【文档说明】安徽省六安市舒城中学2020-2021学年高一下学期开学考试数学试题含答案.docx，共(14)页，74.365 KB，由小赞的店铺上传

转载请保留链接：https://www.doc5u.com/view-3c91ee7695a9f9f1d93259736c179c5c.html

以下为本文档部分文字说明：

高一数学教师用卷一．选择题（共12小题）1．如果集合S＝{x|x＝3n+1，n∈N}，T＝{x|x＝3k﹣2，k∈Z}，则（）A．S⊆TB．T⊆SC．S＝TD．S⊈T2．已知扇形的周长为C，当该扇形面积取得最大值时，圆心角为（）A．12radB．1ra

dC．32radD．2rad3．若函数f（x）=𝑑𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐（a，b，c，d∈R）的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A．a＞0，b＞0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0C．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0D．a＞0，b＜0，c＞0，d＜04．已知函数y＝As

in（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜𝜋2）的部分图象如图所示，则（）A．ω＝1，φ=𝜋6B．ω＝1，φ=−𝜋6C．ω＝2，φ=𝜋6D．ω＝2，φ=−𝜋65．已知函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．若曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为

3𝜋4，则y＝f（x）的最小正周期为（）A．𝜋2B．πC．2πD．3π6．设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（）A．1B．

3C．0D．−547．已知α为锐角，β为第二象限角，若cos（β﹣α）=−12，sin（α+β）=12，则sin2α＝（）A．−√22B．√22C．−12D．128．已知函数f（x）=(𝑥+1)2+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1+3（a∈R），f（ln（log25））＝5，

则f（ln（log52））＝（）A．﹣5B．﹣1C．3D．49．已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|在[﹣1，m]上的最大值为f（m），则m的取值范围是（）A．（﹣1，1]B．（﹣1，1+2√2]C．[1+2√2，+∞）D．（﹣1，1]∪[

1+2√2，+∞）10．函数y＝2sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，√3]，则b﹣a的最大值和最小值之和等于（）A．4πB．7𝜋2C．5𝜋2D．3π11．若2a+log2a＝4b+2log4b，则（）A．a＞2bB．a＜2bC．a＞b2D．a＜b212．已

知函数定义在[1，+∞）上的函数f（x）={4−|8𝑥−12|，1≤𝑥≤212𝑓(𝑥2)，𝑥＞2，则下列说法中正确的个数有（）①关于x的方程f（x）−12𝑛=0，（n∈N）有2n+4个不同的零点②对于实

数x∈[1，+∞），不等式xf（x）≤6恒成立③在[1，6）上，方程6f（x）﹣x＝0有5个零点④当x∈[2n﹣1，2n]，（n∈N*）时，函数f（x）的图象与x轴围成的面积为4A．0B．1C．2D．3二．填空题（

共6小题）13．若函数f（x）＝xln（x+√𝑎+𝑥2）为偶函数，则a＝．14．若曲线𝑦=𝑙𝑜𝑔2(2𝑥−𝑚)(𝑥＞2)上至少存在一点与直线y＝x+1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为．15．已知函数y＝cos（3𝜋2

+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，则实数t的取值范围是．16．已知函数𝑓(𝑥)=4𝑠𝑖𝑛(2𝑥+𝜋6)（0≤𝑥≤91𝜋6），若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…

，xn，且x1＜x2＜x3＜…＜xn，则x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝．三．解答题（共7小题）17．已知函数f（x）=√−𝑥2+5𝑥−6的定义域为A，集合B＝{x|2≤2x≤16}，非空集合C＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，全集为实数

集R．（1）求集合A∩B和∁RB；（2）若A∪C＝A，求实数m取值的集合．18．已知2𝑐𝑜𝑠(32𝜋+𝜃)+𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝜃)3𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝜃)+2𝑠𝑖𝑛(52𝜋+𝜃)=15．（1）求tanθ的值；（2）求sin2θ+3sinθcosθ的值．19．已知f（x

）＝x2﹣ax+3．（1）若f（x）＞0对任意的a∈[12，4]恒成立，求x的取值范围；（2）试判断y＝f（x）在[12，4]上的零点个数．20．已知函数f（x）＝sin2ωx+√3sinωx•sin（ωx+𝜋2）（

ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求函数f（x）在区间[0，2𝜋3]上的取值范围．21．设函数f（x）＝sinx+sin2x，x∈R．（1）已知θ∈[0，2π），函数f（x+θ）是奇函数，求θ的值；（2）求函数𝑓(𝑥−𝜋12)+𝑓(𝑥+5𝜋12)的值域．22．已知

函数f（x）对任意的实数m，n，都有f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，且当x＞0时，有f（x）＞1．（1）求f（0）的值；（2）求证：f（x）在R上为增函数；（3）若f（2）＝3，且关于x的不等式f（x﹣2）+f（x﹣x2）＜3对任意x∈[﹣1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．参考答案

与试题解析一．选择题（共12小题）1．【分析】先将两集合元素表示形式统一，再比较确定包含关系．【解答】解：由T＝{x|x＝3k﹣2＝3（k﹣1）+1，k∈Z}＝{x|x＝3（k﹣1）+1，k﹣1∈Z}，令t＝

k﹣1，则t∈Z，所以T＝{x|x＝3t+1，t∈Z}，通过对比S、T，且由常用数集N与Z可知N⫋Z，故S⫋T．故选：A．【点评】本题考查了集合间相等关系的判断与应用，属基础题．2．【分析】根据扇形的面积和周长，写出面积公式，再利用基本不等式求出S扇形的最大值，以及对应圆心角的值，即可得解．

【解答】解：设扇形的圆心角大小为α（rad），半径为r，根据扇形的面积为S扇形=12ar2，周长为2r+αr＝C，得到r=𝐶2+𝛼，且0＜α＜2π，∴S扇形=12α•（𝐶2+𝛼）2=𝐶2𝛼2𝛼2+8𝛼+8=𝐶28+(2𝛼+8𝛼)，又2α

+8𝛼≥2√2𝛼⋅8𝛼=8，当且仅当2α=8𝛼，即α＝2时，“＝”成立，此时S扇形取得最大值为𝐶216，对应圆心角为α＝2．故选：D．【点评】本题考查了扇形的面积与周长的应用问题，也考查了基本不等式的应

用问题，是中档题．3．【分析】根据图象可先判断出分母的分解析，然后利用特殊点再求出分子即可．【解答】解：由图象可知，x≠1，5，∴分母必定可以分解为k（x﹣1）（x﹣5），a＝k，b＝﹣6k，c＝5k，∵在x＝3时有y＝2，∴d＝﹣8k，∴a，c同号b，d同号；a＞0，b＞0，c＞0，d＞0，则

x＞5时，函数的图象不成立；所以只有a＞0，b＜0，c＞0，d＜0满足题意．故选：D．【点评】本题主要考查了利用图象信息推导所给函数的系数和常数部分，属于中档题．4．【分析】由题意可得A＝1，由周期可

得ω＝2，可得y＝sin（2x+φ），代点（𝜋3，1）可得φ值．【解答】解：由题意可得A＝1，𝑇4=7𝜋12−𝜋3，∴周期T＝π，∴ω＝2，∴y＝sin（2x+φ），代点（𝜋3，1）可得1＝sin（2𝜋3+φ），结合|φ|＜𝜋2可得2𝜋3+φ

=𝜋2，解得φ=−𝜋6，故选：D．【点评】本题考查正弦函数的图象，属基础题．5．【分析】将函数化简，根据曲线y＝f（x）与直线y＝1的交点中，相邻交点的距离的最小值为3𝜋4，即ωx+𝜋4=𝜋4+2kπ或ωx+𝜋4=3𝜋4+2kπ，k∈Z，建立关系，可得ω的值，即得f（x）的最小正周期

．【解答】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．化简可得：f（x）=√2sin（ωx+𝜋4）∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx+𝜋4=𝜋4+2kπ或ωx+𝜋4=3𝜋4+2kπ，k∈Z，∴（3𝜋4−𝜋4）

+2kπ＝ω（x2﹣x1），令k＝0，∴x2﹣x1=𝜋2𝜔=3𝜋4，解得：ω=23∴y＝f（x）的最小正周期T=2𝜋23=3𝜋，故选：D．【点评】本题考查了和差公式、三角函数的图象与性质、三角函数的方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．

【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．【解答】解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，则M（x）={𝑥2−𝑥−1，𝑥≥3或𝑥≤−1𝑥+2，−1＜𝑥＜3，当x≥3

或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，综上：函数的最小值为1，故选：A．【点评】本题考查了分段函数求最值的问题，属于基础题．7．【分析】由已知可得β﹣α为第二象限角

，α+β为第二象限角，利用同角三角函数基本关系式可求sin（β﹣α），cos（α+β）的值，进而根据两角差的正弦公式即可计算求解sin2α的值．【解答】解：由已知可得β﹣α为第二象限角，α+β为第二象限角，所以sin（β﹣α）=√32，cos（α+β）=−√32，因为2α＝（α+β）﹣（β

﹣α），所以sin2α＝sin[（α+β）﹣（β﹣α）]＝sin（α+β）cos（β﹣α）﹣cos（α+β）sin（β﹣α）=12×（−12）﹣（−√32）×√32=−14+34=12．故选：D．【点

评】本题主要考查了三角函数恒等变换以及同角三角函数的基本关系，考查了运算求解能力，考查了数学运算核心素养，属于基础题．8．【分析】推导出f（x）=2𝑥+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1+4，令g（x）＝f（x）﹣4=2𝑥+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1，由此

能求出结果．【解答】解：f（x）=(𝑥+1)2+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1+3=𝑥2+2𝑥+1+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1+3=2𝑥+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1+4，令g（x）＝f（x）﹣4=2𝑥+𝑎𝑠𝑖𝑛𝑥𝑥2+1，则g（x）为奇函数，g（ln（log25）＝

f（ln（log25））﹣4＝1，g（ln（log52））＝g（ln（1𝑙𝑜𝑔25））＝g（﹣ln（log25）＝﹣1，f（ln（log52））＝g（ln（log52））+4＝3．故选：C．【点评】本题考查函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意函数性质

的合理运用．9．【分析】本题先画出函数f（x）大致图象，然后根据图象对m进行分类谈论，即可得到m的取值范围．【解答】解：由题意，函数f（x）大致图象如下：根据题意及图，可知当﹣1＜m≤1时，f（x）ma

x＝f（m）．令x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1±2√2，则当1＜m＜1+2√2时，f（x）max＝f（1）≠f（m）．．当m≥1+2√2时，f（x）max＝f（m）．∴满足题意的m的取值范围为：（﹣1，1]∪[1+2√2，+∞）．故选：D

．【点评】本题主要考查函数最值的问题，考查了数形结合法和分类讨论思想的应用．本题属中档题．10．【分析】由题意结合三角函数的图象，求得b﹣a的最大值和b﹣a的最小值，可得结论．【解答】解：由于函数y＝2sinx的最大值为2，最小值为﹣2，而函数y＝2

sinx的定义域为[a，b]，值域为[﹣2，√3]，不妨假设[a，b]中含有−𝜋2，当b﹣a最大值时，a=−4𝜋3，b=𝜋3，此时，b﹣a=5𝜋3；当b﹣a最小值时，a=−𝜋2，b=𝜋3，此时，b﹣a=5𝜋6，故b﹣a的最大值和最小值之和等于5𝜋3+5

𝜋6=5𝜋2，故选：C．【点评】本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属于中档题．11．【分析】先根据指数函数以及对数函数的性质得到2a+log2a＜22b+log2b；再借助于函数的单调性即可求解结论．【解答】解：因为2a+log2a＝4b+2log4b＝22b+log

2b；因为22b+log2b＜22b+log22b＝22b+log2b+1即2a+log2a＜22b+log22b；令f（x）＝2x+log2x，由指对数函数的单调性可得f（x）在（0，+∞）内单调递增；且f（a）＜f（2b）⇒a

＜2b；故选：B．【点评】本题主要考查指数函数以及对数函数性质的应用，属于基础题．12．【分析】根据函数的表达式，作出函数f（x）的图象，利用数形结合分别判断即可．【解答】解：作出函数f（x）的图象，如图：当n＝0时

，方程f（x）−12𝑛=0等价为f（x）＝1，∴对应方程根的个数为5个，而2n+4＝4个，∴①错误；由不等式xf（x）≤6等价为f（x）≤6𝑥，在x∈[1，+∞）恒成立，作出函数y=6𝑥的图象如图2，则不

等式xf（x）≤6恒成立，∴②正确；由函数表达式可知f（1.5）＝4，f（3）＝2，f（6）＝1．由f（x）−16x＝0得f（x）=16x，设g（x）=16x，则g（6）＝1，∴在[1，6）上，方程f（x）−16x＝0有4个零点，∴③错误；令n＝1得，[2n﹣

1，2n]＝[1，2]，当x∈[1，2]时，函数f（x）的图象与x轴围成的图形是一个三角形，其面积为：S=12×1×4＝2，∴④错误．故选：B．【点评】本题主要考查函数零点个数的判断，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．二．填空题（共6小

题）13．【分析】由题意可得，f（﹣x）＝f（x），代入根据对数的运算性质即可求解．【解答】解：∵f（x）＝xln（x+√𝑎+𝑥2）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+√𝑎+𝑥2）＝xln（x+√𝑎+𝑥2），∴﹣ln

（﹣x+√𝑎+𝑥2）＝ln（x+√𝑎+𝑥2），∴ln（﹣x+√𝑎+𝑥2）+ln（x+√𝑎+𝑥2）＝0，∴ln（√𝑎+𝑥2+x）（√𝑎+𝑥2−x）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．【点评】本题主要考查

了偶函数的定义及对数的运算性质的简单应用，属于基础试题．14．若曲线𝑦=𝑙𝑜𝑔2(2𝑥−𝑚)(𝑥＞2)上至少存在一点与直线y＝x+1上的一点关于原点对称，则m的取值范围为（2，4]．【分析】利用函数的图象关于原点对称，推出m的不等式，以及对数函数

的定义域，推出m的关系式，得到结果即可．【解答】解：设曲线𝑦=𝑙𝑜𝑔2(2𝑥−𝑚)(𝑥＞2)上的点（s，t），s＞2；由题意可得（﹣s，﹣t）在直线y＝x+1上，可得𝑙𝑜𝑔2(2𝑠−𝑚)=−(−𝑠+1)，2s﹣m＝2s﹣1，m=

12×2𝑠，s＞2，可得m＞2，2x﹣m＞0，m＜2x，x＞2．所以m≤4．则m的取值范围为：（2，4]．故答案为：（2，4]．15．【分析】由已知可求范围7𝜋3≤32π+πx＜tπ+32π，当3π＜tπ+32π≤136π，即32＜t≤136时，有最大

值cos（7𝜋3π）=12，最小值cos（3π）＝﹣1，当tπ+32π＞4π，即t＞52，有最大值cos（4π）＝1，最小值cos（3π）＝﹣1，即可得出答案．【解答】解：因为：x∈[56，t），（t＞56），所以：56π≤πx＜tπ，可得：56π+3𝜋2≤3𝜋2+πx＜3𝜋2+tπ，可

得：7𝜋3≤3𝜋2+πx＜tπ+3𝜋2，若函数y＝cos（3𝜋2+πx），x∈[56，t）（t＞56）既有最小值也有最大值，当3π＜tπ+3𝜋2≤113π，即：32＜t≤136时，有最大值cos（7𝜋3）=12，最小值cos（3π）＝﹣1，当tπ+3𝜋2＞4π，即t＞5

2，有最大值cos（4π）＝1，最小值cos（3π）＝﹣1，综上所述，32＜t≤136，或t＞52．故答案为：32＜t≤136，或t＞52．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，属于中档题．16．【分析】求出f（x）的对称轴，根据

f（x）的对称性得出任意两相邻两零点的和，从而得出答案．【解答】解：令2x+𝜋6=𝜋2+kπ得x=𝜋6+𝑘𝜋2，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x=𝜋6+𝑘𝜋2，k∈Z．∵f（x）的最小正周期

为T＝π，0≤𝑥≤91𝜋6，∴f（x）在（0，91𝜋6）上有30条对称轴，∴x1+x2＝2×𝜋6，x2+x3＝2×2𝜋3，x3+x4＝2×7𝜋6，…，xn﹣1+xn＝2×44𝜋3，将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+…+2xn﹣1+xn＝2×（�

�6+2𝜋3+7𝜋6+⋯+44𝜋3）＝2×𝜋6+44𝜋32×30＝445π．故答案为：445π．【点评】本题考查了正弦函数的图象与性质，函数对称性的应用，属于中档题．三．解答题（共7小题）17．【分析】（1）解不等式分别求出AB，进而可得集合A∩B和∁RB；

（2）若A∪C＝A，则C⊆A，根据C≠∅求出满足条件的m，可得答案．【解答】解：（1）由﹣x2+5x﹣6≥0得：2≤x≤3，故A＝[2，3]，集合B＝{x|2≤2x≤16}＝[1，4]，则A∩B＝[2，3]，∁RB＝（﹣∞，1）∪（4，+∞）；（2）若A∪C＝A，则C⊆A，

C≠∅，m+1≤2m﹣1，m≥2，{𝑚+1≥22𝑚−1≤3，解得：1≤m≤2，∴m＝2，综上可得：m＝2．【点评】本题考查的知识点是集合的交并补混合运算，难度不大，属于基础题．18．【分析】（1）利用诱

导公式、同角三角函数的基本关系，求得tanθ的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得sin2θ+3sinθcosθ的值．【解答】解：（1）由2𝑐𝑜𝑠(32𝜋+𝜃)+𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝜃)3𝑠𝑖𝑛(𝜋−𝜃)+2𝑠𝑖𝑛(52𝜋+𝜃)=15，可得2�

�𝑖𝑛𝜃−𝑐𝑜𝑠𝜃3𝑠𝑖𝑛𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃=15，分子分母同除以得cosθ，求得tanθ＝1．（2）𝑠𝑖𝑛2𝜃+3𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=𝑠𝑖𝑛2𝜃+3𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=𝑡𝑎𝑛2𝜃

+3𝑡𝑎𝑛𝜃𝑡𝑎𝑛2𝜃+1=2．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式，属于基础题．19．【分析】（1）将a看成自变量，得到关于a为自变量的一次函数，根据一次函数在指定区间的端点处

取得最小值，由此构造出关于x的不等式组，求解即可；（2）分离参数，利用对勾函数的单调性研究函数的单调性、最值情况，据此构造出a的不等式组，求解．【解答】解：（1）原函数式可化为g（a）＝﹣x•a+x2+3，𝑎∈[12，2]．由题意可得{𝑔(

12)＞0𝑔(4)＞0，即{𝑥2−12𝑥+3＞0𝑥2−4𝑥+3＞0，解得{𝑥∈𝑅𝑥＞3，或𝑥＜1，故x的取值范围是{x|x＞3，或x＜1}．（2）令f（x）＝0得x2﹣ax+3＝0，因为𝑥∈[12，4]，故𝑎=𝑥

+3𝑥，𝑥∈[12，4]，令h（x）=𝑥+3𝑥，𝑥∈[12，4]，由对勾函数的性质可知，函数h（x）在[12，√3]上单调递减，在（√3，4]上单调递增，且h（√3）=2√3，h（12）=132，h（4）=19

4．故当𝑎∈(194，132]∪{2√3}时，函数f（x）只有一个零点；当𝑎∈(√3，194]时，原函数有两个零点；当𝑎＜√3或𝑎＞132时，原函数没有零点．【点评】本题考查函数思想在解决不等式恒成立、方程的根与函数的零点问题中的应用．属于中档题．20．【分析】（1

）利用三角函数的倍角公式进行化简结合函数的周期即可求ω的值；（2）求出函数在[0，2𝜋3]上角的范围，结合三角函数的单调性进行求解即可．【解答】解：（1）f（x）＝sin2ωx+√3sinωx•sin（ωx+𝜋2）＝sin2ωx+√3sinωx•cosωx＝sin2ωx+√32sin2ωx

＝（1+√32）sin2ωx，∵函数f（x）的最小正周期为π．∴T=2𝜋2𝜔=π．即ω＝1．（2）∵ω＝1，∴f（x）＝（1+√32）sin2x，若0≤x≤2𝜋3，则0≤2x≤4𝜋3，∴当2x=4𝜋3时，函数取得最小值为

（1+√32）sin4𝜋3=−（1+√32）×√32=−√32−34，当2x=𝜋2时，函数取得最大值为（1+√32）sin𝜋2=1+√32，故函数f（x）的取值范围是[−√32−34，1+√32]．【点评】本题主要考查三角函数性质的应用，利用倍角公式结合周期公式求出ω的值是解决本题的关键．2

1．【分析】（1）由函数f（x+θ）是奇函数，可得f（0+θ）＝0，即可求得θ的值；（2）利用诱导公式及辅助角公式化简，即可求得值域．【解答】解：（1）x∈R，函数f（x+θ）是奇函数，因为f（x+θ）＝sin（x+θ）+sin2（x+θ），所以f（0+θ）＝0，即sinθ+sin2θ

＝0，即sinθ+2sinθcosθ＝0，即sinθ（1+2cosθ）＝0，①若sinθ＝0，则θ＝0或π；②若1+2cosθ＝0，即cosθ=−12，则θ=2𝜋3，经检验得θ＝0或π．（2）𝑓(𝑥−𝜋12)+𝑓(𝑥+5𝜋12)=sin（x−𝜋12）+sin2（x−

𝜋12）+sin（x+5𝜋12）+sin2（x+5𝜋12）＝sin（x−𝜋12）+sin（2x−𝜋6）+cos（﹣x+𝜋12）﹣sin（2x−𝜋6）＝sin（x−𝜋12）+cos（x−𝜋12）=√2sin（x−𝜋12+𝜋4）=√2sin

（x+𝜋6）∈[−√2，√2]．即函数𝑓(𝑥−𝜋12)+𝑓(𝑥+5𝜋12)的值域为[−√2，√2]．【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性，三角函数的值域，考查诱导公式、辅助角公式的应用，属于

中档题．22．【分析】（1）利用赋值法可求解；（2）结合单调性的定义以及赋值法，可判断出f（x1）与f（x2）的大小关系，从而确定单调性；（3）原式是一个不等式恒成立问题，因此可转化为函数的最值问题求解，结合分类讨论，判断出函数在[﹣1，+∞）上的单调性，求出最值即可．【解答】解

：（1）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1，令m＝n＝0，则f（0）＝2f（0）﹣1，则f（0）＝1；（2）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1可知，任取x1，x2∈R，不妨设x1＞x2，则f（x1）﹣f（x2）＝f（x1﹣x2）﹣1，∵x1＞x2，∴x1﹣x2＞0，∴f（x1﹣

x2）＞1，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2）．故此，函数f（x）为R上增函数；（3）由f（m+n）＝f（m）+f（n）﹣1可知，f（ax﹣2）+f（x﹣x2）＝f[（ax﹣2）+（x﹣

x2）]+1＜3．故此f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜2，∵f（2）＝3＝2f（1）﹣1，∴f（1）＝2．∴f[﹣x2+（a+1）x﹣2]＜f（1）．又∵f（x）在R上是单调增函数，∴﹣x2+（a+1）x﹣2

＜1，∴x2﹣（a+1）x+3＞0，令g（x）＝x2﹣（a+1）x+3．∴由已知，须有g（x）min＞0，x∈[﹣1，+∞）．①当𝑎+12≤−1时，即a≤﹣3，g（x）在[﹣1，+∞）单调递增，∴g（x）min＝g

（﹣1）＝a+5＞0，∴a＞﹣5，∴﹣5＜a≤﹣3．②当𝑎+12＞−1时，即a＞﹣3时，g（x）在[﹣1，+∞）先递减后递增，∴𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛=𝑔(𝑎+12)=3−(𝑎+1)24＞0．∴−2√3−

1＜𝑎＜2√3−1，即−3＜𝑎＜2√3−1．综上，∴𝑎∈(−5，2√3−1)．【点评】本题考查抽象函数条件下的函数的单调性的证明，不等式恒成立时的字母范围的求解方法．属于中档题．声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布日期：

2021/2/2411:32:27；用户：舒城中学；邮箱：shu986@xyh.com；学号：25632361