【文档说明】新教材数学人教A版必修第一册教案：3.1函数的概念及其表示 3.1.1函数的概念（二）（第二课时） 含解析【高考】.doc，共(7)页，237.000 KB，由小赞的店铺上传

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-1-3.1.1函数的概念(二)本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修一》（人教A版）第三章《函数的概念与性质》，本节课是第1课时。函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想贯穿于整个初中和

高中数学.对于高一学生来说，函数不是一个陌生的概念。但是，由于局限初中阶段学生的认知水平；学生又善未学习集合的概念，只是用运动变化的观点来定义函数，通过对正比例函数、反比例函数、一次和二次函数的学习来理解函数的意义，对于函数的概念理解并不深刻.高一学生学习集合

的概念之后，进一步运用集合与对应的观点来刻画函数，突出了函数是两个集合之间的对应关系，领会集合思想、对应思想和模型思想。所以把第一课时的重点放在函数的概念理解，通过生活中的实际事例，引出函数的定义，懂得数学与人类生活的密切联系，通过对函数三要素剖析，进一步理解充实函数

的内涵。所以在教学过程中分别设计了不同问题来理解函数的定义域、对应法则、函数图象的特征、两个相同函数的条件等问题.学生在初中阶段，已经知道函数的定义域是使函数解析式有意义、实际问题要符合实际意义的自变量的范围，所以在教学中进一步强调定义域的集合表

示.课程目标学科素养A.能根据函数的定义判断两个函数是否为同一个函数B.会求函数的定义域C.会求函数的值域1.逻辑推理：同一个函数的判断；2.数学运算：求函数的定义域，值域；1.教学重点：函数的概念，函数的三要素；2.教学难点：求函数的值域。多媒体-2

-一、复习回顾，温故知新1、函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数（function），记作：y=f(x)x∈A．x叫做自变量，x的取值范围A叫

做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.2.对函数符号y=f(x)的理解：（1）、y=f(x)为“y是x的函数”的数学表示，仅是一个函数符号，f(x)不是f与x相乘。例如：y=3x+1可以写成f(x)=3x+1。当x=2时y=7可以写成f

(2)=7想一想：f(a)表示什么意思？f(a)与f(x)有什么区别？一般地，f(a)表示当x=a时的函数值，是一个常量。f(x)表示自变量x的函数，一般情况下是变量。（2）、“y=f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如:“y=g(x)”，“

y=h(x)”；二、探索新知探究一同一个函数前提条件定义域相同对应关系完全一样结论是同一个函数思考1：函数有定义域、对应关系和值域三要素，为什么判断两个函数是否是同一个函数，只看定义域和对应关系？提示：由函数的定义域和对应关系可以求出函数的值域，所以判断两个函数是否是同一个

函数，只看定义域和对应关系即可．探索二常见函数的定义域和值域-3-思考2：求二次函数2(0)yaxbxca=++的值域时为什么分0a和0a两种情况？提示：当a>0时，二次函数的图象是开口向上的抛物线，观察图象得值域为{y|y≥4ac－b24a}．当a<0时，二次函数的图象是开口向下的抛

物线，观察图象得值域为{y|y≤4ac－b24a}．例1.判断正误(对的打“√”，错的打“×”)(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x是同一个函数．()(2)若两个函数的定义域与值域都相同，则这两个函数是同一个函数．()(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t是同一个函数．()[解析]

(1)f(x)＝x2x与g(x)＝x的定义域不相同，所以不是同一个函数．(2)例如f(x)＝3x与g(x)＝5x的定义域与值域相同，但这两个函数不是同一个函数．(3)函数f(x)＝x2－x与g(t)＝t2－t的定义域都是R，对应关系完全一致，所以这两个函数是同一个函数．

例2(2019·江苏启东中学高一检测)下图中，能表示函数y＝f(x)的图象的是()[解析]由函数定义可知，任意作一条垂直于x轴的直线x＝a，则直线与函数的图象至多有一个交点，可知选项D中图象能表示y是x的函数．例3．若函数

y＝x2－3x的定义域为{－1,0,2,3}，则其值域为(A)A．{－2,0,4}B．{－2,0,2,4}-4-C．{y|y≤－94}D．{y|0≤y≤3}例4.下表表示y是x的函数，则函数的值域是()A．{y|－1≤y≤1}B．RC．{y|2≤y≤3}D．{－1,0,1}[解

析]函数值只有－1,0,1三个数值，故值域为{－1,0,1}．关键能力·攻重难题型一函数的值域1、函数21,12yxx=−+−的值域是()A．(－3,0]B．(－3,1]C．[0,1]D．[1,5)[分析]首先看二次函数的开口方向，再考虑二次函数

的对称轴与限定区间的位置关系．[解析]由21,12yxx=−+−，可知当x＝2时，min413y=−+=−；当x＝0时，max1y=，因为x≠2，所以函数的值域为(－3,1]．[归纳提升]二次函数2(0)yaxbxca=++的值域(1)对称轴在限定区间的

左边，则函数在限定区间左端点取最小值，右端点取最大值；(2)对称轴在限定区间的右边，则函数在限定区间左端点取最大值，右端点取最小值；(3)对称轴在限定区间内，则函数在对称轴处取最小值，限定区间中距离对称轴

较远的端点取最大值．题型二同一个函数2、判断下列各组函数是否是同一个函数，为什么？(1)y＝xx与y＝1；(2)y＝x2与y＝x；(3)y＝x＋1·1－x与y＝1－x2.[分析]判断两个函数是否是同一个函数，只须看这两个函数的定义域和对应关系是否-5-完全一致即可．[解析](1)对应

关系相同，都是无论x取任何有意义的值，y都对应1.但是它们的定义域不同，y＝xx的定义域是{x|x≠0}，而y＝1的定义域为R，故这两个函数不是同一个函数．(2)对应关系不相同，y＝x2＝|x|＝x(x≥0)，－x(x<0)的定义域为R

，y＝x的定义域也是R，但当x<0时，对应关系不同，故两个函数不是同一个函数．(3)函数y＝x＋1·1－x的定义域为使x＋1≥0，1－x≥0成立的x的集合，即{x|－1≤x≤1}．在此条件下，函数解析式写为y＝1－x2，而y＝1－x2的定义域也是{x|－1≤x≤1}，由于这两个函数

的定义域和对应关系完全相同，所以两个函数是同一个函数．[归纳提升]判断两个函数f(x)和g(x)是不是同一函数的方法与步骤(1)先看定义域，若定义域不同，则两函数不同．(2)再看对应关系，若对应关系不同，则不是同一函数．(3)若对应关系相同，且定义域也相同，则是同一函数．题型三复合函

数、抽象函数的定义域3、(1)若函数f(x)的定义域为(－1,2)，则函数f(2x＋1)的定义域为_______________.(2)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x)的定义域为_____

_________.(3)若函数f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为____________.[分析](1)f(x)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)．f(2x＋1)中x的取值范围

(定义域)可由2x＋1∈(－1,2)求得．(2)f(2x＋1)的定义域为(－1,2)，即x的取值范围为(－1,2)，由此求得2x＋1的取值范围即为f(x)的定义域．(3)先由f(2x＋1)的定义域求得f(x)的定义域，再由f(x)的定义域求f(x－1)的定义域．[解析](1)

由－1<2x＋1<2，得－1<x<12，∴f(2x＋1)的定义域为(－1，12)．(2)∵－1<x<2，∴－1<2x＋1<5，∴f(x)的定义域为(－1,5)．(3)由f(2x＋1)的定义域为(－1,2)得f(x)的定义域为(－1,5)，由－1<x－1<5

得0<x<6，∴f(x－1)的定义域为(0,6)．[归纳提升]函数y＝f[g(x)]的定义域由y＝f(t)与t＝g(x)的定义域共同决定：(1)若已知函数f(x)的定义域为数集A，则函数f[g(x)]的定义域由g(x)∈A解出．(2)若已

知函数f[g(x)]的定义域为数集A，则函数f(x)的定义域为g(x)在A中的值域．误区警示-6-函数概念理解有误1、设集合M＝{x|0≤x≤2}，集合N＝{y|0≤y≤2}，给出下列四个图形(如图所示)，其中能表示集合M到N的函数关系的个数是()A．0B．1C．2D．3[错解]函

数的对应关系可以一对一，也可以多对一，故(1)(2)(3)正确，选D．[错因分析]不但要考虑几对几的问题，还要考虑定义域中的元素x在值域中是否有相应的y值与之对应．[正解]图(1)定义域M中的(1,2]部分在值域N中没有和它

对应的数，不符合函数的定义；图(2)中定义域、值域及对应关系都是符合的；图(3)显然不符合函数的定义；图(4)中在定义域(0,2]上任给一个元素，在值域(0,2]上有两个元素和它对应，因此不唯一．故只有图(2)正确．答案为B．[方法

点拨]函数的定义中，从数的角度描述了函数的对应关系，首先它是两个非空数集之间的对应，它可以一对一，也可以多对一，除此之外，还要弄清定义域与数集A、值域与数集B之间的关系．学科素养求函数值域的方法——转化与化归思想及数形结合思想的应用1．分离常数法求函数y＝3x＋2x－2的值域．[分析]这种

求函数值域的问题，我们常把它们化为y＝a＋cx＋b的形式再求函数的值域．[解析]∵y＝3x＋2x－2＝(3x－6)＋8x－2＝3＋8x－2，又∵8x－2≠0，∴y≠3.∴函数y＝3x＋2x－2的值域是{y|y∈R，且y≠3}．[归纳提升]求y＝ax＋cx＋b这种类型的函数的值域，应采用分

离常数法，将函数化为y＝a＋c－abx＋b的形式．-7-2．配方法求函数223(52)yxxx=−−+−−的值域[解析]∵2223(1)4(52)yxxxx=−−+=−++−−，∴其图象是开口向下，顶点为(－1,4)，在x∈

[－5，－2]上对应的抛物线上的一段弧．根据x∈[－5，－2]时的抛物线上升，则当x＝－5时，y取最小值，且min12y=−；当x＝－2时，y取最大值，且max3y=.故223(52)yxxx=−−+−−的值域是[－12,3]．[归纳提升]遇到求解一般二次函数y＝ax2＋bx＋c(a

≠0)的值域时，应采用配方法，将函数化为y＝a(x＋b2a)2＋4ac－b24a的形式，从而求得函数的值域．3．换元法求函数y＝x＋2x－1的值域．[分析]忽略常数系数，则x与2x－1隐含二次关系，若令2x－1＝t，则x＝12(t2＋1)，于是

函数转化为以t为自变量的二次函数，由于原函数的定义域由2x－1有意义确定，故t的允许取值范围就是2x－1的取值范围．[解析]设u＝2x－1(x≥12)，则x＝1＋u22(u≥0)，于是y＝1＋u22＋u＝(u＋

1)22(u≥0)．由u≥0知(u＋1)2≥1，则y≥12.故函数y＝x＋2x－1的值域为[12，＋∞)．[归纳提升]求解带根号且被开方式为一次式的函数的值域，直接求解很困难，既费时又费力，所以遇到这样的问题，我们要想到用一个字母代换掉带根

号的式子．值得注意的是，在代换过程中，要注意新变量的取值范围．