【文档说明】山东省枣庄市第三中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题 word版含解析.docx，共(25)页，1.478 MB，由小赞的店铺上传

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高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-1-枣庄三中2022~2023学年度高二年级第一学期期中考试数学试题本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.满

分150分，考试用时120分钟.答卷前，考生务必将自已的姓名､准考证号､考试科目填涂在答题卡和答题纸规定的地方.第I卷（选择题共60分）一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.椭圆2234

12xy+=的焦点坐标为（）A.()1,0B.()0,1C.()7,0D.()0,7【答案】A【解析】【分析】先将椭圆方程化为标准形式，即可求出焦点坐标.【详解】由223412xy+=可得22143xy+=，因此431c=−=，且焦点在x轴上，所以

焦点坐标为()1,0.故选：A.2.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为（）A.250xy−+=B.250xy+−=C.250xy−−=D.250xy++=【答案】C【解析】【分析】根据直线的方向向量，确定

直线斜率，再由直线的点斜式方程，即可求出结果.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-2-【详解】因为所求直线的方向向量为()1,2，所以该直线的斜率为2k=，又该直线过点(

)2,1-，因此所求直线方程为()()122yx−−=−，即250xy−−=.故选：C.3.设OABC−是正三棱锥，1G是ABC的重心，G是1OG上的一点，且13OGGG=，若OGxOAyOBzOC=++，则xyz++=（）．A.14B.12C.34D.1【答案】C【解析】【分析】利

用空间向量的基本定理可计算得出1111333OGOAOBOC=++，由已知条件可得出134OGOG=，进而可求得x、y、z的值，由此可求得结果．【详解】如下图所示，连接1AG并延长交BC于点D，则点D为BC的中点，1

G为ABC的重心，可得123AGAD=，而()()111222ODOBBDOBBCOBOCOBOBOC=+=+=+−=+，()1122123333OGOAAGOAADOAODOAOAOD=+=+=+−=+()()12113323OAOBOCOAOBOC=+

+=++，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-3-所以，13311111144333444OGOGOAOBOCOAOBOC==++=++，所以，14xyz===

，因此，34xyz++=．故选：C4.已知点()()2,0,0,2AB，点C在圆2220xyx++=上，则△ABC的面积的最小值为（）A.32+B.3C.2D.32−【答案】D【解析】【分析】首先求出直线AB的方程和线段AB的长度，利用圆心到直线

的距离再减去圆的半径得出△ABC的高的最小值，即可求解.【详解】圆2220xyx++=的圆心()1,0M−，半径为1∵()()2,0,0,2AB，则22AB=，直线:20ABxy+−=圆心()1,0M−到直线:20ABxy+−=的距离2210232211d−+−==+∵△ABC的面积最小时

，点C到直线AB的距离最短，该最短距离即圆心到直线AB的距离减去圆的半径∴ABC边AB上高的最小值为3212−，则ABC的最小值为1321223222−=−故选：D.5.已知空间三点()3,2,0A，()3,2,2B，()3,0,1C，则C到直线AB的距离为（）A.1B.2C.

3D.5【答案】B高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-4-【解析】【分析】首先求出AC、AB，再根据夹角公式求出cos,ACAB，从而求出sin,ACAB，再根据距离公式

计算可得.【详解】解：因为()3,2,0A，()3,2,2B，()3,0,1C，所以()0,2,1AC=−，()0,0,2AB=uuur，则5AC=，2AB=，2ABAC=，所以5cos,5ACABACABACAB==，则251co25sin,s,ACABA

CAB=−=，所以C到直线AB距离为25sin,525ACACAB==.故选：B6.已知圆心在y轴上的圆C与直线3460xy−−=相切，且截直线3410xy++=所得的弦长为23，则圆C的方程为（）A.22764()225xy++=B.22764()225x

y++=或223()42xy++=C.22(1)4xy+−=D.22(1)4xy+−=或22516()225xy++=【答案】C【解析】【分析】由题意设圆的标准方程为222()xybr+−=，由圆C与直线3460xy−−=相切得|46|5br+=

，在由圆C截直线3410xy++=的弦长为23得22(41)325br++=，联立解出即可解决问题.【详解】由题设所求圆C的圆心为(0,)Pb，半径为r，标准方程为222()xybr+−=因为圆C与直线3

460xy−−=相切，所以有圆心P到该直线的距离为半径，即：|46|5br−−=，也即|46|5br+=①的高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-5-又圆C截直线3410xy++=的弦长l为23，设圆C的圆心为

P到直线3410xy++=的距离为d，所以|41|5bd+=，由222()2ldr+=有22(41)325br++=②联立①②可得：21,4br==，所以所求得圆C的标准方程为22(1)4xy+−=故选：C.7

.设M是圆P：()22236xy++=上的一动点，定点()0,2Q，线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，则N点的轨迹方程为（）A.22195xy+=B.22159xy+=C.2213632xy+=D.2213236xy+=【答案】B【解析】【分析】利用垂

直平分线的性质有MNQN=，由结合线段的几何关系得6QNNP+=，根据椭圆的定义即可写出N点的轨迹方程.【详解】∵线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点，∴MNQN=，而6MNNPMP+==，∴6QNNP+=，又()0,2Q，(0,2)P−，即N是到定点,QP距离和为定长6的动点，∴由椭圆第一定义知

：3,2ac==且长轴在y轴上，故N的轨迹方程为22159xy+=，故选：B8.已知直线10kxy−+=与曲线()2123xy=−−+−有且只有两个公共点，则实数k的取值范围是（）A.91791788

−+，B.917283−，C.291738+，D.917283−，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-6-【答案】D【解析】【

分析】根据题意，将问题转化为直线10kxy−+=与以()3,2−−为圆心，半径=1r的圆的左半圆E的位置关系问题，进而数形结合求解即可.【详解】解：因为直线10kxy−+=即为=+1ykx，所以，直线10kxy−+=过定点()0,1，因为曲线()2123xy=−−+−变形得()

()22321,3xyx+++=−，所以曲线()2123xy=−−+−表示以()3,2−−为圆心，半径=1r的圆的左半圆E，所以，作出图像如图，由图可知，当直线10kxy−+=与曲线()2123xy=−−+−有且只有两个公

共点时，21llkkk，其中2l过点()0,1与半圆E相切，1l过点()0,1和()3,1−−，因为221:0lkxyl−+=过点()0,1与半圆E相切，所以()2223311llkk−+=+，解得29178lk=−或29178l

k=+（舍），123lk=，所以，239178k−，即实数k的取值范围是917283−，.故选：D二､多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的高考资源

网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-7-得0分）9.点()1,0到直线()()342220,Rxyxy+−+++=的距离可能是（）A.7B.22C.13D.15【答案】AB

C【解析】【分析】求出直线的必过点，利用两点间距离公式求出d的最大值，进而得到d的范围.【详解】对于直线()()342220,Rxyxy+−+++=，令3420220xyxy+−=++=，解得22xy=−=，故直线的必过点为(2,2)

−，设点()1,0到直线()()342220,xyxyR+−+++=的距离为d，则22max(12)(02)13d=++−=，所以，013d，而1315，所以，ABC正确，D错误.故选：ABC10.下列命题中正确的是（）A.已知向量//ab，则存在向量可以与a，

b构成空间的一个基底B.若两个不同平面，的法向量分别是ur，v，且()1,2,2u=−，()2,1,2v=，则⊥C.已知三棱锥OABC−，点P为平面ABC上的一点，且12OPOAmOBnOC=+−(,)mnR，则12mn−=D.已知(1

,1,0)A，(0,3,0)B，()2,2,3C，则向量AC在AB上的投影向量的模长是55【答案】BCD【解析】【分析】根据基底的定义可判断A;计算()()1,2,22,1,20uv=−=，可判断B；根据空间共面向量的推论可判断C；计算向量AC在AB上的投影向量的模

长，判断D.【详解】对于A，空间任意三个不共面的向量可以作为空间的一个基底，而//ab，故不存在向量可以与a，b构成空间的一个基底，故A错误；对于B，由于()()1,2,22,1,20uv=−=，即uv⊥

，故⊥，故B正确；高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-8-对于C，点P为平面ABC上的一点，且12OPOAmOBnOC=+−，则1()12mn++−=，即1

2mn−=，故C正确；对于D，向量AC在AB上的投影向量的模长为|||(1,1,3)(1,2,0)|55||5ACABAB−==,故D正确，故选：BCD11.若圆1C：223330xyxy+−−+=与圆2C：22220xyxy+−−

=的交点为A，B，则（）A.公共弦AB所在直线方程为30xy+−=B.线段AB中垂线方程为10xy−+=C.公共弦AB的长为22D.在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆1C【答案】AD【解析】【分析】根据题意，依次分析选项：对于A，联立两个圆方程，

分析可得公共弦AB所在直线方程，可判断A，对于B，有两个圆的方程求出两圆的圆心坐标，分析可得直线12CC的方程，即可得线段AB中垂线方程，可判断B，对于C，分析圆1C的圆心1C和半径，分析可得圆心1C在公共弦AB上，即可得公共弦AB的长为圆1C的直径

，可判断C，对于D，由于圆心1C在公共弦AB上，在过A，B两点的所有圆中，即可判断D．【详解】解：根据题意，依次分析选项：对于A，圆221:3330Cxyxy+−−+=与圆222:220Cxyxy+−−=，联立两个圆的方程可得30xy+−=，即公共弦

AB所在直线方程为30xy+−=，A正确，对于B，圆221:3330Cxyxy+−−+=，其圆心1C为3(2，3)2，圆222:220Cxyxy+−−=，其圆心2C为(1,1)，直线12CC的方程为yx=，即线段AB中垂线方程0xy−=，B错误，的高考资源网（ks5u.c

om）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-9-对于C，圆221:3330Cxyxy+−−+=，即22333()()222xy−+−=，其圆心1C为3(2，3)2，半径62r=，圆心13(

2C，3)2在公共弦AB上，则公共弦AB的长为6，C错误，对于D，圆心13(2C，3)2在公共弦AB上，在过A，B两点的所有圆中，面积最小的圆是圆1C，D正确，故选：AD．12.椭圆2222:1(0)xyCabab+=离心率为512−称为“黄金椭圆”.如图，12,AA分别为左右顶点，12,

BB为上下顶点，12,FF分别为左右焦点，P为椭圆上一点，则满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（）A.2112212AFFAFF=B.11290FBA=C.四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FFD.1PFx⊥轴，且21//POAB【答案】BC【解析】【分析】根据各选项条

件列出含有a，b，c的齐次方程，再根据离心率cea=及222abc=+得到含离心率e的方程，解出各选项的离心率即可判断是否为“黄金椭圆”.【详解】对于A，根据题意得11AFac=−，22FAac=−，122FFc=，因为2112212AFFAFF=，所以

()()222acc−=，即22320caca+−=，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-10-又因为cea=，所以23210ee+−=，解得13e=或1e=−(舍)，所以选项A不能使椭圆为“黄金椭圆”；对于B，根

据题意得11FBa=，12FAac=+，22222121AOBOABba=+=+，因为11290FBA=，所以222121121BAFFBA+=，即()()22222abaac++=+，所以220caca+−=，又因为cea=，所以210ee+−=，解得512e−=或512e−−=(舍

)，所以选项B能使椭圆为“黄金椭圆”；对于C，因为四边形1221ABAB的内切圆过焦点12,FF，所以利用对称的性质可得四边形1221ABAB的内切圆的圆心为,O半径为c，记四边形1221ABAB的面积为S，故四边形1221ABAB可分成四个全

等的三角形12222111,,,OABOBAOABOAB根据面积相等法可得()221122422Sababc==+，因为222abc=+，所以原式化简得422430caca−+=，又因为cea=，所以42310ee−+=，解得2352e−=或

2352e+=(舍)，又因为01e，所以512e−=，所以选项C能使椭圆为“黄金椭圆”；对于D，1PFx⊥轴，且21//POAB，可得112PFOBOA，因为1PFx⊥轴，所以=−Pxc，代入22221(0)xyabab+=中，解得2Pbya=(负值舍去)

，所以21bPFa=，根据112PFOBOA，得2bbaca=，解得bc=，又因为cea=，222abc=+，所以22e=，所以选项D不能使椭圆为“黄金椭圆”.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-11-故选：BC.第II卷（非选

择题，共90分）三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知()1,0,0A，()0,1,0B，()0,0,1C，则以AB，AC为邻边的平行四边形的面积是_____.【答案】3【解析】【分析】根据空间向

量模长的计算可知ABC是边长2的等边三角形，进而可得平行四边形面积.【详解】由已知得()1,1,0AB=−，()1,0,1AC=−，()0,1,1BC=−，所以2ABACBC===，所以ABC是边长为2的等边三角形，则平行四边形的面积13222322S

==，故答案为：3.14.过点P(3，0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．【答案】8x－y－24＝0【解析】【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公

式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线1l，把B的坐标代入直线2l，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程.【详

解】设直线l夹在直线12,ll之间的线段是AB(A在1l上，B在2l上)，,AB的坐标分别是()()1122,,,xyxy.因为AB被点P平分，所以12126,0xxyy+=+=，于是21216,xxyy=−=−.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.

com版权所有@高考资源网-12-由于A在1l上，B在2l上，所以()()1111220630xyxy−−=−+−+=，解得111116,33xy==，即A的坐标是1116,33.直线PA的方程是0316110333yx−−=−−，即824

0xy−−=.所以直线l的方程是8240xy−−=.【点睛】解题关键在于，利用中点坐标公式列出两点坐标的两个关系式，然后，列出相应方程组求解，主要考查学生的运算能力，属于基础题15.过点()4,3作圆

22(2)1xy−+=的两条切线，切点分别为,AB，则直线AB的方程为__________.【答案】2350xy+−=【解析】【分析】先求得切线长，然后结合圆与圆的位置关系求得正确答案.【详解】圆22(2)1xy−+=的圆心为()2,0C，半径1r=，设()4,3D，2223

13CD=+=,所以切线长为()2213123−=，以D为圆心，半径为23的圆的方程为()()224312xy−+−=，即2286130xyxy+−−+=①，圆22(2)1xy−+=即22430xyx+−+=②，由

①-②得直线AB方程为46100xy−−+=，即2350xy+−=.故答案为：2350xy+−=的高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-13-16.已知椭圆2222:

1(0),xyCabPab+=是椭圆C上的点，()()12,0,,0FcFc−是椭圆C的左右焦点，若12PFPFac恒成立，则椭圆C的离心率e的取值范围是__________.【答案】51,12−【解析】【分析】设出P点坐标，将12PFPFac转化为离心率的形

式，从而求得离心率的取值范围.【详解】设(),Pst，则222222221,1sttsaabb+==−，由于()()22212,,PFPFcstcstsctac=−−−−−=−−恒成立，即222221tactacb−−−

，222222abtaaccb+−−，()222222aaccbtab−−+，由于22,0btbtb−，所以()222220aaccbab−−+，所以220aacc−−，两边除以2a得210ccaa−−，即210ee+−，解得5112e−.所

以椭圆C的离心率e的取值范围是51,12−.故答案为：51,12−四､解答题（本题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明､证明过程或演算步骤）17.直线l经过两直线1l：3420xy+−=和2l：220xy++=的交点.（1）若直线l与直线310xy+−=垂

直，求直线l的方程；高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-14-（2）若点()3,1A到直线l的距离为5，求直线l的方程.【答案】（1）380xy−+=（2）2x=−或125340xy−+=.【解析】【分析】（

1）联立方程组，求得两直线的交点坐标，利用垂直关系求得斜率，结合点斜式方程，即可求解；（2）分直线的斜率存在与不存在，结合点到直线的距离公式求得斜率，利用点斜式方程，即可求解.【小问1详解】解：联立方程组3420220xyxy+−=++=，解得交点()2,2−，又直线

l与直线310xy+−=垂直，所以直线l的斜率为13，则直线l的方程为12(2)3yx−=+，即380xy−+=.【小问2详解】当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为2x=−，满足点()3,1A到直线l的距离为5；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为2(2)ykx−

=+，即220kxyk−++=，则点A到直线l的距离为2312251kkk−++=+，求得125k=，故直线l的方程为122205xyk−++=，即125340xy−+=，综上可得，直线l的方程为2x=−或125340x

y−+=.18.已知直线:10lxy−+=和圆22:2440Cxyxy+−+−=．（1）若直线l交圆C于A，B两点，求弦AB的长；（2）求过点()41−,且与圆C相切的直线方程．【答案】（1）2（2）4x=或43130xy+−=【

解析】高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-15-【分析】（1）先由圆的方程得到圆心和半径，根据几何法求弦长，即可得出结果；（2）当直线斜率不存在时，可直接得出切线方程；当直线斜率存在时，先设切线方程为

()14ykx+=−，由圆心到直线的距离等于半径列方程，得出k的值即可求出直线方程．【小问1详解】将圆C：222440xyxy+−+−=化成标准方程：()()22129xy−++=，所以的圆心为()1,2C−，半径3r=，所以(

)1,2C−到直线l：10xy−+=的距离()121222d−−+==，所以2222982ABrd=−=−=；【小问2详解】①当直线斜率不存在时，过点()41−,的直线为4x=，是圆C的一条切线；②当直

线的斜率存在时，设圆C的切线方程为()14ykx+=−，即410kxyk−−−=，所以圆心()1,2C−到直线410kxyk−−−=的距离为r，即224131kkk+−−=+，解得：43k=−，所以此时切线方程为()4143yx+=−

−，化简得43130xy+−=．综上所述，所求的直线方程为：4x=或43130xy+−=．19.如图所示，在直三棱柱111ABCABC-中，3AC=，4BC=，5AB=，14AA=.（1）求证：1ACBC⊥；（2）在AB上是否存在点D，使得

1//AC平面1CDB，若存在，确定D点位置并说明理由，若高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-16-不存在，说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）在AB上存在点D使得1//AC平面1CDB，

且D为AB的中点．【解析】【分析】（1）本题首先以C为坐标原点建立空间直角坐标系，然后得出()3,0,0AC=−、()10,4,4BC=−，最后根据10ACBC=即可证得1ACBC⊥；（2）本题可假设点D存在，则()3,4,

0ADAB==−，然后通过111ACmBDnBC=+得出()()3330444444mmnmn−=−=−−=−−，最后求出的值，即可得出结论.【小问1详解】因为3AC=，4BC=，5AB=，所以90ACB=，如图

所示，在直三棱柱111ABCABC-中，以C为坐标原点，直线CA、CB、1CC分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，()3,0,0A，()10,0,4C，()0,4,0B，()10,4,4B，因为()3,0,0AC=−，()1

0,4,4BC=−，所以10ACBC=，1ACBC⊥，即1ACBC⊥.【小问2详解】若存在点D使1//AC平面1CDB，则()3,4,0ADAB==−，01≤≤，()33,4,0D−，(

)133,44,4BD=−−−，()10,4,4BC=−−，()13,0,4AC=−，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-17-因为1//AC平面1CDB，所以存在实数m、n，使111ACmBDnBC=+成立，

则()()3330444444mmnmn−=−=−−=−−，解得12=，故在AB上存在点D使1//AC平面1CDB，此时点D为AB中点.20.在平面直角坐标系中，曲线261yxx=−+与坐标轴的交点都在圆C上.（1）求圆C的方程；（2

）若圆C与直线0xya−+=交于A，B两点，且OAOB⊥，求a的值.【答案】（1）22(3)(1)9xy−+−=（2）1−【解析】【分析】（1）求出曲线261yxx=−+与坐标轴的三个交点，根据这三个交点在圆上可求出圆心坐标和半径，从而可得圆的方程；（2）设A()11,xy，B(

)22,xy，联立直线与圆的方程，根据根与系数的关系可得124xxa+=−，212212aaxx−+=，根据OAOB⊥得12120xxyy+=，化为()2121120xxaxxa+++=，进而可解得1a=−.【详解】（1）曲线261yxx=−+与坐标轴的交点为(0

，1)，(322,0)，由题意可设圆C的圆心坐标为(3，t)，∴22223(1)(22)tt+−=+，解得1t=，∴圆C的半径为223(11)3+−=，∴圆C的方程为22(3)(1)9xy−+−=.（2）设

点A、B的坐标分别为A()11,xy，B()22,xy，其坐标满足方程组220(3)(1)9xyaxy−+=−+−=，消去y得到方程222(28)210xaxaa+−+−+=，由已知得，判别式2561640aa=−−①，高考资源网（ks

5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-18-由根与系数的关系得124xxa+=−，212212aaxx−+=②，由OAOB⊥得12120xxyy+=.又∵11yxa=+，12yxa=+，∴12120xxyy+=可化为()212112

0xxaxxa+++=③，将②代入③解得1a=−，经检验，1a=−满足①，即0，∴1a=−.【点睛】本题考查了由圆上三个点的坐标求圆的方程，考查了直线与圆的位置关系、根与系数的关系，考查了运算求解能力，属于中档题.21.已知直三棱柱111ABCAB

C-中，侧面11AABB为正方形，2ABBC==，E，F分别为AC和1CC的中点，D为棱11AB上的点．11BFAB⊥（1）证明：BFDE⊥；（2）当1BD为何值时，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小?【答案

】（1）证明见解析；（2）112BD=【解析】【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何

法因为1111,//BFABABAB⊥，所以BFAB⊥．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-19-又因为1ABBB⊥，1BFBBB=，所以AB⊥平面11BC

CB．又因为2ABBC==，构造正方体1111ABCGABCG−，如图所示，过E作AB的平行线分别与AGBC，交于其中点,MN，连接11,AMBN，因为E，F分别为AC和1CC的中点，所以N是BC的中点

，易证1RtRtBCFBBN，则1CBFBBN=．又因为1190BBNBNB+=，所以1190CBFBNBBFBN+=⊥，．又因为111111,BFABBNABB⊥=，所以BF⊥平面11AMNB．又因为ED平面11AMNB，所以BFDE⊥．[

方法二]【最优解】：向量法因为三棱柱111ABCABC-是直三棱柱，1BB⊥底面ABC，1BBAB⊥11//ABAB，11BFAB⊥，BFAB⊥，又1BBBFB=，AB⊥平面11BCCB．所以1,,BABCBB两两垂直

．以B为坐标原点，分别以1,,BABCBB所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图．高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-20-()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0,BAC()()

()1110,0,2,2,0,2,0,2,2BAC，()()1,1,0,0,2,1EF．由题设(),0,2Da（02a）．因为()()0,2,1,1,1,2BFDEa==−−，所以()()0121120BFDEa=−++−=，所以BFDE⊥

．[方法三]：因为11BFAB⊥，11//ABAB，所以BFAB⊥，故110BFAB=，0BFAB=，所以()11BFEDBFEBBBBD=++()11=BFBDBFEBBB++1BFEBBFBB=+11122BFBABCBFBB=−−+11122

BFBABFBCBFBB=−−+112BFBCBFBB=−+111coscos2BFBCFBCBFBBFBB=−+121=52520255−+=，所以BFED⊥．（2）[方法一]【最优解】：向量法设平面DFE的法向量为(

),,mxyz=，因为()()1,1,1,1,1,2EFDEa=−=−−，所以00mEFmDE==，即()0120xyzaxyz−++=−+−=．令2za=−，则()3,1,2maa=+−因为

平面11BCCB的法向量为()2,0,0BA=，设平面11BCCB与平面DEF的二面角的平面角为，则cosmBAmBA=2622214aa=−+232214aa=−+．当12a=时，2224aa−+取最小值为272，此时cos取最大值为363272=．高考资

源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-21-所以()2min63sin133=−=，此时112BD=．[方法二]：几何法如图所示，延长EF

交11AC延长线于点S，联结DS交11BC于点T，则平面DFE平面11BBCCFT=．作1BHFT⊥，垂足为H，因为1DB⊥平面11BBCC，联结DH，则1DHB为平面11BBCC与平面DFE所成二面角的平面角．设1,BDt=[0,2],t1BTs=，过1C作111//CGAB交DS于点G

．由111113CSCGSAAD==得11(2)3CGt=−．又1111BDBTCGCT=，即12(2)3tsst=−−，所以31tst=+．又111BHBTCFFT=，即1211(2)BHss=+−，所以121(2)sBHs=+−．所以22

11DHBHBD=+2221(2)sts=++−2229225tttt=+−+．则11sinBDDHBDH=2229225ttttt=+−+219119222t=+−+，所以，当12t=时，()1min3sin3DHB=．的高考资源网（ks5

u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-22-[方法三]：投影法如图，联结1,FBFN，DEF在平面11BBCC的投影为1BNF，记面11BBCC与面DFE所成的二面角的平面角为，

则1cosBNFDEFSS=．设1(02)BDtt=，在1RtDBF中，222115DFBDBFt=+=+．在RtECF中，223EFECFC=+=，过D作1BN的平行线交EN于点Q．在RtDEQ△中，2225(1)DEQDEQt=+=+−．在DEF中，由余弦定理得222cos2

DFEFDEDFEDFEF+−=()22315(1)35ttt++=+，()222214sin35ttDFEt−+=+，1sin2DFESDFEFDFE=2122142tt=−+，13,2BNFS=1cosBNFDFESS=232214tt=−+，()29sin12

7tt=−−+，当12t=，即112BD=，面11BBCC与面DFE所成的二面角的正弦值最小，最小值为33．【整体点评】第一问，方法一为常规方法，不过这道题常规方法较为复杂，方法二建立合适空间直角坐标系，借助空间向量求解是最简单，也是最优解；方法三利用空间向量加减法则及数量积的定义运算

进行证明不常用，不过这道题用这种方法过程也很简单，可以开拓学生的思维.的高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-23-第二问：方法一建立空间直角坐标系

，利用空间向量求出二面角的平面角是最常规的方法，也是最优方法；方法二：利用空间线面关系找到，面11BBCC与面DFE所成的二面角，并求出其正弦值的最小值，不是很容易找到；方法三：利用面DFE在面11BBCC上的投影三角形的面积与DFE△面积之比即为面11BBCC与面DFE所成的二面角的余弦

值，求出余弦值的最小值，进而求出二面角的正弦值最小，非常好的方法，开阔学生的思维．22.已知椭圆()2222:10xyEabab+=的离心率为32，左顶点为A，右顶点为B，上顶点为C，ABC的内切圆的半径为254−．（1）求椭圆E的标准方程；（2）点M为直线:1lx=上任意一

点，直线AM，BM分别交椭圆E于不同的两点P，Q．求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）2214xy+=.（2）()40，.【解析】【分析】（1）利用等面积法求得,ab的关系，再利用离心率得到2ab=.

即可得到答案.（2）设()()1122(1,),,,,MtPxyQxy，分别求出,PQ的坐标，根据斜率公式求出直线方程，则可得22(4)43tyxt=−−+，即可求出定点坐标.【小问1详解】ABC的内切圆的半径为254−，22222,,,ABaAOa

OCbCBACAOOCab=====+=+有等面积法得11112222ACrCBrABrABOC++=,解得22111222222abrarab++=，又离心率为32，222

3,2cabca==+解得2ab=带入22111222222abrarab++=得1,2ba==.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网-24-综上所述椭圆E的标准方

程为：2214xy+=.【小问2详解】设()()1122(1,),,,,MtPxyQxy，则直线AM的方程为()23tyx=+与2214xy+=联立解得22281812,4949ttPtt−+++同理可得222824,

4141ttQtt−++.则直线PQ的斜率为22222221242494181882434941tttttttttt−++=−−+−+−++，所以直线PQ的方程为：2222122818494349tttyxttt

−+−=−−+++22(4)43tyxt=−−+故直线PQ恒过定点，定点坐标为()40，.【点睛】求解定点问题常用的方法：(1)“特殊探路，一般证明”，即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目标的一般性证明.(2)“一般推理，特殊求解”，即先由题设条件得

出曲线的方程，再根据参数的任意性得到定点坐标.(3)求证直线过定点()00,xy,常利用直线的点斜式方程()00yykxx−=−来证明.高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家www.ks5u.com版权所有@高考资源网25

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