【文档说明】《中考数学一轮复习精讲+热考题型》专题20 全等三角形的辅助线问题（专题测试）（解析版）.docx，共(22)页，1015.379 KB，由管理员店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3da49cab89c304abc254b78b17b1d108.html

以下为本文档部分文字说明：

1专题20全等三角形的辅助线问题（满分：100分时间：90分钟）班级_________姓名_________学号_________分数_________一、单选题(共10小题，每小题3分，共计30分)1．如图，点P是正方

形ABCD内一点，1PA=，10PD=，135APB=，则PB的长为（）A．23B．32C．22D．33【答案】C【分析】将APD绕着点A顺时针旋转90°得到APB，连接PP，则PAP是等腰直角三角形，10PBPD==

，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】将APD绕着点A顺时针旋转90°得到APB，连接PP，则PAP是等腰直角三角形∴10PBPD==∴APAP=，45APP=∴2PP=∵135APB=

∴90PPB=∴2222PBPBPP=−=故选C．2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，若∠DAB的平分线AE交CD于E，连结BE，且BE也平分∠2ABC，则以下的命题中正确的个数是（）①BC+AD=AB；②Ｅ为CD中点③∠AEB=90°；④S△ABE=12S

四边形ABCDA．1B．2C．3D．4【答案】D【分析】在AB上截取AF=AD．证明△AED≌△AEF，△BEC≌△BEF．可证4个结论都正确．【详解】解：在AB上截取AF=AD．则△AED≌△AEF（SA

S）．∴∠AFE=∠D．∵AD∥BC，∴∠D+∠C=180°．∴∠C=∠BFE．∴△BEC≌△BEF（AAS）．∴①BC=BF，故AB=BC+AD；②CE=EF=ED，即E是CD中点；③∠AEB=∠AEF+∠BEF=12∠DEF+12∠CEF=12×

180°=90°；④S△AEF=S△AED，S△BEF=S△BEC，∴S△AEB=12S四边形BCEF+12S四边形EFAD=12S四边形ABCD．故选D．33．如图，ΔABC≌ΔABC，点B在AB边上，线段AB，AC交于点D．若∠A＝40°，∠B＝60°，

则∠ACB的度数为()A．100°B．120°C．135°D．140°【答案】D【分析】利用全等三角形的性质即可解答.【详解】解：已知ΔABC≌ΔABC，则∠ACB=∠ACB=180°-∠A-∠B=80°，又因为CB=CB

，且∠B=60°，故三角形CBB是等边三角形，∠BCB=60°，故∠ACB=60°+80°=140°，答案选D.4．如图，已知△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线l1，l2，l3上，且l1，l2之间的

距离为1，l2，l3之间的距离为3，则AC的长是（）A．13B．5C．26D．50【答案】D【分析】过A作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，得到AD=3，CE=4，根据AAS可证明DABV≌EBCV，可求4出BE=AD=3，根据勾股定理求出BC的长，进而求出AC的长即可．【详解】过A

作AD⊥l3于D，过C作CE⊥l3于E，由题可得，AD=3，CE=4，∵AD⊥l3，CE⊥l3，∴∠ADB=∠ABC=∠CEB=90°，∴∠DAB+∠ABD=90°，∠ABD+∠CBE=90°，∴∠DAB=∠CBE，又∵AB=BC，∴DABV≌EBCV，∴AD=BE=3，∵CE=4，∴在RtBCE

V中，2222345BCBECE=+=+=，∵AB=BC，∠ABC=90°，∴22225550ACABBC=+=+=．故选：D．5．如图AB=7，AC=3，则中线AD的取值范围是：()A．4<AD<11B．2<AD<5.5C．2<AD<5D．4<

AD<10【答案】C【分析】延长AD到E，使DE=AD，然后利用“边角边”证明△ABD和△ECD全等，根据全等三角形对应边相等可5得CE=AB，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出AE的取值范围，然后即可得解．【详解】解

：如图，延长AD到E，使DE=AD，∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，在△ABD和△ECD中，BDCDADBEDCADDE===，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴CE=AB，∵AB=7，AC=3，∴

7-3＜AE＜7+3，即4＜AE＜10，∴2＜AD＜5．故选：C．6．如图，在RtABCV中，ABAC=，D、E是斜边BC上两点，且45DAE=，将ADCV绕点A顺时针旋转90°后，得到AFB△，连接EF．

以下结论：①ADCAFB△△≌；②ABEACD△△≌；③AEDAEF△△≌；④+BEDCDE=．其中正确的是（）A．②④B．①④C．②③D．①③6【答案】D【分析】根据旋转变换的性质判断①；根据全等三角形的判定定理判断②；根据SAS定理判断③；根据全等三角形的性质、三角形的三

边关系判断④．【详解】解：∵△ADC绕点A顺时针旋转90°得△AFB，∴△ADC≌△AFB，①正确；∵EA与DA不一定相等，∴△ABE与△ACD不一定全等，②错误；∵∠FAD＝90°，∠DAE＝45°，∴∠FAE＝∠DAE＝45°，在△AED和△AEF中AFADEAFEADAEAE

＝＝＝，∴△AED≌△AEF，③正确；∵△ADC≌△AFB，∴BF＝CD，∵BE＋BF＞DE∴BE＋DC＞DE，④错误；故选：D．7．如图，在四边形ABCD中，//,ABCDAE是BAC的平分线，且AECE⊥．若,ACaBDb==，则四边

形ABDC的周长为（）A．1.5()ab+B．2ab+C．3ab−D．2+ab【答案】B【分析】7在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形ABDC的周长．【详解】解：在线段AC上作AF=AB，∵

AE是BAC的平分线，∴∠CAE=∠BAE，又∵AE=AE，∴△AEF≌△AEB（SAS），∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，∵AB∥CD，∴∠D+∠B=180°，∵∠AFE+∠CFE=180°，∴∠D=∠CFE，∵AECE⊥，∴

∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°，∴∠CEF=∠CED，在△CEF和△CED中∵DCFECEFCEDCECE===,∴△CEF≌△CED（AAS）∴CE=CF，∴四边形ABDC的周长=AC+AB+BD+CD=AC

+AF+CF+BD=2AC+BD=2ab+，故选：B．8．如图所示的正方形ABCD中，点E在边CD上，把ADEV绕点A顺时针旋转得到ABFV，20FAB=．旋转角的度数是（）8A．110°B．90°C．70°D．20°【答案】B【分析】根据正

方形的性质得到AB=AD，∠BAD=90，由旋转的性质推出ADEV≌ABFV，求出∠FAE=∠BAD=90，即可得到答案．【详解】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90，由旋转得ADEV≌ABFV，∴∠F

AB=∠EAD，∴∠FAB+∠∠BAE=∠EAD+∠BAE，∴∠FAE=∠BAD=90，∴旋转角的度数是90，故选：B．9．已知△ABC，AB=4，AC=2，BC边上的中线AD长度可能是（）A．1B．2C．3D．4

【答案】B【分析】画出示意图，根据倍长中线证明全等，再结合三角形的三边关系分析即可．【详解】如图所示，AD为BC边上的中线，BD=CD，延长AD至E，使得AD=DE，连接CE，则∠ADB=∠CDE，∴()ABDECD

SASVV≌，∴AB=CE=2，则在△ACE中，ACCEAEACCE−+，即：26AE，9∴13AD，B选项符合要求，故选：B．10．如图，已知：ABAC=，BDCD=，60A=，140D=，则B=（）A．50

oB．40oC．40o或70oD．30o【答案】B【分析】连接AD，可证ABD△≌ACD△，根据全等三角形对应角相等可以得到12BADCADBAC==，ADBADC=，代入角度即可求出BAD和ADB的度数，最后利用三角形内角和定理即可求解．【详解】

连接AD，如图，在ABD△与ACD△中ABACBDCDADAD===，ABD△≌ACD△()SSS，1012BADCADBAC==，ADBADC=，Q60A=o，30BADCAD==o，Q140D=o，()13601401

102ADBADC==−=ooo，Q180BADADBB++=o，40B=o．故选：B．二、填空题(共5小题，每小题4分，共计20分)11．在△ABC中，AB=6，AC=4，AD是边BC的中线，则中线AD的长度取值范

围是_________．【答案】1＜AD＜5【分析】延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，证△ADC≌△EDB，推出EB＝AC，根据三角形的三边关系定理求出即可．【详解】解：延长AD到E，使AD＝DE，连接BE，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD，在△ADC和△EDB

中，BDCDADCBDEADDE===∴△ADC≌△EDB（SAS），11∴EB＝AC＝4，∵AB＝6，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故答案为：1＜AD＜5．12．如图，在四边形ABCD中，ABBC⊥，ACCD⊥，ACCD=，若3AB=

，1BC=，则点D到AB的距离是______．【答案】4【分析】作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，证明四边形BFDE是矩形，得到DF=BE，证明△ABC≌CED，得到AB=CE=3，问题

得解．【详解】解：作DE⊥BC交BC延长线于E,作DF⊥AB，垂足为F，∵ABBC⊥,∴四边形BFDE是矩形，∴DF=BE∵ABBC⊥，ACCD⊥，DE⊥BE,∴∠B=∠E=90°，∠BAC+∠ACB=∠DCE+∠ACB=90°，∴∠BAC=∠DCE，又∵ACCD=，∴△ABC≌CED，∴A

B=CE=3，∴DF=BE=BC+EC=4．12故答案为：413．如图，P是等边三角形ABC内一点，∠APB，∠BPC，∠CPA的大小之比为5：6：7，则以PA，PB，PC为边的三角形三内角大小之比（从小到大）是_____________

____．【答案】2：3：4．【分析】将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，证△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；由∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，设∠APB=5xº，∠BP

C=6xº，∠CPA=7xº，5x+6x+7x=360，x=20，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=40°，∠P′PC=80°，∠PCP′=60°即可．【详解】如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△

AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，∵AP′=AP，∠P′AP=60°，∴△AP′P是等边三角形，∴PP′=AP，∵P′C=PB，∴△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC，∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠AP

B：∠BPC：∠CPA=5：6：7，13设∠APB=5xº，∠BPC=6xº，∠CPA=7xº，∴5x+6x+7x=360，∴18x=360，∴x=20，∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，∴∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠

AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，∴∠PP′C：∠PCP′：∠P′PC=40°：60°:80°=2：3：4．故答案为

：2：3：4．14．已知90ACB=，ACBC=，BECE⊥于点E，ADCE⊥于点D，下面四个结论：①ABEBAD=；②CEBADCVV≌；③ABCE=；④ADBEDE=+.其中正确的是___(填序号)【答

案】①②④【分析】根据三角形内角和定理即可判断①；由同角的余角相等，得到∠ACD=∠CBE，根据AAS判断②；由CE=AD，即可判断③；由CE=AD，BE=CD，即可判断④；然后得到答案.【详解】解：如图，BEC

E⊥于点E，ADCE⊥于点D，∴90EADF==，∵BFEAFD=，∴ABEBAD=，故①正确；∵90ACB=,14∴90BCECBEBCEACD+=+=，∴CBEACD=，∵90EADC==，ACBC=，∴CEBADC≌，故②正确；∴CE=AD

，BE=CD，故③错误；∵CECDDE=+，∴ADBEDE=+，故④正确；∴正确的选项有：①②④；故答案为：①②④.15．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G、F分别为AD、BC边上的点，若2AG=，4BF=，90GEF=，则GF的长为__________．【答案】6【分

析】延长GE交CB的延长线于M．只要证明△AEG≌△BEM，推出AG=CM=2，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．【详解】如图，延长GE交CB的延长线于M．∵四边形ABCD是正方形，∴//ADCM，∴=AGEM．15在AEG△和BEM△中，

AGEMAEGMEBAEBE===∴()AASVV≌AEGBEM，∴,2===GEEMAGBM．又∵EFMG⊥，∴FGFM=．∵4BF=，∴426=+=+=MFBFBM，∴6==GFFM．故答案为：6．三、解答题(共5小题，每小题10分，共计50分)16．（1）求证：等边三角

形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（提示：添加辅助线证明）（2）如图所示，在三角形ABC中，点D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，若,==ABACADBADC，求证：AD平分BAC.【答案】（1）详见解析；

（2）详见解析.【分析】（1）已知点P是等边三角形ABC内的任意一点，过点P分别作三边的垂线，分别交三边于点D、点E、点F.求证PDPEPF++为定长,即可完成证明；（2）（面积法）过点A作AEBD⊥交BD延长线于点E，再过点A作AFCD⊥交CD延长线于点F.因为ADBAD

C=，所以ADEADF=，因此(AAS)ADFADEV，得到AFAE=.进而AFCAEBVV，得到ABDACD=，因此BADCAD=，即AD平分BAC.【详解】（1）已知：等边如图三角形ABC，P为三角

形ABC内任意一点，PD⊥AB,PF⊥AC,PE⊥BC,16求证：PD+PE+PF为定值.证明：如图：过点A作AGBC⊥，垂足为点G，分别连接AP、BP、CP.∵ABCABPBCPCAPSSSS=++VVVV，∴11112222BCAGBCPE

ACPFABPD=++gggg又∵BC=AB=AC∴AG=PE+PF+PD,即PDPEPFAG++=定长.∴等边三角形内的任意一点到两腰的距离之和等于定长.（2）过点A作AEBD⊥交BD延长线于点E，再过点A作AFCD⊥交CD延长线于点F.∵A

DBADC=，∴ADEADF=，又∵AD=AD∴(AAS)ADFADEV，∴AFAE=∴AFCAEBVV，∴ABDACD=，∴BADCAD=，即AD平分BAC.1717．（1）如图①，在四边形ABCD中，A

BCD∥，点E是BC的中点，若AE是BAD的平分线，试判断AB，AD，DC之间的等量关系．解决此问题可以用如下方法：延长AE交DC的延长线于点F，易证AEBFEC≌得到ABFC=，从而把AB，AD，DC转化在一个三角形中即可判断．AB，AD，DC之间的等量关系____

____；（2）问题探究：如图②，在四边形ABCD中，ABCD∥，AF与DC的延长线交于点F，点E是BC的中点，若AE是BAF的平分线，试探究AB，AF，CF之间的等量关系，并证明你的结论．【答案】（1）ADABDC=+；（2）ABAFCF=+，理由详见解析.【分析】（1）先根据

角平分线的定义和平行线的性质证得ADDF=，再根据AAS证得CEF≌BEA，于是ABCF=，进一步即得结论；（2）延长AE交DF的延长线于点G，如图②，先根据AAS证明AEB≌GEC，可得ABCG=，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得FAFG=，进而得出结论.【详解】解：（1）AD

ABDC=+.理由如下：如图①，∵AE是BAD的平分线，∴DAEBAE=∵ABDCP，∴FBAE=，∴DAFF=，∴ADDF=.∵点E是BC的中点，∴CEBE=，又∵FBAE=，AEBCEF=∴CEF≌BEA（A

AS），∴ABCF=.∴ADCDCFCDAB=+=+.故答案为：ADABDC=+.（2）ABAFCF=+.理由如下：如图②，延长AE交DF的延长线于点G.18∵ABDCP，∴BAEG=，又∵BECE=，AEBGEC=，∴AEB

≌GEC（AAS），∴ABGC=，∵AE是BAF的平分线，∴BAGFAG=，∵BAGG=，∴FAGG=，∴FAFG=，∵CGCFFG=+，∴ABAFCF=+.18．如图，D是等边三角形A

BC内一点，将线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，连接CD，BE,（1）求证：∠AEB=∠ADC；（2）连接DE，若∠ADC=105°，求∠BED的度数．【答案】（1）证明见解析；（2）∠BED=45°.【解析】试题分析：（1）由等边三角形的性质知∠BAC=60°，AB=AC，由旋

转的性质知∠DAE=60°，AE=AD，从而得∠EAB=∠DAC，再证△EAB≌△DAC可得答案；（2）由∠DAE=60°，AE=AD知△EAD为等边三角形，即∠AED=60°，继而由∠AEB=∠ADC=105

°可得．试题解析：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°，AB=AC．∵线段AD绕点A顺时针旋转60°，得到线段AE，∴∠DAE=60°，AE=AD．19∴∠BAD+∠EAB=∠BAD+∠DAC．∴∠

EAB=∠DAC．在△EAB和△DAC中，ABACEABDACAEAD＝＝＝，∴△EAB≌△DAC．∴∠AEB=∠ADC．（2）如图，∵∠DAE=60°，AE=AD，∴△EAD为等边三角形．

∴∠AED=60°，又∵∠AEB=∠ADC=105°．∴∠BED=45°．19．（问题提出）学习了三角形全等的判定方法（即“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”）和直角三角形全等的判定方法（即“HL”）后，我们继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．（初步思

考）我们不妨将问题用符号语言表示为：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，然后，对∠B进行分类，可分为“∠B是直角、钝角、锐角”三种情况进行探究．20（深入探究）第一种情况：当∠B是直角时，△ABC≌△DEF．（

1）如图①，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E=90°，根据，可以知道Rt△ABC≌Rt△DEF．第二种情况：当∠B是钝角时，△ABC≌△DEF．（2）如图②，在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角

，求证：△ABC≌△DEF．第三种情况：当∠B是锐角时，△ABC和△DEF不一定全等．（3）在△ABC和△DEF，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，请你用尺规在图③中作出△DEF，使△DEF和△ABC不全等．（不写作法，保留作图痕迹）（4）∠B还要满足什么

条件，就可以使△ABC≌△DEF？请直接写出结论：在△ABC和△DEF中，AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，且∠B、∠E都是锐角，若，则△ABC≌△DEF．【答案】（1）HL；（2）证明见解析；（3）作图见解析；（4）∠

B≥∠A．【详解】（1）解：HL；（2）证明：如图，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，∵∠B=∠E，且∠B、∠E都是钝角，∴180°-∠B=180°-∠E，即∠CBG=∠FEH，在△CBG和△FEH中，90CBGFEHGHBCEF=

===∴△CBG≌△FEH（AAS），∴CG=FH，21在Rt△ACG和Rt△DFH中，AC=DF，CG=FH∴Rt△ACG≌Rt△DFH（HL），∴∠A=∠D，在△ABC和△DEF中，ADABCDEFACDF

===∴△ABC≌△DEF（AAS）；（3）解：如图，△DEF和△ABC不全等；（4）解：若∠B≥∠A，则△ABC≌△DEF．20．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、

CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．【答案】证明见解析．【分析】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．先说明△ABG≌△ADF，然后利用全等三角形的性质和已知条件证得△AEG≌△AEF，最后再运用全等三角形的性质和线段

的和差即可解答．【详解】延长EB到G，使BG=DF，连接AG．22∵∠ABG=∠ABC=∠D=90°，AB=AD，∴△ABG≌△ADF．∴AG=AF，∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=12∠BAD．∴∠GAE=∠EAF．又∵AE=AE，∴△AEG≌△AEF．∴EG=EF．

∵EG=BE+BG．∴EF=BE+FD