【文档说明】湖南省衡阳市第八中学2021届高三上学期第五次月考试题（1月）数学教师用卷.docx，共(26)页，942.143 KB，由小赞的店铺上传

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衡阳市八中2021届高三第五次月考数学试卷命题人：xxx审题人注意事项：本试卷满分150分，时量为120分钟第I卷（选择题）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知集合1{|24}{|0}3xAxNxBxx

+=−=−＜，，则集合A∩B中子集的个数是（）A．4B．8C．16D．32【答案】B【分析】根据题意，求出集合M与N，进而由交集的定义求得M∩N，结合集合的元素数目与集合的子集数目分析可得答案．【详解】根据题意，A={x∈N

|-2≤x＜4}={0，1，2，3}，B={x|13xx+−≥0}={x|-1≤x＜3}，则A∩B={0，1，2}，则集合A∩B中子集的个数是23=8；故选B．【点睛】本题考查集合的交集计算，关键是求出集合M、N，属于基础题．2．复数212ii+=−（）A．iB．i−C．2(2)i+D．1i+【

答案】A【解析】试题分析：原式(2)(12)(12)(12)iiiii++==−−+，故选A.考点：复数.3．为做好社区新冠疫情防控工作，需将四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿者，则不同的分配方案共有（）种A．36B．48C．6

0D．16【答案】A【分析】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，结合排列数的定义进行求解即可.【详解】根据题意可知必有二名志愿者去同一小区开展工作，因此有244362C==种方式，所以四名志愿者分配到甲、乙、丙三个小区开展工作，每个小区至少分配一名志愿

者共有23436321=36CA=种方式.故选：A【点睛】本题考查了组合与排列的应用，属于基础题.4．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖．依其平面有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、六角攒尖等，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑．如图所示，某园林建筑

为六角攒尖，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正六棱锥，若此正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱与底面外接圆半径的比为（）A．12cosB．12sinC．sin3πsin8D．cos3πcos8【答案】A【分析】根据正六棱锥的底面为正六边形计算可得结果.

【详解】正六棱锥的底面为正六边形，设其外接圆半径为R，则底面正边形的边长为R，因为正六棱锥的侧面等腰三角形的底角为，所以侧棱长为2cos2cosRR=，所以侧棱与底面外接圆半径的比为12cos2c

osRR=.故选：A【点睛】关键点点睛：掌握正六棱锥的结构特征是解题关键.5．新冠肺炎期间某商场开通三种平台销售商品，收集一月内的数据如图1；为了解消费者对各平台销售方式的满意程度，该商场用分层抽样的方法抽取4%的顾客

进行满意度调查，得到的数据如图2．下列说法错误的是（）A．样本容量为240B．若样本中对平台三满意的人数为40，则40%m=C．总体中对平台二满意的消费者人数约为300D．样本中对平台一满意的人数为24人【答案】B【分析】对每一个选项逐一分析判断得解.求出样本容量为240判断选项A的正误

；求出40m=判断选项B的正误；计算出总体中对平台二满意的消费者人数约为300判断选项C的正误；计算出样本中对平台一满意的人数为24人判断选项D的正误.【详解】选项A，样本容量为60004%240=，该选项正确；选项B，根据题意得平台三的满意率4040%25004%=，40m=，不是40%

m=，该选项错误；选项C，样本可以估计总体，但会有一定的误差，总体中对平台二满意人数约为150020%300=，该选项正确；选项D，总体中对平台一满意人数约为20004%30%24=，该选项正确.故选：B．【点睛】本题主要考查分层抽样，考查用样本估计总

体，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6．若1log22a，则a的取值范围是（）A．2(,1)(1,)2+B．2(0,)2C．2(,1)2D．2(0,)(1,)2+【答案】D【解析】【分析】根据对数函数对底数的要求，及对数的单调性特征，

分段讨论a的取值情况，分别解不等式即可求得a的范围。【详解】因为1log22a所以21loglog2aaa当01a时，对数函数为减函数，所以212a，可得202a当1a时，对数函数为增函数，所以212a，可得1a综上所述，a的取值范围为()20,1

,2+所以选D【点睛】本题考查了对数函数大小的判断，注意对数的底数对单调性的影响，属于中档题。7．若O为ABC所在平面内任意一点，且满足()20BCOBOCOA+−=，则ABC一定为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形【答案】

C【分析】由向量的线性运算可知2OBOCOAABAC+−=+，所以()0BCABAC+=，作出图形，结合向量加法的平行四边形法则，可得BCAD⊥，进而可得ABAC=，即可得出答案.【详解】由题意，()()2OBO

COAOBOAOCOAABAC+−=−+−=+，所以()0BCABAC+=，取BC的中点D，连结AD，并延长AD到E，使得ADDE=，连结BE，EC，则四边形ABEC为平行四边形，所以ABACAE+=.所以0BCAE

=，即BCAD⊥，故ABAC=，ABC是等腰三角形.故选：C.【点睛】本题考查三角形形状的判断，考查平面向量的性质，考查学生的计算求解能力，属于基础题.8．已知函数22()(2)()fxxxxaxb=+++，且(3)fx−是偶函数，若函数()()gxfxm=+有且只有4个零点，则实数m的

取值范围为（）A．(16,9)−B．(9,16)−C．(9,15)−D．(15,9)−【答案】B【解析】【分析】由函数()fx的图象对称性，解得,ab的值，化简函数的解析式为22[(35)6()]1fxx

=+−−，令2(3),0xtt+=，把函数()()gxfxm=+有且只有4个零点，转化为()()gxhtm=+在区间(0,)+上有两个零点，即可求解．【详解】由题意，函数22()(2)()fxxxxaxb=+++，且(3)fx−是偶函数，所以函数()fx的

图象关于3x=−对称，则(6)(0),(4)(2)ffff−=−=−，所以24(366)08(164)0abab−+=−+=，解得10,24ab==，此时函数2222()(2)(1024)(2)(4)(6)(6)(68)fxx

xxxxxxxxxxx=+++=+++=+++222222(6)8(6)[(3)9]8[(3)9]xxxxxx=+++=+−++−4222(3)10(3)9[(3)5]16xxx=+−++=+−−，令2(3),0xtt+=

，则()()2(5)16,0fxhttt==−−，因为函数()()gxfxm=+有且只有4个零点，且()fx的图象关于3x=−对称，即函数()()gxfxm=+的图象在(3,)−+有两个零点，所以()()gxhtm=+在区间(0,)+上有两个零点，即()yht=与y

m=−的图象在(0,)+有两个交点，当0t=时，()()09,516hh==−，如图所示，则916m−−，解得169m−，即实数m的取值范围是()16,9−，故选A．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质的应用，以及函数与方程的综合应用，其

中解答中熟练应用函数的性质，求得函数的解析式，合理利用换元法和二次函数的性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分.9．

函数()sin3cosfxxx=+的（）A．图象对称中心为()2,03kkZ+B．增区间为()52,266kkkZ−++C．图象对称轴方程为3xk=−+，kZD．最大值是2，最小值是-2【答案】ABD【分析】化简函数(

)2sin,3fxx=+再利用函数的性质，即可得答案；【详解】()2sin,3fxx=+对A，当2(1)333xkxkk+==−+=+−，故A正确；对B，22232k

xk−+++，解得：52266kxk−+，故B正确；对C，当32xk+=+时，,6xkk=+Z，故C错误；对D，maxmin()2,()2fxfx==−，故D正确；故选：ABD.

【点睛】本题考查三角恒等变换、三角函数的图象与性质，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查运算求解能力.10．若过点(-2，1)的圆M与两坐标轴都相切，则直线3x-4y+10＝0与圆M的位置关系可能是（）A．相交B．相切C．相离D．不能确定【答

案】AB【分析】圆M与两坐标轴都相切，且点(-2，1)在该圆上，列方程，可求得圆的方程，得到圆心坐标分别为：(-1，1)或(-5，5)，然后，利用圆心到直线的距离，分情况讨论即可【详解】因为圆M与两坐标轴都相切，且点(-2，1)在该圆上，所以可设圆M的方程为(x+a)2

+(y-a)2＝a2，所以(-2+a)2+(1-a)2＝a2，即a2-6a+5＝0，解得a＝1或a＝5.当圆心坐标为(-1，1)时，圆的半径为1，所以圆心到直线3x-4y+10＝0的距离为315；当圆心坐标为(-5

，5)时，圆的半径为5，所以圆心到直线3x-4y+10＝0的距离为2555=.故选：AB11．已知0xy，1xy=，则22xyxy+−的最小值和此时x、y应取的值为（）．A．最小值为52B．最小值为2

2C．32x=，12y=D．622x+=，622y−=【答案】BD【分析】根据条件，将22xyxy+−变形为2()xyxy−+−，利用基本不等式求解最值，并确定取等条件.【详解】2222222()22()xyxyxyxyxyxyxyxyxyxy++−+−

+===−+−−−−，∵0xy，∴0xy−，∴2()22xyxy−+−，且当2xyxy−=−时等号成立，∴622x+=，622y−=.故选：BD12．已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为2，点O为

11AD的中点，若以O为球心，6为半径的球面与正方体1111ABCDABCD−的棱有四个交点E，F，G，H，则下列结论正确的是（）A．11//AD平面EFGHB．1AC⊥平面EFGHC．11AB与平面EFGH所成的角的大小为45°D．平面EFGH将正方体1111ABCDABCD−分成两部分

的体积的比为1:7【答案】ACD【分析】如图，计算可得,,,EFGH分别为所在棱的中点，利用空间中点线面的位置关系的判断方法可判断A、B的正确与否，计算出直线AB与平面EFGH所成的角为45后可得C正确，

而几何体BHECGF−为三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断D正确与否.【详解】如图，连接OA，则2115OAAA=+=，故棱1111,,,AAADDDAD与球面没有交点.同理，棱111111,,ABBCCD与球面没有交点.因为棱11AD与棱BC之间的距离为226，故棱BC与

球面没有交点.因为正方体的棱长为2，而26，球面与正方体1111ABCDABCD−的棱有四个交点E，F，G，H，所以棱11,,,ABCDCCBB与球面各有一个交点，如图各记为,,,EFGH.因为OAE△为直角三角形，故22651AEO

EOA=−=−=，故E为棱AB的中点.同理,,FGH分别为棱11,,CDCCBB的中点.由正方形ABCD、,EF为所在棱的中点可得//EFBC，同理//GHBC，故//EFGH，故,,,EFGH共面.由正方体1111ABCDABCD−可得11//ADBC，故11//ADE

F因为11AD平面EFGH，EF平面EFGH，故11//AD平面EFGH，故A正确.因为在直角三角1BAC中，122AB=，2BC=，190ABC=，1AC与BC不垂直，故1AC与GH不垂直，故1AC⊥平面EFGH不成立，故B

错误.由正方体1111ABCDABCD−可得BC⊥平面11AABB，而1AB平面11AABB，所以1BCAB⊥，所以1EFAB⊥在正方形11AABB中，因为,EH分别为1,ABBB的中点，故1EHAB⊥，因为EFEHE=，故1AB⊥平面EFGH，所以BEH为直线AB与平

面EFGH所成的角，而45BEH=，故直线AB与平面EFGH所成的角为45，因为11//ABAB，故11AB与平面EFGH所成的角的大小为45°.故C正确.因为,,,EFGH分别为所在棱的中点，故几何体BHECGF−为三棱柱，其体积为111212=，而正方体的体积为

8，故平面EFGH将正方体1111ABCDABCD−分成两部分的体积的比为1:7，故D正确.故选：ACD.【点睛】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本

题属于中档题.第II卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．在52(1)xx−展开式中含的系数是__________．（用数字作答）【答案】20−【解析】试题分析：只需求()51x−的展开式中含2x的系数即可，由于()5151rrrrTCx−+=−

，令52r−=则3r=，所以在2展开式中含的系数是2()335120C−=−，故答案应填20−.考点：二项式定理.14．若曲线xye=在0x=处的切线，也是lnyxb=+的切线，则b=______.【答案】2.【分析】求出xye=的导数，求得切线的斜率，可得切线方程，再设与

曲线lnyxb=+相切的切点为()00,xy，求得函数lnyxb=+的导数，由导数的几何意义求出切线的斜率，解方程可得0x，0y的值，进而得到b的值.3x5(1)xx−3x【详解】由xye=，得exy=，曲线x

ye=在0x=处的切线斜率为1k=，则曲线xye=在0x=的切线方程为1yx=+，lnyxb=+的导数为1yx=，设切点为()00,xy，则011x=，解得01x=，02y=，即有2ln1b=+，得2b

=.故答案为：2【点睛】本题考查了基本初等函数的导数以及导数的几何意义，属于基础题.15．已知数列na满足()*111,2nnnaaanN+==，nS为数列na的前n项和，则2022S=____________．【答案】1011323−【解析】【分析】由111,2nnnaa

a+==，令1n=，求得2a的值，12nnnaa+=，得112nnnaa−−=，两式相比，即得112nnaa+−=，从而求得数列na的前2022项和2022S．【详解】∵1,2nnnaa+=，令1n=，求得22

a=，当2n时112nnnaa−−=，∴112nnaa+−=∴数列na的奇数项成等比数列，偶数项成等比数列；则()101110111011202221212323.1212S−−=+=−−−【点睛】考查由递推公式求数列中的性质，，解决

方法，体现了分类讨论的思想方法，属基础题.16．已知双曲线()222210,0xyabab−=的左右焦点分别为1F，2F，过2F的直线交双曲线的右支于P，Q两点，且1PQPF⊥，1158PQPF=，则双曲线的离心率为________.【答案】264【分析】先根据题意得11

1715QFPF=，再根据双曲线的定义得152aPF=，22aPF=，再在12RtPFF中，利用勾股定理即可求得264e=.【详解】解：如图，可设,PQ为双曲线右支上一点，由11,815PQPFPQPF⊥=，在直角三角形1PFQ中，221111715QFPFPQPF=

+=，由双曲线的定义可得：12122aPFPFQFQF=−=−，由1158PQPF=，即有221158PFQFPF+=，即为111172215815PFaPFaPF−+−=，1171415581PFa−+=，解得152aPF=，2122aPFPFa=−=，由勾股定理可得：2

2122252aacFF==+262a=，可得264e=.故答案为：264.【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接

求出,ac，从而求出e;②构造,ac的齐次式，求出e;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义及勾股定理可以找出,ac之间的关系，求出离心率e．四、解答题：本题共6小题，

共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题10分）在条件①coscoscos2sincosABCAB+=，②sinsin2BCbaB+=，③225sinsin224ABBCacb+++=中任选一个，补充到下面问题中，并给

出问题解答.在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，25a=，2bc=，______，求ABC的面积.【答案】选①，4ABCS=；选②，1033ABCS=；选③，5154ABCS=【分析】根据选择的条件，利用正余弦定理，求出边长，再利用面积公式即可求出.【详解】解：选择

①coscoscos2sincosABCAB+=，()coscoscos2sincosABABAB−+=，即coscoscoscossinsin2sincosABABABAB−+=，化简得：2sincossinsinA

BAB=，又sin0A，tan2B=，即5cos5B=，25sin5B=，25a=，2bc=，由余弦定理得:()()22252252255ccc=+−，解得:2c=，4b=，ABC的面积为1sin42SacB==；选择②sinsin2BCbaB+=，由正弦定

理可得sinsinsinsin2BCBAB+=，又sin0B，sinsin2BCA+=，由180ABC++=，sincos22BCA+=即cos2sincos222AAA=，cos02A，即1sin

22A=，60A=，由余弦定理得()()2221252222cccc=+−，解得：2153c=，4153b=，ABC的面积为1103sin23SbcA==；选择③由225sinsin224ABBCacb

+++=及ABC++=，得：225coscos224CAacb+=，即1cos1cos5224CAacb+++=，由正弦定理得：5sinsincossincossinsin2AACCACB+++=，3sinsinsin2ACB+=，即32acb+=，2bc=，2

ac=，由25a=，得：25ab==，25c=，2227cos28bacCab+−==，2715sin188C=−=，ABC的面积为1515sin24SabC==.【点睛】方法点睛：解三角形的基本策略：一是利用正弦定理实现“边化角

”，二是利用余弦定理实现“角化边”；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.18．（本小题12分）设n

a是等比数列，公比大于0，其前n项和为()nSnN，nb是等差数列.已知11a=，322aa=+，435abb=+，5462abb=+.（1）求na和nb的通项公式；（2）设数列{}nS的前n

项和为()nTnN，（i）求nT；（ii）设数列{}nb的前n项和为()nRnN，若4nnnnRTba+=+，求正整数n的值．【答案】（1）12nna-=，nbn=；（2）（i）122nnTn+=−−，（ii）4．【分析】（1）先根据11a=，322

aa=+解出数列na的通项公式，然后将4a，5a的值代入求解1b和公差d得出数列nb的通项公式；（2）(i)利用等比数列的求和公式先求出等比数列的前n项和nS，再求解nT；（ii）利用等差数列

的求和公式求出nR，将nR、nT、na和nb等代入4nnnnRTba+=+，解方程即可.【详解】（1）设等比数列na的公比为q．由11a=，322aa=+，可得220qq−−=因为0q，可得2q=，故12nna-=，设等差数列nb的公差为d，

由435abb=+，可得134bd+=，由5462abb=+可得，131316bd+=，从而11b=，1d=，故nbn=，所以数列na的通项公式为12nna-=，数列nb的通项公式为nbn=．（2）(i)由（1）可知12nna

-=，则122112nnnS−==−−，故1112(12)(21)22212nnnkknnkkTnnn+==−=−=−=−=−−−.(ii)因为nbn=，所以(1)2nnnR+=，由4nnnnRTba+=+，得11(1)2222nnnnnn++++−−=+整理得：2340nn−−=，

解得4n=或1n=−（舍），所以n的值为4．【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合运用，要熟练运用等差数列等比数列的通项公式、前n项和公式是关键.19．（本小题12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农

作物造成严重伤害，每只红铃虫的平均产卵数y和平均温度x有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/xC21232527293133平均产卵数y/个711212466115325lnzy=1.92.43.03.24.24.75.8（1）根据散点图判断，ybxa=

+与dxyce=（其中2.718e=为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出y关于x的回归方程.（计算结果精确到0.01）（2）根据以往统计，该地每年平均温度达到28C以

上时红铃虫会造成严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28C以上的概率为p.记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为()fp，求()fp的最大值，并求出相应的概率0p.附：回归方程ybxa=+$$$中，()()()1122211nni

iiiiinniiiixxyyxynxybxxxnx====−−−==−−，aybx=−$$.参考数据721iix=71iiixy=71iiixz=yz52151771371781.33.6【答案】（1）0.335.31xye−=；（2）当3

5p=时，()max32165625fpf==.【分析】（1）根据散点图判断dxyce=更适宜作为y关于x的回归方程类型；对dxyce=两边取自然对数，求出回归方程，再化为y关于x的回归方程；（2）由()fp对其求对数，利用导数判断函数单调性，求出函数的最值以及对应的p值.【详解】解

：（1）由散点图可以判断，dxyce=适宜作为卵数y关于温度x的回归方程类型.对dxyce=两边取自然对数，得lnlnycdx=+，由数据得71736.6iiixzxz=−=，()77222117112iiiixxxx==−=−=，所以717221736.60.331127ii

iiixxxzxzd==−==−，ln5.31czdx=−=−，所以z关于x的线性回归方程为0.335.31zx=−，y关于x的回归方程为0.335.31xye−=.（2）由()()23351fpCpp=−得()

()()325135fpCppp=−−，因为01p，令()0fp得350p−，解得305p；所以()fp在30,5上单调递减，在3,15上单调递增，所以()fp有唯一的极大值为35f，也是最大值；所以当35p=时，()max3216562

5fpf==.【点睛】本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，也考查了概率的计算与应用问题，属于中档题.20．（本小题12分）如图，在四棱锥中，底面𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，平面，已知𝐴𝐸=𝐷𝐸=2，为线段的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角𝐶−𝐵𝐹

−𝐸的平面角的余弦值.【答案】证明：（1）见解析；（2）二面角𝐶−𝐵𝐹−𝐸的平面角的余弦值为−5√5151.【解析】试题分析：（1）注意做辅助线，连结𝐵𝐷和𝐴𝐶交于，连结，根据为中点，为中点，得到，即证得平面；（2）应用已知条件，研究得到𝐶𝐷⊥

𝐴𝐷，平面，𝐶𝐷⊥𝐷𝐸，创造建立空间直角坐标系的条件，通过以𝐷为原点，以为𝑥轴建立如图所示的坐标系，应用“向量法”解题；解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标

系的条件.试题解析：证明：（1）连结𝐵𝐷和𝐴𝐶交于，连结，∵𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴为中点，为中点，，∵𝐵𝐸⊄平面𝐴𝐶𝐹，𝑂𝐹⊂平面𝐴𝐶𝐹平面．（2）平面，平面，，∵𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴𝐶𝐷⊥𝐴𝐷，∵𝐴𝐸∩𝐴𝐷=�

�,𝐴𝐷,𝐴𝐸⊂平面，平面，∵𝐷𝐸⊂平面，∴𝐶𝐷⊥𝐷𝐸∴以𝐷为原点，以为𝑥轴建立如图所示的坐标系，则𝐸(2,0,0)，𝐸(2,0,0)，𝐸(2,0,0)，𝐸(2,0,0)∵平面，平面，∴𝐴𝐸⊥𝐷𝐸∵∴𝐴𝐸⊥𝐷𝐸，∴

𝐴𝐷=2√2∵𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形，∴𝐴𝐷=2√2，𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)由𝐴𝐵𝐶𝐷为正方形可得：𝐷𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝐷𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(2,2√2,2)，∴𝐴𝐷=2√2设平面的法向量为𝑛1

⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−2√2,−2)，∴𝐴𝐷=2√2由{𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛1⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒{−2√2𝑦1−2𝑧1=0𝑥1=0，令𝑦1=1，则𝑧1

=−√2∴𝑛1⃗⃗⃗⃗=(0,1,−√2)设平面𝐵𝐸𝐹的法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,0,−2)，𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=(1,−2√2,0)由{𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=0𝑛2⃗⃗⃗⃗⋅𝐶𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=0⇒{−2�

�2−2𝑧2=0𝑥2−2√2𝑦2=0，令𝑦1=1，则𝑧1=−√2，𝑧2=−2√2∴𝑛2⃗⃗⃗⃗=(2√2,1,−2√2)设二面角𝐶−𝐵𝐹−𝐸的平面角的大小为𝜃，则cos𝜃=cos(

𝜋−<𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗>)=−cos<𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗>=−𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|𝑛1⃗⃗⃗⃗⃗|⋅|𝑛2⃗⃗⃗⃗⃗|=−1+4√3×√17=−5√5151∴二面角𝐶−𝐵𝐹−𝐸的平面角的余弦值为−5√515

1考点：直线与平面、平面与平面垂直，二面角的定义及计算，空间向量的应用.21．（本小题12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：22221(0)xyabab+=的离心率32e=，且椭圆C上的点到其焦点的

距离的最大值为2+3，过点(3,0)M的直线交椭圆C于点A、B（1）求椭圆C的方程；（2）设P为椭圆上一点，且满足OAOBtOP+=（O为坐标原点），当3AB时，求实数t的取值范围.【答案】（1）𝑥24+𝑦2=

1；（2）或【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆性质求最值，求得相应值；（Ⅱ）先由点P在椭圆上建立实数𝑡与直线𝐴𝐵的斜率𝑘之间的关系，再由求得𝑘的范围，进而求得实数𝑡的取值范围.试题解析：（Ⅰ）∵32cea==（1分）椭圆C上的点到其焦点的距离的最

大值为a+c=2+3（2分）解得2,3ac==（3分），椭圆方程是（4分）（Ⅱ）设方程为由整理得.（5分）由，得.（6分）∴则,（7分）由点P在椭圆上，得化简得①（8分）又由即将，代入得（9分）化简，得则,（10分）∴②由

①，得联立②，解得∴或（12分）考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.弦长公式.22．（本小题12分）已知函数𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑎𝑥2−𝑏𝑥(𝑎>0,𝑏∈𝑅)．(1)若�

�=1，𝑏=0，试证明：当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>0；(2)若对任意𝑎>0，𝑓(𝑥)均有两个极值点𝑥1，𝑥2(𝑥1<𝑥2).①试求b应满足的条件；②当𝑎=12时，证明：𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>2．【答案】（1）见解析（2

）①.𝑏>1，②.见解析【解析】【分析】（1）求出导数𝑓′(𝑥)，求出其最小值，由最小值大于0，从而证明出结论．（2）①首先𝑓′(𝑥)＝0有两个不等的实根，再用导数研究𝑓′(𝑥)=𝑔(𝑥)的性质，求导𝑔′(𝑥)，利用𝑔′(𝑥)的正负确定𝑔(𝑥)的单调性及最小值点

，在𝑏>1时，计算出𝑔(0)<0,𝑔(−𝑏2𝑎)>0,𝑔(𝑎+√𝑎2+𝑏)>0，由零点存在定理可得𝑓′(𝑥)=𝑔(𝑥)存在两个零点，即𝑓(𝑥)有两个极值点；当𝑏≤1时，可取𝑎=12，此时𝑓(𝑥)没有零点极值点；②由①知，𝑥1，𝑥2为𝑔(𝑥)

=0的两个实数根，由于ln2𝑎=ln1=0，可判断出两零点一正一负，即𝑥1<0<𝑥2，且𝑔(𝑥)在(−∞,0)递减，为证题中不等式，先做一些准备工作，下面先证𝑥1<−𝑥2<0，只需证明𝑔(−𝑥2)<𝑔(�

�1)=0，注意到𝑔(𝑥2)=𝑒𝑥2−𝑥2−𝑏=0得=𝑒𝑥2−𝑥2，从而𝑔(−𝑥2)=𝑒−𝑥2+𝑥2−𝑏=𝑒−𝑥2−𝑒𝑥2+2𝑥2，下面再用导数的知识证明𝑔(−𝑥2)<

0；由函数单调性得𝑓(𝑥1)>𝑓(−𝑥2)，问题转化为只需证明𝑓(−𝑥2)+𝑓(𝑥2)>2，即证明𝑒𝑥2+𝑒−𝑥2−𝑥22−2>0，这再用导数加以证明．【详解】(1)证明：𝑎=1，𝑏=0，𝑓(𝑥)=𝑒𝑥−𝑥2，𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑥，𝑓″(

𝑥)=𝑒𝑥−2，令𝑓″(𝑥)=𝑒𝑥−2=0，解得𝑥=ln2．可得：𝑥=ln2时，函数𝑓′(𝑥)取得极小值即最小值，∴𝑓′(𝑥)≥𝑓′(ln2)=2−2ln2>0，∴函数𝑓(𝑥)在当𝑥>0时单调递增

，∴𝑓(𝑥)>𝑓(0)=1>0．∴当𝑥>0时，𝑓(𝑥)>0．(2)①𝑓′(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑎𝑥−𝑏，𝑎>0．设𝑔(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑎𝑥−𝑏，则𝑔′(𝑥)=𝑒𝑥−2𝑎，∴𝑥∈(−∞,ln2𝑎)，𝑔′(𝑥)<0，𝑥∈(ln2�

�,+∞)，𝑔′(𝑥)>0，故𝑔(𝑥)在(−∞,ln2𝑎)递减，在(ln2𝑎,+∞)递增，故𝑔(𝑥)至多有2个零点；(𝑖)当𝑏>1时，∵𝑎>0，∴−𝑏2𝑎<0，∴𝑔(0)=1−𝑏<0，且𝑔(−𝑏2𝑎)=𝑒−𝑏2𝑎−2𝑎⋅(−𝑏2𝑎)

−𝑏>0+𝑏−𝑏=0，又∵𝑚=2𝑎+√(2𝑎)2+4𝑏2=𝑎+√𝑎2+𝑏>0，由(1)可知𝑔(𝑚)=𝑒𝑚−2𝑎𝑚−𝑏>𝑚2−2𝑎𝑚−𝑏=0，∵𝑔(𝑥)是R上的连续函数，∴𝑔(𝑥)在(−�

�2𝑎,ln2𝑎)，(ln2𝑎,𝑚)上各有1个零点𝑥1，𝑥2，此时，𝑥1，𝑥2为函数𝑓(𝑥)的2个不同的极值点，故𝑏>1符合题意；(𝑖𝑖)当𝑏≤1时，取𝑎=12，则𝑔(𝑥)在(−∞,0)递减，在(0,+∞)递增，故𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(

0)=1−𝑏≥0，故𝑏≤1时，𝑔(𝑥)=𝑓′(𝑥)≥0，故函数𝑓(𝑥)递增，没有极值点，不合题意，综上，当𝑏>1时，对任意𝑎>0，𝑓(𝑥)均有2个极值点；②由①知，𝑥1，𝑥2为𝑔(𝑥)=0的两个实数根，∵ln2𝑎=ln1=0，∴𝑥1<0<𝑥2，

𝑔(𝑥)在(−∞,0)递减，下面先证𝑥1<−𝑥2<0，只需证明𝑔(−𝑥2)<𝑔(𝑥1)=0，∵𝑔(𝑥2)=𝑒𝑥2−𝑥2−𝑏=0得𝑏=𝑒𝑥2−𝑥2，∴𝑔(−𝑥2)=𝑒−

𝑥2+𝑥2−𝑏=𝑒−𝑥2−𝑒𝑥2+2𝑥2，设ℎ(𝑥)=𝑒−𝑥−𝑒𝑥+2𝑥，𝑥>0，则ℎ′(𝑥)=−1𝑒𝑥−𝑒𝑥+2<0，故ℎ(𝑥)在(0,+∞)递减，∴ℎ(𝑥)<ℎ(0)=0，∴ℎ(𝑥2)=𝑔(−𝑥2)<0，∴𝑥1<−𝑥2<0，又∵𝑔(

𝑥1)=0，∴𝑥∈(𝑥1,0)时，𝑔(𝑥)<0，∴𝑓(𝑥)在(𝑥1,0)递减，∴𝑓(𝑥1)>𝑓(−𝑥2)，问题转化为只需证明𝑓(−𝑥2)+𝑓(𝑥2)>2，即证明𝑒𝑥2+𝑒−𝑥2−𝑥22−2>0，设函数𝑘(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥

−𝑥2−2，𝑥∈(0,+∞)，则𝑘′(𝑥)=𝑒𝑥−𝑒−𝑥−2𝑥，设𝜑(𝑥)=𝑘′(𝑥)，则𝜑′(𝑥)=𝑒𝑥+𝑒−𝑥−2>0，∴𝜑(𝑥)在(0,+∞)递增，∴𝜑(

𝑥)>𝜑(0)=0，即𝑘′(𝑥)>0，∴𝑘(𝑥)在(0,+∞)递增，∴𝑘(𝑥)>𝑘(0)=0，∴当𝑥∈(0,+∞)时，𝑒𝑥+𝑒−𝑥−𝑥2−2>0，则𝑒𝑥2+𝑒−𝑥2

−𝑥22−2>0，∴𝑓(−𝑥2)+𝑓(𝑥2)>2，∴𝑓(𝑥1)+𝑓(𝑥2)>2．【点睛】本题考查用导数研究函数的性质：单调性与极值，证明函数不等式．用导数证明不等式，一般是用导数研究函数的单调性，得出函数的最值，

从而证得不等式成立．这属于难题，解题时常常用到问题的转化，把不等式的问题转化为求函数的最值．