【文档说明】江西省宜春市奉新县第一中学2021届高三下学期5月模拟考试数学（理）试题 版含答案.doc，共(9)页，3.399 MB，由小赞的店铺上传

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准考证号姓名绝密★启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题理科数学注意事项:答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2.回答选

择题时，选出每小题答案后用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选其他答案标号。回答非选择题时，用签字笔将答案写在答题卡上。写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合{|1}Axyx==−，B＝{x|0＜x＜2}，则()AB=Rð（）A．(1，2)B．(0，1)C．(-∞，2)D．(0，+∞)2．若复数z满足(1－i)z＝3－2

i，则z的虚部为（）A.－52B.－52iC.12D.523．已知双曲线)0,0(12222=−babxay的离心率为2．则其渐近线的方程为（）A．03=yxB．03=yxC．02=yxD．0=yx4．在矩形ABCD中，AC与BD相交于点O,E是线段OD的中

点，若AEmABnAD=+,则mn−的值为（）A.2−B.1−C.1D.125．已知函数22()1loglog(4)fxxx=+−−，则（）A.y=f(x)的图像关于直线x=2对称B.y=f(x)的图像关于点(2,1)对称C.y=f(x)在(0,4)单调递减D.y=f(

x)在(0,4)上不单调6．函数f(x)＝2xcosxxe−的图象大致为（）7．已知等差数列na的前n项和为nS，且78SS，8910SSS=，则下面结论错误的是（）A.90a=B.1514SSC.0dD.8S与9S均为nS的最小值8．对任意,1,1a−函数()()a24x4

axxf2−+−+=的值恒大于零，则x的取值范围是()A.()3,1B.()()+−,31,C.()2,1D.()()+−,21,9．已知定义在R上的函数()fx，则“()fx的周期为2”是“()fx＝()1fx1+”的（）A.充要条件B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件D.

必要不充分条件10．已知圆22()()1xayb−+−=经过原点，则圆上的点到直线2yx=+距离的最大值为（）A．22B．22+C．21+D．211．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（图1），标识由党徽、数字

“100”“1921”“2021”和56根光芒线组成，生动展现中国共产党团结带领中国人民不忘初心、牢记使命、艰苦奋斗的百年光辉历程.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为1的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（图2

）.已知21R=+，在两大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）图1图2A.121−+B.232−+C.343−+D.454−+12．已知椭圆C:2222xyab+

＝1(a>b>0)的焦距为2c(c>0),右焦点为F,过C上一点P作直线x=32c的垂线，垂足为Q.若四边形OPQF为菱形，则C的离心率为（）A.3-1B.63C.4-23D.23二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填

在答题卡中相应的横线上．)13．若x，y满足约束条件22111,xyxyy−−−−则z＝2x-y的最大值为__________14．已知函数()lnfxx=，()()1fafb+=，则ab+的最小值为______15．数列na满足11(1)nnaann−−=+(2n，且*

nN)，12a=，对于任意*nN有na恒成立，则λ的取值范围是__________.16．如图，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M为DD1的中点，N为正方形ABCD所在平面内一动点，则下列结论正确的序号是_____❶若MN＝2，则MN的中点的轨迹所围成

图形的面积为π❷若N到直线BB1与直线DC的距离相等，则N的轨迹为抛物线❸若D1N与AB所成的角为60°，则N的轨迹为双曲线❹若MN与平面ABCD所成的角为60°，则N的轨迹为椭圆三、解答题（共70分.解答应写出文字说明

、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．（本小题12分）已知四边形ABCD中，AC与BD交于点E，AB＝2BC＝2CD＝4．（1）若∠ADC＝2π3，AC＝3，求co

s∠CAD；（2）若AE＝CE，BE＝22，求△ABC的面积．18.（本小题12分）在如图所示的空间几何体中，两等边三角形ACD与ABC互相垂直，4ACBE==，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上．（1）求证：DE//平面ABC

；（2）求平面ABE与平面CAD所成夹角的余弦值．19.(本小题12分)“直播带货”是指通过一些互联网平台，使用直播技术进行商品线上展示、咨询答疑、导购销售的新型服务方式．某高校学生会调查了该校100名学生2020年在直播平台购物的情况，这100名学生中有男生60名，女生40名．男生

中在直播平台购物的人数占男生总数的23，女生中在直播平台购物的人数占女生总数的78．（1）填写22列联表，并判断能否有99%的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关？男生女生合计2020年在直播平台购物2020年未在直播平台购物合计（2）若把这100名学生2020年在直播平台购物

的频率作为该校每个学生2020年在直播平台购物的概率，从全校所有学生中随机抽取4人，记这4人中2020年在直播平台购物的人数与未在直播平台购物的人数之差为X，求X的分布列与期望．()20PKk0.050.010.0050.0010k3.8416.63

57.87910.828附：=+++nabcd，()()()()()22−=++++nadbcKabcdacbd．20.（本小题12分）已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率为22，短轴长为22．（Ⅰ）求

椭圆C的标准方程；（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两个不同的点，M为AB中点，N(-1，0)，当△AOB（点O为坐标原点）的面积S最大时，求|MN|的取值范围．21.（本小题12分）已知函数2()ln(2),0fxxaxaxa=−+−.（1）讨论()fx的单调性；（2）设*aN，

若关于x的不等式()1fx−„在(0,)+上恒成立，求a的最小值.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（本小题10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos2sinxy==(为参数)．以坐标

原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为3π2cos14−=．（1）求曲线C的普通方程和直线l的倾斜角；（2）点M的直角坐标为()0,1，直线l与曲线C相交于不同的两点,AB，求MAMB+的值．23．（本小题10分）【选修4-5：不等式选

讲】已知函数()1fxxx=−+．（1）求不等式()5fx的解集；（2）已知函数()fx的最小值为t，正实数,,abc满足22abct++=，证明：112acbc+++．2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟理科数学答案1-5DCAAB6

-10BCBDB11-12BA13.714.15.16.❷❸17.（本小题12分）解：(1)在△ACD中，由正弦定理，得sin∠ADCAC＝sin∠CADCD，所以sin∠CAD＝ACCDsin∠ADC＝3＝33．2分因为0＜∠CAD＜3π，因此

cos∠CAD＝＝23＝36．4分(2)设AE＝CE＝x，∠AEB＝α．在△ABE中，8＋x2－4xcosα＝16．①.............6分在△BCE中，8＋x2－4xcos(π－α)＝4，即8＋x2＋4xcosα＝4．②7分①②相加，解得

x＝，即AE＝CE＝．9分将x＝代入①，解得cosα＝－43．因为0＜α＜π，所以sinα＝＝47，......10分所以△ABC的面积S△ABC＝2S△ABE＝2×21AE×BE×sinα＝2×(21×

×2×47)＝．12分18.（1）取中点，连接，由题知，为的平分线，设点是点在平面上的射影，由题知，点在上连接，则平面.平面平面，平面平面，平面，平面…………………2分和平面所成的角为，即，，又四边形为平行四边形，………………………5分平面，平面，平面

……………………………6分（2）以方向为轴，轴，轴的正方向，如图所示的空间直角坐标系则………………………8分设平面的一个法向量为则，取，得，取平面的法向量为…………………………10分设平面与平面所夹角为，则………………………………………11分平面

与平面所夹角余弦值为…………………………………………12分19.(本小题12分)解：（1）列列联表：男生女生合计2020年在直播平台购物4035752020年未在直播平台购物20525合计6040100．故没有的把握认为该校学生的性别与2020年在直播平台购物有关．

.........4分（2）设这4人中2020年在直播平台购物的人数为，则，且，，故，.......6分且，........7分，.......8分，.........9分，．.........10分所以的分布列为，.........12分20.（本小题1

2分）解：（1）由已知，，得，故椭圆的；……………………4分（2）设，则由得........6分，点到直线的距离，.........7分取得最大值，当且仅当即，①……………9分此时，法一：即代入①式整理得，即

点的轨迹为椭圆………11分且点恰为椭圆的左焦点，则的范围为……………12分法二：由①得………10分设代入得，即，∴，即∴……………12分21.（本小题12分）（1）由题意得，……2分，由，得，函数在上单调递增；由，得，函数在上单调递减，…………………

………………………………4分函数在上单调递增，在上单调递减.…………………………5分（2）由（1）可知，函数在上单调递增，上单调递减，.…………………………………………………………6分又在上恒成立，，即.………………………………………………………………………………8分令，则.设，则.，故函数在

上单调递增，且，存在唯一的，使得.………………………………………………10分当时，；当时，，，解得.的最小值为2.…………………………12分22．（10分）【解析】（1）曲线的参数方程为，则有，则，即曲线的普通方程为．.....

..2分直线的极坐标方程，展开可得，........3分将代入，可得，即，即，所以斜率，则，由，可得，所以直线的倾斜角为．（2）由（1）知，点在直线上，则直线的参数方程为(为参数)．.................7分将直线的参数方程

代入曲线的普通方程，得，整理得，....................8分设点对应的参数分别为，则，，所以．.......10分23．（10分）【解析】（1）解：由题可得，所以，即或或，解得或，所以不等式的解集为．.........5分（2

）证明：，则，则，故，当且仅当时取等号．.......10分