【文档说明】四川省成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2023届高三下学期三诊模拟考试数学（文科）试题 含解析.docx，共(24)页，1.824 MB，由小赞的店铺上传

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成都市锦江区嘉祥外国语高级中学高2020级高三三诊模拟文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的学校、姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔

填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”．2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试

卷上答题无效．3．考试结束后由监考老师将答题卡收回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合2,0xAyyx==，1,0,1,2B=−，则AB=（）A.1B.0

C.1,2D.1,0−【答案】A【解析】【分析】由指数函数的性质，求得集合01Ayy=，再结合集合交集的概念及运算，即可求解.【详解】由函数2xy=，当0x时，可得01y，即集合01Ayy=，又由集合1,0,1,2B=

−，所以AB=1.故选：A.2.已知复数2(1iziii=−+为虚数单位)，则z的虚部为（）A.32−B.32C.32i−D.32i【答案】B【解析】【分析】由条件中的复数相等，应用复数的四则运算得13iz2−=，即可写出z，进而可确定其虚部.【详解】由(1)1132

221(1)(1)22iiiiiziiiiii−+−=−=−=−=++−，∴132zi=+，其虚部为32.故选：B.3.构建德､智､体､美､劳全面培养的教育体系是我国教育一直以来努力的方向.某中学为了落实五育并举，全面发展学生的素质，积极

响应党的号召，开展各项有益于德､智､体､美､劳全面发展的活动.如图所示的是该校高三（1）､高三（2）班两个班级在某次活动中的德､智､体､美､劳的评价得分对照图（得分越高，说明该项教育越好）.下列说法正确的是（）实线

：高三（1）班的数据虚线：高三（2）班的数据A.高三（2）班五项评价得分的极差为1.5B.除体育外，高三（1）班的各项评价得分均高于高三（2）班对应的得分C.各项评价得分中，这两个班的体育得分相差最大

D.高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高【答案】D【解析】【分析】根据题意可得各班的各项得分，根据分值逐项分析判断.【详解】由题意可得：高三（1）班德､智､体､美､劳各项得分依次

为9.5,9.5,9,9.5,9.25，高三（2）班德､智､体､美､劳各项得分依次为9.5,9,9.5,9,8.5.对于A：高三（2）班五项评价得分的极差为9.58.51−=，A错误；对于B：两班的德育得分均为9.5，两者相等，B错误；对于C：两班的德育得分相差9

.59.50−=；两班智育、体育和美育得分相差均为9.590.5−=；两班的劳育得分相差9.258.50.75−=；故两个班的劳育得分相差最大，C错误；对于D：高三（1）班得分的平均数为9.59.259.5

99.59.355++++=，高三（2）班得分的平均数为9.58.599.599.15++++=，∵9.359.1，故高三（1）班五项评价得分的平均数比高三（2）班五项评价得分的平均数要高，D正确.故选：D.4.已知函数()fx的部分图像如图，则函数()fx的解析式可能为（）

A.()()eesinxxfxx−=−B.()()eesinxxfxx−=+C.()()eecosxxfxx−=−D.()()eecosxxfxx−=+【答案】B【解析】【分析】由奇偶性可排除AD，由特殊点可排除C，即可求解【详解】

由于图像关于原点对称，所以()fx为奇函数，对于A：由()()eesinxxfxx−=−得：()()()()()eesineesinxxxxfxxxfx−−−=−−=−=，()fx为偶函数，故可排除A；对于D：由()()

eecosxxfxx−=+得：()()()()()eecoseecosxxxxfxxxfx−−−=+−=+=，()fx为偶函数，故可排除D；的由图知()fx图象不经过点π,02，而对于C：ππ22ππeecos022f−=−=，故可排除C；

故选：B5.设变量,xy满足约束条件306010xyxyy+−−−，则目标函数3zxy=−+的最小值为A.-8B.-15C.-20D.-21【答案】C【解析】【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函

数的最优解求解即可.【详解】,xy满足约束条件306010xyxyy+−−−，表示的可行域如图：目标函数3zxy=−+经过坐标点A时，函数取得最小值，由6010xyy−−=−=解得()

7,1A目标函数的最小值为-20.故选C.【点睛】本题考查线性规划的截距式求最值，属于基础题.6.已知数列{}na是公比为q的等比数列，则“2564aaa”是“01q”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要

条件【答案】B【解析】【分析】先根据等比数列的性质，结合不等式2564aaa，可以确定q的取值范围，然后根据充分性、必要性的定义选出正确答案.【详解】222356444411aaaaqaqaqq

.显然由2564aaa不一定能推出01q，但由01q一定能推出2564aaa，因此“2564aaa”是“01q”的必要不充分条件，故本题选B.【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，利

用等比数列的性质是解题的关键.7.如图，某几何体三视图为三个完全相同的圆心角为90°的扇形，则该几何体的表面积是（）A.2B.34C.54D.74【答案】C【解析】【分析】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，画出直观图，根据球的表面积公式和扇形的面积公式，即可求出结

果．【详解】由三视图可知，该几何体是半径为1的八分之一球，直观图如图所示．其表面积2211513412284S=+=．故选：C.8.若曲线lnxayx−=在()1,a−处的切线与直线:250lxy−+=垂直，则实数=a（）A.1B.32

−C.32D.2【答案】B【解析】【分析】求出函数的导函数，即可表示出切线的斜率1k，再得到直线l的斜率2k，根据两直线垂直斜率之积为1−得到方程，即可求出参数的值.【详解】因为lnxayx−=，所以21lnxayx−=+，则12

1ln1|11xaya=−+==+，所以曲线lnxayx−=在点()1,a−处的切线的斜率为11ka=+，又直线:250lxy−+=的斜率22k=，由切线与直线l垂直可知121kk=−，即()211a+=−，解得32a=−．故选：B．9.19世纪法国著名数学家加斯帕尔•蒙日，创立了画法几何学，

推动了空间几何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同心的圆上，称为蒙日圆，椭圆22221(0)xyabab+=的蒙日圆方程为2222xyab+=+.若圆22(3)()9xym−+−=与椭圆2213xy+=的蒙日圆

有且仅有一个公共点，则m的值为（）A.±3B.±4C.±5D.25【答案】B【解析】【分析】由题意求出蒙日圆方程，再由两圆只有一个交点可知两圆相外切，从而列方程可求出m的值．【详解】由题意可得椭圆2213xy+=的蒙日圆的半径

1312r=+=，所以蒙日圆方程为224xy+=，因为圆22(3)()9xym−+−=与椭圆2213xy+=的蒙日圆有且仅有一个公共点，所以两圆相外切，所以22332m+=+，4m=．故选：B．10.已知双曲线()222210,0xyabab−=的焦点为1F、2F，

渐近线为1l，2l，过点2F且与1l平行的直线交2l于M，若M在以线段12FF为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A.2B.2C.3D.5【答案】A【解析】【分析】由条件联立方程组，求点M坐标，结合点M在以线段12FF为直径的圆上，列关系式求离心率.【详解】由双曲线的对称性，不妨设1l的方程为b

yxa=，设双曲线22221xyab−=的半焦距为c，因为直线2FM与直线1l平行，所以直线2FM的方程为()byxca=−，又直线2l的方程为byxa=−，联立()byxcabyxa=−=−，可得22cxbcya==−，故点M的坐标为,22cbca

−，因为M在以线段12FF为直径的圆上，所以MOc=，O为坐标原点，所以2222cbcca+−=，所以223ba=，所以双曲线的离心率221132bea=+=+=，故选：A.的11.如图，已知正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，

,EF分别是棱AD，11BC的中点．若点P为侧面正方形11ADDA内（含边界）的动点，且1//BP平面BEF，则1BP与侧面11ADDA所成角的正切值最大为（）A.2B.1C.52D.5【答案】D【解析】【分析】取11AD的中点M，连接AM、1BM、1AB、EM、FM，证明出

平面1//AMB平面BEF，利用面面平行的性质可得出1//BP平面BEF，说明点P的轨迹为线段AM，结合线面角的定义求1BP与侧面11ADDA所成角的正切值最大.【详解】取11AD的中点M，连接AM、1BM、1AB、EM、FM，如图所

示：在正方体1111ABCDABCD−中，11//ADBC且11ADBC=，因为E、F分别是棱AD、11BC的中点，则1//AEBF且1AEBF=，所以，四边形1ABFE为平行四边形，则1//ABEF，1AB平面BEF，EF平面BEF，1//AB平面BEF，同理可证//AM平面BE

F，1ABAMA=，1,ABAM平面1ABM，所以平面1//ABM平面BEF，AM平面11AADD，若PAM，则1BP平面1ABM，1//BP平面BEF，所以，点P在侧面11AADD内的轨迹为线段AM，因为11BA⊥平面11ADDA，所以1BP与侧面11ADDA所成的角为11BP

A，在11RtBPA，111BA=，所以1111111tanBABPAAPAP==，所以1BP与侧面11ADDA所成角的正切值为11AP，在1RtAAM中，1111,2AAAM==，所以52AM=，所以点1A到边AM的距离为55，即

1AP的最小值为55，所以1BP与侧面11ADDA所成角的正切值的最大值为5，故选：D.12.定义在R上的奇函数()fx满足()()2=fxfx−，且在)0,1上单调递减，若方程()1fx=−在)0,1上有实数根，则方程()1fx=在区间1,11−上所有实根之和是（）A.30B.14C

.12D.6【答案】A【解析】【分析】根据条件可得出()fx的图象关于1x=对称，()fx的周期为4，从而可考虑()fx的一个周期，利用1,3−，根据()fx在)0,1上是减函数可得出()fx在(1,2上是增

函数，()fx在()1,0−上是减函数，在)2,3上是增函数，然后根据()1fx=−在)0,1上有实数根，可判断该实数根是唯一的，并可判断()1fx=−在一个周期1,3−内有两个实数根，并得这两实数根和为2，从而得出()1fx=−在区间1,11−这

三个周期内上有6个实数根，和为30.【详解】由()()2=fxfx−知函数()fx的图象关于直线1x=对称，∵()()2=fxfx−，()fx是R上的奇函数，∴()()()2fxfxfx−=+=−，∴()()4fxfx+=，∴()fx的周期为4，考虑()fx的一个周期，例如1,3−，由()fx

在)0,1上是减函数知()fx在(1,2上是增函数，()fx在(1,0−上是减函数，()fx在)2,3上是增函数，对于奇函数()fx有()00f=，()()()22200fff=−==，故当()0,1x时，()()00fxf

=，当()1,2x时，()()20fxf=，当()1,0x−时，()()00fxf=，当()2,3x时，()()20fxf=，方程()1fx=−在)0,1上有实数根，则这实数根是唯一的，因为()fx在()0,1上是单调函数，则由于

()()2=fxfx−，故方程()1fx=−在()1,2上有唯一实数，在()1,0−和()2,3上()0fx，则方程()1fx=−在()1,0−和()2,3上没有实数根，从而方程()1fx=−在一个周期内有且仅有两个实数根，当13,x−，方程()1fx=−的两实数根之和为22xx

+−=，当1,11x−，方程()1fx=−的所有6个实数根之和为244282828282830xxxxxx+−++++−+++−+=+++++=.故选：A.【点睛】本题考查了由()()2faxfx−=可判断()fx关于xa=对称，周期

函数的定义，增函数和减函数的定义，考查了计算和推理能力，属于难题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上）13.已知向量a→，b→方满足1a→=，2b→=，且a→与b→的夹角为3，则向量ab→

→−与b→的夹角为______.【答案】56【解析】【分析】先利用已知条件求得1ab→→=，接着求解向量ab→→−的模长，最后根据向量夹角公式求解即可.【详解】因为1a→=，2b→=，且a→与b→的夹角为3，所以1cos12132abab→→→→==

=，所以2()143abbabb→→→→→→==−−=−−，2222221223ababaabb→→→→→→→→==−+=−+−=−，设向量ab→→−与b→的夹角为，所以()33cos232abbabb→→→→→→−−===−−，又因为两向量

所成夹角范围为0,，所以向量ab→→−与b→的夹角为56=，故答案为：56.14.在等差数列na中，91226aa−=，则数列na的前11项和11S＝___．【答案】66【解析】【分析】先利用等差数列的性质求出6a，再通过求和公式()111

6111111222aaaS+==计算即可.【详解】由等差数列的性质可得26912aaa=+，691226aaa=−=，()111611611112116622aaaSa+====.故答案为：66.15.从正六边

形的6个顶点中任取3个构成三角形，则所得三角形是直角三角形的概率为______．【答案】35##0.6【解析】【分析】利用组合数及古典概型的概率公式求解．【详解】从正六边形6个顶点中任取3个，有36C20=个三角形，其中直角三角形如图

每边对应2个，例如Rt△BDE和Rt△ADE，共有2×6＝12个，所以所求概率为123205=．故答案为：35．16.已知函数()()ππ2cos20,22fxx=++−的两个相邻的零点之差的绝对值为2π3，且5π18是()fx的最小正零点，则()f=_

_________.【答案】1【解析】【分析】根据函数()fx两个相邻的零点之差的绝对值求出周期和，再根据()fx的最小正零点求出，即可求出()f的值．【详解】令函数()2cos()20fxx=++=，得cos()1x+=−

，的所以函数()fx两个相邻的零点之差的绝对值为2π3T=，即2π2π3=，解得3=，又因为5π18是()fx的最小正零点，所以5π5π()2cos(3)201818f=++=，即5πcos()16+=−，所以5ππ2π6k+=+，Zk，解得π2π6k=+，Z

k，又ππ22−，所以π6=，即π()2cos326fxx=++，所以πππ()2cos(3)22sin21666f=++=−+=．故答案为：1．三、解答题（本大题共6小题．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，共

70分）17.已知,,abc分别为锐角ABC内角,,ABC的对边，2cosbaCa−=．（1）证明：2CA=；（2）求sincosAC的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）()1,+【解析】【分析】（1）由正弦定理，三角形内角和定理，三

角恒等变换解决即可；（2）由条件求A的范围，结合正弦函数性质求sinA的范围，利用三角恒等变换得sin11cos2sinsinACAA=−，由此可求其范围.小问1详解】∵2cosbaCa−=．∴sinsin2sincossincoscossinB

AACACAC=+=+，∴()sincossinsincossinAACACCA=−=−，因为,AC为锐角三角形内角，所以π02A，π02C，所以ππ22CA−−，所以ACA=−，即2CA=；【小问2详解】【由题意得π02π022π032AAA−

，解得ππ64A，所以12sin22A，由正弦定理得2sinsinsin11coscos212sin2sinsinAAACAAAA===−−，因为函数12yxx=−在12,22上单调递减，所以当1222x时，1021xx−，

所以当12sin22A时，102sin1sinAA−，所以sin111cos2sinsinACAA=−，∴sincosAC的取值范围为()1,+．18.在四棱锥PABCD−中，BCD△为等边三角形，120DAB=，2ADABPDPB====，点E为PC的中点．（1）证明：/

/BE平面PAD；（2）已知平面PBD⊥平面ABCD，求三棱锥PABE−的体积．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）作出辅助线，证明出面面平行，进而得到线面平行；（2）作出辅助线，由面面垂直得到PO⊥平面ABCD，结合2ADABPDPB====，

求出各边长，利用线段比例关系和等体积法求解三棱锥的体积.【小问1详解】证明：取CD的中点M，连,EMBM，∵E为PC中点，∴//EMPD，又EM平面PAD，PD平面PAD，∴//EM平面PAD，又∵BCD△为等边三角形，∴MB⊥CD,∵120DAB=

，ADAB=，∴30ADBABD==，603090ADCCDBADB=+=+=，∴AD⊥CD，∴//MBAD，又MB平面PAD，AD平面PAD，∴//MB平面PAD，EMMBM=，,EMMB平面EMB，∴平面//EMB平面PAD，∵EB平面

EMB，∴//EB平面PAD．【小问2详解】连接AC交BD于O，连接PO，因为,BCCDADAB==，AC垂直平分BD，故O为BD中点，AC⊥BD，因为2PDPB==，所以PO⊥BD，∵平面PBD⊥平面ABCD，交线为BD，PO平面PBD，∴PO⊥平面ABCD，∵2ADABP

DPB====，∴2cos303BOOD===，由勾股定理得22231POAO==−=，法1：因为AD⊥CD，23CD=，所以1232ACDSADCD==，因为//EMPD，M为CD中点，所以12PABEPADEEPDAMPDA

PMDAPCDAVVVVVV−−−−−−=====113231233==，法2：因为AB⊥BC，23BC=，所以1232ABCSABBC==△，因为E为PC中点，所以1111323122233PABEBA

PEBAPCPABCVVVV−−−−=====.19.随着中美贸易战的不断升级，越来越多的国内科技巨头加大了科技研发投入的力度.华为技术有限公司拟对“麒麟”手机芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的

数据统计如下：序号123456789101112x2346810132122232425y1322314250565868.56867.56666当017x时，建立了y与x的两个回归模型：模型①：ˆ4.111.8yx=+；模型②：ˆ21.314.4yx=−；当17x时，

确定y与x满足的线性回归方程为0.7yxa=−+.（1）根据下列表格中的数据，比较当017x时模型①、②的相关指数2R的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“麒麟”手机芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益.回归模型模型①模型②回归方程ˆ4.111

.8yx=+ˆ21.314.4yx=−()721ˆiiiyy=−182.479.2（附：刻画回归效果的相关指数，()()22121ˆ1niiiniiyyRyy==−=−−，174.1）（2）为鼓励科技创新，当科技升级的投入不少于20亿元时，国家给予

公司补贴5亿元，以回归方程为预测依据，比较科技升级投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小.附：用最小二乘法求线性回归方程ˆˆˆybxa=+的系数：()()()1122211ˆˆˆ,nniiiiiinniiiixynxyxxy

ybaybxxnxxx====−−−===−−−【答案】（1）回归模型②，72.93（亿元）；（2）投入20亿元时，公司的实际收益更大.【解析】【分析】（1）根据表中数据比较21R和22R可判断

拟合效果，进而求出预测值；（2）求出,xy，进而求出a，得出回归方程得求出结果.【详解】解：（1）由表格中的数据，182.479.2，∴()()772211182.479.2iiiiyyyy==−−，∴()()772211182.47

9.211iittyyyy==−−−−可见模型①的相关指数21R小于模型②的相关指数22R.所以回归模型②的拟合效果更好.所以当17x=亿元时，科技升级直接收益的预测值为ˆ21.31714.421.34.1

14.472.93y=−−=（亿元）.（2）当17x时，由已知可得2122232425235x++++==，68.56867.5666667.25y++++==.∴0.767.20.72383.3ayx=+=+=.∴当17x时，y与x满足的线性回归方程为ˆ0.78

3.3yx=−+.当20x=时，科技升级直接收益的预测值为ˆ0.72083.369.3y=−+=亿元.当20x=亿元时，实际收益的预测值为69.3574.3+=亿元72.93亿元，∴技术升级投入20亿元时，公司的实际收益更大.20.已知函数()exaxfx=和函数()l

nxgxx=，且()fx有最大值为1ea．（1）求实数a的值；（2）直线y＝m与两曲线()yfx=和()ygx=恰好有三个不同的交点，其横坐标分别为1x，2x，3x，且123xxx，证明：2132xxx=．【答案】（1）1（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据()fx的单调性得到

最大值为()1eaf=，然后列方程求解即可；（2）根据交点情况得到31223122lnlnxxxxxxxxm====eeee，然后再结合()fx的单调性即可得到32121xxxxm==，即可证明2132xxx=.【小问1

详解】()exaxfx=的定义域为R，且()()1exaxfx−=，0a，当1x时，()0fx¢>，()fx递增；当1x时，()0fx，()fx递减；所以()()max1eafxf==，所以1eeaa=，解得

1a=，又0a，所以a＝1.【小问2详解】证明：由（1）可知：()exxfx=在(),1−递增，在()1,+递减，又()21lnxgxx−=，所以()lnxgxx=在()0,e递增，在()e,+递减，()exxfx=和()lnxgxx=的图象如图所示：设()

fx和()gx的图象交于点A，则当直线y＝m经过点A时，直线y＝m与两条曲线()yfx=和()ygx=共有三个不同的交点，则12301exxx，且，2222lnxxxmx==e，33lnxmx=，因为1122lnxxxmx==e，所以1212lnlneexxxx=，即()(

)12lnfxfx=，因为11x，2lnlne1x=，且()exxfx=在(),1−递增，所以12lnxx=，所以22121lnxxxxm==，因为2323lnxxxmx==e，所以3232lnlneexxxx=，即()()23lnfxfx=，因为21x

，3lnlne1x=，且()exxfx=在()1,+递减，所以23lnxx=，所以33231lnxxxxm==，所以32121xxxxm==，即2132xxx=．【点睛】函数()fx零点问题：（1）转化为方程()0fx=的根

；（2）转化为函数()fx与x轴交点的横坐标；（3）转化为两个函数图象交点的横坐标.21.设椭圆E：()222210xyabab+=过点()2,1M，且左焦点为()12,0F−．（1）求椭圆E的方程；（2）ABC内接于椭圆E，过点()4,1P和点A的直线l与椭圆E的另一

个交点为点D，与BC交于点Q，满足APQDAQPD=，证明：PBC面积为定值，并求出该定值．【答案】（1）22142xy+=（2）证明见解析，定值为1479【解析】【分析】（1）根据给定的条件，列出,,abc的方程组，求解作答.（2

）根据给定条件，利用共线向量探求出直线BC的方程，与椭圆E的方程联立，求出BC长，结合三角形面积公式求PBC的面积.【小问1详解】由题意得2222222211cabcab=+==−，解得24a=，22b=所以椭圆C的方程为22142xy+=．【小问2详

解】设点,,QAD的坐标分别为(),xy，()11,xy，()22,xy．由题设知AP，PD，AQ，QD均不为零，记APAQPDQD==，则0且1又,,,APDQ四点共线，从而APPD=−，AQQD=于是1241xx−=−，1211yy−=−，121xxx

+=+，121yyy+=+从而22212241xxx−=−①，2221221yyy−=−②，又点,AD在椭圆C上，即221124xy+=③，222224xy+=④，①＋②×2并结合③、④得424xy+=，即点,()Oxy总在定直线220xy+−=上．∴BC所在

直线为220xy+−=上．由22220142xyxy+−=+=消去y得291640xx−+=，2164940=−，设3344(,),(,)BxyCxy，则3434164,99xxxx+==，于是22223

434341616435||12||5()45()999BCxxxxxx=+−=+−=−=，又P到BC的距离8127415d+−==+，∴1479PBCS=∴PBC面积定值为1479．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一

个条件，明确确定直线、椭圆的条件；（2）强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分

．作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．选修4－4：坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为24cos234sinxy=+=+（为参数）.以坐标原点为

极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l和2l的极坐标方程分别为π6=和()12π,3l=R和2l与曲线C分别相交于,AB两点（,AB两点异于坐标原点）.（1）求C的极坐标方程；（2）求ABO的面积.【答案】（1）4cos43sin=+

（2）83【解析】【分析】（1）根据圆的参数方程可得曲线C的普通方程，再结合极坐标与直角坐标之间的转化运算求解；（2）根据题意结合极坐标的几何意义运算求解.【小问1详解】曲线C的参数方程为24cos234sinxy=+=+（为参数），转换为直角坐标方程为()

()2222316xy−+−=，整理得224430xyxy+−−=，根据222cossinxyxy==+=，转换为极坐标方程为24cos43sin0−−=，即4cos43sin=+.【小问2详解】根据题意可设,AB两点的极坐标分别为π2π,

,,,063ABABAB，则ππ2π2π4cos43sin43,4cos43sin46633AB=+==+=，所以12ππ1sin4341832362ABOABS=−==V.选修4－5：不等式选讲23.设函数(

)31223xxfxx+−−=+的最大值M.（1）求M；（2）已知a、b、c均为正实数，且abcM++=，求证：1111118abc−−−.【答案】（1）1M=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式可求得M；（2）求得(

)()()111111bccaababcabc+++−−−=，利用基本不等式可证得所证不等式成立.【详解】（1）由绝对值三角不等式可得()()()31223122133xxxxfxxx+−−+

−−==++，当且仅当1x时，等号成立，所以，1M=；（2）由（1）可得1abc++=，111abcaaa−+−==，同理可得11acbb+−=，11abcc+−=，由基本不等式可得()()()1112221118bccaabbccaababcabcabc+++

−−−==，当且仅当13abc===时，等号成立，因此，1111118abc−−−.【点睛】方法点睛：证明不等式，基本方法如下：（1

）作差法：利用差的符号判断两个代数式的大小关系，作差后需利用因式分解、配方法等判断各因式的符号；（2）作商法：当两个代数式符号相同时，利用商与1的大小关系来判断两个代数式的大小关系；的获得更多资源请扫码加入享学

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