【文档说明】河北省唐山市路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.133 MB，由小赞的店铺上传

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路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学学科试卷Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分）1.已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A.76B.219C.27D.27【答案】B【解析】由余弦定理，得2222cos=36+16+24=76,219bacac

Bb=+−==，故选B.2.已知()2,1A−，()6,3B−，()0,5C，则ABC的形状是（）．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示

可得AB，AC，BC，再利用向量数量积的坐标表示即可判断.【详解】根据已知，有(8,4)AB=−，(2,4)=AC，(6,8)BC=−，因为82(4)40ABAC=+−=，所以ABAC⊥，即90BAC=．

故ABC为直角三角形．故选：A【点睛】本题考查了向量的坐标表示、向量数量积的坐标表示，属于基础题.3.下列不等式中，正确的是A.若,abcd，则acbd++B.若ab，则acbc++C.若,ab

cd，则acbdD.若,abcd，则abcd【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质和带特殊值逐一排除．【详解】若ab，则acbc++,故B错，设a3,b1,c1,d2===−=−,则acbd，abcd所以C、D错，故选A【点睛】本题考查不等式的性质，注意正负号的应用．4

.设等差数列na的前n项之和为,nS已知10100S=，则47aa+=（）A.12B.20C.40D.100【答案】B【解析】分析：由等差数列的通项公式可得47aa+129ad=+，由10100S=可得12920ad+=，

从而可得结果.详解：由等差数列的前n项和的公式得：101109101002Sad=+=，即12920ad+=，从而47111362920aaadadad+=+++=+=，故选B.点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5

.记nS为等比数列na的前n项和，若2389aa=，5163a=，则（）．A.23nna=B.13−=nnaC.312nnS−=D.213nnS−=【答案】D【解析】【分析】设公比为q，则有2323145189163aaaqaaq====，进而可求

出1,aq，结合等比数列的性质，可求出na和nS.【详解】设公比为q，则有2323145189163aaaqaaq====，解得1132aq==，则123nna−=，1(12)213123nnnS−−==−．故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公

式及前n项和公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得45BDC=，则塔AB的高是（单位：m）（）A.

102B.106C.103D.10【答案】B【解析】【分析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=33x，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．【详解

】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=33x，AC=233x，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=

30°由正弦定理可得，sinsinBCCDBDCCBD=可得，BC=10sin453102sin303x==oo.则x=106；所以塔AB的高是106米；故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据

转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．7.若x、y满足约束条件23001xyxyy+−+，则3zxy=+的最大值为（）A.6−B.2−C.4D.2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3zxy=+，找出使得该直线在y轴上截

距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组23001xyxyy+−+所表示的可行域如下图所示：联立1230yxy=+−=，解得1xy==，即点()1,1A，平移直线3zxy=+，当该直

线经过可行域的顶点A时，该直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max3114z=+=.故选：C.【点睛】本题考查线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，

是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁B.11岁C.20岁D.35岁【答案】B【解

析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为1a，则9198932072Sa=+=，解得111a=．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．9.在区间04，上随机取两个实数

,xy,使得2xy+8的概率为（）A.916B.14C.316D.34【答案】D【解析】【分析】画出可行域，利用几何概型概率计算公式求得概率.【详解】画出图像如下图所示，整个区域是正方形区域，符合2xy+8的是阴影部分区域.故所求的概率为24432444+=.故选D.【点睛

】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性规划的知识，考查二元一次不等式表示的区域判断，属于基础题.10.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）181310－1用电量y（度）24343864由表中数据

得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（）A.58B.66C.68D.70【答案】C【解析】试题分析：由表中数据可知：样本中心点为，在线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2所以a=60即回归方程为y

＝-2x＋60所以由此预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为68.考点：回归直线及样本中心点.11.记nS为等比数列na的前n项和，若数列12nSa−也为等比数列，则43aa=（）．A.2B.1C.32D.12【答案】D【解析】【分析】分公比

是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n项和公式及定义求解即可.【详解】解：设等比数列na的公比为q，当1q=时，()1111222nSanaana−=−=−，则12nSa−不为等比数列，舍去，当1q时，()1111111222111nnn

aqaaSaaqaqqq−−=−=+−−−−，为了符合题意，需11201aaq−=−，得12q=，故4312aqa==.故选D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.12.已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12

，13．7，18．3，20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为（）．A.10，11B.10.5，9.5C.10.4，10.6D.10.5，10.5【答案】D【解析】【分析】利用中位数可得21ba=−，要使该样本的方差最小，只需()

()221010ab−+−最小，将21ba=−代入，配方即可求解.【详解】由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，依题意，得10.52ab+=，即21ba=−．因为平均数为23371213.718.320101()0ab+++++++++=，所以要使该样本的

方差最小，只需()()221010ab−+−最小．又()()()()222221010102110242221abaaaa−+−=−+−−=−+，所以当4210.522a−=−=时，()()221010ab−+−最小，此时10.5b=．故选：D

【点睛】本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每题5分）13.要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001，002，…，

500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，________，________，________．（下面摘取了随

机数表第7行至第9行）84421753315724550688770474476721763350258392120676630163785916955567199810507175128673580744395238793321123429786456078

2524207443815510013429966027954【答案】(1).331(2).455(3).068(4).047(5).447【解析】【分析】从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，第一个小5

00的数字为331，第二个为572不合题意，第三个为455，以此类推，把符合条件的5个数取出即可【详解】解：从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，第一个小500的数字为331，第二个为572不合题意，第三个为4

55，第四个068，第五个877，不合题意，第六个047，第七个447，所以取出的5颗种子的编号依次为331，455，068，047，447，故答案为：331，455，068，047，447，【点睛】此题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题14.在ABC中，3,

1,30cbB===，则ABC的面积为_______.【答案】32或34【解析】【分析】根据正弦定理可求得sinC.分类讨论，即可确定角A，由三角形面积公式即可求解.【详解】由正弦定理可知sinsi

ncbCB=，代入可得31sinsin30C=，解得3sin2C=，所以60C=或120C=，当60C=时，90A=，由三角形面积公式可得113sin131222SbcA===，当120C=时，30A=，由三角形面积公式可得1113s

in132224SbcA===，所以ABC的面积为32或34，故答案为：32或34.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的简单应用，三角形面积公式用法，属于基础题.15.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠A

BC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λAB＋μBC，则λ＋μ＝________【答案】23【解析】【分析】解直角三角形求得,BHBC的长，根据12AMAH=，用,ABBC表示AH，由此得到AM的表达式，从而求出,的值，进而求得+的值.【详解】.

因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝BC．因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运

用，还考查了解直角三角形的知识.对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的AM这个向量，就转化为了,ABBC这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得,的值.16.若lglg

0xy+=，则49xy+的最小值为__________.【答案】12【解析】【分析】由lglg0xy+=，得()10,0xyxy=，利用基本不等式即可得解.【详解】因为lglg0xy+=，所以()10,0xyxy=，所以4924912xyxy+=.等号成

立的条件为49xy=，即32,23xy==时取得最小值.故答案为：12【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.三、解答题（共6题）17.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若

太少又难以满足乘客需求.某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1（1

）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【答案】（1）32；（2）815．【解析】【详解】试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为

8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．试题解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=，所以候车时间少于10分钟的

人数为8603215=人．（2）将第三组乘客编号为1234,,,aaaa，第四组乘客编号为12,bb．从6人中任选两人包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)aaaaaaabab，23242122(,)

,(,),(,),(,)aaaaabab，343132(,),(,),(,)aaabab，4142(,),(,)abab，12()bb,，10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．18.已知向量a，b满足5a=，()1

,3b=−，且()2+⊥abb．（1）求向量a的坐标；（2）求向量a与b的夹角．【答案】（1）(1,2)a=或(2,1)a=−；（2）34.【解析】【分析】（1）设(),axy=，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组，解方程组即

可求解.（2）设向量a与b的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：（1）设(),axy=，因为||5a=，则225xy+=，①又因为()1,3b=−，且(2)abb+⊥，22(,)(1,3)(21,23)abxyxy+=+−=+−，所以

(21,23)(1,3)21(23)(3)0xyxy+−−=++−−=，即350xy−+=，②由①②解得12xy==，或21xy=−=，所以(1,2)a=或(2,1)a=−．（2）设向量a与b的夹角为，所以22162cos

2||||121(3)abab−===−++−或22232cos2||||121(3)abab−−===−++−，因为0，所以向量a与b的夹角34=．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查

了基本运算求解能力，属于基础题.19.已知非零数列na满足()*13nnaanN+=，且12,aa的等差中项为6.（1）求数列na的通项公式；（2）若32lognnba=，求12233411111...nnbbbbbbb

b+++++的值.【答案】（1）=3nna（2）4(1)nn+【解析】【分析】（1）由()*13nnaanN+=知数列na为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可．（2）将=3nna代入，

计算出11111=()41nnbbnn+−+，再求和即可得出答案．【详解】（1）非零数列na满足()*13nnaanN+=，数列na为以3为公比的等比数列；当n=1时213aa=①因为12,aa的等差中项为6，所以12+=12aa②联立①②得13a=，3q=所以=3nna（2）将=

3nna代入32lognnba=得到2nbn=所以111111==()4(1)41nnbbnnnn+−++所以1223341111111111111...=(1...)(1)42231414(1)nnnbbbbbbbbnnnn+++++−+−++−=−=+++【点睛】本题考查等比数

列的通项，裂项相消求前n项和．属于基础题．20.△ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、,已知△ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1,3,BCa==求△ABC

的周长.【答案】(1)2sinsin3BC=(2)333+.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1coscos6BC=和2sins

in3BC=计算出1cos()2BC+=−，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc+的值，从而求出ABC的周长为333+.试题解析：（1）由题设得21sin23sinaacBA=，即1sin2

3sinacBA=.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA=.故2sinsin3BC=.（2）由题设及（1）得1coscossinsin,2BCBC−=−，即()1cos2BC+=−.所以23BC+=，

故3A=.由题设得21sin23sinabcAA=，即8bc=.由余弦定理得229bcbc+−=，即()239bcbc+−=，得33bc+=.故ABC的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立

等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面

积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.21.某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50

名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为)40,50，)50,60，…，90,100．（1）求频率分布直方图中a的值；（2）若采用分层抽样的方式从评分在)40,60，)60,80，

80,100的师生中抽取10人，则评分在)60,80内的师生应抽取多少人？（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，并据此回答食堂是否

需要进行内部整顿．【答案】（1）0.006a=；（2）5人；（3）76.2，食堂不需要内部整顿．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于1即可求解.（2）由频率分布直方图求出在这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解.（3）平

均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解.【详解】解：（1）由()0.0040.0220.0280.0220.018101a+++++=，解得0.006a=．（2）由频率分布直方图可知，评分在)40,60，)60,80，8

0,100内的师生人数之比为()0.0040:.006+()()0.0220.0280.0220.0181::5:4++=，所以评分在)60,80内的师生应抽取5105154=++（人）．（3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为450.00410550.0061065x

=++0.02210750.02810850.02210950.0181076.2+++=．因为76.275，所以食堂不需要内部整顿．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、根据频率分布直方图求平均数、分层抽样，考查了基本运算能力，属于基础题.22.在ABC中，a､b

､c分别为内角A､B､C的对边，且ac，已知2BABC=uuruuur，1cos3B=，3b=，求：（1）a和c的值；（2）cos()BC−的值.【答案】（1）3a=，2c=；（2）2327【解析】【分析】（1）运用向量的数量积的定义，结合余弦定理，解a，c的方程，即可求得a，c；（2

）由同角三角函数的基本关系求出sinB，再由正弦定理求出sinC，再由两角差的余弦公式，即可得到所求值．【详解】（1）在ABC中，ABC++=，∵2BABC=uuruuur，1cos3B=，∴cos2acB=，即6ac=，∵3b=，∴由余弦定理得：2221cos23acbBac+

−==，即2294ac=+−，∴2213ac+=，解得3a=，2c=；（2）在ABC中，22122sin1cos1()33BB=−=−=，由正弦定理sinsinbcBC=得：22242sinsin339cCB

b===，∵abc=，∴C为锐角，∴27cos1sin9CC=−=，则17224223cos()coscossinsin393927BCBCBC−=+=+=.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理和两角差的余弦公式的运用，

考查运算能力，属于中档题．