【文档说明】2021-2022学年高中数学北师必修五教师用书：第一章 2.2.1 等差数列的前n项和 含解析【高考】.doc，共(14)页，408.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-2.2等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和学习目标1.理解并掌握等差数列前n项和公式的推导过程,体会其与二次函数的关系.(逻辑推理)2.熟练掌握等差数列中五个基本量:a1,an,n,d,Sn的计算.(逻辑推理、数学运算)必备

知识·自主学习导思1.等差数列的前n项和一定是n的二次函数吗?2.求等差数列的前n项和时,如何根据已知条件选择等差数列的前n项和公式?1.等差数列的前n项和公式已知量首项、末项与项数首项、公差与项数求和公式Sn=Sn=na1+d【思考】(1)已知等差数列的首项、末项,如何求前n项和

?提示:运用公式Sn=.(2)已知等差数列的首项、公差,如何求前n项和?提示:运用公式Sn=na1+d.2.等差数列的前n项和公式与二次函数的关系-2-将等差数列前n项和公式Sn=na1+d整理成关于n的函数可得Sn=n2+n.【思考】Sn=an2+bn+c,其中a,b,c

为常数,一定为一个等差数列的前n项和吗?提示:不一定.当c=0时,Sn=an2+bn是一个等差数列的前n项和.【基础小测】1.辨析记忆(对的打“√”,错的打“×”).(1)等差数列{an}中,S9=9a5.()(2)等差数列的前n项和Sn一定是n的二次

式.()(3)和式a4+a5+a6+…+a13中共有9项求和.()提示:(1)√.S9===9a5.(2)×.当公差d=0时,Sn=na1不是n的二次式.(3)×.a4+a5+a6+…+a13表示前13项的和减去前3项的和,共有10项求和.2.已知等差数列的首项a1=1,公

差d=-2,则前10项和S10=()A.-20B.-40C.-60D.-80【解析】选D.由等差数列前n项和公式,S10=10×1+×10×9-3-×(-2)=-80.3.在等差数列{an}中,S10=120,那么a1+a10的值是()A

.12B.24C.36D.48【解析】选B.S10=×10×(a1+a10)=120,所以a1+a10=24.4.(教材二次开发:习题改编)Sn+1=1+2+3+…+n+(n+1)=.【解析】由题知等差数列的首项a1

=1,末项是n+1,项数为n+1.由前n项和公式得Sn+1=.答案:关键能力·合作学习类型一等差数列的前n项和(逻辑推理)角度1等差数列前n项和的计算【典例】在等差数列{an}中.(1)a1=,an=-,Sn=-5

,求n和d.(2)a1=4,S8=172,求a8和d.【思路导引】利用通项公式和求和公式列出方程,求解各个未知数.【解析】(1)由题意得,Sn===-5,解得n=15.-4-又a15=+(15-1)d=-,所以d=-.所以n=15,d=-.(2)由已知得S8===172,解得a8=3

9,又因为a8=4+(8-1)d=39,所以d=5,所以a8=39,d=5.角度2等差数列前n项和的最值【典例】(2020·会宁高二检测)在等差数列{an}中,a10=18,前5项的和S5=-15.(1)求数列{an}的通项公式;(

2)求数列{an}的前n项和的最小值,并指出何时取最小值.【思路导引】(1)设公差为d,直接根据等差数列的通项公式和前n项和公式列关于首项a1和公差d的方程,求得a1和d,进而得解;(2)可先求出前n项和公式,再利用二次

函数求最值的方法求解,也可以利用通项公式,根据等差数列的单调性求解.【解析】(1)由题意得得a1=-9,d=3,所以an=3n-12.(2)方法一:Sn==(3n2-21n)-5-=-,所以当n=3或4时,前n项的和取得最小值S3=S4=-18.方法二:设Sn最小,则

即解得3≤n≤4,又n∈N+,所以当n=3或4时,前n项和取得最小值S3=S4=-18.【解题策略】等差数列前n项和的最值问题的三种解法(1)利用an:当a1>0,d<0时,前n项和有最大值.可由an≥0,且an+1≤0,求得n的值;当a1<0,d>0,前n项和有最小值,可由an≤0,且an

+1≥0,求得n的值.(2)利用Sn:由Sn=n2+n(d≠0),利用二次函数的配方法求得最值时n的值.(3)利用二次函数图像的对称性.易错警示:利用二次函数求等差数列前n项和的最值时,不要忽视n是正

整数这一隐含条件.【题组训练】1.(2020·石嘴山高二检测)已知等差数列的前n项和为Sn,且a1+a5=-14,S9=-27,则使得Sn取最小值时的n为()-6-A.1B.6C.7D.6或7【解析】选B.由等差数列{an}的性质,可得a1+a5=2a3=-14⇒a3=-7,又S9=

=-27⇒a1+a9=-6⇒a5=-3,所以d==2,所以数列{an}的通项公式为an=a3+(n-3)d=-7+(n-3)×2=2n-13,令an≤0⇒2n-13≤0,解得n≤,所以数列的前六项为负数,从第七项开始为正数,所以使得Sn取最小值时的n为6.2.若等差

数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=时,{an}的前n项和最大.【解析】因为数列{an}是等差数列,且a7+a8+a9=3a8>0,所以a8>0.又a7+a10=a8+a9<0,所以a9<0.所以当n=8时,其前n项和最大

.答案:83.数列{an}是首项为23,公差为整数的等差数列,且第六项为正,第七项为负.(1)求数列的公差.(2)求前n项和Sn的最大值.(3)当Sn>0时,求n的最大值.【解析】(1)由已知a6=a1+5d=

23+5d>0,a7=a1+6d=23+6d<0,解得:-<d<-,又d∈Z,所以d=-4.-7-(2)因为d<0,所以{an}是递减数列,又a6>0,a7<0,所以当n=6时,Sn取得最大值,S6=6×23+

×(-4)=78.(3)Sn=23n+×(-4)>0,整理得:n(50-4n)>0,所以0<n<,又n∈N+,所以n的最大值为12.类型二等差数列前n项和的性质(逻辑推理)角度1利用S2n-1=(2n-

1)an解题【典例】在等差数列{an}中,=,求的值.【思路导引】利用等差数列前n项和公式,以及等差数列的性质求解.【解析】因为{an}为等差数列,所以S5==5a3,S9==9a5,所以==×=1.【变式探究】在等差数列{an},{bn}中,Sn,Tn分别是{an},{bn}的前

n项和,且=,求.【解析】因为a5是数列{an}中前9项的等差中项,-8-所以S9=9a5,同理T9=9b5,所以===.角度2利用S奇与S偶的关系解题【典例】一等差数列共有偶数项,且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30,最后一项与第一项之差为10.5,求此数列的首项、

公差及项数.【思路导引】列出关系式,转化成关于k,d的方程组求解.【解析】设该数列共有2k项,由题意知⇒⇒⇒把d=,k=4代入S奇=(a1+a2k-1)=24,可得a1=.所以此数列的首项为,公差为,项数为8.【变式探究】在项数为2n+

1的等差数列{an}中,所有奇数项的和为165,所有偶数项的和为150,则n=()A.9B.10C.11D.12【解析】选B.因为等差数列有2n+1项,-9-所以S奇=,S偶=.又因为a1+a2n+1=a2+a2n,所以==,所以n=10.角度3利用等差数列的前n项和的性质解题

【典例】已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,求前30项的和.【思路导引】利用等差数列前n项和公式将已知数据代入求得a1和d,再求S30.或利用等差数列前n项和的性质求S30.【解析】方法一:由题意

可知S10=310,S20=1220,将它们代入公式Sn=na1+d,得到解这个关于a1与d的方程组,得到a1=4,d=6,所以S30=30×4+×6=2730.方法二:由S10=×10=310,得a1+a10=62,①S20=×20=1220.所以a1+a20=122.②②-①,

得10d=60,所以d=6.代入①,得a1=4,-10-所以有S30=30×4+×6=2730.方法三:由S10=310,S20=1220得,S20-S10=910,因为等差数列中,S10,S20-S10,S30-S20仍成等差数

列,所以S30-S20=910+(910-310)=1510,所以S30=S20+(S30-S20)=1220+1510=2730.【解题策略】巧妙应用等差数列前n项和的性质(1)“片段和”性质.若{an}为等差数列,前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…构成

公差为n2d的等差数列.(2)项数(下标)的“等和”性质.Sn==.(3)奇(偶)数项和.{an}为等差数列,公差为d.①若共有2n项,则S2n=n(an+an+1);S偶-S奇=nd;=.②若共有2n+1项,则S2

n+1=(2n+1)an+1;S偶-S奇=-an+1;=.(4)等差数列{an}中,若Sn=m,Sm=n(m≠n),则Sm+n=-(m+n).-11-(5)等差数列{an}中,若Sn=Sm(m≠n),则Sm+n=0.【题组训练】1.在

等差数列{an}中,若S4=1,S8=4,则a17+a18+a19+a20的值为()A.9B.12C.16D.17【解析】选A.由等差数列的性质知S4,S8-S4,S12-S8,…也构成等差数列,不妨设为{bn},且b1=S4=1,b2=S8-S4=3,于是求得b3=5,b4=7,b5=9,

即a17+a18+a19+a20=b5=9.2.(2020·玉溪高一检测)设等差数列,的前n项和分别为Sn,Tn,若对任意自然数n都有=,则+的值为.【解题指南】由等差数列的性质和求和公式可得原式=,代值计算.【解析】因为{an},{bn}

为等差数列,所以+=+==,因为====,所以=.答案:3.一个等差数列前12项的和为354,前12项中偶数的项的和与奇数的项的和之比为32∶27,则公差d=.-12-【解析】因为S12=354,所以S奇=354×=162

,S偶=354×=192,所以S偶-S奇=30=6d,所以d=5.答案:5课堂检测·素养达标1.已知等差数列中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列的前5项和等于()A.30B.45C.90D.186【解析】选C.由⇒,所以an=3+3

(n-1)=3n,bn=a2n=6n,所以S5=×5=90.2.设等差数列{an}的前n项的和为Sn,若a1>0,S4=S8,则当Sn取得最大值时,n的值为()A.5B.6C.7D.8【解析】选B.方法一:因为a1

>0,S4=S8,所以d<0,且a1=-d,所以an=-d+(n-1)d=nd-d,由-13-得所以5<n≤6,所以n=6.方法二:因为a1>0,S4=S8,所以d<0且a5+a6+a7+a8=0,所以a6+a7=0,所以a6>0,a7<0,所以前六项之和S6取最大值.

3.设Sn是等差数列{an}的前n项和,若a2=7,S7=-7,则a7的值为.【解析】设等差数列{an}的公差为d,因为a2=7,S7=-7,所以解方程组可得所以a7=a1+6d=11-6×4=-13.答案:-134.(201

9·全国Ⅲ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,a1≠0,a2=3a1,则=.【解析】设该等差数列的公差为d,因为a2=3a1,所以a1+d=3a1,故d=2a1(a1≠0,d≠0),所以====4.答案:4-14-5.(教材二次开发:习题改编)程大位《算法统宗》里有诗云“九百

九十六斤棉,赠分八子做盘缠.次第每人多十七,要将第八数来言.务要分明依次弟,孝和休惹外人传.”意为:996斤棉花,分别赠送给8个子女做旅费,从第一个开始,以后每人依次多17斤,直到第八个孩子为止.分配时一定要等级分明,则第八个孩子分得斤数为()A.65B.176C

.183D.184【解析】选D.由已知,每个孩子所得棉花的斤数构成一个等差数列{an},其中d=17,n=8,S8=996.由等差数列前n项和公式可得8a1+×17=996,解得a1=65.由等差数列通项公式得a8=65

+(8-1)×17=184.6.设Sn为等差数列{an}的前n项和,S4=14,S10-S7=30,求S9.【解析】由S4=14,S10-S7=30,得即解得a1=2,d=1.所以S9=9a1+36d=54.