【文档说明】吉林省延边市长白山第一高级中学2019-2020学年高二下学期验收考试数学（理）试卷【精准解析】.doc，共(15)页，1.109 MB，由小赞的店铺上传

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理科数学一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.函数2cosyxx=的导数为（）A.22cossinyxxxx=−B.22cossinyxxxx

=+C.2cos2sinyxxxx=−D.2cossinyxxxx=−【答案】A【解析】分析：由()22cosyxxxsinx=+−即可的解.详解：函数2cosyxx=，求导得：()222cos2cossinyxx

xsinxxxxx=−=+−.故选A.点睛：本题主要考查了两函数乘积的求导运算，属于基础题.2.用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可以被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”假设的内容是()A.a，b都能被5整除B.a，b都不能被5整除C.a不能

被5整除D.a，b有1个不能被5整除【答案】B【解析】试题分析：由于反证法是命题的否定的一个运用，故用反证法证明命题时，可以设其否定成立进行推证．命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除．”的否定是“a，b都不能

被5整除”．考点：反证法3.定积分1011dxx+的值为（）A.1B.ln2C.2122−D.11ln222−【答案】B【解析】【分析】根据微积分基本定理，即可容易求得结果.【详解】由题可知1011dxx+()10ln1212xlnlnln=+=

−=.故选：B.【点睛】本题考查微积分基本定理，属基础题.4.某个命题与自然数n有关，若*()nkkN=时命题成立，那么可推得当1nk=+时该命题也成立，现已知5n=时，该命题不成立，那么可以推得A.6n=时该命题不成立B.6n=时该命题成立C.4n=时该命题不成立D.4n=时该命题成立【答案】

C【解析】【分析】根据数学归纳法的有关概念，利用5n=时命题不成立，得出4n=时命题不成立，而6n=无法判断.由此得出正确选项.【详解】假设4n=时该命题成立，由题意可得5n=时，该命题成立，而5n=时，该命题不成立，所以4n=时，该命题不成立.而5n=时，该命题不成立，不能推得6n=

该命题是否成立．故选C．【点睛】本小题主要考查数学归纳法的有关知识，考查归纳猜想的知识，属于基础题.5.有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()fx，若()0'0fx=，则0xx=是函数()fx的极值点,因为函数()3

fxx=满足()'00f=，所以0x=是函数()3fxx=的极值点”，结论以上推理()A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.没有错误【答案】A【解析】【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“

大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不难得到结论．【详解】对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，且满足

当x＞x0时和当x＜x0时的导函数值异号时，那么x＝x0是函数f（x）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f（x），如果f'（x0）＝0，那么x＝x0是函数f（x）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选A．【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎

推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．6.已知三次函数()()()322141152723fx

xmxmmx=−−+−−+在(),x−+是增函数，则m的取值范围是（）A.2m或4mB.42m−−C.24mD.以上皆不正确【答案】D【解析】由于函数在R上递增，故导函数恒为非负数，即()()22241+15270fxxmxmm−−=−−恒成立，其判别式()()2

2441415270mmm=−−−−，解得24m，故选D.7.设()()sin()cosfxaxbxcxdx=+++，若()cosfxxx=，则abcd,,,的值分别为（）A.1，1，0，0B.1，0，1，0C.0，1，0，1D.1，0，0，1【答案】D【解析】【分析】

利用导数的计算法则，求得()fx，结合已知条件，即可容易求得参数值.【详解】因为()()sin()cosfxaxbxcxdx=+++，故可得()()()fxasinxaxbcosxccosxcxds

inx=+++−+()()acxdsinxaxbccosx=−−+++又因为()fxxcosx=，故可得0,0,1,0cadabc=−==+=，即1,0,0,1abcd====.故选：D.【点睛】本题考查导数的计算，

属基础题.8.已知抛物线2yaxbxc=++通过点(1,1)P，且在点(2,1)Q−处的切线平行于直线3yx=−，则抛物线方程为（）A.23119yxx=−+B.23119yxx=++C.23119yxx=−−D.23119yxx=−−+【答案】A【解析】【分析】利用导数几何意义，结合已

知点的坐标，待定系数即可求得结果.【详解】因为2yaxbxc=++，故可得2yaxb=+，由题可知41ab+=，且1,421abcabc++=++=−，解方程可得3,11,9abc==−=.故选：A.【点睛】本题考查导数的几何意义，以及用待定系数法求函数解析式，属综合基础题.9.

下列说法正确的是（）A.函数yx=有极大值，但无极小值B.函数yx=有极小值，但无极大值C.函数yx=既有极大值又有极小值D.函数yx=无极值【答案】B【解析】【详解】由极值的定义知y=|x|,有极小值，无极大值，选B.【点睛】设函数()fx在区间D有定义，若0xD，且存在0x的

某邻域0()UxD，0()xUx，有00()()(()())fxfxfxfx，则称0x是函数()fx的极大点（极小点），0()fx是函数()fx的极大值（极小值）．极大点和极小点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值．对于“/0()0fx=”只是它为“函数(

)fx的极值点”的必要而不充分条件．10.函数2()1xfxx=−（）A.在(0,2)上单调递减B.在(,0)−和(2,)+上单调递增C.在(0,2)上单调递增D.在(,0)−和(2,)+上单调递减【答案】B【解析】【分析】求导，判断导数的正负，即可容易求得函数单调

区间.【详解】因为()21xfxx=−，故可得()()()221xxfxx−−=，令()0fx，可得0x或2x，故()fx的单调增区间为(),0−和()2,+，单调减区间为()0,1，()1,2.故选：B.【点睛】本题考查利用导数求函数的

单调区间，属基础题.11.已知17a=+，35b=+，4c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.cabC.cbaD.bca【答案】C【解析】试题分析：222222827,8215,16abccbacba=+=+=考点：比较大小12.已知函数()yfx=是定义

在R上的奇函数，且当0x时，不等式()()0fxxfx+成立，若0.30.33(3)af=，(3)(3)blogflog=，3311(log)(log)99cf=，则,,abc的大小关系（）A.ab

cB.cbaC.cabD.acb【答案】C【解析】试题分析：设()()()()()00gxxfxfxxfxgx=+0x时函数()gx递减，函数()yfx=是定义在R上的奇函数，所以()gx是偶函数0x时()g

x递增，0.331log3log39，结合图像可知cab考点：1，．函数导数与单调性；2．函数图像；3．数形结合法二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把正确答案填在相应横线上）13.由24yx=与直线24yx=−所围成图形

的面积为．【答案】9【解析】试题分析：由24{24yxyx==−得1{2xy==−或44==xy，形成图形如阴影所示，选择y为积分变量，则422424yySdy−+=−，所以2342116482|481494121212Syyy−=−

+=−+−+−=．考点：定积分的应用．14.一同学在电脑中打出如下图形（○表示空心圆，●表示实心圆）若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么前2006个圆中有实心圆的个数为_____.

【答案】61【解析】【分析】将一些列圆进行分割，构造等差数列，即可容易求得结果.【详解】将一系列的圆，以实心圆为界限进行分割，以每个实心圆以及其前一个实心圆后面的所有空心圆的个数记作数列na.容易知1232,3,4aa

a===，，故可得1nan=+，232nnnS+=，又61621952,2015SS==，故前2006个圆含有61个实心圆.故答案为：61.【点睛】本题考查等差数列的通项公式、前n项和，属综合基础题.15.已知函数32()6(0)fxax

axba=−+，使()fx在[1,2]−上取得最大值3，最小值-29，则b的值为__________．【答案】3【解析】分析：求函数的导数，可判断()fx在1,2−上的单调性，求出函数在闭区间上1,2−的极大值，可得最大值，从而可得结果.详解：函数的()fx的导数()()2

'31234fxaxaxaxx=−=−，0a，由()'0fx解得04x，此时函数单调递减.由()'0fx，解得4x或0x，此时函数单调递增.即函数在1,0−上单调递增，在0,2上单调递减，即函数在0x=处取得极大值同时也是最大值，则()03f

b==，故答案为3.点睛：本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值与最值，属于难题.求函数()fx极值的步骤：(1)确定函数的定义域；(2)求导数()fx；(3)解方程()0,fx=求出函数定义域内的所有根；(4)列表检查()fx在()0fx

=的根0x左右两侧值的符号，如果左正右负（左增右减），那么()fx在0x处取极大值，如果左负右正（左减右增），那么()fx在0x处取极小值.（5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值；（6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值的函数值与

极值的大小.16.函数32()2(1)3gxaxaxax=+−−在区间,3a−内单调递减，则a的取值范围是________.【答案】(,1]a−−或0a=【解析】【分析】对参数a进行分类讨论，利用导数，由函数单调性，即可容易求得参数范围

.【详解】当0a=时，()22gxx=，其在区间(),0−单调递减，显然满足题意；当0a，()()23413gxaxaxa=+−−，其()22161360aa=−+恒成立.令()234130axaxa+−−=，故

可得()()()()22221241161364116136,66aaaaaaxxaa−−−+−+−+==，当0a时，12xx，故()gx在区间()1,x−单调递增，显然不满足题意；当0a时，21xx，故()gx在区间()2

,x−单调递减，在()21,xx单调递增，在()1,x+单调递减.要满足题意，只需23ax，即()()22411613663aaaaa−+−+，整理得2450aa−−，解得1a−或5a，又0a，故可得1a−.综上所述：(,1]a−

−或0a=.故答案为：(,1]a−−或0a=.【点睛】本题考查利用导数由函数的单调区间求参数范围，属综合中档题.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17..一物

体沿直线以速度()23vtt=−（t的单位为:秒,v的单位为:米/秒）的速度作变速直线运动，求该物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程?【答案】292米【解析】∵当302t时,()230vtt=−

;当352t时,()230vtt=−.∴物体从时刻t=0秒至时刻t=5秒间运动的路程352302(32)(23)Stdxtdx=−+−=9929(10)442++=(米)18.已知曲线y=x3+x－2在点P0处的切线1l平行于直线4

x－y－1=0，且点P0在第三象限,⑴求P0的坐标;⑵若直线1ll⊥,且l也过切点P0,求直线l的方程.【答案】（1）（2）【解析】【详解】本试题主要是考查了导数的几何意义，两条直线的位置关系，平行和垂

直的运用．以及直线方程的求解的综合运用．首先根据已知条件，利用导数定义，得到点P0的坐标，然后利用1ll⊥，设出方程为x+4y+c=0,根据直线过点P0得到结论．解：（1）由y=x3+x-2，得y′=3x2+1，由已知得3

x2+1=4，解之得x=±1．当x=1时，y=0；当x=-1时，y=-4．又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为（-1，-4）；（2）∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为-1/4，∵l过切点P0，点P0的坐标为（-1，-4）∴直线l的方程为y+4=14−（x+1）即

x+4y+17=0．19.用总长14．8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边长比另一边长0．5m．那么高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？【答案】当高为1.2m时，长方体容器的容积最

大，最大容积为31.8m．【解析】【详解】设该容器底面矩形的短边长为xm，则另一边长为(0.5)x+m，此容器的高为14.8(0.5)3.224yxxx=−−+=−，于是，此容器的容积为：32()(0.5)(3.22)22.21.6Vxxxxxxx=+−=−++，

其中01.6x，即2()64.41.60Vxxx=−++=，得11x=，2415x=−（舍去），因为，()Vx在(01.6)，内只有一个极值点，且)1(0x，时，()0Vx，函数(x)V递增；(11.6)x，时，()0Vx，函数(x)V递减；所以，当1x=时，函数

(x)V有最大值3(1)1(10.5)(3.221)1.8mV=+−=，即当高为1.2m时，长方体容器的容积最大，最大容积为31.8m．20.已知数列na，首项11a=，前n项和nS足()2*nnSnnNa=.（1）求出1234,,,SSSS，

并猜想nS的表达式；（2）用数学归纳法证明你的猜想.【答案】（1）11S=，243S=，332S=，485S=；21nnSn=+（2）证明见解析【解析】【分析】（1）有递推公式，以及1a，即可容易求得1234,,,SSSS，并作出猜想；（2

）根据数学归纳法的证明步骤，进行证明即可.【详解】（1）根据题意，由2nnSna=，()*nN，11a=得：111Sa==，由()()2222122441SaSSS==−=−，得：243S=，由()23332343993S

aSSS==−=−，得：33624S==，由()2444343416162SaSSS==−=−，得：485S=，猜想nS的表达式为：21nnSn=+；综上所述，答案为：111Sa==，243S=，332S=，

485S=；21nnSn=+；（2）证明：1.当1n=时，21111=+，∵11S=，∴猜想正确；2.假设当()*1,nkkkN=时，猜想正确，即21kkSk=+；那当1nk=+时，由已知得：()22111(

1)(1)kkkkSkakSS+++=+=+−将归纳假设代入上式，得：2112(1)1kkkSkSk++=+−+()2122(1)kkkSkk++=+∴12(1)2(1)2(1)1kkkSkk+++==+++，这就是说，当1nk=+时，猜想正确；综上所述1

，2知：对一切*nN，都有21kkSk=+成立.【点睛】本题考查递推公式的使用，涉及利用数学归纳法进行证明，属综合基础题.21.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为(0)kk

，且知当利率为0.012时，存款量为1.44亿；又贷款的利率为4.8%时，银行吸收的存款能全部放贷出去；若设存款的利率为x，(0,0.048)x，则当x为多少时，银行可获得最大收益？【答案】0.032x=【解析】【分析】根据题意，求得存款量的函数解析式，再

求得银行应支付的利息，从而求得银行可获收益关于x的函数关系，利用导数判断函数单调性，从而求得函数最值.【详解】由题意，存款量2()fxkx=，又当利率为0.012时，存款量为1.44亿，即0.012x=时，1.44y=；由21.44(0.012)k=，得10000k

=，那么2()10000fxx=，银行应支付的利息3()()10000gxxfxx==，设银行可获收益为y，则2348010000yxx=−，由于296030000yxx=−，则0y=，即2960300000xx−=，得0x

=或0.032x=.因为，(0,0.032)x时，0y，此时，函数2348010000yxx=−递增；(0.032,0.048)x时，0y，此时，函数2348010000yxx=−递减；故当0.032x=时，y有最大值，其值约为0.164亿.【点

睛】本题考查利用导数研究实际问题中收益最大的问题，属基础题.22.已知函数1()ln()+=−+afxxaxaRx（1）求()fx的单调区间；（2）若在1,2.71828()=ee上存在一点0x，使得0()0fx成立，求a的取值范围.【答案

】（1）当1a−时，函数()fx在()0,+上单调递增.当1a−时，函数()fx在()1,a++上单调递增,在()01，a+上单调递减.（2）实数a的取值范围是211eae+−或2a−.【解析】【分析】(1)()()()211()xxafxx+−+=,则分

10a+和10a+两种情况结合定义域讨论函数的定义域.(2)若在1,e上存在一点0x，使得0()0fx成立，即在1,xe上有min()0fx，由（1）中的单调性，得出()fx的最小值，解不等式，得到参数的范围.【详解】(1)()()()()22221111

()1xxaxaxaaafxxxxx+−+−−++=−−==当10a+即1a−时，在()0,+上()0fx，所以函数()fx在()0,+上单调递增.当10a+即1a−时，在()1,a++上()0fx，在()01，a+上(

)0fx所以函数()fx在()1,a++上单调递增,在()01，a+上单调递减.（2）若在1,e上存在一点0x，使得0()0fx成立，即min()0fx，1,xe.①由（1）可知，当

1a−时，函数()fx在1,e上单调递增，()()min1110fxfa==++，即2a−②1a−时，函数()fx在()01，a+上单调递减，在()1,a++上单调递增.当1ae+即1ae−时，函数()fx在1,e上单调递减，()()min10afxfeee+==+，

即211eae+−.因为2111eee+−−，所以211eae+−.当11a+即0a时，函数()fx在1,e上单调递增，()()min1110fxfa==++，即2a−（舍）当11ae+，即01ae−时，函数()fx在1,1a+上单调递减，在1,ae+上单

调递减.()()()min12ln1fxfaaaa=+=+−+此时()0ln11a+，则()0ln1aaa+，所以()22ln1aaa+−+即()10fa+，所以()10fa+无解.综上所以：实数a的取值范围是2

11eae+−或2a−.【点睛】本题考查含参数的单调性的讨论，考查不等式能成立问题，属于中档题.