【文档说明】湖南省长沙市雅礼中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题+含解析.docx，共(13)页，790.418 KB，由小赞的店铺上传

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雅礼中学2023年上学期期末考试试卷高二数学时量：120分钟分值：150分一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{1,2,3,4,5}U=，集合M满足U{1,3}M=ð，则（）A．2MB．3MC．

4MD．5M2．已知复数z满足2(1i)z24i−=−，其中i为虚数单位，则复数z的虚部为（）A．1B．1−C．iD．i−3．下列函数中，最小值为2的是（）A．2yxx=+B．2232xyx+=+C．eexxy−=+D．1sin0sin2yx

xx=+4．若tan2=，则2sincossin2cos−+的值为（）A．0B．34C．1D．545．长、宽、高分别为2，3，5的长方体的外接球的表面积为（）A．4B．12C．24D．486．如图，在梯形ABCD中，//ABCD，2CD=，4BAD=，若

ABACABAD=，则ADAC=（）A．9B．10C．11D．127．雅礼女篮一直是雅礼中学的一张靓丽的名片，在刚刚结束的2022到2023赛季中国高中篮球联赛女子组总决赛中，雅礼中学女篮队员们敢打敢拼，最终获得了冠军．在颁奖仪式上，女篮队

员12人（其中1人为队长），教练组3人，站成一排照相，要求队长必须站中间，教练组三人要求相邻并站在边上，总共有多少种站法（）A．311311AAB．3113112AAC．347347AAAD．3473472AAA8．已知实数0，记函数构成的集合()

()122121(),,AmxxxRmxmxxx=−−．已知实数、0，若()gxA，()hxA，则下列结论正确的是（）A．()()gxhxAB．若()0hx，则()()gxAhx

C．()()gxhxA−−D．()()gxhxA++二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知变量x，y之间的经验回归方程为0.710.3yx=−+，且变量

x，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法正确的是（）x681012y6m32A．变量x，y之间成负相关关系B．4m=C．可以预测，当11x=时，y约为2.6D．由表格数据知，该经验回归直线必过点(9,4)1

0．已知函数()21xfx=−，实数a，b满足()()()fafbab=，则（）A．222ab+B．a，bR，使得01ab+C．222ab+=D．0ab+11．已知A，B分别为随机事件A，B的对立事件，

()0PA，()0PB，则下列说法正确的是（）A．()()()PBAPBAPA+=B．()()1PBAPBA+=C．若A，B独立，则()()PABPA=D．若A，B互斥，则()()PABPBA=12．矩

形ABCD中，E为边AB的中点，将ADE△沿直线DE翻转成1ADE△．若M为线段1AC的中点，则在ADE△翻转过程中，正确的命题是（）A．BM是定值B．点M在圆上运动C．一定存在某个位置，使1DEAC⊥D．一定存在某个

位置，使//MB平面1ADE三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线xye=在点(0,1)处的切线方程为__________．14．若双曲线22221xyab−=的离心率为3，则其渐近线方程为_

_________．15．已知甲、乙两支队伍中各有20人，甲队中有(020)xx个男生与20x−个女生，乙队伍中有20x−个男生与x个女生，若从甲、乙两队中各取1个人，X表示所取的2个人中男生的个数，则当方差()DX取到最大值时，x的值

为__________．16．已知()yfx=，xR满足(2)(2)fxfx+=−，(0)0f=，当(0,4)x时，2()log4xfxx=−．已知()2sin2gxx=+，则函数()()yfxgx=−，[4,8]x−的零点个数为____

______，这些零点的和为__________．四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）已知等差数列na中，235220aaa++=，且前10项和10100S=．（1）求数列na的通项公式；（2）若11nnnbaa+=，求

数列nb的前n项和．18．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱111ABCABC−中，12ABACAA===，90BAC=，E，F依次为1CC，BC的中点．（1）求证：11ABBC⊥；（2）求1AB与平面AEF所成角的正弦值．19．（本小题满分1

2分）一个盒子中装有大量形状、大小一样但质量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的质量（单位：克），质量分组区间为[5,15)，[15,25)，[25,35)，[35,45]，由此得到样本的质量频率分布直方图如图所示．（1）求a的值

，并根据样本数据，试估计盒子中小球质量的众数与平均数；（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中质量在[5,15)内的小球个数为X，求X的分布列和均值．（以直方图中的频率作为概率）20．（本小题满分12分）（1）已知a，b，c分别为ABC△三个内角A，B，C的对边．请用向量方

法证明等式2222cosabcbcA=+−；（2）若三个正数a，b，c满足2222cos(0)abcbcAA=+−，证明：以a，b，c为长度的三边可以构成三角形．21．（本小题满分12分）已知抛物线22xpy=，点(2,8)P在抛物线上，直线2ykx=+交C于A，B两点，M是线段A

B的中点，过M作x轴的垂线交C于点N．（1）求点P到抛物线焦点的距离；（2）是否存在实数k使0NANB=，若存在，求k的值；若不存在，说明理由．22．（本小题满分12分）已知函数2()lnfxxxx=−+．（1）证明()0fx；（2）关于x的不等式222ln0xaxxxxaxxee

−+−+恒成立，求实数a的取值范围．雅礼中学2023年上学期高二年级期末考试暨高三摸底考试数学参考答案一、二、选择题题号123456789101112答案ABCBBDBDACDCDBCDABD2．B【解析】由题意，化简得224i24i2i4z2i(1i)2i2−−+====+−−

，则z2i=−，所以复数z的虚部为1−．3．C【解析】当0x时，20yxx=+，故A错误；2222312222xyxxx+==++++，当且仅当22122xx+=+，即21x=−时取等号，又21x−，故B错误；ee2ee2xxxxy−−=+

=，当且仅当eexx−=，即0x=时取等号，故C正确；当0,2x时，sin(0,1)x，1sin2sinyxx=+，当且仅当1sinsinxx=，即sin1x=时取等号，因为sin(0,1)x，故D错误．4．B

【解析】2sincos2tan13sin2costan24−−==++．5．B【解析】该长方体对角线长为22223523++=，外接球的半径为R，223R=，2412SR==球．6．D【解析】法一：因为2ABACABAD

=，所以ABACABADABAD−=，所以ABDCABAD=．因为//ABCD，2CD=，4BAD=，所以2cos4ABABAD=，化简得22AD=．故()()2222222cos124ADACADADDCADADDC=+=+=+=．法二：利用投影可以迅

速求解法三：坐标法8．D【解析】因为()gxA，()hxA，设21xx，则()()()()212121xxgxgxxx−−−−，()()()()212121xxhxhxxx−−−−，即有()()()()()()212211

21()()xxgxhxgxhxxx−+−+−++−，所以()()gxhxA++，其他的选项都不对．9．ACD【解析】由ˆ0.710.3yx=−+得ˆ0.70b=−，所以x，

y成负相关关系，故A正确；当11x=时，y的预测值为2.6，故C正确；68101294x+++==，故0.7910.34y=−+=．故经验回归直线过(9,4)，故D正确；因为4y=，所以63244m+++=，5m=，故B错误．10．CD【解析】画出函数()21x

fx=−的图象，如图所示．由图知1221ba−=−，则222ab+=，故A错，C对．由基本不等式可得22222222aaabbb+=+=，所以21ab+，则0ab+，故B错，D对．11．BCD【解析】选项A中：()()()()()()()1PABPABPAPBAPBAPAPA++===，

故选项A错误，选项B正确；选项C中：A，B独立，则()()()PABPAPB=，则()()()()PABPABPAPB==，故选项C正确；选项D中：A，B互斥，则()0PAB=，根据条件概率公式()()0PBA

PAB==，故选项D正确，故选BCD．12．ABD【解析】取DC中点N，连接MN，NB，则1//MNAD，//NBDE，平面//MNB平面1ADE，MB平面MNB，//MB平面1ADE，D正确；1ADEMNB=，112

MNAD==定值，NBDE==定值，根据余弦定理得，2222cosMBMNNBMNNBMNB=+−，所以MB是定值．A正确；点M以BN为轴旋转，B正确；当矩形ABCD满足ACDE⊥时存在，其他情况不存在，C不正确．所以A

BD正确．三、填空题13．10xy−+=14．2yx=【解析】3e=，3ca=，即2223aba+=，222ba=，双曲线方程为222212xyaa−=，渐近线方程为2yx=．15．10【解析】法一：X的可能取值为0，1，2，则20(20)(0)2020400xxxxPX−−

===，222020(20)(1)20202020400xxxxxxPX−−−+==+=，(20)(2)400xxPX−==，所以X的分布列为X012P(20)400xx−22(20)400xx−+(20)400xx−22(20)(20)(20)()01214004004

00xxxxxxEX−−+−=++=，22222(20)(20)(20)(20)()(01)(11)(21)400400400200xxxxxxxxDX−−+−−=−+−+−=2120120022xx−+=，当且仅当10x=时，等号成立，所以当(

)DX取到最大值时，x的值为10．法二：X的可能取值为0，1，2，则20(20)(0)2020400xxxxPX−−===，由对称性可知(20)(2)400xxPX−==，由数学直观想象可知当(0)PX=取到最大值时，()DX最大，所以x的值为10．16．1326（第一空

2分，第二空3分）【解析】函数()fx和()gx的周期为4，都关于点(2,0)中心对称，分别画出()fx和()gx的图象，可得答案．四、解答题17．【解析】（1）由已知得23511124820,109101

045100,2aaaadadad++=+=+=+=解得11,2,ad==所以数列na的通项公式为12(1)21nann=+−=−．（2）1111(21)(21)22121nbnnn

n==−−+−+，所以11111111112335212122121nnTnnnn=−+−++−=−=−+++．18．【解析】（1）因为三棱柱111ABCABC−为直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，又AC平面ABC，所以1ACAA⊥，又

ACAB⊥，1ABAAA=，AB，1AA平面1ABA，所以AC⊥平面1ABA，又1AB平面1ABA，则1ABAC⊥，又11ABAB⊥，1ACABA=，AC，1AB平面1ACB，所以1AB⊥平面1ACB，又1BC平面1ACB，则11ABBC⊥

．（2）以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)A，1(0,0,2)A，(2,0,0)B，(0,2,1)E，(1,1,0)F，所以1(2,0,2)AB=−，(0,2,1)AE=，(1,1,0)AF=．设平面AEF的一个法向量为(,,)nabc=，

由0,0,nAEnAF==得20,0,bcab+=+=令1a=可得(1,1,2)n=−．设1AB与平面AEF所成角为，所以1113sincos,6nABnABnAB===，即1AB与平面AEF成角的正弦值为36．19．【解析】

（1）由题意，得(0.020.0320.018)101a+++=，解得0.03a=．由频率分布直方图可估计盒子中小球质量的众数为20克，50个样本中小球质量的平均数为0.2100.32200.3300.184024.6x=+++=（克）．故由样本估计总

体，可估计盅子中小球质量的平均数为24.6克．（2）由题意知，该盒子中小球质量在[5,15)内的概率为15，则1~3,5XB．X的可能取值为0，1，2，3，则03031464(0)C55125PX===，12131448(

1)C55125PX===，21231412(2)C55125PX===，3033141(3)C55125PX===．X的分布列为X0123P641254812512

125112564481213()01231251251251255EX=+++=（或者13()355EX==）．20．【解析】（1）因为BCACAB=−，则()2222222cosBCACABACABACABbcbcA=

−=+−=+−，即2222cosabcbcA=+−．（2）因为222222222cos2bcbcabcbcAbcbc+−=+−++，所以222()()bcabc−+，即||bcabc−+，则,,,abcbcaca

b+−+即,,,abcbaccba++−所以a，b，c为长度的三边可以构成三角形．21．【解析】（1）抛物线方程为212xy=，点P到抛物线焦点的距离为658．（2）法一：如图，设()211,2Axx，()222,2Bxx．把2ykx=+代入2

2yx=得2220xkx−−=，0，由根与系数的关系得122kxx+=，121xx=−．1224NMxxkxx+===，N点的坐标为2,48kk．假设存在实数k，使0NANB=，则NANB⊥．又M是AB的中点，12MNAB=．由（1）知()()()2212121

2111122442222224Mkkyyykxkxkxx=+=+++=++=+=+．MNx⊥轴，222162488MNkkkMNyy+=−=+−=，又212||1ABkxx=+−()22121214kxxxx=++−2222114(1)11622kkkk=

+−−=++．22216111684kkk+=++，解得2k=，即存在2k=，使0NANB=．法二：假设存在实数k，使0NANB=，如图，设()211,2Axx，()222,2Bxx．把2ykx=+代入22yx=得2220xkx−−=，0，由根

与系数的关系得122kxx+=，121xx=−．1224NMxxkxx+===，N点的坐标为2,48kk．()()()222221212121212420416416kkkkNANBxxxxxxxxxx

=−+++−+−+=，代入122kxx+=，121xx=−得123361920kk+−=，()()2234840kk+−=，解得2k=，即存在2k=，使0NANB=．22．【解析】（1）2121(21)(1)()21xxxxfxxxxx−−+−=−+=−=−，由()0fx

可得01x；由()0fx可得1x，所以()fx在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+上单调递减，所以()(1)fxf，即()0fx．（2）法一：由222ln0eexaxxxxaxx−+−+

得22ln2lne2lnelnxaxxxxaxxx−−+−+−，因为()exgxx=+为增函数，则22lnlnxaxxx−−，则2lnxxax+．令2ln()xxhxx+=，312ln()001xxhxxx−−=，312ln()01xxhxxx−−=，()hx

在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+上单调递减，()hx最大值为(1)1h=，所以实数a的取值范围为[1,)+．法二：当1x=时，1110eeua−−+，因为11()1eeumaa=−−+为减函数，且(1)0m=，所以1a，当1a时，22

22224lnlneeeexxxxxxxxxaxxxxx−+−+−+−+，下证22ln0eexxxxxxxx−+−+．今()exxpx=，求导可证()px在区间(0,1)上单调递增，在区间(1,)+上单调递减，又01x时，201xx，1x时

，21xx，所以220eexxxx−．令2()lnqxxxx=−+，求导可证()qx在区间(0,1)上单调遂增，在区间(1,)+上单调递减，所以2ln0xxx−+．综上，222ln0eexxxxx

xx−+−+成立．所以实数a的取值范围为[1,)+．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com