当x≥e3,p(x)单调递减,∴当x=e3时,p(x)取最大值p(e3)=15-lne3-1=11(万元).∵11>10,∴当x=e3≈20时,p(x)取得最大值11万元,即当年产量约为20万件,该同学的这一产品所获年利润最大,最大利润为1

1万元.素养培优练(2020江苏高三模拟)为了提升学生“数学建模”的核心素养,某校数学兴趣活动小组指导老师给学生布置了一项探究任务:如图,有一张边长为27cm的等边三角形纸片ABC,从中裁出等边三角形纸片A1B1C1作为底面,从剩余梯形

ABB1A1中裁出三个全等的矩形作为侧面,围成一个无盖的三棱柱(不计损耗).(1)若三棱柱的侧面积等于底面积,求此三棱柱的底面边长;(2)当三棱柱的底面边长为何值时,三棱柱的体积最大?解设三棱柱的底面边长为xcm,即A1C=x,则A1A=27-x.因为△AB

C为等边三角形,所以三棱柱的高为13×√32×(27-x)=√36(27-x).(1)因为三棱柱的底面积为12×x×x×√32=√34x2,侧面积为3×x×√36(27-x)=√32(27x-x2),所以√34x2=√32(27x-x2),解得x=18或x=0(舍去).即三棱柱的底面边长为1

8cm.(2)三棱柱的体积V=√34x2×√36(27-x)=18(27x2-x3).因为x>0,√36(27-x)>0,所以0<x<27.因为V'=18(54x-3x2)=38x(18-x),所以当0<x<18时,V'>0,V单调递增;当18

<x<27时,V'<0,V单调递减.所以当x=18时,V取到极大值,也是最大值,Vmax=18(27×182-183)=7292.即当底面边长为18cm时,三棱柱的体积最大,为7292cm3.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xia

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