【文档说明】山东省淄博市沂源县第二中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学试题含答案.doc，共(16)页，320.500 KB，由管理员店铺上传

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高二阶段性测试数学试题一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在等差数列{an}中，a1+a2＝3，a5+a6＝7，则a9+a10＝（）A．8B．9C．10D．112.设函数f（x）＝x，则＝（

）A．0B．1C．2D．﹣13.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1＝2，S4﹣S3＝，则数列{an}的前4项和为（）A．B．C．D．4.明代数学家程大位编著的《算法统宗》是中国数学史上的一座丰碑．其中有一段著述“

远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”．注：“倍加增”意为“从塔顶到塔底，相比于上一层，每一层灯的盏数成倍增加”，则该塔正中间一层的灯的盏数为（）A．3B．12C．24D．485.若曲线f（x）＝在点（1，f（1））处的切线过点（﹣1，0），

则函数f（x）的单调递减区间为（）A．（﹣∞，0）B．（0，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，0）D．（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）6.已知正项等比数列{an}中a9＝9a7，若存在两项am、an，使，则的最小值为（）A．5B．C

．D．7.如图是函数y＝f（x）的导函数y＝f′（x）的图象，给出下列命题：①﹣3是函数y＝f（x）的极值点；②﹣1是函数y＝f（x）的最小值点；③y＝f（x）在x＝0处切线的斜率小于零；④y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增．则正确命题的序号是（）A．①②B．

②③C．③④D．①④8.若对于任意的0＜x1＜x2＜a，都有，则a的最大值为（）A．2eB．eC．1D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。9.设数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和，a

1＞0且S6＝S9，则（）A．d＞0B．a8＝0C．S7或S8为Sn的最大值D．S5＞S610.设点P是曲线y＝ex﹣x+上的任意一点，P点处的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围包含下列哪些（）A．[）B．[，）C．[0，）D．[0，）∪[，

π）11.下列说法中正确的是（）A．若数列{an}前n项和Sn满足，则an＝2n﹣1B．在等差数列{an}中，满足a1＝20，S10＝S16，则其前n项和Sn中S13最大C．在等差数列{an}中，满足a5＝3，

则数列{an}的前9项和为定值D．若tanx＝2，则12.已知f'（x）为函数f（x）的导函数，f'（x）＝3x2+6x+b，且f（0）＝0，若g（x）＝f（x）﹣2xlnx，求使得g（x）＞0恒成立b的值可能为（）A．﹣2ln2﹣B．﹣ln2﹣C．0D．ln2﹣三、填空题（本大题共4小题，每小题

5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝4S5＝100，则an的通项公式为．14.已知函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f'（1）＝．15.曲线f（x）＝sinxcos2

x在点（，f（））处的切线方程为．16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内

作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等比数列{an}中（1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6；（2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn18.设函数（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2

，2]的最大值和最小值．19.已知函数f（x）＝x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）若0＜a≤1，求f（x）的单调区间．20.在等比数列{an}中，a1＞0，n∈

N*，且a3﹣a2＝8，又a1、a5的等比中项为16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整数k的最小值；若不存在，请说明理由．21.设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1

，且a1，a2+2，a3成等差数列，（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；（3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn．22.已知函数f1（x）＝ax2+bx+c

，f2（x）＝ex．（1）当a＝，b＝1，c＝0时，设f（x）＝mf2（x）﹣f1（x），且函数f（x）在R上单调递增．①求实数m的取值范围；②设h（x）＝（x2﹣3m）f2（x），当实数m取最小值时，求函

数h（x）的极小值．（2）当a＝0，b＞1，c＝1时，证明：函数g（x）＝f2（x）﹣f1（x）有两个零点．高二阶段性测试数学试题参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.【答案】D【分析】根据等差数列的性

质可得：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），即可求出．【解答】解：（a1+a2）+（a9+a10）＝2（a5+a6），则a9+a10＝2×7﹣3＝11，故选：D．【知识点】等差数列的性质2.【答案】B【分析】根

据题意，由导数的定义可得＝f′（1），求出f（x）的导数，求出f′（1）的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，＝＝f′（1），又由f（x）＝x，则f′（x）＝1，则有f′（1）＝1，则有＝1；故选：B．

【知识点】导数及其几何意义、变化的快慢与变化率3.【答案】A【分析】根据题意，设等比数列{an}的公比为q，分析可得a4＝，由等比数列的通项公式可得q的值，进而由等比数列的前n项和公式计算可得答案．【解答】解：根据题

意，设等比数列{an}的公比为q，若a1＝2，S4﹣S3＝，即a4＝，则q3＝＝，则q＝，故数列{an}的前4项和S4＝＝，故选：A．4.【答案】C【分析】根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列{an}，由等比数列的定义可得数列

{an}是公比为2的等比数列，由等比数列的前n项和可得S7＝＝127a1＝381，解可得a1的值，由等比数列的通项公式计算可得答案．【解答】解：根据题意，设从塔顶到塔底，每一层灯的盏数组成数列{an}，则数列{an}是公比为2的等比数列，又由“共灯三百八十一”，则有S7＝＝127a1＝381，

解可得a1＝3，则中间层的灯盏数a4＝a1q3＝24，故选：C．【知识点】等比数列的前n项和5.【答案】D【分析】先利用导数求出函数在（1，f（1））处的切线方程，然后将点（﹣1，0）代入切线方程，即可求出a的值，最后利用导数的符号大于零即可求解．【解答】解：由题意得，所以k＝，且

f（1）＝．故函数f（x）在（1，f（1））处的切线为：，将点（﹣1，0）代入得a＝1．则，由f′（x）＜0得x＜0且x≠﹣1．故f（x）的单调递减区间为（﹣∞，﹣1），（﹣1，0）．故选：D．6.【答案】A【分析】由已知结合等比

数列的性质及通项公式可求m+n，然后结合基本不等式即可求解．【解答】解：因为正项等比数列{an}中a9＝9a7，所以q2＝＝9，即q＝3，若存在两项am、an，使，则＝27a12，所以m+n＝5，m＞0，n＞0，m≠n），则＝（）＝＝5，当且仅当且n+m＝5即m＝1，n＝

4时取等号，故选：A．【知识点】等比数列的通项公式7.【答案】D【分析】根据导函数的图象得到导函数的符号，根据导函数的符号判断出函数单调性，根据函数的单调性求出函数的极值及最值，判断出①②④的对错根据函数在切点

的导数为切线的斜率，判断出③的对错．【解答】解：由导函数y＝f′（x）的图象知f（x）在（﹣∞，﹣3）单调递减，（﹣3，+∞）单调递增所以①﹣3是函数y＝f（x）的极小值点，即最小值点故①对②不对∵0∈，（﹣3

，+∞）又在（﹣3，+∞）单调递增∴f′（0）＞0故③错∵f（x）在（﹣3，+∞）单调递增∴y＝f（x）在区间（﹣3，1）上单调递增故④对故选：D．【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数在某点取得极值的条件8.【答案】C【分析】整理所给的不等式，构造新函数，结合导函数研究函数的单调性

即可求得最终结果．【解答】解：∵，∴＜，据此可得函数f（x）＝在定义域（0，a）上单调递增，其导函数：f′（x）＝＝﹣≥0在（0，a）上恒成立，据此可得：0＜x≤1，即实数a的最大值为1．故选：C．【知识点】利用导数研究函数的单调性二、多选题（本大题共4小题，每小题5

分，共20分）在每小题所给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的；错选或多选不得分。9.【答案】BC【分析】由a1＞0且S6＝S9，利用求和公式可得：a8＝0，d＜0．即可判断出结论．【解答】解：a1＞0且S6＝S9，∴6a1+d＝9a1+d，化为：a1+7d＝

0，可得a8＝0，d＜0．S7或S8为Sn的最大值，S5＜S6．故选：BC．【知识点】等差数列的性质、等差数列的前n项和10.【答案】CD【分析】求得函数的导数，可得切线的斜率，由指数函数的值域，可得斜率的范围，由正切函数的图象和性质，可得倾斜

角的范围．【解答】解：y＝ex﹣x+的导数为y′＝ex﹣，由ex＞0，可得切线的斜率k＞﹣，由tanα＞﹣，可得0≤α＜或＜α＜π，则C，D正确，故选：CD．11.【答案】BCD【分析】直接利用数列的通项公式的求法和等差

数列的性质和三角函数的定义判定A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：数列{an}前n项和Sn满足，当n＝1时，解得a1＝2，当n≥2时，，所以an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，故，故A错误．对于B：等差数列{an}中，满足a1＝20，S10＝S16，所以：a11+a12+a13+a14+

a15+a16＝0，则a13+a14＝0，由于a1＞0，所以d＜0，故a13＞0，a14＜0，所以其前n项和Sn中S13最大，故项B正确．对于C：等差数列{an}中，满足a5＝3，，则数列{an}的前9项和为定值，故C正确；对于D：若tanx＝2，当x为第一象限

角时：则，则；当x为第三象限角时，，则，故D正确；故选：BCD．【知识点】等差数列的性质12.【答案】BCD【分析】求出函数f（x）的解析式，从而求出g（x）的解析式，问题转化为b＞2lnx﹣x2﹣3x，设φ（x）＝2lnx﹣x

2﹣3x（x∈（0，+∞）），根据函数的单调性求出b的范围即可．【解答】解：∵f'（x）＝3x2+6x+b，∴可设f（x）＝x3+3x2+bc+c，又f（0）＝0，故c＝0，从而f（x）＝x3+3x2+bx，∴g（x）＝f（x）﹣2

xlnx＝x3+3x2+bx﹣2xlnx，则g（x）的定义域是（0，+∞），则g（x）＞0可化为x2+3x+b﹣2lnx＞0，即b＞2lnx﹣x2﹣3x，设φ（x）＝2lnx﹣x2﹣3x（x∈（0，+∞）），则φ′（x）＝﹣2x﹣3＝，令φ′（x）＞0

，解得：0＜x＜，令φ′（x）＜0，解得：x＞，故φ（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减，故当x＝时，φ（x）取得最大值φ（）＝﹣2ln2﹣，要使g（x）＞0恒成立，则b＞﹣2ln2﹣即可，故选：BCD．【知识点】利用导数研究函数的最值三、填空题

（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝4S5＝100，则an的通项公式为﹣．【答案】an=2n-1【分析】设公差为d，可得，解得即可．【解答】解：设公差为d，由S10

＝4S5＝100，可得，解得a1＝1，d＝2，故an＝2n﹣1，故答案为：an＝2n﹣1．【知识点】等差数列的前n项和14.已知函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f'（1）＝．【答案】3【分析】根

据题意，求出函数的导数，再x＝3可得f′（3）＝6f′（3）+5，解可得f′（3）的值，即可得f′（x）＝﹣2x+5，将x＝1代入计算可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝f'（3）x2+5x，则f′（x）＝2f′（3）x+5，令x

＝3可得：f′（3）＝6f′（3）+5，解可得f′（3）＝﹣1，则f′（x）＝﹣2x+5，故f′（x）＝3；故答案为：3【知识点】导数的运算15.曲线f（x）＝sinxcos2x在点（，f（））处的切线方程为．【分析】求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率

，求得切点，由直线的点斜式方程可得所求切线的方程．【解答】解：f（x）＝sinxcos2x的导数为f′（x）＝cosxcos2x﹣2sinxsin2x，可得在点（，f（））处的切线斜率为k＝f′（）＝coscos﹣2sinsin＝﹣，又f（）＝sincos＝0，可得切线的方程为y＝﹣

（x﹣），即为4x+2y﹣π＝0．故答案为：4x+2y﹣π＝0．【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程16.定义max{a，b}＝且f（x）＝﹣2e，g（x）＝，令h（x）＝max{f（x），g（x）}，则h（x）的极大值为．【分析】对g（x）

求导，分析g′（x）的正负，g（x）的单调性，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：h（x）的单调递增区间为[，e]．【解答】解：因为g（x）＝（x＞0），所以g′（x）＝，令g′（x）＝0，则x＝e，当0＜x＜

e时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞e时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，所以g（x）极大值＝g（e）＝，由f（x）＝g（x），即x﹣2e＝，得x＝，作出h（x）＝max{f（x），g（x）}的大致图象如下：则h（x）极大值＝g（

e）＝，且在（0，），（e，+∞）上单调递减，在[，e]上单调递增，则h（x）的单调递增区间为[，e]．故答案为：，[，e]．【知识点】利用导数研究函数的极值四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在等比数列{

an}中（1）已知a1＝13，q＝﹣2，求a6；（2）已知a3＝20，a6＝160，求Sn【分析】（1）直接利用等比数列的通项公式，代入可求；（2）结合等比数列的通项公式可求q，a1，代入等比数列的求和公式可求．【

解答】解：在等比数列{an}中（1）∵a1＝13，q＝﹣2，∴＝13×（﹣2）5＝﹣416；（2）∵a3＝20，a6＝160，∴，解可得q＝2，a1＝5∴Sn＝＝＝5×2n﹣5．18.设函数（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；

（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣2，2]的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）求导，令导函数大于0即可得到增区间，令导函数小于0即可得到减区间；（Ⅱ）列表直接可求得最值．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝x2+3x+2

＝（x+1）（x+2），令f′（x）＞0解得x＜﹣2或x＞﹣1；令f′（x）＜0解得﹣2＜x＜﹣1，故函数f（x）在（﹣∞，﹣2），（﹣1，+∞）上单调递增，在（﹣2，﹣1）上单调递减；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得x，f′（x），f（x）的变化情况，x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，2）2f′（x）0

﹣0+f（x）减极小值增故函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为，最小值为．19.已知函数f（x）＝x﹣﹣（a+1）lnx（a∈R）．（Ⅰ）当a＝2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）若0＜a≤1，求f（x）的单调区间．【分析】（Ⅰ）根据题意可得f（x）＝x﹣﹣3lnx，

求导数，令f′（x）＝0得x＝1或x＝2，列表格分析当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况，进而得出f（x）的极大值，极小值．（Ⅱ）求导得′（x）＝，分两种情况①当a＝1时，②当0＜a＜1时讨论函数f（x）的单调区

间．【解答】解：（Ⅰ）因为当a＝2时，f（x）＝x﹣﹣3lnx所以f′（x）＝（x＞0），由f′（x）＝0得x＝1或x＝2．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况列表如下：x（0，1）1（1，2）2（2，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）单调递增﹣1单调递减1﹣3l

n2单调递增所以当x＝1时，f（x）取极大值﹣1；当x＝2时，f（x）取极小值1﹣3ln2．（Ⅱ）f′（x）＝＝，①当a＝1时，x∈（0，+∞），f′（x）≥0，f（x）单调递增．②当0＜a＜1时，x∈（a

，1），f′（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（0，a）或x∈（1，+∞），f′（x）＞0，f（x）单调递增，综上所述，当a＝1时，f（x）递增区间为（0，+∞）；当0＜a＜1时，f（x）递减区间为（a，1）；f（x）的递增区间为（0，a）和（1，+∞）．20.在等比数

列{an}中，a1＞0，n∈N*，且a3﹣a2＝8，又a1、a5的等比中项为16．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Sn，是否存在正整数k，使得对任意n∈N*恒成立？若存在，求出正整

数k的最小值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设数列{an}的公比为q，由题意可得，故a3＝16，由a3﹣a2＝8，得a2＝8，由此能求出数列{an}的通项公式．（2）由，得．，由此能求出正整数k的最小值．【解答

】解：（1）设数列{an}的公比为q，由题意可得，故a3＝16，∵a3﹣a2＝8，∴a2＝8，∴q＝2，∴．（2）∵，∴．∵，∴＝＝，∴正整数k的最小值为2．21.设数列{an}（n∈N+）的前n项和为Sn，已知Sn＝2an﹣a1，且a1，a2+2，a3成等差数列，（1）求数列{an}

的通项公式；（2）记数列的前n项和为Tn，求使得成立的n的最小值；（3）若数列{bn}满足，求数列{bn}的前n项和Rn．【分析】（1）由Sn＝2an﹣a1，通过，得到an＝2an﹣1，数列{an}是公比为2的等比数列，然后求解数列的通项公式．（2）利用等比数列求和

公式求解Tn，然后利用，求解满足条件的n的最小值是9．（3）化简＝．利用裂项消项法求解数列的和即可．【解答】解：（1）由Sn＝2an﹣a1得：当n≥2时，，an＝2an﹣1，即，所以数列{an}是公比为2的等比数列，又因为a1，a2+2，a3成等差数列，所以2（a2+2）＝a1+a3

，2（2a1+2）＝a1+4a1，解得：a1＝4，∴数列{an}的通项公式是：．（2）因为，所以Tn＝＝＝，由得：，，即2n+1＞1000，∴n+1＞9，n＞8，n∈N+，所以满足条件的n的最小值是9．（3）＝＝＝＝．∴

Rn＝＝＝．22.已知函数f1（x）＝ax2+bx+c，f2（x）＝ex．（1）当a＝，b＝1，c＝0时，设f（x）＝mf2（x）﹣f1（x），且函数f（x）在R上单调递增．①求实数m的取值范围；②设h（x）＝（x2﹣3m）f2（x

），当实数m取最小值时，求函数h（x）的极小值．（2）当a＝0，b＞1，c＝1时，证明：函数g（x）＝f2（x）﹣f1（x）有两个零点．【分析】（1）①求导得到f′（x）＝mex﹣x﹣1≥0恒成立，即m≥在R上恒成立，设φ（x

）＝，求函数的最大值得到答案．h（x）＝（x2﹣3）ex．求导得到函数单调性，得到极小值．②由①可知，m＝1，则h（x）＝（x2﹣3）ex．求导数，得到极值点，分析单调性，进而求出h（x）的极小值．（2）根据题意得，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），求导数，分析单调性，得到g（x）mi

n＝g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），通过求导数，分析单调性，得到g（x）min＝g（lnb）＜0，g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），求导数分析单调性，得当b＞1时，0＜lnb＜b，所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x1＜b，使得g（x

1）＝0．又g（0）＝0，所以g（x）由两个零点．【解答】解：（1）①f（x）＝mex﹣﹣x，得f′（x）＝mex﹣x﹣1，由题意知f′（x）≥0在R上恒成立，∴m≥在R上恒成立．令φ（x）＝，则m≥φ（x）max，φ′（x）＝﹣，令φ（x）＞0，得x＜0，令φ′（

x）＜0得x＞0，∴φ（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，+∞）单调递减，∴φ（x）max＝φ（0）＝1∴m≥1，即实数m的取值范围是[1，+∞）．②当实数m取最小值时，m＝1，∴h（x）＝（x2﹣3）ex．h′（x）＝

2xex+（x2﹣3）ex＝（x2+2x﹣3）ex，令h′（x）＝0，解得x＝1或x＝3当x＜﹣3或x＞1时，h′（x）＞0当﹣3＜x＜1时，h′（x）＜0．∴h（x）在（﹣∞，﹣3）上单调递增，在（

﹣3，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴当x＝1时，h（x）取得极小值，极小值为﹣2e．（2）当a＝0，c＝1时，函数g（x）＝ex﹣bx﹣1（b＞1），g′（x）＝ex﹣b令g′（x）＝0，解得x＝lnb，当x＜lnb时，g′（x）＜0，g（x）在（﹣∞，lnb）上单调递减，

当x＞lnb时，g′（x）＞0，g（x）在（lnb，+∞）上单调递增，∴g（x）min＝g（lnb）＝b﹣blnb﹣1（b＞1）令p（b）＝b﹣blnb﹣1（b＞1），则p′（b）＝1﹣lnb﹣1＝﹣lnb＜0，∴p（b）在（1，+∞）上单调递减，∴p（b）＜0，即∴g（x）min＝

g（lnb）＜0，g（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1）令r（b）＝eb﹣b2﹣1（b＞1），则r′（b）＝eb﹣2b，令t（b）＝eb﹣2b（b＞1），则t′（b）＝eb﹣2，因为b＞1，∴t′（b）＝eb﹣2＞0，∴r

′（b）＝eb﹣2b在（1，+∞）上单调递增，∴r′（b）＞0．r（b）在（1，+∞）上单调递增，所以r（b）＞0，即g（b）＞0．又当b＞1时，0＜lnb＜b所以由零点存在性定理知，存在lnb＜x1＜b，使得g（x1）＝0．又g（0）＝0，∴g（x）有两个零

点．