【文档说明】《精准解析》福建省福州第一中学2022-2023学年高一下学期期中考试数学模拟试题（解析版）.docx，共(26)页，1.636 MB，由管理员店铺上传

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福州第一中学高一下数学半期考模拟卷一､选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复平面内，()2iz−对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B

【解析】【分析】设()i,zababR=+，然后对()2iz−化简，结合()2iz−对应的点位于虚轴的正半轴上可求出,ab的范围，从而可求出复数z对应的点所在的象限【详解】设()i,zababR=+，所以()()()

2ii22iababba−+=++−，则2020abba+=−，即22baab=−，所以a<0，0b，故该点在第二象限，故选：B．2.已知a，b满足()2,2a=，2b=，且a，b的夹角为3π4，则ab+=（）A.25B.2C.4D.23【答案】B【解析】【分析】先

求出ab的值，将ab+平方转化为数量积计算.【详解】()2,2a=，所以22a=，3cosπ44abab==−，22284824ababab+=++=+−=，所以ab+=2.故选：B3.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点

（靠近B），则EF=（）A.1123ABAD−B.1142ABAD+C.1132ABAD+D.1223ABAD−．【答案】D【解析】【分析】用向量的加法和数乘法则运算.【详解】由题意：点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点，∴11122323EFEDDAABBFABADABADABA

D=+++=−−++=−.故选：D.【点睛】方法点睛：解题时可根据加法法则，从向量的起点到终点，然后结合向量的数乘运算即可得.4.若zC且342zi++，则1zi−−的最大和最小值分别为,Mm，则Mm−的值等于（）A.3B.4C.

5D.9【答案】B【解析】【分析】根据复数差的模的几何意义可得复数z在复平面上对应的点的轨迹，再次利用复数差的模的几何意义得到,Mm，从而可得Mm−的值.【详解】因为342zi++，故复数z在复平面上对应的点P到134zi=−

−对应的点A的距离小于或等于2，所以P在以()3,4C−−为圆心，半径为2的圆面内或圆上，又1zi−−表示P到复数21zi=+对应的点B的距离，故该距离的最大值为()()22231412412AB+=−−+−−+=+，最小

值为2412AB−=−，故4Mm−=.故选：B.【点睛】本题考查复数中12zz−的几何意义，该几何意义为复平面上12,zz对应的两点之间的距离，注意12zz+也有明确的几何意义（可把12zz+化成()12zz−−），本题属于中档题.5.已知单位向量a，b满足0ab=，若向量72cab=+，

则sin,ac＝（）A.73B.23C.79D.29【答案】B【解析】【分析】计算出7ac=，及cr，从而利用向量余弦夹角公式计算得到7cos,3ac=，再利用同角三角函数平方关系求出sin,ac.【详解】因为a，b是单位向量，所以1ab==rr，又

因为0ab=，72cab=+，所以()22272721423cabaabb=+=++=，()272727acaabaab=+=+=，所以7cos,3acacac==，因为,0,πac，所以272sin,133ac=−

=．故选：B．6.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知21sin222Abc+=，则△ABC的形状为（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰三角形D.等腰直角三角形【答案】A【解析】【分析】根据二

倍角公式和，即可得到cosbAc=，再根据余弦定理，得到222bac+=，由勾股定理可判断．【详解】∵21sin222Abc+=，可得2sin22Acbc−=，∴21cos1222Acbbcc−−==−，∴cosbAc=，∵222cos2b

cabAbcc+−==，∴22222bcab+−=，∴222bac+=，∴ABC为直角三角形，且90C=，故选：A.【点睛】思路点睛：由2A联想到降幂公式，当余弦和边同时出现时，应通过余弦定理将边将角化为边.7.已知矩形ABCD

的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有()0AMANBD+=.若AMANxAByAD+=+，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A.3B.2C.23D.2

2【答案】D【解析】【分析】先根据M，N满足的条件，将()0AMANBD+=化成,ADAB的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将AMANxAByAD+=+，左边用,ADAB表示出来，结合x+y＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出M

N的最小值.【详解】当M，N分别是边BC，DC的中点时，有()1122AMANBDADABBDABAD+=+++()()()2233022ADABABADADAB=+−=−=所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形

，设,NCABMCAD==，则()()11AMANABADABADxAByAD+=+−+−+=+则2,2xy=−=−，又x+y＝3，所以λ+μ＝1故NC+MC＝4，则()222162222MCNCMNMCNC+=+==（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）.故线段MN的最短长度

为22故选：D.8.设ABC，0P是边AB上一定点，满足014PBAB=，且对于边AB上任一点P，恒有00PBPCPBPC.则（）A.90ABC=B.90BAC=C.ABAC=D.ACBC=【答案】D【解析】【分析】取BC的中点D，由极化恒等式可得22

PBPCPDBD=−，22000PBPCPDBD−=，从而可得0PDPD，即可得出0PDAB⊥，由014PBAB=，得出答案.【详解】如图，取BC的中点D，.由极化恒等式可得：22PBPCPDBD=−，同理，22000PBPCPDBD−=，由于00

PBPCPBPC，则0PDPD，所以0PDAB⊥，因为014PBAB=，D是BC的中点，于是ACBC=.故选：D.二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分）9.已知1z与2z是共轭复

数，以下4个命题一定正确的是（）A.1212zzzz=B.2212zzC.12Rzz+D.12Rzz【答案】AC【解析】【分析】设12i,i,,Rzabzabab=+=−，根据复数的运算12zz，可得A正确；分别求出2212,zz，得到B不正确；根据122Rzza

+=，可得C正确；根据复数的除法运算，可得D不一定正确，即可求解．【详解】设12i,i,,Rzabzabab=+=−，由2212zzab=+，2212zzab=+，所以1212zzzz=，所以A正确；则22212izabab=−+，()2222222z

abab=+=+，所以B不正确；由122Rzza+=，所以C正确；由()()()222122222ii2iiiiabzabababzababababab++−===+−−+++不一定是实数，所以D不一定正确.故选：AC

10.在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且2c=，则下列选项正确的是（）A.若π,124Bb=，则ABC有两解B.若π,π,22Bb，则ABC无解C.若ABC锐角三角形，且

2BC=，则21sin,42AaaD.若2ABC+=，则ab+的最大值为22【答案】ACD【解析】【分析】根据边角的关系，可判断三角形的个数，即可判断AB；根据三角形是锐角三角形，求角C的范围，即可判断C；利用正弦定理，将边表示为三角函数，利用三角函数的性质，即可判断D.【详

解】对于A，因为π,124Bb=，所以sincBbc，则ABC有两解，A正确．对于B，因为π,π,22Bb，所以ABC有且仅有一解，B错误．对于C，由π0π32π022π02CCC−得ππ64C，则12sin,22C

，因为sinsinacAC=，所以sin21sin,42aCAaac=，C正确．对于D．因为2ABC+=，所以π3C=，又因为226sinsinsin332abcABC====，的为所以2626sin,sin33aAbB==

，则26262626sinsinsin3333abABA+=+=+2sin3A−=2633πsincos22sin3226AAA+=+，由2π03A，得ππ5π666A+，所以当ππ

62A+=，即π3A=时，ab+取得最大值22，D正确．故选：ACD11.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.已知正八边形ABCDEFGH的边长为

2，P是正八边形ABCDEFGH边上任意一点，则下列结论正确的是（）A.2BGAH=B.AD在AB向量上的投影向量为212AB+C.若()12OAFCPAED=+，则P为ED的中点D.若P

在线段BC上，且APxAByAH=+，则xy+的取值范围为1,22+【答案】BD【解析】【分析】以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算2BGAH，A错误，投影向量为212AB+，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，022ya

xyaa++=−，D正确，得到答案.【详解】如图所示：以AE为y轴，GC为x轴建立直角坐标系，设OAOBOCODOEOFOGOHa========，则222π22cos4aaa=+−，整理得到222a=+，()()()2222220,,,,,0,

,,0,,,222222AaBaaCaDaaEaFaa−−−，(),0Ga−，22,22Haa−−，设()00,Pxy，对选项A：22,22aBaaG=−−，2

2,22aAaHa=−−，2BGAH，错误；对选项B：22,22ADDaaa=+，22,22ABaaa=−，22222211122212221222aaaADABABaaa+−===+−+−

，即投影向量为212AB+，正确；对选项C：()22220,,222OAFCaaaaa=−+−=，()()00002222,222,2aPxaaaAEaxDyayaa=−=−−+−

−−−，()12OAFCPAED=+，整理得到()20022122222axayaaa−−+−=+，即()0021yx=+，与正八边形有两个交点，错误；对选项D：()00,xyaAP=+，22,22ABaaa=−，22,22aAaHa

=−−，APxAByAH=+，()002222,,,2222xyaxaaayaaa+=−+−−，整理得到022yaxyaa++=−，02,02ya−，故1,22xy++，正确.故选：CD【点睛】关键点睛：本题考查了向量的

运算，投影向量，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中建立直角坐标系，将向量运算转化为坐标运算，可以减少计算量，是解题的关键.12.如图，ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若ab=，且()3c

oscos2sinaCcAbB+=，D是ABC外一点，1DC=，3DA=，则下列说法正确的是（）A.ABC是等边三角形B.若23AC=，则A，B，C，D四点共圆C.四边形ABCD面积最大值为5332+D.四边形ABCD面积最小值为5332−【答案】AC【解析】【分析】利用三角函数恒等变换

化简已知等式可求sinB，再利用ab=，可知ABC为等边三角形，从而判断A；利用四点A，B，C，D共圆，四边形对角互补，从而判断B；设ACx=，0x，在ADC中，由余弦定理可得2106cosxD=−，利用三角形的面积公式，三角函数恒等变换的，可求ABCDS四边形，利用正弦函数的性质，求出最值，

判断CD．【详解】由正弦定理2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC===，得3(sincossincos)2sinsinACCABB+=，332sin,sin2BB==，ab=，B是等腰ABC的底角，(0,)2B，,3BABC=

△是等边三角形，A正确；B不正确：若,,,ABCD四点共圆，则四边形对角互补，由A正确知21,cos32DD==−，但由于1,3,23DCDAAC===时，22222213(23)11cos221332DCDAACDDAD

C+−+−===−−，∴B不正确．C正确，D不正确：设D=，则2222cos106cosACDCDADCDA=+−=−，35333(106cos)cos422ABCS=−=−△，3sin2ADCS=△，33353sincos222ABCA

DCABCDSSS=+=−+四边形，13533(sincos)222=−+，533sin()32=−+，3(0,),sin()(,1]32−−，53332ABCDS−+四边形，∴C正确，D不正确；故选：AC.．【点睛】本

题主要考查正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换，正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查计算能力和转化思想，属于中档题．三､填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）13.已知复数12,zz是方程21

0xx++=的两个根，则211211zzzz+=++__________．【答案】2−【解析】【分析】由题意求出12,zz，代入211211zzzz+++化简，可得答案.【详解】由复数12,zz是方程210xx++=的两个根，则不妨取12,13i13

i22zz−−−+==，故211213i13i22131121i1i1322zzzz−+−−−+=+=−−=−+++，故答案为：2−14.海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径A，B两点

间的距离，现在珊瑚群岛上取两点C，D，测得80CD=，135ADB=，15BDCDCA==，120ACB=，则A，B两点间的距离为______.【答案】805【解析】【分析】根据题意，求得各个角度，即可得AD长，根据正弦定理，可得BD长，根据余弦定理，即可得答案

.【详解】因为135ADB=，15BDCDCA==，所以150ADC=，15DACDCA==，所以80ADCD==，又因为120ACB=，所以135,30BCDCBD==，由正弦定理得：sinsinBDCDBCDCBD=，即801222BD=，解得80

2BD=，在ABD△中，由余弦定理得2222cosABADBDADBDADB=+−，所以222280(802)2808022AB=+−−，解得805AB=m.故答案为：80515.如图，已知正

六边形ABCDEF边长为1，点P是其内部一点，（包括边界），则APACuuuruuur的取值范围为______【答案】0,3【解析】【分析】易得cos,3cos,APACAPACAPACAPAPAC==，再由cos,APAPAC表示AP在AC上的投影求解.【详解】解：

由正六边形的性质得：30BCABAC==，则21cos303AC==，1203090CAF=−=，cos,3cos,APACAPACAPACAPAPAC==，而cos,APAPAC表示AP在AC上的投影，当点P在C处时，投影最大为3，当点P在F处时，投影最小为0，所以APA

Cuuuruuur的取值范围为0,3，故答案为：0,316.在△ABC中，角ABC，，所对的边分别为abc，，．若22228abc++=，则△ABC的面积的最大值为______．【答案】255【解析】

【分析】（1）可以把△ABC放入直角坐标系中，将已知条件转化为坐标之间的方程关系，数形结合，找到取得面积最大时的特殊位置；（2）可以把已知条件中三个变元的关系结合基本不等式形成两个变元的关系，同时面积也转化成这两个变元的关系再求最值即可；（3）可以把已知条件结合余弦定理及基本不等式，

将面积转化为以角度为变量的三角函数表示，利用函数思想求三角函数最值.【详解】方法1：在△ABC中，以线段AB所在的直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立平面直角坐标系，则02cA−，，02cB，，设()Cxy，，因为22228abc++=，所以22282BCACc+=−

.得222cxy−++222822cxyc++=−，整理得222544xyc+=−，即C是如图1所示的圆上的动点.如图2，当点C在y轴上时，即0x=时，

△ABC面积最大，故2241515442424ABCScccc=−=−△，当285c=时，即2105c=时，△ABC面积取得最大值为255.方法2：如图3，CD是△ABC边AB上的高，设ADx=，BDy=，CDh=，由22228

abc++=，得()()22222(hyhxx+++++2)8y=，即222222()8hxyxy++++=，又2222xyxy++„，得222()(2xyxy++„当且仅当xy=时取等号)，所以2252()82hxy++„，又1()2ABCSxyh=+=△1525=515()

2225xyh+„225()225225xyh++„，当且仅当5()2xy+2h=时，等号成立，即5hx=，将5hx=与xy=代人222222()8hxyxy++++=中，得105xy==.所以△ABC面积最大值为255.方法3

:由三角形面积公式，得1sin2ABCSabC=△，即()222222211sin1cos44ABCSabCabC==−△，由22228abc++=，得22282abc+=−，由余弦定理，得283cos

2cCab−=，所以()222222211sin1cos44ABCSabCabC==−=△()22222222831831142416ccababab−−−=−()()()()2222222224283835161616121686abccc

cc+−−−=−=−+−„(当且仅当ab=时取等号)，当285c=时，即2105c=时，42516cc−+取得最大值45，即245ABCS△„，所以△ABC面积的最大值为255.(也可以用基本不等式求2ABCS△的最大值，的即()222422165165511421651651

65ABCcccSc−=−+==△，当285c=时，即2105c=时取等号，所以△ABC面积的最大值为255.)方法4：在△ABC中，由余弦定理，得2222coscababC=+−，由22228abc++=，得()22222

2cos8abababC+++−=，即()22384cosababC+=+，又222abab+…，所以84cos6abCab+…，即(32cos)4abC−„，故432cosabC−„，又1sin2ABCSabC=，所以2sin32cosABCCSC−△„，令2sin()32cosxfxx=

−，(0,)x，得26cos4()(32cos)xfxx−=−，令06cos40x−=，得02cos3x=，x()00,x0x()0,x()fx+0−()fx极大值()0fx即当02cos3x=时，05sin3x=，()0()fxfx=最大值002sin253

2cos5xx==−，所以△ABC面积的最大值为255.【点睛】在处理与正余弦定理相关的面积最值问题时：（1）如果出现边的一次式一般采用正弦定理，出现二次式一般要结合余弦定理，利用基本不等式找到变元间的不等关系，结合面积公式求得最值；（2）三角形的面积可以转化为边的关系，也可以转化为关于

某个角的函数，利用函数思想求最值；（3）也可以数形结合，如果能从形中找到突破口，会大大降低难度和计算量四､解答题（本大题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知复数z＝a＋i(a>0，a∈R)，i为虚数单位，且复数2zz+为实数

.（1）求复数z；（2）在复平面内，若复数(m＋z)2对应的点在第一象限，求实数m的取值范围..【答案】（1）1zi=+；（2）()0,+.【解析】【分析】（1）利用复数的四则运算以及复数的分类即求解.（2）利用复数的四则运算以及复数的几何意义即可求解.

【详解】（1）因为z＝a＋i(a>0)，所以z＋2z＝a＋i＋2ai+＝a＋i＋()()()2aiaiai−+−＝a＋i＋2221aia−+＝2222111aaiaa++−++，由于复数z＋2z为实数，所以1－221a

+＝0，因为a>0，解得a＝1，因此，z＝1＋i.（2）由题意(m＋z)2＝(m＋1＋i)2＝(m＋1)2－1＋2(m＋1)i＝(m2＋2m)＋2(m＋1)i，由于复数(m＋z)2对应的点在第一象限，则()220210mmm++，解得m>0.因此，实数m的取值范围是(

0，＋∞).18.已知向量13(3,1),,22ab=−=.（1）求与a平行的单位向量c；（2）设()23,xatbyktab=++=−+，若存在[0,2]t，使得xy⊥rur成立，求k的取值范围.

【答案】（1）3,221−或3,221−（2）3,2+【解析】【分析】（1）待定系数法设坐标后列方程组求解（2）由数量积的坐标运算化简，转化为方程有解问题【小问1详解】设(,)xy=c，根据题意得2

21,30,xyyx+=+=解得3,21,2xy==−或3,21,2xy=−=31,22=−c或31,22=−c.【小问2详解】13(3,1),,,022abab=−==.()222,||3||

0xyktatb⊥−++=.||2,||1ab==，2430tkt−+=.问题转化为关于t的二次方程2430tkt−+=在[0,2]内有解.令2()43fttkt=−+，①当20k„，即0k„时，()ft在[

0,2]内为增函数，(0)3f=方程2430tkt−+=在[0,2]内无解.②当022k„，即01k„时，由216120k=−…，解得32k−„或33,122kk厔?.③当22k，即1k时，()ft在[0,2]内为减函数，由(2)0f„得4830k−+„.解得7,

18kk….综上，实数k的取值范围为3,2+.19.在ABC中，角ABC､､的对边分别为abc､､，已知()()()sinsinsinsinbcBCaAC−+=−，（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，3b=，求

22ac+的取值范围．【答案】（1）π3B=（2）(5,6【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边可得222acbac+−=，结合余弦定理即得2221cos22acbBac+−==，即可求得答案；（2）利用余弦定理表示出223acac+=+，结合正弦定理边化角可得4sin

sinacAC=，利用三角恒等变换化简可得π2sin216acA=−+，结合ABC为锐角三角形确定A的范围，结合正弦函数性质，即可求得答案.【小问1详解】由()()()sinsinsinsinbcBCACa−+=−,根据正弦定理可得()()()bcbcaca−

+=−，所以222acbac+−=，由余弦定理可得2221cos22acbBac+−==，()0,πB，π3B=．【小问2详解】由余弦定理，得222222cos,3bacacBacac=+−=+−，即223acac+=+，由正弦定理，得32sinsinsin32acbA

CB====，即2sin,2sinaAcC==，又2π3CA=−，所以22π4sinsin4sinsin23sincos2sin3acACAAAAA==−=+π3sin2cos212sin216AA

A=−+=−+，由ABC为锐角三角形，故π022ππ032AA−，解得ππ62A，所以ππ5π2666A−，所以π1sin2,162A−，所以(

2,3ac，所以(2235,6acac+=+．20.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，cos3cos23AaCbc=−+，点D是边BC上的一点，且sinsin32BADCADbca+=．

（1）求证：3aAD=；（2）若2CDBD=，求cosADC．【答案】（1）详见解析；（2）1314【解析】【分析】（1）先利用余弦定理由cos3cos23AaCbc=−+得到5π6A=，再利用正弦定理由sinsi

n32BADCADbca+=即可求得3aAD=；（2）先利用余弦定理求得37cbab==，进而利用余弦定理求得13cos14ADC=【小问1详解】在ABC中，cos3cos23AaCbc=−+，则2222222

3223bcaababcabcbc+−=−+−+整理得2223bcabc−=−+，则2223cos22bcaAbc+−==−又0πA，则5π6A=在ACD中，由正弦定理得sinsinCADCCDAD=，则sinsinCDCCA

DAD=在BAD中，由正弦定理得sinsinBADBBDAD=，则sinsinBDBBADAD=则sinsinsinsinBADCADBDBCDCbcADbADc+=+=()11sinsin132222BDCDaB

DACDAADaADaADaADaADa+=+====则3aAD=【小问2详解】由2CDBD=，可得21,33CDaBDa==，又3aAD=则22222221113333cos,cos1211223333aabaacADCADBaaaa

+−+−==由coscos0ADCADB+=可得2222222111333301211223333aabaacaaaa+−+−+=，解之

得2222abc−=又5π6A=，则2223abcbc=++，由22222223abcabcbc−==++，可得37cbab==则222222215713339cos1241427339aabbbADCaab+−−===

21.如图所示，在ABC中，P在线段BC上，满足2BPPC=，O是线段AP的中点．（1）延长CO交AB于点Q（图1），求AQQB的值；（2）过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F（图2），设EBAE=，FCAF=．（i）求证2+为定值；（ii）设AEF

△的面积为1S，ABC的面积为2S，求12SS的最小值．【答案】（1）23（2）（i）证明见解析；（ii）29.【解析】【分析】（1）根据题意，将,AQAC作为基底表示AO，由,,COQ三点共线可知，,AQAC的系数之和为1，即可

求出AQQB的值；（2）（i）根据题意，将AE，AF作为基底表示AO，由,,EOF三点共线可知，AE，AF的系数之和为1，即可求出2+为一定值；（ii）根据题意，11sin2SAEAFA=，()()211sin11si

n22SABACAAEAFA==++，()()12111SS++=，由23+=可将12SS化为关于的函数，利用函数性质求12SS的最小值即可.【小问1详解】依题意，因为2BPPC=，所以()11213333APABBPABBCABBA

ACABAC=+=+=++=+，因为O是线段AP的中点，所以111236AOAPABAC==+，设ABxAQ=，则有136xAOAQAC=+，因为,,COQ三点共线，所以1136x+=，解得52x=，即25AQAB=，

所以35QBAB=，所以23AQQB=；【小问2详解】（i）根据题意()1ABAEEBAEAEAE=+=+=+,同理可得：()1ACAF=+，由（1）可知，111236AOAPABAC==+，所以1136AOAEAF++=+，因为,,EOF

三点共线，所以11136+++=，化简得23+=，即2+为定值，且定值为3；（ii）根据题意，11sin2SAEAFA=，()()211sin11sin22SABACAAEAFA==++，所以()()()()121sin211111sin

12SAEAFAAAFASE=++++=，由（i）可知23+=，则32=−，所以()()1222111221922121324SS===−+−−+++−+，易知，当12=时，1

2SS有最小值，此时1229SS=.22.如图，某公园改建一个三角形池塘，90C=∠，2AB=百米，1BC=百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.（1）若在△ABC内部取一点P，建造连廊供游客观赏，方案一如图①，使得点P是等腰三角形PBC的

顶点，且23CPB=，求连廊APPCPB++的长（单位为百米）；（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，并建造连廊，使得△DEF变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏：方案二如图②，使得△DEF为正三角形，设2S为图②中△DEF的面积，求2S的最小值；方案三如图③，使得D

E平行于AB，且EF垂直于DE，设3S为图③中△DEF的面积，求3S的取值范围.【答案】（1）21233+百米（2）()23328minS=，330,8S【解析】【分析】（1）先由PBC中的余弦定理求出PC，再由APC△中的余弦定理求出AP，即可得到答案；（

2）分别表示出方案②和方案③中的面积，利用三角函数的性质以及二次函数的性质求解最值即可．【小问1详解】解：因为点P是等腰三角形PBC的顶点，且23CPB=，1BC=，所以6PCB=，由余弦定理可得，2

22cos2PBPCBCPCBPBPC+−=，解得33PC=，又因为2ACB=，故3ACP=，在RtACB△中，2AB=，1BC=，所以223ACABBC=−=，在ACP△中，由余弦定理可得，2222cos3APACPCACPC=+−，解得2

13AP=，故21232123333APPCPB+++=+=，所以连廊APPCPB++的长为21233+百米．【小问2详解】解：设图②中的正DEF的边长为a，(0)CEF=，则sinCFa=，3sinAFa=−，设1EDB=，则213BDEBDEB

=−−=−，233DEBDEB=−−=−，所以2133ADF=−−=−，在ADF△中，由正弦定理可得，sinsinDFAFAADF=，即3sin2sinsin()63aa−=−，即231sin()sin322aa−=−

即3332172sin3cos7sin()7a===++…（其中为锐角，且3tan)2=，所以22233333447281sin602aSa====，即()23328minS=；图③中，设BEx=，(0,

1)x，因为//DEAB，且EFDE⊥，所以3DEC=，6FEB=，2EFB=，所以3cos62EFxx==，222cos3CEDECEx===−，所以221133313(22)()

()2222228DEFSEFDExxxxx==−=−+=−−+，所以当12x=时，DEFS△取得最大值38，无最小值，即30,8DEFS，故330,8S获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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