【文档说明】安徽省合肥市第一中学2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试题 含解析.docx，共(16)页，1.113 MB，由小赞的店铺上传

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安徽省合肥一中2022-2023学年高一下学期第一次月考数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.下列五个结论：

①温度有零上和零下之分，所以温度是向量；②向量ab，则a与b的方向必不相同；③ab，则ab；④向量a是单位向量，向量b也是单位向量，则向量a与向量b共线；⑤方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量一定是平行向量．其中正确的有（）A.①⑤B.④C.⑤D.②④【答案】C【解析

】【分析】根据向量的定义即可判断①；根据不相等向量的定义即可判断②；根据向量不能比较大小即可判断③；根据共线向量的定义即可判断④⑤.【详解】温度虽有大小却无方向，故不是向量，故①错；ab，但a与b的方向可以相同，故②错；向量的长

度可以比较大小，但向量不能比较大小，故③错；单位向量只要求长度等于1个单位长度，但方向未确定，故④错；如图，作出这两个向量，则方向为北偏西50的向量与方向为东偏南40的向量方向相反，所以这两个向量一定是平行向量，故⑤正确．故选：C.2.若在△ABC中，ABa=，BCb=，且||||1ab

==，||2ab+=，则△ABC的形状是（）A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用向量加法的几何意义和模长之间的关系即可判定其为等腰直角三角形.【详解】由于||||1ABa

==，||||1BCb==，||||2ACab=+=，则222||abab+=+，即222||||ABBCAC+=，所以△ABC为等腰直角三角形．故选：D．3.已知a，b均为单位向量，33(2)(2)

2abab+−=−，则a与b的夹角为（）A.30°B.45°C.135°D.150°【答案】A【解析】【分析】根据33(2)(2)2abab+−=−，求得32ab=rr，再利用向量夹角公式即可求解.【详解】因为2233(2)(2)2322322

ababaabbab+−=−−=−−=−，所以32ab=rr．设a与b的夹角为θ，则3cos.2||||abab==又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝30°．故选：A4.如果用,ij分别表示x轴和y轴正方向上的单位向量，且()()2,3,4,2AB，则A

B可以表示为（）A.23ij+B.42ij+C.2ij−D.2ij−+【答案】C【解析】【分析】先根据向量的坐标表示求出AB，再根据正交分解即可得解.【详解】因为()()2,3,4,2AB，所以()2,1AB=−，所以2ABij=−.故选：C.5.设

平面向量()1,2a=r，()2,by=−，若ab∥，则3ab+等于（）A.5B.6C.17D.26【答案】A【解析】【分析】由两向量平行得出b坐标中的y，即可求出3ab+的值.【详解】由题意，∵()1,2a=r，()2,by=−，ab∥，∴()1

220y−-=，解得4y=-，∴()2,4b=−−∴()()()2233,62,41,2125ab+=+−−==+=故选：A.6.已知向量(2,3)ux=+，(,1)vx=，当()fxuv=取得最小

值时，x的值为（）A.0B.1−C.2D.1【答案】B【解析】.【分析】直接利用向量数量积的坐标化运算得到2()(1)2fxx=++，利用二次函数性质得到其最值.【详解】22()(2)323(1)2fxuvxxxxx=

=++=++=++，故当=1x−时，f(x)取得最小值2．故选：B.7.在如图所示的半圆中，AB为直径，点O为圆心，C为半圆上一点，且30OCB=，2AB=，则AC等于（）A.1B.2C.3D.2【答案】A【解析】【分析】根据OCOB=，可得30ABCOCB==，进一步得出答案

.【详解】如图，连接AC，由OCOB=，得30ABCOCB==.因为C为半圆上的点，所以90ACB=，所以112ACAB==．故选：A.8.如图，在ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交

直线AB，AC于不同的两点MN，，若ABmAM=，ACnAN=，则mn+=（）A.1B.32C.2D.3【答案】C【解析】【分析】连接AO，因为O为BC中点，可由平行四边形法则得1()2AOABAC=+，再将其用AM，AN表示.由M、O、N三点共线可知，其表达

式中的系数和122mn+=，即可求出mn+的值.【详解】连接AO，由O为BC中点可得，1()222mnAOABACAMAN=+=+，M、O、N三点共线，122mn+=，2mn+=.故选：C.【点睛】本题考查了向量的线

性运算，由三点共线求参数的问题，熟记向量的共线定理是关键.属于基础题.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题列出的四个选项中，有多项符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.在平面直角坐标系中，若点A(2，3

)，B(-3，4)，如图所示，x轴、y轴同方向上的两个单位向量分别为i和j，则下列说法正确的是（）A.23OAij=+B.34OijB=+C.5ABij=−+D.5BAij=+【答案】AC【解析】【分析】根据图象，由平面向量

的坐标运算求解.【详解】解：由图知，23OAij=+，34OBij=−+，故A正确，B不正确；5ABOBOAij=−=−+，5AAijBB=−=−，故C正确，D不正确．故选：AC10.在ABC中，若3330

bcB===，，，则a的值可以为（）A.3B.23C.33·D.43【答案】AB【解析】分析】根据余弦定理，直接计算求值.【详解】根据2222cosbacacB=+−，得2339232aa=+−，即23360aa−+=，解得：3a=或23a

=.故选：AB11.如图，在海岸上有两个观测点C，D，C在D的正西方向，距离为2km，在某天10:00观察到某航船在A处，此时测得∠ADC=30°，5分钟后该船行驶至B处，此时测得∠ACB=60°，∠BCD=45

°，∠ADB=60°，则（）A.当天10:00时，该船位于观测点C的北偏西15°方向B.当天10:00时，该船距离观测点C2kmC.当船行驶至B处时，该船距观测点C2kmD.该船在由A行驶至B的这5min内行驶了6km【答案】ABD【解析】【分析】利用方位角

的概念判断A，利用正弦定理、余弦定理求解后判断BCD．【详解】A选项中，∠ACD=∠ACB∠BCD=60°45°=105°，因为C在D的正西方向，所以A在C的北偏西【15°方向，故A正确.B选项中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，则∠CAD=45°.由正弦定理，得

AC=sin2sinCDADCCAD=，故B正确.C选项中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC∠ADB=30°60°=90°，即∠CBD=45°，则BD=CD=2，于BC=22，故C不正确.D选

项中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2BC2－2AC·BCcos∠ACB=28－222122=6，即AB=6km，故D正确.故选：ABD．12.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，ac，tan22B=，ABC的面积为22，则2b

ac−可能取到的值为（）A.43B.22C.42D.23【答案】AC【解析】【分析】由tan22B=求出22sin3B=，再利用ABC的面积为22，得6ac=，再利用余弦定理可得22()8bac=−+，然后代入2||bac−中利用基本不等式可求得其最小值

.【详解】解：tan22B=，1cos3B=，22sin3B=，又1sin222==SacB，6ac=，由余弦定理可得2222222cos4()8=+−=+−=−+bacacBacac，22()88||42||||||−+==−+−

−−bacacacacac，当且仅8||||−=−acac等号成立，是故2bac−的最小值为42，可能取到的值为AC选项．故选：AC.【点睛】关键点睛：本题考查余弦定理的应用，考查基本不等式的应用，解题的关键是根据面积得出6ac=，再利用余弦定理得出22()8bac=−+，结合基本不

等式求解.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.已知点()1,5A−−和向量()2,3a=r，若3ABa=，则点B的坐标为．【答案】()5,4【解析】【分析】根据向量线性运算的坐标表示，由OAABOB=+

求向量OB的坐标，由此可得点B的坐标.【详解】设O为坐标原点，因为()1,5OA=−−，()36,9ABa==，故()5,4OABOAB=+=，故点B的坐标为()5,4．故答案为：()5,4.14.若向量()()(),3,1,4,2,

1akbc===，已知23ab−与c的夹角为钝角，则k的取值范围是．【答案】99,,322−−−【解析】【分析】根据23ab−与c的夹角为钝角，由()230abc−，且23ab−与c的不共线求解.【详解】解：由()(),3,1,4akb

==，得()2323,6abk−=−−．又23ab−与c的夹角为钝角，∴()22360k−−，得3k，若()23//abc−，则2312k−=−，即92k=−．当92k=−时，23ab−与c共线且反向，不合题意．综上，k的取值范围为

99,,322−−−，故答案为：99,,322−−−．15.如图，设P为ABC内一点，且202PAPBPC++=，则:ABPABCSS=△△．【答案】15##0.2【解析】【分析】设AB的中点是D，连接PD，根据平面向量线

性运算法则，得到14PCDP=−，即可得到面积比.【详解】设AB的中点是D，连接PD，由202PAPBPC++=，可得12PAPBPC+=−，因为122PAPBPDPC+==−，所以14PCDP=−，所以

P为CD的五等分点（靠近D点），即15PDDC=，所以ABP的面积为ABC的面积的15．故答案为：15.16.在ABC中，3a=，60A=，求32bc+的最大值.【答案】219【解析】【分析】由正弦定理得2sinbB=，2sincC=.代入，

进行三角恒等变换可得326sin4sinbcBC+=+219sin()B=+，由此可求得最大值.【详解】解：由正弦定理32sinsinsin32abcABC====，得2sinbB=，2sincC=.326sin4sinbcBC+=+()316sin4sin1206sin4cossi

n22BBBBB=+−=++6sin23cos2sinBBB=++228sin23cos8(23)sin()BBB=+=++219sin()B=+，其中3tan4=，所以max(32)219bc+=.故答案为：219.【点睛】本题考查运用正弦定理解三角形，边角互化

求关于边的最值，属于较难题.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知向量12aee=−，1243bee=+，其中()()121,0,0,1ee==．（1）试计算ab及ab+的值；（2）求向量a与b夹角的余弦值．【答案】（1）1ab=，ab+

＝29（2）210【解析】【分析】（1）利用平面向量的数量积运算求解；（2）利用平面向量的夹角公式求解.【小问1详解】解：()()()1,00,11,1a=−=−，()()()41,030,14,3b=+=，∴()41311ab=

+−=，()()22413125429ab+=++−=+=．【小问2详解】设ab，的夹角为θ，由cosabab=，12cos1025abab===．18.有一艘在静水中速度大小为10km/h的船，现船沿与河岸成60角的方向向河的上游行驶．由于受水流的

影响，结果沿垂直于河岸的方向驶达对岸．设河的两岸平行，河水流速均匀．（1）设船相对于河岸和静水的速度分别为,uv，河水的流速为w，求,,uvw之间的关系式；（2）求这条河河水的流速．【答案】（1）uwv=+（

2）河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下【解析】【分析】（1）根据题意可得v与u的夹角为30，则,,uvw三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,OOOvuABCwBC====，再根据向量的加法法则即可得解；（2）

结合图象，求出BCuuur即可.【小问1详解】如图，u是垂直到达河对岸方向的速度，v是与河岸成60角的静水中的船速，则v与u的夹角为30，由题意知，,,uvw三条有向线段构成一个直角三角形，其中,,O

OOvuABCwBC====，由向量加法的三角形法则知，OCOAOB=+，即uwv=+；【小问2详解】因10km/hOBv==，而1sin30105km/h2BCOB===，所以这条河河水的流速为5km/h，方向顺着河岸向下．19.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，

c，且bsinA＝3acosB．若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值．【答案】a＝3，c＝23．【解析】【分析】由bsinA＝3acosB边化角求得B，由sinC＝2sinA得c＝2a，再结合余弦定理即可求解.【详解】因bsin

A＝3acosB．所以由正弦定理，得sinsin3sincos.BAAB=sin0,sin3cosABB=，即tan3B=.π0π,=3BB∵sinC＝2sinA，∴由正弦定理，得c＝2a，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB，即

9＝a2＋4a2－2a·2acosπ3，解得a＝3，∴c＝2a＝23．20.如图，在ABC中，点D在BC边上，72,,cos4210CADACADB===−.（1）求sinC的值；（2）若5BD=，求ABD的面积.【答案】（1）45；（2）7.【解析】【详解】试题分析：（1）先由2c

os10ADB=−得出72sin10ADB=，再利用两角差的正弦公式将为为sinsin4CADB=−展开，代入求值即可；（2）由正弦定理sinsinADACCADC=得到AD的

值，再利用三角形面积公式即可.试题解析：（1）因为2cos10ADB=−，所以72sin10ADB=.又因为4CAD=，所以4CADB=−.所以722224sinsinsincoscossin4441021025CADB

ADBADB=−=−=+=.（2）在ACD中，由sinsinADACCADC=，得74sin2522sin7102ACCADADC===.所以1172sin22572210ABDSADBDADB===

.考点：1、两角差的正弦余弦公式；2、正弦定理及三角形面积公式.21.设两个向量,ab满足()132,0,,22ab==，（1）求ab+方向的单位向量；（2）若向量27tab+与向量atb+的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

【答案】（1）5721,1414（2）141417,,222−−−−【解析】【分析】（1）根据()132,0,,22ab==，求得ab+的坐

标和模后求解；（2）根据向量27tab+与向量atb+的夹角为钝角，由()()270tabatb++，且向量27tab+不与向量atb+反向共线求解.【小问1详解】由已知()13532,0,,2222ab+=+=，所以225372

2ab+=+=，所以57217,1414ab+=，即ab+方向的单位向量为5721,1414；【小问2详解】由已知1ab=，2,1ab==，所以()()()222227

22772157tabatbtatabtbtt++=+++=++，因为向量27tab+与向量atb+的夹角为钝角，所以()()270tabatb++，且向量27tab+不与向量atb+反向共线，设(

)()270tabkatbk+=+，则27tkkt==，解得142t=−，从而221570142ttt++−，解得141417,,222t−−−−.22.在ABC中，角A、B、C所对的边长分

别为a、b、c，1ba=+，2ca=+.．（1）若2sin3sinCA=，求ABC的面积；（2）是否存在正整数a，使得ABC为钝角三角形?若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1574；（2）存在，且2a=.【解析】

【分析】（1）由正弦定理可得出23ca=，结合已知条件求出a的值，进一步可求得b、c的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出sinB，再利用三角形的面积公式可求得结果；（2）分析可知，角C为钝角，由cos0C结合三角形三边关系

可求得整数a的值.【详解】（1）因为2sin3sinCA=，则()2223caa=+=，则4a=，故5b=，6c=，2221cos28abcCab+-==，所以，C为锐角，则237sin1cos8CC=−=，因此，113715

7sin452284ABCSabC===△；（2）显然cba，若ABC为钝角三角形，则C为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos022121aaaabcaaCabaaaa++−++−−−===++，解得13a−，则0<<3a，由三角

形三边关系可得12aaa+++，可得1a，aZ，故2a=.