【文档说明】陕西省西安市长安区第一中学2021届高三第七次质量检测数学（文）试题 含答案.doc，共(9)页，471.000 KB，由小赞的店铺上传

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长安一中2020—2021学年度第七次质量检测高三年级数学(文科)满分150分，考试时间120分钟一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，22|4,,Q

yxyxyR=+=，则PQ＝（）A．1,2−B．()()3,1,0,2−C．D．Q2.复数1(1)zzi+=−,则z=（）A．iB．-iC．1+iD．1-i3．曲线32yxx=−在1x=−处的切线方程为（）A．20xy++=B．20xy+

−=C．20xy−+=D．20xy−−=4.下列说法中，正确的是（）A．命题“若22ambm，则ab”的逆命题是真命题B．命题“xR，02−xx”的否定是：“xR，02−xx”C．命题“p或q

”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题D．已知Rx，则“1x”是“2x”的充分不必要条件5.已知等差数列na中，26a=，515a=，若2nnba=，则数列nb的前5项和等（）A．30B．45C．180D．906.设实数,

xy满足2025020xyxyy−−+−−，则yxu+=的最小值是（）A．2B．3C．13D．437．一个几何体的三视图如右图所示（单位长度：cm），则此几何体的体积是（）A．32243c

mB．1123cmC．963cmD．2243cm8．如图所示，单位圆中弧AB的长为x，()fx表示弧AB与弦AB所围成的弓形面积的2倍，则函数()yfx=的图像是（）9．在坐标平面上，圆C的圆心在原点且半径为2，已知直线L与圆C相交，

则直线L与下列图形一定相交的是（）A．2yx=B．1()2xy=C．223xy+=D．22194xy+=10．已知O是正三角形ABC内部一点，OOCOBOA=++32，则ABC的面积与OAB的面积之比是()A．32B．32C．2D．3111.定义函数()yfx=，x

D．若存在常数c，对任意1xD，存在唯一的2xD，使得()()122fxfxc+=，则称函数()fx在D上的算术平均数为c．已知()lnfxx=，2,8x，则()lnfxx=在2,8上的算术平均数为（）A.ln2B.ln4C.ln5D.ln812．已知函数2|1|(0)(

)|log|(0)xxfxxx+=，若方程()fxa=有4个不同的根1234,,,xxxx且1234xxxx，则3122341()xxxxx++的取值范围是（）A．(1,)−+B．(1.1−C．(,1)−D．)1,1−二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共

20分.把答案填在答题纸的相应位置上)13.对某城市进行职工人均工资水平x（千元）与居民人均消费水平y（千元）统计调查后知，y与x具有线性相关关系，满足回归方程0.61.5yx=+，若该城市居民人均消费水平为7.

5（千元），则可以估计该城市人均消费额占人均工资收入的百分比约为．14．已知21(),()()2xfxxgxm==−，若对11,3x−，20,2x，12()()fxgx≥，则实数m的取值范围是．15．若某程序框图如右图所示，则该程序运行后输出的B等于_____

_____．16．观察下列几个三角恒等式:①tan10tan20tan20tan60tan60tan101++=；②tan13tan35tan35tan42tan42tan131++=；③tan5tan100tan100tan(1

5)tan(15)tan51+−+−=④tan(160)tan(22)tan(22)tan272tan272tan(160)1−−+−+−=一般地,若tan,tan,tan都有意义,你从这四个恒等式中猜想得到的一

个结论为.三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和()1122nnnSa−=−−+（n为正整数）（1）求数列na的

通项公式；（2）若1nncann+=，12nnTccc=+++，求nT.18.（本小题满分12分）2022年北京冬奥会即第24届冬季奥林匹克运动会将在2022年2月4日至2月20日在北京和张家口举行，某研究机构为了了解大学生对冰壶运动的兴

趣，随机从某大学生中抽取了120人进行调查，经统计男生与女生的人数比为11∶13，男生中有30人表示对冰壶运动有兴趣，女生中有15人对冰壶运动没有兴趣．(1)完成下列2×2列联表，并判断能否有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”？有兴趣没有兴趣总计男3

0女15总计120(2)用分层抽样的方法从样本中对冰壶运动有兴趣的学生中抽取8人，求抽取的男生和女生分别为多少人？若从这8人中选取两人作为冰壶运动的宣传员，求选取的2人中恰好有1位男生和1位女生的概率．附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋

d.P(K2≥k0)0.1500.1000.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.63519.（本小题满分12分）如图，正方形ABCD的边长为22，以AC为折痕把△ACD折起，使点D到达点P的位置，且PA＝PB.(1)证明：平面PAC⊥平面A

BC；(2)若M是PC的中点，设PN→＝λPA→(0<λ<1)，且三棱锥A－BMN的体积为89，求λ的值．20．（本小题满分12分）直线0xyab=称为椭圆2222:1(0)xyCabab+=的“特征直线”

，若椭圆的离心率32e=．（Ⅰ）求椭圆的“特征直线”方程；（Ⅱ）过椭圆C上一点000(,)(0)Mxyx作圆222xyb+=的切线，切点为P、Q，直线PQ与椭圆的“特征直线”相交于点E、F，O为坐标原点，若OEOF取值范围恰为3(,3)[,)16−−+，求椭圆C的方程．21.（本小

题满分12分）已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)．(1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围．请考生从第22、23题中任选一题做答。如果多选，则按所做第一题计分。22．（本小题满分10分）选

修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ－2ρsinθ＋1＝0，曲线C的参数方程为x＝2cosα，y＝3sinα(α为参数)．(1)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值；(2)直线l与曲线C

交于A，B两点，已知点M(1,1)，求|MA|·|MB|的值．23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数f(x)＝|2x＋1|＋|1－x|.(1)解不等式f(x)≤－x＋2；(2)当x∈R时，不

等式f(x)≥t2－2t＋12恒成立，求实数t的取值范围．长安一中2020—2021学年度第七次质量检测高三年级数学(文科)参考答案一、选择题：题号123456789101112答案DAABDBADDCBB二、填空题:13．75%；14．14m；15．63；16．9

0,tantantantantantan1++=++=当时解答题：17.解：（1）由()1122nnnSa−=−−+得()11122nnnSa++=−−+，两式相减得()1112nnnnaaa++=−+

+，即11221nnnnaa++=+得数列2nna是首项为1，公差为1的等差数列，所以2nnna=*()nN…………6分（2）由（1）及1nncann+=得12)(1)(nncn=+，所以231111222223()4()(1)()nnTn=

+++++(1)234111111222222()3()4()(1)()nnTn+=+++++(2)由(1)-(2)得323nnnT+=−………………………………12分18.解(1)根据题意得2×2列联表：有兴趣没有兴趣总计男30255

5女501565总计8040120所以K2＝120×(30×15－25×50)255×65×80×40＝960143≈6.713>6.635，所以有99%的把握认为“对冰壶运动是否有兴趣与性别有关”．(2)对冰壶运动有兴趣的学生共有80人，从中抽取8人，抽取的男生

数、女生数分别为30×880＝3,50×880＝5.这3位男生为a，b，c,5位女生为A，B，C，D，E.则从中选取2人的基本事件为：ab，ac，aA，aB，aC，aD，aE，bc，bA，bB，bC，bD，

bE，cA，cB，cC，cD，cE，AB，AC，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE，共28个，其中恰好有1位男生和1位女生的基本事件为aA，aB，aC，aD，aE，bA，bB，bC，bD，bE，cA

，cB，cC，cD，cE，共15个，所以选取的2人中恰有1位男生和1位女生的概率为1528.19.(1)证明如图，取AC的中点O，连接PO，BO.因为PC＝PA，所以PO⊥AC.在△POB中，PO＝OB＝12AC＝2，PB＝PA＝22，则PB2＝PO2＋OB2，所以PO⊥OB，又

AC∩OB＝O，且AC，OB⊂平面ABC，所以PO⊥平面ABC，又PO⊂平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC.(2)解因为平面PAC⊥平面ABC，又平面PAC∩平面ABC＝AC，且BO⊥AC，所以OB⊥平面PAC，所以VA－BMN＝VB－AM

N＝13S△AMN·BO.又因为OB＝2，VA－BMN＝89，所以S△AMN＝43.因为PN→＝λPA→，所以S△AMN＝(1－λ)S△APM＝1－λ2S△PAC.又S△PAC＝12PA·PC＝4，所以1－λ2×4＝43，得λ＝13.20．解：由32cea=

=，得2222234cabaa−==，1,22baba==椭圆的“特征直线”方程为：20xy=…………………………………………………….3分（Ⅱ）直线PQ的方程为200xxyyb+=（过程略）………………………………………….5分设1122(,),(,)ExyFxy联立20020xxyy

bxy+=−=，解得21002byyx=+，同理22002byyx=−…………………………….7分41212122200334bOEOFxxyyyyxy=+=−=−，00(,)Mxy是椭圆上的点，22002214xybb+=从而442222000

331744bbOEOFxyxb==−−…………………………………………………….10分22004xb2222017164bxbb−−23OEOFb−或2316bOEOF[21解(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1，令f′(x)<0，解得x<0，

令f′(x)>0，解得x>0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)f′(x)＝ex－a.①当a≤0时，f′(x)>0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．故f(x)至多存

在一个零点，不合题意．②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝lna.当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0.所以f(x)在(－∞，lna)上单调递减，在(lna，＋∞)上单调递增．故当x＝ln

a时，f(x)取得最小值，最小值为f(lna)＝－a(1＋lna)．(ⅰ)若0<a≤1e，则f(lna)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不合题意．(ⅱ)若a>1e，f(lna)<0.因为f(－2)＝e－2>0，所以f(x)在(－∞，

lna)上存在唯一零点．由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0.所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝2ex·2ex－a(x＋2)>eln(2a)·x2＋2－a(x＋2)＝2a>0.故f(x)

在(lna，＋∞)上存在唯一零点．从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点．综上，a的取值范围是1e，＋∞.22.解(1)设曲线C上任意一点N(2cosα，3sinα)，直线l：x－2y＋1＝0，则点N到直线l的距离d＝|2cosα－23sinα＋1|5＝4cosα＋π3

＋15≤5，∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值为5.(2)设直线l的倾斜角为θ，则由(1)知tanθ＝12，∴cosθ＝255，sinθ＝55.∴直线l的参数方程为x＝1＋255t，y＝1＋55t(t为参数)

，曲线C：x24＋y23＝1，联立方程组，消元得165t2＋45t－5＝0，设方程两根为t1，t2，则t1t2＝－2516，由t的几何意义，得|MA|·|MB|＝－t1t2＝2516.23.解(1)f(x

)＝－3x，x≤－12，x＋2，－12<x<1，3x，x≥1，当x≤－12时，－3x≤－x＋2，解得－1≤x≤－12；当－12<x<1时，x＋2≤－x＋2，解得－12<x≤0；当x≥1时，3x≤－x＋2，无解．综上，

不等式f(x)≤－x＋2的解集为{x|－1≤x≤0}．(2)由函数f(x)的解析式知，当x≤－12时，f(x)单调递减，当x>－12时，f(x)单调递增；所以f(x)≥f－12＝32.不等式f(x)≥

t2－2t＋12恒成立等价于f(x)min≥t2－2t＋12，即32≥t2－2t＋12，解得1－2≤t≤1＋2，所以实数t的取值范围是[1－2，1＋2]．