【文档说明】甘肃省兰州市第五十五中学2020-2021学年高二下学期第一次月考数学（文）试题含答案.doc，共(8)页，403.000 KB，由小赞的店铺上传

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2020—2021学年第二学期3月月考考试高二年级文科数学试卷本试卷共150分，考试时间120分钟注意事项：1．答题前在答题卡上填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分卷I（选择题）一、选择题（本大题共计12小题，每题5分，共60

分，每题只有一项符合题目要求）1．根据变量x，y的观测数据得到的散点图如图所示，则()A．变量x与y正相关B．变量x与y负相关C．变量x与y可能正相关，也可能负相关D．变量x与y没有相关性2．在建立u与v的回归模型时，选择了4种不同模型，其中拟合最好的为()A．相关指数R2为0.7

5的模型B．相关指数R2为0.90的模型C．相关指数R2为0.25的模型D．相关指数R2为0.55的模型3、设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()4、设f′(x)是函数f(x)

的导函数，y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D．86、如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③f(x)

在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④7、对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，下列说法中不正确的是()A．直线必经过点(x，y)B．x增加1个单位时，y平均增加b^个

单位C．样本数据中x＝0时，可能有y＝a^D．样本数据中x＝0时，一定有y＝a^8、下列求导结果正确的是（）A．B．（3x）′＝x•3x﹣1C．D．g（x）＝xlnx，9、已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最小值是()A．－3B．－2C．2D．310、函数，若

a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c11、设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b

)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋2x＋2在(－1,2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1,2)上()A．既没有最大值，也没有最小值B．既有最大值，也有最小值C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，有最小值12

、函数f(x)的定义域为R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集是()A．{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}卷II（非选择题）二、填

空题（本大题共计4小题，每题5分，共计20分）13、若函数y＝f（x）满足f（x）＝sinx+cosx，则＝．14、若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1,2)，则b＝_____，c＝______

_.15、若函数f(x)＝13x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．16、已知e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．三、解答题（本大题共计6小题，共计70分，答案写到

答题卡上，解答题步骤要有必要的文字说明）17、（本题满分10分）已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的

方程．18、（本题满分12分）某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；相关公式：b^＝i＝1

nxiyi－nx·yi＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．19、（本题满分12分）现需设计某次期中考试的数学试卷，该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为720cm2，四周空白的宽度为

4cm，两栏之间的中缝空白的宽度为2cm，设试卷的长和宽分别为xcm，ycm.(1)写出y关于x的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位：cm)，才能使试卷的面积最小？20、（本题满分12分）

为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级的学生进行了问卷调查得到如下列联表．平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知在30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概

率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；附：K2＝n(ad－bc)2(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.0

05k02.7063.8416.6357.87921、（本题满分12分）已知函数f(x)＝13x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－43.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．22．（本题满分12分

）(12分)已知函数f(x)＝12ax2＋2x－lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间13，2上是增函数，求实数a的取值范围．2020—2021学年第二学期3月月考考试高二年级文科数学答案一、选择题1．根据变量x，y的观测数据得到的散

点图如图所示，则()A．变量x与y正相关B．变量x与y负相关C．变量x与y可能正相关，也可能负相关D．变量x与y没有相关性答案A解析图中的数据y随x的增大而增大，因此变量x与y正相关，故选A.2．在建立u与v的回归模型时，选

择了4种不同模型，其中拟合最好的为()A．相关指数R2为0.75的模型B．相关指数R2为0.90的模型C．相关指数R2为0.25的模型D．相关指数R2为0.55的模型答案B解析相关指数R2的值越大，意味着残差平方和越小，也就是说模型的拟合效果越

好，故选B.3、设函数f(x)在定义域内可导，f(x)的图象如图所示，则导函数f′(x)的图象可能为()答案D解析由图象可知，y＝f(x)在(－∞，0)上是增函数，因此在x<0时，有f′(x)≥0且f′(x)不恒为0，故排除A，C.从原函数图象上可以看出，在区间(0，x1)上

原函数是增函数，f′(x)≥0且f′(x)不恒为0；在区间(x1，x2)上原函数是减函数，f′(x)≤0且f′(x)不恒为0；在区间(x2，＋∞)上原函数是增函数，f′(x)≥0且f′(x)不恒为0，故排除B.4、设f′(x)是函数f(x)的导函数，y＝f′(x)的图

象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能的是()答案C解析由题图可知，当x<0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当0<x<2时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>2时，f′(x)>0，f(x)单调递增．符合以上条件的只有选项C.5．若f（x）＝lnx+x3，则＝（）A．1B．2C．4D

．8【解答】解：根据题意，f（x）＝lnx+x3，其导数f′（x）＝+3x2，则f′（1）＝4，又由＝2×＝2f′（1），则＝8，故选：D．6、如图为y＝f(x)的导函数的图象，则下列判断正确的是()①f(x)在(－3，－1)上为增函数；②x＝－1是f(x)的极小值点；③

f(x)在(2,4)上为减函数，在(－1,2)上为增函数；④x＝2是f(x)的极小值点．A．①②③B．②③C．③④D．①③④答案B解析当x∈(－3，－1)时，f′(x)<0，当x∈(－1,2)时，f′(x)>0，∴f

(x)在(－3，－1)上为减函数，在(－1,2)上为增函数，∴①不对；x＝－1是f(x)的极小值点；当x∈(2,4)时，f′(x)<0，f(x)是减函123456789101112ABDCDBDCABAA数；x＝2是f(x)的极大值点，故②

③正确，④错误．命题角度2求函数的极值或极值点7、对于线性回归方程y^＝b^x＋a^，下列说法中不正确的是()A．直线必经过点(x，y)B．x增加1个单位时，y平均增加b^个单位C．样本数据中x＝0时，可能有y＝a^D．样本数据中

x＝0时，一定有y＝a^答案D解析线性回归方程是根据样本数据得到的一个近似曲线，故由它得到的值也是一个近似值．8、下列求导结果正确的是（）A．B．（3x）′＝x•3x﹣1C．D．g（x）＝xlnx，【解答】解：，，故选：C．9、已知函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函

数，则a的最小值是()A．－3B．－2C．2D．3答案A解析f′(x)＝3x2＋a，∵函数f(x)＝x3＋ax在[1，＋∞)上是增函数，∴f′(x)＝3x2＋a≥0在[1，＋∞)上恒成立，∵f′(x)＝3x2＋a在[1，＋∞)上是增函数，∴3x2＋a≥3×12＋a＝3＋a，∴3＋a

≥0，∴a≥－3.10、函数，若a＝f（4），b＝f（5.3），c＝f（6.2），则（）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．c＜a＜bD．b＜a＜c【解答】解：，定义域是（0，+∞），f′（x）＝，（x＞0），令f′（x）＞0，解得：0＜x＜e，令f′（x）＜0，解得：x＞e，故f（x）在（0，e）递

增，在（e，+∞）递减，∵e＜4＜5.3＜6.2，∴f（4）＞f（5.3）＞f（6.2），即a＞b＞c，故选：B．11、设函数y＝f(x)在(a，b)上的导函数为f′(x)，f′(x)在(a，b)上的导函数为f″(x)

，若在(a，b)上，f″(x)<0恒成立，则称函数f(x)在(a，b)上为“凸函数”．已知当m≤2时，f(x)＝16x3－12mx2＋2x＋2在(－1,2)上是“凸函数”，则f(x)在(－1,2)上()A．既没有最大值，也没有最小值B．既有

最大值，也有最小值C．有最大值，没有最小值D．没有最大值，有最小值答案A解析∵f′(x)＝12x2－mx＋2，f″(x)＝x－m，由题意知当－1<x<2时，f″(x)＝x－m<0恒成立，∴m≥2，又∵m≤2，∴m＝2，∴f(x)＝16x3－x2＋2x＋2，f′(x)＝1

2x2－2x＋2＝12(x－2)2，则f′(x)≥0在R上恒成立，即f(x)在R上单调递增，所以f(x)在(－1,2)上既没有最大值也没有最小值．12、函数f(x)的定义域为R，f(0)＝2，对任意的x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式exf(x)>ex＋1的解集是()A．

{x|x>0}B．{x|x<0}C．{x|x<－1或x>1}D．{x|x<－1或0<x<1}答案A解析构造函数g(x)＝exf(x)－ex－1，则g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]．由已知f(x)＋f′(x)>1，

可得g′(x)>0，所以g(x)为R上的增函数．又g(0)＝e0f(0)－e0－1＝0，所以exf(x)>ex＋1，即g(x)>0的解集为{x|x>0}．二、填空题13、若函数y＝f（x）满足f（x）＝sinx+co

sx，则＝．【解答】解：∵f（x）＝sinx+cosx，∴f′（x）＝cosx﹣sinx，令x＝，则＝cos﹣sin，解得：＝．故答案为：．14、若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(

－1,2)，则b＝________，c＝________.答案－32－6解析f′(x)＝3x2＋2bx＋c，由题意知－1<x<2是不等式f′(x)<0的解，即－1,2是方程3x2＋2bx＋c＝0的两个根，把－1,2分别代入方程

，解得b＝－32，c＝－6.15、若函数f(x)＝13x3－x2＋ax－1有极值点，则实数a的取值范围为________．答案(－∞，1)解析∵f′(x)＝x2－2x＋a，由题意得方程x2－2x＋a＝0有两个不同的实数根，∴Δ＝4－4a>0，解得a<1.16、已知

e是自然对数的底数，若函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，则实数a的取值范围是________．答案(－1，＋∞)解析∵函数f(x)＝ex－x＋a的图象始终在x轴的上方，∴f(x)＝ex－

x＋a>0对一切实数x恒成立，即f(x)min>0.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，解得x＝0，当x<0时，f′(x)<0，则f(x)在(－∞，0)上单调递减；当x>0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增

，∴当x＝0时，f(x)取得极小值即最小值，为f(0)＝1＋a，∴1＋a>0，即a>－1，故实数a的取值范围是(－1，＋∞)．三、解答题17、已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1与直线4x－y－1＝0平行，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P

0，求直线l的方程．解(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4

)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.18、某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析

，得下表数据：x681012y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y^＝b^x＋a^；相关公式：b^＝i＝1nxiyi－nx·y

i＝1nx2i－nx2，a^＝y－b^x(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解(1)如图：(2)i＝14xiyi＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，

i＝14x2i＝62＋82＋102＋122＝344，b^＝i＝14xiyi－4xyi＝14x2i－4x2＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a^＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y^＝0.7x－2.3.(3)由

(2)中线性回归方程可知，当x＝9时，y^＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.19、现需设计某次期中考试的数学试卷，该试卷含有大小相等的两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为720cm2，四周空白的宽度为4cm，两栏

之间的中缝空白的宽度为2cm，设试卷的长和宽分别为xcm，ycm.(1)写出y关于x的函数解析式，并求该函数的定义域；(2)如何确定该试卷长与宽的尺寸(单位：cm)，才能使试卷的面积最小？解由题意知试卷的长

和宽分别为xcm，ycm，则每栏的两边长分别为x－102，y－8，其中x>10，y>8.(1)两栏面积之和为2·x－102·(y－8)＝720，由此得y＝720x－10＋8(x>10)．(2)试卷的面积S＝xy＝x720x－10＋8，∴S′＝－7200(x－10)2＋8，令S′＝0，得

x＝40(负数舍去)，∴函数在(10,40)上单调递减，在(40，＋∞)上单调递增，∴当x＝40时，S取得最小值，故当试卷的长为40cm，宽为32cm时，可使试卷的面积最小．20、为了了解少年儿童的肥胖是否与常喝碳酸饮料有关，现对30名六年级的学生进行了问卷调查得到如下

列联表．平均每天喝500mL以上为常喝，体重超过50kg为肥胖．常喝不常喝总计肥胖2不肥胖18总计30已知在30人中随机抽取1人，抽到肥胖的学生的概率为415.(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关？说明你的理由；附：K2＝n(ad－bc)2(a

＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)，其中n＝a＋b＋c＋d.P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.005k02.7063.8416.6357.879解(1)设常喝碳酸饮料且肥胖的学生有x人，则x＋230＝415

，解得x＝6.则列联表补充如下，常喝不常喝总计肥胖628不肥胖41822总计102030(2)由已知数据，得K2＝30×(6×18－2×4)210×20×8×22≈8.523>7.879.因此有99.5%的

把握认为肥胖与常喝碳酸饮料有关．21、已知函数f(x)＝13x3＋ax＋b(a，b∈R)在x＝2处取得极小值－43.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，求实数m的取值范围．解(1)f′(x)＝x2＋a，由f′(2)

＝0，得a＝－4；再由f(2)＝－43，得b＝4.所以f(x)＝13x3－4x＋4，f′(x)＝x2－4.令f′(x)＝x2－4>0，得x>2或x<－2.所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)．(2)因为f(－4)＝－43，f(－2)＝28

3，f(2)＝－43，f(3)＝1，所以函数f(x)在[－4,3]上的最大值为283.要使f(x)≤m2＋m＋103在[－4,3]上恒成立，只需m2＋m＋103≥283，解得m≥2或m≤－3.所以实数m的取值范围是(－∞，－3]∪[2，＋∞)．22．(12分)已知函数f(x)＝1

2ax2＋2x－lnx.(1)当a＝0时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在区间13，2上是增函数，求实数a的取值范围．解(1)函数的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝12ax2＋2x－lnx，当a＝0时，f(x)＝2x－lnx，则f′(x)＝2

－1x，令f′(x)＝0，得x＝12，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x0，121212，＋∞f′(x)－0＋f(x)↘极小值↗所以当x＝12时，f(x)的极小值为1＋ln2，无极大值．(2)由已知，得

f(x)＝12ax2＋2x－lnx，x>0，则f′(x)＝ax＋2－1x＝ax2＋2x－1x.若a＝0，由(1)中f′(x)≥0，得x≥12，显然不符合题意；若a≠0，因为函数f(x)在区间13，2上是增函数，所以f′(x)≥0对x∈13，2恒成立，即

不等式ax2＋2x－1≥0对x∈13，2恒成立，即a≥1－2xx2＝1x2－2x＝1x－12－1对x∈13，2恒成立，故a≥1x－12－1max.而当x＝13时，函数1x－12－1

取得最大值为3，所以实数a的取值范围为[3，＋∞)．