【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 2.2.2 等差数列习题课 含解析【高考】.doc，共(13)页，480.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第2课时等差数列习题课学习目标1.掌握an与Sn的关系,会由Sn求an.(数学运算)2.掌握与等差数列前n项和有关的数列求和.(数学运算)3.能够应用等差数列前n项和公式解决实际问题.(数学建模)关键能力·合作学习类型一

已知Sn求an(数学运算)【典例】已知数列{an}的前n项和为Sn=n2+n,求这个数列的通项公式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项与公差分别是什么?【思路导引】由Sn的定义可知,当n=1时,S1=a1;当n≥2时,an

=Sn-Sn-1,即an=【解析】根据Sn=a1+a2+…+an-1+an与Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),可知,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-=2n-,①当n=1时,a1=S1=1

2+×1=.-2-也满足①式,所以数列{an}的通项公式为an=2n-.由此可知,数列{an}是一个首项为,公差为2的等差数列.【解题策略】由Sn求an的方法(1)an与Sn的关系:an=当n=1适合于an时,则a1可以统一到an(n≥2,n∈N+)的形式中,而不用写成分段函数形

式.若n=1不适合an,则通项公式应写成分段函数形式.(2)等差数列{an}中,若d≠0,则Sn可写成关于n的二次函数形式,反之,若Sn=An2+Bn,那么数列{an}一定是等差数列.【跟踪训练】已知数列的前n项和Sn=n2+n,则an=.【解析】当n

=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,n=1时,a1=2也适合an=2n,综上an=2n(n∈N*)答案:2n类型二求等差数列绝对值的前n项和(数学运算)【典例】数列{an}的前n项和Sn=33n-n2,-3-(1)求{

an}的通项公式;(2){an}的前多少项和最大;(3)设bn=|an|,求数列{bn}的前n项和Sn′.【思路导引】(1)利用Sn与an的关系求通项,也可由Sn的结构特征求a1,d,从而求出通项.(2)利用Sn的函数特征求最值,也可以用通项公式

找到通项的变号点求解.(3)利用an判断哪些项是正数,哪些项是负数,再求解,也可以利用Sn的函数特征判断项的正负求解.【解析】(1)方法一:(公式法)①当n≥2时,an=Sn-=34-2n,②当n=1时,a1=S1=32=34-2×1,满足an=34-2n.所以{an}的通项公式为a

n=34-2n.方法二:(结构特征法)由Sn=-n2+33n知Sn是关于n的缺常数项的二次型函数,所以{an}是等差数列,由Sn的结构特征知解得a1=32,d=-2,所以an=34-2n.(2)方法一:(公式法)令an≥0,得34-2n≥0,所以n≤17,所以数列{an}的前17项大于或等于零,

又a17=0,-4-所以数列{an}的前16项或前17项的和最大.方法二:(函数性质法)由y=-x2+33x的对称轴为x=.距离最近的整数为16,17.由Sn=-n2+33n的图像可知:当n≤17时,an≥0,当n≥18时,an<0,所以数列{an}的前16项或前17项的和

最大.(3)由(2)知当n≤17时,an≥0;当n≥18时,an<0.所以当n≤17时,Sn′=b1+b2+…+bn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=Sn=33n-n2.当n≥18时Sn′=|a1|+|a2|+…+|a17|+|a18|+…+|

an|=a1+a2+…+a17-(a18+a19+…+an)=S17-(Sn-S17)=2S17-Sn=n2-33n+544.所以Sn′=【解题策略】数列{|an|}的前n项和的三种类型的求解策略(1)等差数列{an}的各项都为非负数,这

种情形中数列{|an|}就等于数列{an},可以直接求解.(2)等差数列{an}中,a1>0,d<0,这种数列只有前边有限项为非负数,从某项开始其余所有项都为负数,可把数列{an}分成两-5-段处理.(3)等差数列{an}中,a1<0,d>0,这种数列只有前边有限项为负数,其余

都为非负数,同样可以把数列分成两段处理.【跟踪训练】等差数列{an}中,a1=-10,d=2,则数列{|an|}的前3项的和S3=,前8项的和S8=.【解析】a1=-10,d=2,所以an=-10+2(n-1

)=2n-12,a6=0,故S3=|-10|+|-8|+|-6|=24,S8=|a1|+|a2|+|a3|+…+|a6|+|a7|+|a8|=-a1-a2-…-a6+a7+a8=36.答案:2436类型三等差数列前n项和

的应用(数学建模)角度1等差数列前n项和的实际应用【典例】如图所示,有一块菜地共有20畦,每畦长12米,宽1.5米,离菜地18米处有一个池塘,浇水的人从池塘挑一担水,绕着第1畦菜地走一圈,浇完第1畦菜,然后他返回池塘边,再挑一担水,绕着第2畦菜地走一圈,浇完第2畦菜,以后照此办法,直至浇

完整块菜地,问他一共走了多少路?【思路导引】由题意知:浇完后一畦菜地比前一畦菜地多走-6-2×1.5米,所以此人每次所走路程为等差数列.【解析】设浇完第n(1≤n≤20)畦菜地后,再回到池塘边时浇水人所走的路程为an,由题意

,数列{an}是等差数列,其中a1=2×18+2×(12+1.5)=63,a20=2×18+2×(12+1.5)+19×2×1.5=120.所以S20===1830(米).因为要计算的路程到浇完第20畦为止,所以所

求路程为S=S20-(18+19×1.5)=1830-46.5=1783.5(米).答:他一共走了1783.5米.【变式探究】在一次数学竞赛中,获得一等奖的八名同学的分数恰好构成等差数列,总分为656,且第一名的分数超过了90分(满分为10

0分).已知同学们的分数都是整数,那么第三名的分数是多少?【解析】设第一名的分数为a1,公差为d.则S8=8a1+×d=656,所以d=.因为a1∈(90,100],a1∈Z,d∈Z,所以当a1=96

时,d=-4符合题意,此时第三名的分数是88.角度2裂项相消法求和【典例】已知数列{an}的各项均为正数,a1=1,且2an+1an+an+1-an=0.-7-(1)设bn=,求证:数列{bn}是等差数列.(2)设cn=,求数列{c

n}的前n项和Sn.【思路导引】(1)由题意证明bn+1-bn为一个常数,可得数列{bn}是等差数列.(2)由(1)得an=表示出cn,利用裂项相消法求和.【解析】(1)因为2an+1an+an+1-an=0.两边同除以an+

1an,得2+-=0,所以bn+1-bn=-=2,又b1==1,所以数列{bn}是以1为首项,2为公差的等差数列.(2)由(1)知,bn=2n-1,所以an=.所以cn===,Sn=++…+==-8-=.【解题思路】1.

等差数列解决实际问题的一般思路2.裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和,主要适用于数列的通项公式是分式的形式.常见的裂项有:(1)若{an}是等差数列,则=,=(2)=(3)==(4)=-(5)=(6)=1+-9-【题组训练】1.(2020·威海高一检测)某渔业公司年初购进一艘渔船用

于捕捞,第一年需要维修费12万元,从第二年起维修费比上一年增加4万元,则前10年维修费总和为万元.【解析】由题意,从第二年起维修费比上一年增加4万元,即每年的维修费成等差数列.设每年的维修费构成的等差数列

为{an},则an=12+4(n-1)=4n+8,S10=10×12+×10×9×4=300(万元).答案:3002.数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=9,则n=.【解析】an==-,所以Sn=(-1)+(-)+…+(-)=-1=9.所

以n=99.答案:993.在数列{an}中,an=++…+,且bn=,求数列{bn}的前n项的和.【解析】an=(1+2+…+n)=,-10-因为bn=,所以bn==8,所以数列{bn}的前n项和为Sn=8+++…+-=8=.课堂检测·素养达标1.已知等差数列{an}的前

n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列的前100项和T100为()A.B.C.D.【解析】选A.因为a5=5,S5=15,所以=15,所以a1=1.所以d==1,所以an=n.所以==-.则数列的前100项的和为:T100=++…+=1-=.-11-2.数列的前n项和为Sn=2n2-3n(n∈

N*),若p-q=5,则ap-aq=()A.20B.15C.10D.-5【解析】选A.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n2-3n-2(n-1)2+3n-3=4n-5,a1=S1=-1适合上式,所以an=4n-5,所以ap-aq=4(p-q),因为p-q=5,所以ap-a

q=20.3.一物体从1960m的高空降落,如果第1秒降落4.90m,以后每秒比前一秒多降落9.80m,那么经过秒落到地面.【解析】设物体经过t秒降落到地面.物体在降落过程中,每一秒降落的距离构成首项为4.90,公差为9.80的等差数列.所以4.90t+t(t-1)×9.80=1

960,即4.90t2=1960,解得t=20.答案:204.已知数列{an}的前n项和Sn=n2+n+1,则a6+a7+…+a10的值为.【解析】a6+a7+…+a10=S10-S5=111-31=80.答案:80

5.(教材二次开发:习题改编)已知数列的前n项和Sn=3n-2,-12-则数列的通项公式是.【解析】当n=1时,a1=S1=31-2=1;当n≥2时,Sn-1=3n-1-2,则an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=3n-3n-1=3·3n-1-3n-1=2·3n

-1.此时若n=1,an=2·3n-1=2·31-1=2≠a1,故an=答案:an=6.等差数列{an}的前n项和Sn=-n2+n,求数列{|an|}的前n项和Tn.【解析】a1=S1=101,当n≥2时,an=Sn

-Sn-1=-n2+n-=-3n+104,a1=S1=101也适合上式,所以an=-3n+104,令an=0,n≈34.7,故n≥35时,an<0,n≤34时,an>0,所以对数列{|an|},n≤34时,Tn=|

a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=-n2+n,-13-当n≥35时,Tn=|a1|+|a2|+…+|a34|+|a35|+|an|=a1+a2+…+a34-a35-…-an=2(a1+a2+…+a34)-(a1+a2+…+an)=2S34-Sn=n2-n+3502,所

以Tn=