【文档说明】河北省唐山市路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试题【精准解析】.doc，共(17)页，1.133 MB，由小赞的店铺上传

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路北区第十一中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学学科试卷Ⅰ卷一、选择题（共12题，每题5分）1.已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A.76B.219C.27D.27【答案】B【解析】由余弦定理，得2222cos=36+16+24=76

,219bacacBb=+−==，故选B.2.已知()2,1A−，()6,3B−，()0,5C，则ABC的形状是（）．A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形【答案】A【解析】【分析】根据向量的坐标表示可得AB，AC，BC，再利用向量数量积的坐标表示

即可判断.【详解】根据已知，有(8,4)AB=−，(2,4)=AC，(6,8)BC=−，因为82(4)40ABAC=+−=，所以ABAC⊥，即90BAC=．故ABC为直角三角形．故选：A【点睛】本题考查了向量的坐标表

示、向量数量积的坐标表示，属于基础题.3.下列不等式中，正确的是A.若,abcd，则acbd++B.若ab，则acbc++C.若,abcd，则acbdD.若,abcd，则abcd【答案】A【解

析】【分析】根据不等式的性质和带特殊值逐一排除．【详解】若ab，则acbc++,故B错，设a3,b1,c1,d2===−=−,则acbd，abcd所以C、D错，故选A【点睛】本题考查不等式的性质，注意正负号的应用．4.设等差数列na的前n项之和为,nS已知10100S=，

则47aa+=（）A.12B.20C.40D.100【答案】B【解析】分析：由等差数列的通项公式可得47aa+129ad=+，由10100S=可得12920ad+=，从而可得结果.详解：由等差数列的前n项和的公式得：101109101002Sad=+=，即12920ad+=，从而47

111362920aaadadad+=+++=+=，故选B.点睛：本题主要考查数列的通项公式与求和公式，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题.5.记nS为等比数列na的前n项和，若2389aa=，5163a=，则（）．A.23nna=B.13−=nnaC

.312nnS−=D.213nnS−=【答案】D【解析】【分析】设公比为q，则有2323145189163aaaqaaq====，进而可求出1,aq，结合等比数列的性质，可求出na和nS.【详解】设公比为q，则有2323145

189163aaaqaaq====，解得1132aq==，则123nna−=，1(12)213123nnnS−−==−．故选：D.【点睛】本题考查等比数列的性质，考查等比数列的通项公式及前n项和公式的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题.6.如图，

为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得45BDC=，则塔AB的高是（单位：m）（）A.102B.106C.103D.10【答案】B【解析】【分析】设塔高为x米，根据题

意可知在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=33x，在△BCD中，CD=10，∠BCD=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°，由正弦定理可求BC，从而可求x即塔高．【详解】设塔高为x米，根据题意可知在△A

BC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，AB=x，从而有BC=33x，AC=233x，在△BCD中，CD=10，∠BCD=60°+30°+15°=105°，∠BDC=45°，∠CBD=30°由正弦定理可得，sinsinBCCDBDCCBD=可得，BC=10sin

453102sin303x==oo.则x=106；所以塔AB的高是106米；故选B．【点睛】本题主要考查了正弦定理在实际问题中的应用，解决本题的关键是要把实际问题转化为数学问题，即正确建立数学模型，结合已知把题目中的数据转化为三角形中的数据，进而选择合适的公式进行求解．7.若

x、y满足约束条件23001xyxyy+−+，则3zxy=+的最大值为（）A.6−B.2−C.4D.2【答案】C【解析】【分析】作出不等式组所表示的可行域，平移直线3zxy=+，找出使得该直线在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可得解.【详解】作出不等式组23001

xyxyy+−+所表示的可行域如下图所示：联立1230yxy=+−=，解得1xy==，即点()1,1A，平移直线3zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，该直线在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max3114z=+=.故选：C.【点睛】本题考查线性目

标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.8.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用，是东方古代数学的名著，在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的.“九儿

问甲歌”就是其中一首:一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问小儿多少岁，各儿岁数要谁推，这位公公年龄最小的儿子年龄为（）A.8岁B.11岁C.20岁D.35岁【答案】B【解析】【分析】九个儿子的年龄成等差数列，公差为3．【详解】由题意九个儿

子的年龄成等差数列，公差为3．记最小的儿子年龄为1a，则9198932072Sa=+=，解得111a=．故选B．【点睛】本题考查等差数列的应用，解题关键正确理解题意，能用数列表示题意并求解．9.在区间

04，上随机取两个实数,xy,使得2xy+8的概率为（）A.916B.14C.316D.34【答案】D【解析】【分析】画出可行域，利用几何概型概率计算公式求得概率.【详解】画出图像如下图所示，整个区域是正方形区域，符合2xy+8的是阴影部分区域.故所求的概率为2443244

4+=.故选D.【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性规划的知识，考查二元一次不等式表示的区域判断，属于基础题.10.某单位为了了解用电量y（度）与气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温x（℃）181310－1用电量y（度）243438

64由表中数据得线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2，预测当气温为－4℃时，用电量的度数约为（）A.58B.66C.68D.70【答案】C【解析】试题分析：由表中数据可知：样本中心点为，在线性回归方程y＝bx＋a中b≈－2所以a=60即回归方程为y＝-2x＋60所以由此预测当气

温为－4℃时，用电量的度数约为68.考点：回归直线及样本中心点.11.记nS为等比数列na的前n项和，若数列12nSa−也为等比数列，则43aa=（）．A.2B.1C.32D.12【答案】D【解析】【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n项和公式

及定义求解即可.【详解】解：设等比数列na的公比为q，当1q=时，()1111222nSanaana−=−=−，则12nSa−不为等比数列，舍去，当1q时，()1111111222111nnnaqaaSaaqaqqq−−=−=+−−−−，为了符合题意

，需11201aaq−=−，得12q=，故4312aqa==.故选D．【点睛】本题考查等比数列的前n项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.12.已知样本数据由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13．7，18．3，

20，且样本的中位数为10.5，若使该样本的方差最小，则a，b的值分别为（）．A.10，11B.10.5，9.5C.10.4，10.6D.10.5，10.5【答案】D【解析】【分析】利用中位数可得21ba=−，要使该样本的

方差最小，只需()()221010ab−+−最小，将21ba=−代入，配方即可求解.【详解】由于样本共有10个值，且中间两个数为a，b，依题意，得10.52ab+=，即21ba=−．因为平均数为23371213.718.320101()0ab++

+++++++=，所以要使该样本的方差最小，只需()()221010ab−+−最小．又()()()()222221010102110242221abaaaa−+−=−+−−=−+，所以当4210.522a−=−=时，()

()221010ab−+−最小，此时10.5b=．故选：D【点睛】本题考查了样本数据、方差，需熟记方差的计算公式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.Ⅱ卷二、填空题（共4小题，每题5分）13.要考察某种品牌的500颗种子的发芽率，抽取60粒进行实

验，利用随机数表抽取种子时，先将500颗种子按001，002，…，500进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，请你依次写出最先检测的5颗种子的编号：________，________，_______

_，________，________．（下面摘取了随机数表第7行至第9行）8442175331572455068877047447672176335025839212067663016378591695556719981

05071751286735807443952387933211234297864560782524207443815510013429966027954【答案】(1).331(2).455(3).068(4).047(5).447【解析】【分析】从随机数表第7行

第8列的数3开始向右读，第一个小500的数字为331，第二个为572不合题意，第三个为455，以此类推，把符合条件的5个数取出即可【详解】解：从随机数表第7行第8列的数3开始向右读，第一个小500的数字为331，第二个为572不合

题意，第三个为455，第四个068，第五个877，不合题意，第六个047，第七个447，所以取出的5颗种子的编号依次为331，455，068，047，447，故答案为：331，455，068，047，4

47，【点睛】此题考查简单随机抽样中的随机数表法，属于基础题14.在ABC中，3,1,30cbB===，则ABC的面积为_______.【答案】32或34【解析】【分析】根据正弦定理可求得sinC.分类讨论，即可确定角A，由三角形面积公式即可求解.【详解】由正弦定理可知sinsi

ncbCB=，代入可得31sinsin30C=，解得3sin2C=，所以60C=或120C=，当60C=时，90A=，由三角形面积公式可得113sin131222SbcA===，当120C=时，30A=，由三角形面积公式可得1113s

in132224SbcA===，所以ABC的面积为32或34，故答案为：32或34.【点睛】本题考查了正弦定理解三角形的简单应用，三角形面积公式用法，属于基础题.15.如图，在△ABC中，AB＝2，BC＝3，∠ABC＝60°，AH⊥BC于点H，M为AH的中点．若AM＝λA

B＋μBC，则λ＋μ＝________【答案】23【解析】【分析】解直角三角形求得,BHBC的长，根据12AMAH=，用,ABBC表示AH，由此得到AM的表达式，从而求出,的值，进而求得+的值.【详解

】.因为AB＝2，∠ABC＝60°，AH⊥BC，所以BH＝1.因为BC＝3，所以BH＝BC．因为点M为AH的中点，所以＝＝(＋)＝＝＋，又＝λ＋μ，所以λ＝，μ＝，所以λ＋μ＝.【点睛】本小题主要考查解平面向量的线性运算，考查平面向量的基本定理的运用，还考查了解直角三角形的知识.

对于几何图形中的向量运算，往往转化为同一个基底的向量的线性和来表示，如本题中的AM这个向量，就转化为了,ABBC这两个向量的线性和的形式，根据平面向量的基本定理，这个形式是唯一的，由此可求得,的值.16.若lglg0xy+=，则49xy+的最小值为__________.【答案】12【解析

】【分析】由lglg0xy+=，得()10,0xyxy=，利用基本不等式即可得解.【详解】因为lglg0xy+=，所以()10,0xyxy=，所以4924912xyxy+=.等号成立的条件为49xy=，即32,23xy==时取得最小值.故答案为：12

【点睛】此题考查利用基本不等式求最值，关键在于熟练掌握基本不等式的使用条件，注意考虑等号成立的条件.三、解答题（共6题）17.城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费；若太少又难以满足乘客需求.某市公

交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人，将他们的候车时间作为样本分成5组，如下表所示（单位：分钟）：组别候车时间人数一[0,5)2二[5,10)6三[10,15)4四[15,20)2五[20,25]1（1）估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）若从上表第三、四组的6人中任选2

人作进一步的调查，求抽到的两人恰好来自不同组的概率．【答案】（1）32；（2）815．【解析】【详解】试题分析：（1）根据15名乘客中候车时间少于10分钟频数和为8，可估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数；（2）将两组乘客编号，进而列举出所有基本事件和抽到的两人恰好来自不同组的基

本事件个数，代入古典概型概率公式可得答案．试题解析：（1）候车时间少于10分钟的概率为2681515+=，所以候车时间少于10分钟的人数为8603215=人．（2）将第三组乘客编号为1234,,,aaaa

，第四组乘客编号为12,bb．从6人中任选两人包含以下基本事件：1213141112(,),(,),(,),(,),(,)aaaaaaabab，23242122(,),(,),(,),(,)aaaaabab，343132(,),(,)

,(,)aaabab，4142(,),(,)abab，12()bb,，10分其中两人恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815．考点：频率分布表；古典概型及其概率计算公式．18.已知向量a，b满足5a

=，()1,3b=−，且()2+⊥abb．（1）求向量a的坐标；（2）求向量a与b的夹角．【答案】（1）(1,2)a=或(2,1)a=−；（2）34.【解析】【分析】（1）设(),axy=，根据向量模的坐标表示以及向量数量积的坐标表示列方程组

，解方程组即可求解.（2）设向量a与b的夹角为，利用向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】解：（1）设(),axy=，因为||5a=，则225xy+=，①又因为()1,3b=−，且(2)abb+⊥，22(,)(1,3)(21,

23)abxyxy+=+−=+−，所以(21,23)(1,3)21(23)(3)0xyxy+−−=++−−=，即350xy−+=，②由①②解得12xy==，或21xy=−=，所以(1,

2)a=或(2,1)a=−．（2）设向量a与b的夹角为，所以22162cos2||||121(3)abab−===−++−或22232cos2||||121(3)abab−−===−++−，因为0，

所以向量a与b的夹角34=．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标表示、向量模的坐标表示，利用向量的数量积求向量的夹角，考查了基本运算求解能力，属于基础题.19.已知非零数列na满足()*13nnaanN+=，且12,aa的等差中项为6.（1）求数列na的通项公式；（2）若32lognn

ba=，求12233411111...nnbbbbbbbb+++++的值.【答案】（1）=3nna（2）4(1)nn+【解析】【分析】（1）由()*13nnaanN+=知数列na为以3为公比的等比数列，再利用等差中项求出首项，即可．（2）将=3nna代

入，计算出11111=()41nnbbnn+−+，再求和即可得出答案．【详解】（1）非零数列na满足()*13nnaanN+=，数列na为以3为公比的等比数列；当n=1时213aa=①因为12,aa的等差中项为6，所以12+=12aa②联立①②

得13a=，3q=所以=3nna（2）将=3nna代入32lognnba=得到2nbn=所以111111==()4(1)41nnbbnnnn+−++所以1223341111111111111...=(1...)(1)42231414(1)nnnbbbbbbbbnnn

n+++++−+−++−=−=+++【点睛】本题考查等比数列的通项，裂项相消求前n项和．属于基础题．20.△ABC的内角、、ABC的对边分别为abc、、,已知△ABC的面积为23sinaA(1)求sinsinBC;(2)若6coscos1,3,

BCa==求△ABC的周长.【答案】(1)2sinsin3BC=(2)333+.【解析】试题分析：（1）由三角形面积公式建立等式21sin23sinaacBA=，再利用正弦定理将边化成角，从而得出sinsinBC的值；（2）由1coscos6BC=和

2sinsin3BC=计算出1cos()2BC+=−，从而求出角A，根据题设和余弦定理可以求出bc和bc+的值，从而求出ABC的周长为333+.试题解析：（1）由题设得21sin23sinaacBA=，即1sin23sina

cBA=.由正弦定理得1sinsinsin23sinACBA=.故2sinsin3BC=.（2）由题设及（1）得1coscossinsin,2BCBC−=−，即()1cos2BC+=−.所以23BC+=，故3A=.由题设得21sin23sinabcAA=，

即8bc=.由余弦定理得229bcbc+−=，即()239bcbc+−=，得33bc+=.故ABC的周长为333+.点睛:在处理解三角形问题时，要注意抓住题目所给的条件，当题设中给定三角形的面积，可以使用面积公式建立等式，再将所有边的关系转化为角的关系，有时需将角的关系转化为边的关系；解三角形

问题常见的一种考题是“已知一条边的长度和它所对的角，求面积或周长的取值范围”或者“已知一条边的长度和它所对的角，再有另外一个条件，求面积或周长的值”，这类问题的通法思路是：全部转化为角的关系，建立函数关系式，如sin()yAxb=++，从而求出范围，或利用余弦定理以及基本不等式求

范围；求具体的值直接利用余弦定理和给定条件即可.21.某学校为了解学校食堂的服务情况，随机调查了50名就餐的教师和学生．根据这50名师生对食堂服务质量的评分，绘制出了如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组为)40,50，)50,60，…，90,100．（1）求频率分布直方图中a的值

；（2）若采用分层抽样的方式从评分在)40,60，)60,80，80,100的师生中抽取10人，则评分在)60,80内的师生应抽取多少人？（3）学校规定：师生对食堂服务质量的评分不得低于75分，否则将进行内部整顿．用每组数据的中点值代替该组数据，试估计该校师生对食堂服务质量评分的平均分，

并据此回答食堂是否需要进行内部整顿．【答案】（1）0.006a=；（2）5人；（3）76.2，食堂不需要内部整顿．【解析】【分析】（1）根据频率分布直方图中小矩形的面积之和等于1即可求解.（2）由频率分布直方图求出在

这三个区间内的人数之比，再根据分层抽样比即可求解.（3）平均数等于小矩形的面积乘以底边中点的横坐标之和即可求解.【详解】解：（1）由()0.0040.0220.0280.0220.018101a+++++

=，解得0.006a=．（2）由频率分布直方图可知，评分在)40,60，)60,80，80,100内的师生人数之比为()0.0040:.006+()()0.0220.0280.0220.0181:

:5:4++=，所以评分在)60,80内的师生应抽取5105154=++（人）．（3）由题中数据可得师生对食堂服务质量评分的平均分为450.00410550.0061065x=++0.02210750.02810850.02210950.0181076.2+++=．因

为76.275，所以食堂不需要内部整顿．【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用、根据频率分布直方图求平均数、分层抽样，考查了基本运算能力，属于基础题.22.在ABC中，a､b､c分别为内角A､B､C的对边，且ac，已知2BABC=uuruuur，1cos3B=，3b

=，求：（1）a和c的值；（2）cos()BC−的值.【答案】（1）3a=，2c=；（2）2327【解析】【分析】（1）运用向量的数量积的定义，结合余弦定理，解a，c的方程，即可求得a，c；（2）由同角三角函数的基本关系求出sinB，再由正弦定理求出sinC，再由

两角差的余弦公式，即可得到所求值．【详解】（1）在ABC中，ABC++=，∵2BABC=uuruuur，1cos3B=，∴cos2acB=，即6ac=，∵3b=，∴由余弦定理得：2221cos23acbBa

c+−==，即2294ac=+−，∴2213ac+=，解得3a=，2c=；（2）在ABC中，22122sin1cos1()33BB=−=−=，由正弦定理sinsinbcBC=得：22242sinsin339cCBb==

=，∵abc=，∴C为锐角，∴27cos1sin9CC=−=，则17224223cos()coscossinsin393927BCBCBC−=+=+=.【点睛】本题考查平面向量的数量积的定义，考查余弦定理和两角差的余弦公式的运

用，考查运算能力，属于中档题．