【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 2.1.2 等差数列的性质 含解析【高考】.doc，共(12)页，196.500 KB，由小赞的店铺上传

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-1-第2课时等差数列的性质学习目标1.掌握等差数列的图像和性质(数学抽象)2.掌握等差中项的概念,会求等差中项(数学抽象)3.能解决与等差数列有关的实际问题(逻辑推理)必备知识·自主学习导思1.等差数列的公差与直线的斜率之间有什么关系?2.若数列{an}中,an是

an-1和an+1的等差中项,那么数列{an}是等差数列吗?为什么?(1)等差数列的图像.由an=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,其中公差d是该直线的斜率.(2)从函数角度研究等差数列的性质与图像.由an=f(n)=a1

+(n-1)d=dn+(a1-d),可知其图像是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d.当d>0时,{an}为递增数列,如图(甲)所示.当d<0时,{an}为递减数列,如图(乙)所示

.当d=0时,{an}为常数列,如图(丙)所示.-2-【思考】已知等差数列通项公式an=dn+b(其中d,b为常数),如何判断数列的单调性?提示:观察n的系数d,当d>0时,递增;当d<0时,递减;当d=0时,

为常数列.2.等差中项如果在a与b中间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么A叫作a与b的等差中项.如果A是a与b的等差中项,那么A=.【思考】“A是a与b的等差中项”的等价形式有哪些?提示:A是a与b的

等差中项,等价于a,A,b(或b,A,a)成等差数列,等价于A=.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列的单调性只取决于公差d.()(2)等差数列的公差可以由等差数列中的任意两项求出.()-3-(3)等差数列中,a2+a4=a6.()(4)等差数列中若am+an

=ap+aq,则m+n=p+q.()提示:(1)√.等差数列的公差是等差数列的图像所在直线的斜率,决定了其单调性.(2)√.公差d=.(3)×.在非零常数列中就不成立.(4)×.在常数列中就不一定成立.2.已知数列1,a,5是等差数列,则实数

a的值为()A.2B.3C.4D.【解析】选B.由等差中项的定义知2a=1+5=6,所以a=3.3.在等差数列{an}中,已知a4+a8=16,则a2+a10=()A.12B.16C.20D.24【解析】选B

.因为数列{an}是等差数列,所以a2+a10=a4+a8=16.4.(教材二次开发:习题改编)等差数列{an}中,a7+a9=16,a4=1,则a12的值是.【解析】因为{an}为等差数列,所以a7+a

9=a4+a12,所以a12=16-1=15.答案:15关键能力·合作学习类型一等差数列的性质(逻辑推理)【典例】1.下面是关于公差d>0的等差数列{an}的四个说法.-4-p1:数列{an}是递增数列;p2:数列{nan}是递增数列;p3:数列是递增数列;p4:数列{an+3

nd}是递增数列.其中正确的是()A.p1,p2B.p3,p4C.p2,p3D.p1,p42.在等差数列{an}中,若a1+a6=9,a4=7,求a3,a9.【思路导引】1.判断每一个数列中后一项与前一项的差的正负.2.应用性质:若m+

n=p+q,则am+an=ap+aq,可得a3,进而求出公差.【解析】1.选D.因为an=a1+(n-1)d,d>0,所以an+1-an=d>0,命题p1正确.nan=na1+n(n-1)d,所以nan-(n-1)an-1=a1+2(n-1)d(n≥2)与0的大小和a1的取值情况有关.故数列

{nan}不一定递增,命题p2不正确.对于p3:=+d,所以-=(n≥2),当d-a1>0,即d>a1时,数列递增,-5-但d>a1不一定成立,则p3不正确.对于p4:设bn=an+3nd,则bn+1-bn=an+

1-an+3d=4d>0.所以数列{an+3nd}是递增数列,p4正确.综上,正确的命题为p1,p4.2.因为a1+a6=a4+a3=9.所以a3=9-a4=9-7=2.由此可得d=a4-a3=7-2=5.所以a9=a4+5d=32.【解题策略】等差数列性

质的应用技巧已知等差数列的两项和,求其余几项和或者求其中某项,对于这类问题,在解题过程中通常要考虑利用等差数列的性质,尤其要注意利用性质“若m,n,p,k∈N+,且m+n=p+k,则有am+an=ap+ak,其中am,an,ap,ak是数列中的项.特别地,当m+n=

2p时,有am+an=2ap”,从而将问题解决.【跟踪训练】(2020·哈尔滨高一检测)已知为等差数列,a3=4,a5+a7=10,则a9的值为()A.4B.5C.6D.7【解题指南】由题意利用等差数列的性质可得a9的值.【解析】选C.由等差数列的性质有:a3+a9=a5+a7=10,

所以-6-4+a9=10,a9=6.类型二等差数列的应用(逻辑推理)角度1等差中项的应用【典例】在等差数列中,若a1,a2015为方程x2-10x+16=0的两根,则a2+a1008+a2014=()A.10B.15C.20D.40【思路导引】根据题意和根与系数的关系求出a1+a2015,由等差

数列的性质求出a2+a1008+a2014的值.【解析】选B.因为a1,a2015为方程x2-10x+16=0的两根,所以a1+a2015=10,由等差数列的性质得2a1008=10,即a1008=5,所以a2+a1008+a2014=3a1008=15.【变式探

究】(2020·东北师大附中高一检测)设数列为等差数列,若a3+a13=40,则3a8=()A.15B.20C.3D.60【解析】选D.数列为等差数列,a3+a13=40,由等差中项定义可知a3+a13=2a

8,所以2a8=40,即a8=20,则3a8=3×20=60.角度2等差数列的实际应用-7-【典例】假设某市2019年新建住房400万平方米,预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在哪一年新建住房的面积开始大于820万平方米?【思路导引】从“

每年新建住房面积均比上一年增加50万平方米”可以确定该市每年的新建住房的面积组成一个等差数列.其首项为400,公差为50.【解析】设从2019年开始,该市每年新建住房的面积为an万平方米.由题意,得{an}是等差数列,首项a1=400,公差d=50,

所以an=a1+(n-1)d=350+50n.令350+50n>820,解得n>.由于n∈N+,则n≥10.所以该市在2028年新建住房的面积开始大于820万平方米.【解题策略】解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问题的基本步骤:①审题,即仔细阅读

材料,认真理解题意;②建模,即将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化成数学问题;③判型,即判断该数列是否为等差数列;④求解,即求出该问题的数学解;⑤还原,即将所求结果还原到实际问题中.(2)在利用数列

方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.-8-【题组训练】1.(2020·宁江区高一检测)在等差数列中,若a3+a4+a5+a6+a7=45,则a2+a8的值为()A.15B.21C.24D.18【解题指南】利用等差

数列的性质,将等式全部化为a2+a8的形式,再计算.【解析】选D.因为a3+a4+a5+a6+a7=45,且a3+a7=a4+a6=2a5,则a5=9,所以a2+a8=2a5=18.2.一牧羊人赶着一群羊通过4个关口,每过一个关口,守关人将拿走当时羊的一

半,然后退还1只给牧羊人,过完这些关口后,牧羊人只剩下2只羊,则牧羊人在过第一个关口前有只羊.【解析】记此牧羊人通过第1个关口前、通过第2个关口前、……、通过第4个关口前剩下的羊的只数组成数列{an}

(n=1,2,3,4),则由题意得a2=a1+1,a3=a2+1,a4=a3+1,而a4+1=2,解得a4=2,因此得a3=2,…,a1=2.答案:23.有一批豆浆机原销售价为每台800元,在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销:买一台单价

为780元,买两台单价都为760元,依次类推,每多买一台则所买各台单-9-价均再减少20元,但每台最低价不能低于440元;乙商场一律都按原价的75%销售.某单位购买一批此类豆浆机,问去哪家商场买花费较少.【解析】设某单位需购买豆浆机n台,在甲商场购买每台售价不

低于440元,售价按台数n成等差数列.设该数列为{an}.an=780+(n-1)(-20)=800-20n,解不等式an≥440,即800-20n≥440,得n≤18.当购买台数小于等于18台时,每台售价为(800-20n)元,当台数大于18台时,每台售价为440元.到乙商场购买,每

台售价为800×75%=600(元).作差:(800-20n)n-600n=20n(10-n),当n<10时,600n<(800-20n)n,当n=10时,600n=(800-20n)n,当10<n≤18时,(800-20n)n<600n,当n>18时,440n<600n.即当购买

少于10台时到乙商场花费较少,当购买10台时到两商场购买花费相同,当购买多于10台时到甲商场购买花费较少.课堂检测·素养达标1.已知{an}为等差数列,a1+a3+a5=9,a2+a4+a6=15,则a3+a4=()-10-A.5B

.6C.7D.8【解析】选D.在等差数列{an}中,a1+a3+a5=3a3=9,所以a3=3;又a2+a4+a6=3a4=15,所以a4=5,所以a3+a4=8.2.已知m和2n的等差中项是4,2m和n的等差中项是5,则m和n的等差中项是()A.2B

.3C.6D.9【解析】选B.由题意得2n+m=8,2m+n=10.两式相加得3m+3n=18,所以m+n=6,所以m和n的等差中项是3.3.已知数列{an}满足:=+4,且a1=1,an>0,则an=.【解析】根据已知条件=+4,即-=4.所以数列{}是公差为4的等差数列,则=+(

n-1)×4=4n-3.因为an>0,所以an=.-11-答案:4.已知数列{an}满足an-1+an+1=2an(n≥2),且a2=5,a5=13,则a8=.【解析】由an-1+an+1=2an(n≥2)知,数列{

an}是等差数列,所以a2,a5,a8成等差数列.所以a2+a8=2a5,所以a8=2a5-a2=2×13-5=21.答案:215.(教材二次开发:习题改编)《九章算术》“竹九节”问题:现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升

,下面3节的容积共4升,则第5节的容积为()A.1升B.升C.升D.升【解析】选B.设所构成的等差数列{an}的首项为a1,公差为d,则有即解得则a5=a1+4d=,所以第5节的容积为升.-12-6.(1)已知{an}是等差数列,且a1-a4+a8-a

12+a15=2,求a3+a13的值.(2)已知在等差数列{an}中,若a49=80,a59=100,求a79.【解析】(1)因为{an}是等差数列,所以a1+a15=a4+a12=a3+a13=2a8.又因为a1-a4+a8-a12+a15

=2,所以a8=2,即a3+a13=2a8=2×2=4.(2)因为{an}是等差数列,可设公差为d.由a59=a49+10d,知10d=100-80,解得d=2.又因为a79=a59+20d,所以a79=100+20×2=140.