【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：3.1函数的概念及其表示 3.1.2分段函数（第二课时） 含解析【高考】.doc，共(7)页，540.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3.1.2分段函数（第二课时）【教学目标】1．知识与技能（1）掌握分段函数的定义（2）会求分段函数的解析式，会求分段函数的定义域和函数值（3）会运用分段函数的知识解决实际问题2．过程与方法（1）初步掌握解决分段函数问题的基本方法。（2）通过教师引

导，学生讨论，培养学生自学、分析和解决问题的能力。3．情感、态度与价值观培养理解和掌握分类讨论的数学思想方法；培养学生养成探究式学习、自主式学习、合作式学习等优秀的学习品质。【教学重点、难点】（1）重点：分段函数的概念；运用分段函数的知识解决实际问题（2）难点：建立实际问题的分段函数关系

【教学方法】讲、议结合，通过实际例子引出分段函数的定义，创设情境，激发兴趣。通过学生的主动参与，加深学生对分段函数的认识，同时寻找解决分段函数基本问题的基本方法。【课时安排】1课时【教学过程】一、复习函数的定义及表示方法1、函数的定义2、函数的三种表示方法：解析法、列表法、图像法二、基础

知识分段函数：如果函数在定义域的不同的范围内，有着不同的对应关系，这样的函数为分段函数.思考：分段函数对于自变量x的不同取值对应关系不同，那么分段函数是一个函数还是几个函数？（注意:分段函数在整个定义域上仍然是一个函数,而不是几个函数,只不过这个函数在定义域的不同范围内有不同的对应法则,需要用相应

的解析式来表示.）三、基础自测1.函数1()1xfxx+=−的定义域为（）A.[1,1)(1,)−+B.(1,)+C.(1,)−+D.(1,1)(1,)−+[解析]:由函数解析式得1010xx+−，解得1x−，且1x.故函数的定义域为[1,1)(1,)−+，

选A.-2-2.若2(0)()(0)xxfxxx=−，则[(2)]ff−=（）A.2B.3C.4D.5[解析]:∵20−，∴(2)(2)2f−=−−=，又20，∴2[(2)](2)24fff−===，

选C.3.函数||yx=的图象是（）[解析]:因为,(0)||,(0)xxyxxx==−，所以B选项正确.4.（2020▪江苏徐州高一期中测试）已知函数4(0)()4(0)xxfxxx+=−，则[(3)]ff−的值为.[解析]:∵4(0)()4(0)xxfx

xx+=−，∴(3)1f−=，∴[(3)](1)3fff−==−.【题型探究】题型一分段函数的求值问题例1已知函数22(1)()(12)2(2)xxfxxxxx+−=−.（1）求(4),(3),[(2)]fff

f−−；（2）若()10fa=，求a的值.-3-[分析]:分段函数的解析式求函数值或已知函数值列方程求字母的值.[解析]:（1）(4)422f−=−+=−，(3)236,(2)220ff==−=−+

=，2[(2)](0)00fff−===；（2）当1a−时，210a+=，可得8a=，不符合题意；当12a−时，210a=，可得10a=，不符合题意；当2a时，210a=，可得5a=，符合题意；综上可知，5a

=.[归纳提升]：求分段函数函数值的方法（1）先确定要求值的自变量属于哪一段区间.（2）然后代入该段的解析式求值，直到求出值为止.当出现0[()]ffx的形式时，应从内到外依次求值.【对点练习】①已知3(10)()[(5)](10)xxfxffxx+

=+，则(5)f的值是（）A.24B.21C.18D.16[解析]:(5)[(10)],(10)[(15)](18)21,(5)(21)24fffffffff======.故选A.题型二分段函数的图象及应用例2已知函数||()1(22)2xxfxx−=+−

.（1）用分段函数的形式表示函数()fx；（2）画出函数()fx的图象；（3）写出函数()fx的值域.[分析]:先根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，再利用描点法作出函数图象.[解析]:（1）当02x时，()112xxfx−=+=；当20

x−时，()112xxfxx−−=+=−.所以1(02)()1(20)xfxxx=−−；-4-（2）函数()fx的图象如图所示：（3）由（2）知，()fx在(2,2]−上的值域为[1

,3).[归纳提升]：1.由分段函数的图象确定函数解析式的步骤（1）定类型：根据自变量在不同范围内图象的特点，先确定函数的类型.（2）设函数式：设出函数的解析式.（3）列方程（组）：根据图象中的已知点，列出方程或方程组，求出该段内的解析式.

（4）下结论：最后用“{”表示出各段的解析式，注意自变量的取值范围.2.作分段函数图象的注意点作分段函数的图象时，定义域分界点处的函数取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别注意端点处是实心点还是

空心点.【对点练习】②已知函数221(1)()2(1)xxfxxxx−+=−.（1）画出函数的图象；（2）若()1fx=，求x的值.[解析]:（1）函数图象如图所示：-5-（2）由()1fx=和函数图象综合判断

可知，当(,1)x−时，得()211fxx=−+=，解得0x=；当[1,)x+时，得2()21fxxx=−=，解得12x=+或12x=−（舍去）.综上可知x的值为0或12+.题型三分段函数的应用问题例3如图，在边长为4的正方形ABCD的边

上有一点P，沿折线BCDA由点B（起点）向点A（终点）运动，设点P运动的路程为x，APB的面积为y.（1）求y关于x的函数关系式()yfx=：（2）画出()yfx=的图象；（3）若APB的面积不小于2，求x的取值范围.[分析]:（1）点P位置不同ABP的形状一样吗？（2）注意该函数的定义域

.[解析]:（1）2(04)8(48)2(12)(812)xxyxxx=−；（2）()yfx=的图象如图所示：-6-（3）即()2fx，当04x时，22x，∴1x，当812x时，2(12)2x−，∴11x，∴x的取值范围是1

11x.[归纳提升]：利用分段函数求解实际应用题的策略（1）首要条件：把文字语言转换为数学语言．（2）解题关键：建立恰当的分段函数模型．（3）思想方法：解题过程中运用分类讨论的思想方法．【对点练习】③某市有,AB两家羽毛球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同，A

俱乐部每块场地每小时收费6元；B俱乐部按月计费，一个月中20小时以内（含20小时）每块场地收费90元，超过20小时的部分，每块场地每小时2元，某企业准备下个月从这两家俱乐部中的一家租用一块场地开展活动，其活动时间不少于12

小时，也不超过30小时．（1）设在A俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为()fx元123()0x，在B俱乐部租一块场地开展活动x小时的收费为()gx元123()0x，试求()fx与()gx的解析式；（2）问该企业选择哪家俱乐部比较合算，为

什么？[解析]:（1）由题()6,[12,30]fxxx=，90,[12,20]()250,(20,30]xgxxx=+；（2）1220x时，690x=，解得：15x=，即当1215x时，()()fxgx，当15x=时，()()fxgx=，

当1520x时，()()fxgx．当2030x时，()()fxgx，故当1215x时，选A家俱乐部合算．当15x=时，两家俱乐部一样合算，当1530x时，选B家俱乐部合算．【误区警示】分段函数概念的理解错误例4求函数21(0)()

(0)xxfxxx−=的定义域．[错解]:∵0x时，2()1fxx=−，0x时，()fxx=，∴当0x时，()fx的定义域为[0,)+，当0x时，()fx的定义域为(,0)−．-7-[错因分析]:错解的原因是对分段函数概念不理解，认为分段函数21(0)()(0)x

xfxxx−=是两个函数．[正解]：函数()fx的定义域为(,0)[0,)−+，即(,)−+，∴函数()fx的定义域为(,)−+．【学科素养】建模应用能力数学建模是对现实问题进行数学抽象

，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程．主要包括：在实际情境中从数学的视角发现问题，提出问题，分析问题，构建模型，求解结论，验证结果并改进模型，最终解决实际问题.数学模型构建了数学与外部世界的桥梁，是数学应用的重要形

式．数学建模是应用数学解决实际问题的基本手段，也是推动数学发展的动力．在数学建模核心素养的形成过程中，积累用数学解决实际问题的经验．学生能够在实际情境中发现和提出问题；能够针对问题建立数学模型；能够运用数学知识求解模型，并尝试基于现实背景

验证模型和完善模型；能够提升应用能力，增强创新意识．例5某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20000元，每生产一件新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数()hx，其中21400,0

400()280000,400xxxhxx−=，x是新样式单车的月产量(单位：件)，利润＝总收益－总成本．（1）试将自行车厂的利润y表示为月产量x的函数；（2）当月产量为多少件时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？[分析]总成本＝固定成本＋可变成

本，本题中，固定成本为20000元，可变成本为100x元．[解析]:（1）依题设，总成本为20000100x+，则2130020000,0400,260000100,400,xxxxNyxxxN−+−=−且且；（2）当0400x时，21(300)250002yx=−−+

，则当300x=时，max25000y=.当400x时，60000100yx=−是减函数，则6000010040020000y−=.综上可知，当月产量300x=件时，自行车厂的利润最大，最大利润是为25000元．[归纳提升]：求分段函数的最值，应分别计算各段函

数的最值，然后再比较它们的大小，确定最后的最值．