【文档说明】黑龙江省哈尔滨市第三中学2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(19)页，1.375 MB，由小赞的店铺上传

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哈三中2019—2020学年度上学期高一学年第二模块数学考试试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知210Axx=−,xByye==，则AB=

（）A.()0+，B.(,1−−C.)1,+D.(),11,−−+【答案】C【解析】【分析】求出集合A，B，直接进行交集运算即可.【详解】21011Axxxxx=−=−或，0xByyeyy===，1ABxx=故选：C【点睛】本题考查集合的交集

运算，指数函数的值域，属于基础题.2.化简cos480的值是（）A.12B.12−C.32D.32−【答案】B【解析】【分析】利用终边相同的角同名函数相同，可转化为求120的余弦值即可.【详解】1cos480cos(360120)cos1202=+==−.故选B

.【点睛】本题主要考查了三角函数中终边相同的角三角函数值相同及特殊角的三角函数值，属于容易题.3.已知()sin23cos2fxxx=+，则()fx的周期为（）A.B.2C.1D.2【答案】A【解析】【分析】利用

两角和的正弦公式化简函数，2=代入周期计算公式2T=即可求得周期.【详解】()sin23cos22sin(2)3fxxxx=+=+，周期为：22T==故选：A【点睛】本题考查两角和的正弦公式，三角函数的最小正周期，属于基础题.4.已知

扇形的周长为6cm，圆心角为14，则扇形面积为（）A.22cmB.289cmC.298cmD.21cm【答案】B【解析】【分析】周长为6cm则26Rl+=，代入扇形弧长公式解得83R=，代入扇形面积公式212SR=即可得解.【详解】由题意知26Rl+

=，14lR=代入方程解得83R=，所以11648==2499S故选：B【点睛】本题考查扇形的弧长、面积公式，属于基础题.5.方程2log2xx+=的解所在的区间为（）A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】【分析】令2()log2fxxx=+−，由(1)

(2)0ff可知方程2log2xx+=的解所在的区间为(1,2).【详解】令2()log2fxxx=+−，21(1)log1210f=+−=−，22(2)log2210f==+−，因为(1)(2)0ff，所以()fx在(1,2)上有零

点，因此方程2log2xx+=的解所在的区间为(1,2).故选：B【点睛】本题考查求函数零点范围，属于基础题.6.已知3sin()2cos()sin2−+−=，则22sinsincos−=（）A.2110B.32C.32D.2【答案】A【解析】【分析】由三角函数诱

导公式化简等式可得tan3=−，利用221sincos=+将所求等式化简为含tan的分式，代入tan3=−即可得解.【详解】化简得3cossin−=，则tan3=−222222sinsincos2tantansincostan1−−=++=211

0故选：A【点睛】本题考查三角函数诱导公式二、六，同角三角函数的关系，属于基础题.7.比较133log2a=,151()3b−=,152()3c−=的大小（）A.cbaB.cabC.abcD.acb【答案】D【解析】【分析】由对数函数的单调性判断

出133log02a=，再根据幂函数15yx−=在(0,)+上单调递减判断出115512()(0)33−−，即可确定大小关系.【详解】因为133log02a=，115512()(0)33−−，所以acb故选：D【点睛】本题考查利用对数函数及幂函数的单调性比较数的大小，属于基

础题.8.为了得到sin(2)6yx=−的图象，可以将sin2yx=的图象（）A.向左平移1112个单位B.向左平移12个单位C.向右平移6个单位D.向右平移3个单位【答案】A【解析】【分析】根

据左加右减原则，只需将函数sin2yx=向左平移1112个单位可得到sin(2)6yx=−.【详解】1111sin2()sin(2)sin[(2)2]sin(2)12666yxxxx=+=+=−+=−，即sin2yx=向左平移1112个单位可得到s

in(2)6yx=−.故选：A【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，三角函数诱导公式，属于基础题.9.已知函数()2tan(2)fxx=−+，(0)2，其函数图象的一个对称中心是(,0)12

，则该函数的一个单调递减区间是（）A.5(,)66−B.ππ(,)63−C.(,)36−D.5(,)1212−【答案】D【解析】【分析】由正切函数的对称中心得3=，得到()2tan(2)3fxx=−+，令222322kkx−+++可

解得函数的单调递减区间.【详解】因为(,0)12是函数的对称中心，所以=()1222kkZ+，解得()26kkZ=−因为02，所以3=，()2tan(2)3fxx=−+，令2

)23(2kxkkZ−+++，解得)5++(122122kZkkx−，当0k=时，函数的一个单调递减区间是5(,)1212−故选：D【点睛】本题考查正切函数的图像与性

质，属于基础题.10.已知函数2()sin()2cos2264fxxx=+−−，则()fx在3[0,]2上的最大值与最小值之和为（）A.92−B.72−C.0D.112−【答案】D【解析】【分析】首先利用两角和与差的正弦公式将函数化简为()sin()32

6fxx=−−，当3[0,]2x时，7[,]26612x−−，由正弦型函数的单调性即可求出最值.【详解】21cos312()sin()2cos2=sin+cos222642222231sincos3sin()3222226xfxx

xxxxxx+=+−−−−=−−=−−当3[0,]2x时，7[,]26612x−−，max7()(0)sin()362fxf==−−=−min4()()sin()3232fxf==−=−所以最大值与最小值之和为：112−.故选：D【

点睛】本题考查两角和与差的正弦公式，正弦型函数的单调性与最值，属于基础题.11.已知sinyx=的图象在[0,1]上存在10个最高点，则的范围（）A.3741[,)22B.[20,22)C.3741[,]22D.(20,22)【答案】A【解析】【分析】根据题意列出周期应满足

的条件，解得444137T，代入周期计算公式即可解得的范围.【详解】由题可知1(9)141(10)14TT++，解得444137T，则4244137，374122故选：A【点睛】本题考查正弦函数图像的性质与周期，属于中档题.12.定义在

R上的奇函数()fx满足(4)()fxfx−=−，且当[0,2]x时，2()fxx=，则方程()fxm=(14)m在[2019,2019]−上的所有根的和为（）A.1004−B.3028C.2019D.2020【答案】D【解析】【分析】首先由题所给条件计算函数的

周期性与对称性，作出函数图像，()fxm=(14)m在[2019,2019]−上的所有根等价于函数()fx与ym=图像的交点，从两函数的交点找到根之间的关系，从而求得所有根的和.【详解】函数()fx为奇函数，

所以(4)()()fxfxfx−=−=−，则()fx的对称轴为：2x=−，由(8)((4)4)(4)()fxfxfxfx−=−−=−−=知函数周期为8，作出函数图像如下：()fxm=(14)m在[2019,2019]−上的所有根等价于函数()fx与ym=图

像的交点，交点横坐标按如图所示顺序排列，因为(2019)(3)1ff==，(2019)(3)1ff−=−=−，所以两图像在y轴左侧有504个交点，在y轴右侧有506个交点，3456100910101222222xxxxxxxx++++=====123456100910104xxxxxxxx

+=+=+==+=123456100910102020xxxxxxxx++++++++=故选：D【点睛】本题考查函数的图像与性质，根据函数的解析式推出周期性与对称性，考查函数的交点与方程的根的关系，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题

卡相应的位置上．13.tan22°+tan23°+tan22°tan23°=_______【答案】1【解析】解：因为tan22°+tan23°+tan22°tan23°=tan(22°+23°)(1-tan22°tan23°)

+tan22°tan23°=tan45°=114.已知log(1)ayax=−在(1,2)上单调递增，则a的范围是_____【答案】102a【解析】【分析】令()1gxax=−，利用复合函数的单调性分论讨论函数()

gx的单调性，列出关于a的不等式组，求解即可.【详解】令()1gxax=−当1a时，由题意知()1gxax=−在(1,2)上单调递增且10yax=−对任意的(1,2)x恒成立，则10(1)10aaga−=−，无解；当01a时，由题意知()1gxax=−在(1,2)上单

调递减且10yax=−对任意的(1,2)x恒成立，则010(2)120aaga−=−，解得102a.故答案为：102a【点睛】本题考查对数型复合函数的单调性，同增异减，求解时注意对数函数的定义域，属于基

础题.15.函数sin()yAxb=++，其中0A,0,||2的图象如图所示，求y的解析式____【答案】14sin()223yx=++【解析】【分析】首先根据函数的最高点与最低点求出A，b，然后由图像求出函数周期从而计算出12=，再由函数过点4(,2)

3求出3=.【详解】6(2)6(2)4,222Ab−−+−====，42()2233T=−−=，24T==，解得12=，则14sin()22yx=++，因为函数过点4(,2)3，所以14sin()023+=，14()2

3kkZ+=，解得2()3kkZ=−+因为||2，所以3=，14sin()223yx=++.故答案为：14sin()223yx=++【点睛】本题考查由图像确定正弦型函数的解析式，第一步通过图像的

最值确定A，b的值，第二步通过周期确定的值，第三步通过最值点或者非平衡位置的点以及16.已知函数11,[0,2](){1(2),(2,)2xxfxfxx−−=−+，若0x时，()kfxx恒成立，则实数k的取值范围是.

【答案】3[,)2+【解析】试题分析：当01x时，()111(1)fxxxx=−−=−−=，当12x时，()111(1)2fxxxx=−−=−−=−，又11,[0,2](){1(2),(2,)2xxfxfxx−−=−+，如图所示：当[2(1),2]xnn

−时，()fx在21xn=−处取得最大值，且max()(21)fxfn=−，令(21)nafn=−，则数列na是以1为首项，以12为公比的等比数列，∴11111()22nnna−−==，∴11(21)2nfn−−=，若0x时，()kfxx恒成立

，只需*nN，当[2(1),2]xnn−上，均有()kfxx恒成立，结合图形知：(21)21kfnn−−11221nkn−−，∴1212nnk−−，∴max121()2nnk−−，令1

212nnnb−−=，11212132222nnnnnnnnbb+−+−−−=−=，当1n=时，10nnbb+−，∴1nnbb+，∴12bb，当2n时，10nnbb+−，1nnbb+，∴234bbb，∴2b最大，∴max2212213()22nbb−−=

==，∴32k.考点：1.函数图像；2.恒成立问题；3.数列的最值.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.求下列各式的值（1）22cos101sin35cos35−；（2）cos7cos8cos15cos23cos8c

os15−−【答案】（1）2；（2）1−.【解析】【分析】(1)首先利用公式21cos2cos2+=降幂，然后将20写为9070−将cos20化为sin70即可得解；(2)将7记为158−，23记为158+，再用公式()(),CC

−+展开，然后化简求值.【详解】(1)原式=1cos2012sin7021sin70sin702+−==(2)原式=cos(158)cos8cos15cos8cos15sin8sin15cos8cos15cos(158)cos8cos15cos8cos15s

in8sin15cos8cos15−−+−=+−−−sin15sin81sin15sin8==−−故答案为：2；-1【点睛】本题考查三角函数诱导公式，二倍角公式，两角和与差的余弦公式，属于基础题.18.已知函数()

2sin(2)13fxx=++（1）写出函数()fx单调递减区间和其图象的对称轴方程；（2）用五点法作图，填表并作出()fx在5[,]66−的图象.23x+xy【答案】（1）递减区间7,,1212kkkZ

++，对称轴方程：()122kxkZ=+；（2）见解析【解析】【分析】(1)由正弦型函数的单调性与对称性即可求得()fx的单调区间与对称轴；(2)根据五点作图法规则补充表格，然后在所给坐标中描出所取五点，以光滑曲线连

接即可.【详解】(1)令3222()232kxkkZ+++，解得7()1212kxkkZ++，令2()32xkkZ+=+，解得1()122xkkZ=+，所以函数的递减区间为7,,1212kkkZ++，对称轴方

程：()122kxkZ=+；(2)23x+02322x6−12371256y131-11【点睛】本题考查正弦型函数的单调性与对称性，五点法作正(余)弦型函数的图像，属于基础题.19.已知22()lo

g2axfxx+=−为奇函数，且0a（1）求a的值；（2）判断()fx在()2,+上的单调性，并用单调性定义证明．【答案】（1）1a=；（2）递减，见解析【解析】【分析】(1)函数()fx是奇函数，所以(

)()fxfx−=−，得到2222loglog22axaxxx−+=−−−−，从而解得1a=；(2)在区间()2,+上任取两个数12,xx，且12xx，判断21()()fxfx−的符号，得到21()()fxfx，由此证明函数()fx的单

调性.【详解】(1)由题意知()()fxfx−=−，则2222loglog22axaxxx−+=−−−−2222axxxax−−=−−+，解得1a=；(2)函数22()log2axfxx+=−在()2,+上单调递减，证明如下：在区间()2,+

上任取两个数12,xx，且12xx，212121222212122(2)(2)()()logloglog22(2)(2)xxxxfxfxxxxx+++−−=−=−−−+因为122xx，所以2121

21(2)(2)(2)(2)4()0xxxxxx+−−−+=−−即21210(2)(2)(2)(2)xxxx+−−+，2121(2)(2)01(2)(2)xxxx+−−+，所以2121221(2)(2)()()log0(2)(2)xxfxfxxx+−−=−+即21()()fxfx

，函数22()log2axfxx+=−在()2,+上单调递减.【点睛】本题考查由函数的奇偶性求参数，利用定义证明函数的单调性，属于基础题.20.2()2sinsinsinsincos2626222xxxxxfx=−+−++（1）若12

()42fx−,求x的范围；（2）若32()10f=，312cos()413−=−，且344，3744，求sin()−.【答案】（1）5{|22,}66xkxkkZ

++；（2）16sin()65−=.【解析】【分析】(1)利用公式1sinsin[cos()cos()]2=−−+化简函数解析式可得2()sin()24fxx=+，将函数解析式代入不等式得1sin2x

，即可求得x的取值范围；(2)由32()10f=求得3sin()45+=，根据,的范围求出24+，304−，从而求得4cos()45+=−，5sin()413+=，再利用两角差的余弦公式即可得解.【详解】111cos1()2(c

os)sin2222112cossinsin()2224xfxxxxxx−=−−++=+=+若12()42fx−，则21si22n2x，1sin2x，5(2,2)()66xkkkZ++

(2)2323()sin(),sin()241045f=+=+=因为344，所以24+，4cos()45+=−，因为3744，所以304−，5sin()413+=,3sin()s

in[()()]443316sin()cos()cos()sin()444465−+=+−−=+−−+−=−,16sin()sin()65−=−−+=【点睛】本题考查三角函数和差化积公式，两角和与差的正弦公式，同角三角函数的平方关系，计算时注意角的取值范

围，属于中档题.21.设函数()()21()sincoscos25,222xxfxaxaR=+−−.（1）求函数()fx在R上的最小值；（2）若方程()0fx=在506，上有四个不相等的实根，求a的范围.【答案】（1）见解析；（2）3(,

223)2−−【解析】【分析】(1)将函数化简为2()sinsin2fxxaxa=+++，令sin[1,1]tx=−，则2()2fttata=+++，求出对称轴，对区间[1,1]−与对称轴的位置关系进行分类讨论求出最小值；(2)要满足方程()0fx=在506

，上有四个不相等的实根，需满足2()2fttata=+++在1(,1)2上有两个不等实根，列出相应的不等式组，求解即可.【详解】(1)2215()(1sin)(12sin)sinsin222fxaxxxaxa=+−−+=+++，令sin[1,1]tx=−，则2()2fttata=++

+，对称轴为：2ax=−当12a−即2a−时，min()(1)23fxfa==+，当12a−−即2a时，min()(1)3fxf=−=，当22a−时，2min()()224aafxfa=−=−++，所以求函数()fx在R上的最小值223,2()2,2243,2aaa

gaaaa+−=−++−；(2)要满足方程()0fx=在506，上有四个不相等的实根，需满足2()2fttata=+++在1(,1)2上有两个不等零点，2139()0224(1)2304(2)01122fafaaaa=

+=+=−+−，解得3(,223)2a−−.【点睛】本题考查动轴定区间分类讨论二次函数最小值，正弦函数的单调性，二次函数的几何性质，属于中档题.22.设函数()()222()log2logaafxxakxa=−−−（0

a且1,0ak）（1）若函数()fx存在零点，求实数k的最小值；（2）若函数()fx有两个零点分别是sin，cos且对于任意的()0,1x时()1212421xxxmaa+−−+恒成立，求实数m的取值集

合.【答案】（1）3；（2）76mm【解析】【分析】(1)由题意列出不等式组，令222()(2)gxxakxa=−−+，求出对称轴，若()gx在区间(,)2ak+上有解，则2()03akg解不等式即可求得k的范围；(2)由韦达定理计算得6

014a，利用指数函数单调性解不等式，化简得232122xxxm++，令231()tgttt+=+，求出函数在区间(1,2)上的值域从而求得m的取值范围.【详解】(1)由题意知()()222log2logaaxakxa−=−有解，则2222220(1)0(2)(

2)(3)xakxaxakxa−−−=−有解，①③成立时，②显然成立，因此令222222()(2)34(1)gxxakxaxaxka=−−+=−++，对称轴为：23akx=当2akx时，()gx在区间2(,)23akak上单调递减，在区

间2(,)3ak+上单调递增，因此若()gx在区间(,)2ak+上有解，则22222242()40333akakgkaakkaa=−++，解得23k，又0k，则3k，k得最小值为3；(2

)由题意知sin,cos是方程222(2)xakxa−=−的两根，则4sin3akcos+=，22(1)sin3kcosa+=，联立解得22269310aka−=，解得6014a，所以xya=在定义域内单调递减，由()1

212421xxxmaa+−−+可得212221xxxm−−+对任意的()0,1x恒成立，化简得232122xxxm++，令2(1,2)xt=，231()tgttt+=+，22321()0()ttgttt−−−=+对(1,2)t成立，所以()gt在区间(1,

2)上单调递减，7()(2)6gtg=，所以76m【点睛】本题考查函数与方程，二次函数的图像与性质，考查韦达定理，求解指数型不等式，导数证明不等式，属于较难题.